Tài liệu ôn thi Toán vào Đại học, cao dẳng

ŀNguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
5 
Chương 1 
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT 
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
1.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa :
Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định 
trên K được gọi là 
• Đồng biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ < ⇒ < ; 
• Nghịch biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ . 
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I 
• Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≥ với mọi x I∈ ; 
• Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≤ với mọi x I∈ . 
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : 
Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục 
trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng 
không phải đầu mút của I ) .Khi đó : 
• Nếu ( )' 0f x > với mọi x I∈ thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; 
• Nếu ( )' 0f x < với mọi x I∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ; 
• Nếu ( )' 0f x = với mọi x I∈ thì hàm số f không đổi trên khoảng I . 
Chú ý : 
• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm ( )' 0f x > trên khoảng 
( );a b thì hàm số f đồng biến trên ;a b   . 
• Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm ( )' 0f x < trên khoảng 
( );a b thì hàm số f nghịch biến trên ;a b   . 
• Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn ;a b   . 
* Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng ( );a b thì nó đồng biến trên đoạn 
;a b   .
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
6 
* Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng ( );a b thì nó nghịch biến trên đoạn 
;a b   . 
* Nếu hàm số f không đổi trên khoảng ( );a b thì không đổi trên đoạn ;a b   . 
4. Định lý mở rộng 
 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . 
• Nếu '( ) 0f x ≥ với x I∀ ∈ và '( ) 0f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc 
I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; 
• Nếu '( ) 0f x ≤ với x I∀ ∈ và '( ) 0f x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc 
I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I . 
1.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 
Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số . 
Xét chiều biến thiên của hàm số ( )y f x= ta thực hiện các bước sau: 
• Tìm tập xác định D của hàm số . 
• Tính đạo hàm ( )' 'y f x= . 
• Tìm các giá trị của x thuộc D để ( )' 0f x = hoặc ( )'f x không xác định 
( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ). 
• Xét dấu ( )' 'y f x= trên từng khoảng x thuộc D . 
• Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của hàm số. 
Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
2
1.
1
x
y
x
+
=
−
2 2 1
2.
2
x x
y
x
− + −
=
+
Giải: 
2
1.
1
x
y
x
+
=
−
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( );1 1;−∞ ∪ +∞ . 
* Ta có: 
( )2
3
' 0, 1
1
y x
x
 -= < ∀ ≠
−
* Bảng biến thiên: 
x −∞ 1 +∞ 
'y − − 
y 
1 
 −∞ 
+∞ 
 1 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
7 
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( );1−∞ và ( )1;+∞ . 
2 2 1
2.
2
x x
y
x
− + −
=
+
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( ); 2 2;−∞ − ∪ − +∞ . 
* Ta có: 
( )
2
2
4 5
' , 2
2
x x
y x
x
− − +
= ∀ ≠ −
+
5
' 0
1
x
y
x
 = −
= ⇔ 
=
* Bảng biến thiên : 
x −∞ 5− 2− 1 +∞ 
'y − 0 + + 0 − 
y 
+∞ +∞ 
−∞ −∞ 
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( )5; 2− − và ( )2;1− , nghịch biến trên các 
khoảng ( ); 5−∞ − và ( )1;+∞ . 
Nhận xét: 
* Đối với hàm số ( . 0)
ax b
y a c
cx d
+
= ≠
+
 luôn đồng biến hoặc luôn nghịch 
biến trên từng khoảng xác định của nó. 
* Đối với hàm số 
2
' '
ax bx c
y
a x b
+ +
=
+
 luôn có ít nhất hai khoảng đơn điệu. 
* Cả hai dạng hàm số trên không thể luôn đơn điệu trênℝ . 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
2 1
1.
1
x
y
x
−
=
+
2 4 3
2.
2
x x
y
x
+ +
=
+
1
3.
3
x
y
x
+
= 
2
3
4.
1
x
y
x
=
+
2
2
4 3
5.
2 2 4
x x
y
x x
− +
=
− −
2
2
2 2
6.
2 1
x x
y
x x
+ +
=
+ +
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 21. 3 24 26y x x x= − − + + 4 22. 6 8 1y x x x = − + + 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
8 
Giải: 
3 21. 3 24 26y x x x= − − + + 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có : 2' 3 6 24y x x= − − + 
2
4
' 0 3 6 24 0
2
x
y x x
x
 = −
= ⇔ − − + = ⇔ 
=
* Bảng xét dấu của 'y : 
x −∞ 4− 2 +∞ 
'y − 0 + 0 − 
+ Trên khoảng ( )4;2− : ' 0y y> ⇒ đồng biến trên khoảng ( )4;2− , 
+ Trên mỗi khoảng ( ) ( ); 4 , 2;−∞ − +∞ : ' 0y y< ⇒ nghịch biến trên các 
khoảng ( ); 4 ,−∞ − ( )2;+∞ . 
Hoặc ta có thể trình bày : 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có : 2' 3 6 24y x x= − − + 
2
4
' 0 3 6 24 0
2
x
y x x
x
 = −
= ⇔ − − + = ⇔ 
=
* Bảng biến thiên : 
x −∞ 4− 2 +∞ 
'y − 0 + 0 − 
y 
+∞ 
 −∞ 
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng ( )4;2− , nghịch biến trên các khoảng 
( ); 4−∞ − và ( )2;+∞ . 
4 22. 6 8 1y x x x = − + + 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có: 3 2' 4 12 8 4( 1) ( 2)y x x x x= − + = − + 
2
2
' 0 4( 1) ( 2) 0
1
x
y x x
x
 = −
= ⇔ − + = ⇔ 
=
* Bảng xét dấu: 
x −∞ 2− 1 +∞ 
'y − 0 + 0 + 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
9 
Vậy,hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; )− +∞ và nghịch biến trên khoảng 
( ; 2)−∞ − . 
Nhận xét: 
* Ta thấy tại 1x = thì 0y = , nhưng qua đó 'y không đổi dấu. 
* Đối với hàm bậc bốn 4 3 2y ax bx cx dx e= + + + + luôn có ít nhất một 
khoảng đồng biến và một khoảng nghịch biến. Do vậy với hàm bậc bốn 
không thể đơn điệu trên ℝ . 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 21. 3 2y x x= − + 
3 22. 3 3 2y x x x= + + + 
4 213. 2 1
4
y x x= − + − 
4 24. 2 3y x x= + − 
5 345. 8
5
y x x= − + + 
5 4 21 3 36. 2 2
5 4 2
y x x x x= − + − 
7 6 577. 9 7 12
5
y x x x= − + + 
Ví dụ 3 : Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
21. 2y x x= − 
2 32. 3y x x= − 
23. 1y x x= − 
24. 1 2 3 3y x x x= + − + + 
Giải: 
21. 2y x x= − . 
* Hàm số đã cho xác định trên mỗi nửa khoảng ( );0 2; −∞ ∪ +∞  . 
* Ta có: ( ) ( )
2
1
' , ;0 2;
2
x
y x
x x
−
= ∀ ∈ −∞ ∪ +∞
−
. 
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 0, 2x x= = . 
Cách 1 : 
+ Trên khoảng ( );0−∞ : ' 0y < ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng ( );0−∞ , 
+ Trên khoảng ( )2;+∞ : ' 0y > ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ . 
Cách 2 : 
Bảng biến thiên : 
x −∞ 0 2 +∞ 
'y − || || + 
y 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
10 
Vậy , hàm số nghịch biến trên khoảng ( );0−∞ và đồng biến trên khoảng ( )2;+∞ 
2 32. 3y x x= − 
* Hàm số đã cho xác định trên nửa khoảng ( ;3]−∞ . 
* Ta có: ( ) ( )
2
2 3
3(2 )
' , ;0 0;3
2 3
x x
y x
x x
−
= ∀ ∈ −∞ ∪
−
. 
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 0, 3x x= = . 
Suy ra, trên mỗi khoảng ( );0−∞ và ( )0;3 : ' 0 2y x= ⇔ = 
Bảng biến thiên: 
x −∞ 0 2 3 +∞ 
'y − || + 0 − || 
y 
Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) , nghịch biến trên các khoảng ( ;0)−∞ và 
(2;3) . 
23. 1y x x= − 
* Hàm số đã cho xác định trên đoạn 1;1 −  . 
* Ta có: ( )
2
2
1 2
' , 1;1
1
x
y x
x
−
= ∀ ∈ −
−
Hàm số không có đạo hàm tại các điểm 1, 1x x= − = . 
Trên khoảng ( )1;1− : 2' 0
2
y x= ⇔ = ± 
Bảng biến thiên: 
x 
−∞ 1− 
2
2
− 
2
2
 1 +∞ 
'y || − 0 + 0 − || 
y 
Hàm số đồng biến trên khoảng 
2 2
;
2 2
 
 −
 
 
, nghịch biến trên mỗi khoảng 
2
1;
2
 
 − −
 
 
 và 
2
;1
2
 
 
 
 
. 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
11 
24. 1 2 3 3y x x x= + − + + 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có: 
2
2 3
' 1
3 3
x
y
x x
+
= −
+ +
( )
2
22
3
2' 0 3 3 2 3 1
3 3 2 3
x
y x x x x
x x x

≥ −
= ⇔ + + = + ⇔ ⇔ = −
 + + = +
Bảng biến thiên : 
x −∞ 1− +∞ 
'y + 0 − 
y 
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 1)−∞ − , nghịch biến trên khoảng ( 1; )− +∞ . 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
21. 2y x x= − 
22. 1 4 3y x x x= + − − + 
33. 3 5y x= − 
3 24. 2y x x= − 
( ) 25. 4 3 6 1y x x= − + 
22 3
6.
3 2
x x
y
x
− +
=
+
2
2
7.
3
x
y
x x
+
=
− +
Ví dụ 4 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 2| 2 3 |y x x= − − 
Giải: 
2
2
2
2 3 khi 1 3
| 2 3 |
2 3 khi 1 3
x x x x
y x x
x x x
 − − ≤ − ∨ ≥
= − − = 
− + + − < <
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có: 
2 2 khi 1 3
'
2 2 khi 1 3
x x x
y
x x
 − 
= − + − < <
Hàm số không có đạo hàm tại 1x = − và 3x = . 
+ Trên khoảng ( )1;3− : ' 0 1y x= ⇔ = ; 
+ Trên khoảng ( ); 1−∞ − : ' 0y < ; 
+ Trên khoảng ( )3;+∞ : ' 0y > . 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
12 
Bảng biến thiên: 
x −∞ 1− 1 3 +∞ 
'y − || + 0 − || + 
y 
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng( 1;1)− và (3; )+∞ , nghịch biến trên mỗi 
khoảng ( ; 1)−∞ − và (1;3) . 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
21. 5 4y x x= − + 
22. 3 7 6 9y x x x= − + + − + 
23. 1 2 5 7y x x x= − + − + − 
2 24. 7 10y x x x= + − + 
Ví dụ 5 : 
Xét chiều biến thiên của hàm số sau: 2 sin cos2y x x= + trên đoạn 0;π   . 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0;π   
* Ta có: ( )' 2 cos 1 2 sin , 0;y x x x π = − ∈   . 
Trên đoạn 0;π   : 
0;
cos 0' 0
1
sin
2
x
x
y
x
π  ∈  
 == ⇔ ⇔
 =
5
2 6 6
x x x
π π π
= ∨ = ∨ = . 
Bảng biến thiên: 
x 
 0 
6
π
2
π
5
6
π
 π 
'y + 0 − 0 + 0 − 
y 
Dựa vào bảng biến thiên suy ra : hàm số đồng biến trên các khoảng 0;
6
π 
 
 
và 
5
;
2 6
π π 
 
 
, nghịch biến trên các khoảng ;
6 2
π π 
 
 
 và 
5
;
6
π
π
 
 
 
. 
Bài tập tương tự : 
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
13 
1. sin 3y x= trên khoảng 0;
3
π 
 
 
. 
2. 
cotx
y
x
= trên khoảng ( )0;π . 
3. ( )1 1sin 4 2 3 cos2
8 4
y x x= − − trên khoảng 0;
2
π 
 
 
. 
4. 3 sin 3 cos
6 3
y x x
π π   
= − + +   
   
 trên đoạn 0;π   . 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng hàm số = +2sin cosy x x đồng biến trên đoạn 
π 
 
 
0;
3
và nghịch biến trên đoạn
π
π
 
 
 
;
3
. 
Giải : 
* Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0;π   
* Ta có: ( ) ( )π= − ∈' sin 2 cos 1 , 0;y x x x 
Vì ( )0; sin 0x xπ∈ ⇒ > nên trên ( ) 10; : ' 0 cos
2 3
y x x
π
π = ⇔ = ⇔ = . 
+ Trên khoảng 0;
3
π 
 
 
: ' 0y > nên hàm số đồng biến trên đoạn 
π 
 
 
0;
3
; 
+ Trên khoảng ;
3
π
π
 
 
 
: ' 0y < nên hàm số nghịch biến trên đoạn 
π
π
 
 
 
;
3
. 
Bài tập tương tự : 
1. Chứng minh rằng hàm số ( ) ( ) ( )sin sinf x x x x xπ= − − − đồng biến trên 
đoạn 0;
2
π 
 
 
. 
2. Chứng minh rằng hàm số cos2 2 3y x x= − + nghịch biến trên ℝ . 
3. Chứng minh rằng hàm số t n
2
x
y a= đồng biến trên các khoảng ( )0;π và 
( );2 .π π 
4. Chứng minh rằng hàm số 
3
cos 3
2
x
y x= + đồng biến trên khoảng 0;
18
π 
 
 
 và 
nghịch biến trên khoảng ; .
18 2
π π 
 
 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
14 
Dạng 2 : Tùy theo tham số m khảo sát tính đơn điệu của hàm số . 
Ví dụ : Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số: 
( )3 2 3 21 1 1 1
3 2
y x m m x m x m= − + + + + 
Giải: 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có ( )2 3' 1y x m m x m= − + + và ( )22 1m m∆ = − 
+ 0m = thì 2' 0,y x x= ≥ ∀ ∈ ℝ và ' 0y = chỉ tại điểm 0x = . Hàm số đồng 
biến trên mỗi nửa khoảng ( ;0−∞  và )0; +∞ . Do đó hàm số đồng biến trên ℝ . 
+ 1m = thì ( )2' 1 0,y x x= − ≥ ∀ ∈ ℝ và ' 0y = chỉ tại điểm 1x = . Hàm số 
đồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ;1−∞  và )1; +∞ . Do đó hàm số đồng biến 
trên ℝ . 
+ 0, 1m m≠ ≠ khi đó 2' 0
x m
y
x m
 =
= ⇔ 
=
. 
⋅ Nếu 0m thì 2m m< 
Bảng xét dấu 'y : 
x −∞ m 2m +∞ 
'y + 0 − 0 + 
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ( );m−∞ và 
( )2;m +∞ , giảm trên khoảng ( )2;m m . 
⋅ Nếu 0 1m 
Bảng xét dấu 'y : 
x −∞ 2m m +∞ 
'y + 0 − 0 + 
Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ( )2;m−∞ và 
( );m +∞ , giảm trên khoảng ( )2;m m . 
Bài tập tự luyện: 
Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu của hàm số: 
1. 3 2 3
1 1
3
3 2
y x mx m x m= − + + − 
2. ( ) ( )3 21 11 1 2 3
3 2
y m x m x x m= − − − + + + 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
15 
Dạng 3 : Hàm số đơn điệu trên ℝ . 
Sử dụng định lý về điều kiện cần 
• Nếu hàm số ( )f x đơn điệu tăng trên ℝ thì ( )' 0,f x x ℝ≥ ∀ ∈ . 
• Nếu hàm số ( )f x đơn điệu giảm trên ℝ thì ( )' 0,f x x ℝ≤ ∀ ∈ . 
Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác 
định . 
3 2
1.
mx m
y
x m
+ −
=
+
 ( )
22 2 3 1
2.
1
x m x m
y
x
− + + − +
=
−
Giải : 
3 2
1.
mx m
y
x m
+ −
=
+
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( ); ;m m−∞ − ∪ − +∞ 
* Ta có : 
( )
2
2
2 3
' ,
m m
y x m
x m
+ −
= ≠ −
+
. 
Cách 1 : 
* Bảng xét dấu 'y 
m −∞ 3− 1 +∞ 
'y + 0 − 0 + 
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy 
Nếu 3 1m− < < thì ' 0y < ⇒ hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ); m−∞ − , 
( );m− +∞ . 
Cách 2 : 
Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi : 
( ) ( ) 2' 0, ; ; 2 3 0 3 1y x m m m m m< ∀ ∈ −∞ − ∪ − +∞ ⇔ + − < ⇔ − < < 
( )22 2 3 1 1 2
2. 2
1 1
x m x m m
y x m
x x
− + + − + −
= = − + +
− −
* Hàm số đã cho xác định trên khoảng ( ) ( );1 1;−∞ ∪ +∞ . 
* Ta có : 
( )2
2 1
' 2 , 1
1
m
y x
x
−
= − + ≠
−
+ 
1
' 0, 1
2
m y x≤ ⇒ < ≠ , do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( );1−∞ , 
( )1;+∞ . 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
16 
+ 
1
2
m > khi đó phương trình ' 0y = có hai nghiệm 
1 2
1x x< < ⇒ hàm số đồng 
biến trên mỗi khoảng ( )1;1x và ( )21;x , trường hợp này không thỏa . 
Vậy 
1
2
m ≤ thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 
Bài tập tương tự : 
Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định . 
2 7 11
1.
1
x m m
y
x
− + −
=
−
( ) 21 2 3
2.
3
m x m m
y
x m
− + + −
=
+
( ) 21 2 1
3.
1
m x x
y
x
− + +
=
+
( )2 2 2 1
4.
3
x m x m
y
x
− + + −
=
−
Ví dụ 2 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên ℝ . 
( )3 211. 2 2 1 3 2
3
y x x m x m= − + + + − + 
( )
3
2 22. ( 2) ( 2) 8 1
3
x
y m m x m x m= + − + + − + − 
Giải: 
( )3 211. 2 2 1 3 2
3
y x x m x m= − + + + − + 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có : 2' 4 2 1y x x m= − + + + và có ' 2 5m∆ = + 
* Bảng xét dấu '∆ 
m −∞ 5
2
− 
 +∞ 
'∆ − 0 + 
5
2
m+ = − thì ( )= − − ≤2' 2 0y x với mọi x ∈ ℝ và ' 0y = chỉ tại điểm = 2x 
Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ . 
5
2
m+ < − thì < ∀ ∈ ℝ' 0,y x . Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ . 
5
2
m+ > − thì =' 0y có hai nghiệm ( )< 1 2 1 2,x x x x . Hàm số đồng biến trên 
khoảng ( ) 1 2;x x . Trường hợp này không thỏa mãn . 
( )
3
2 22. ( 2) ( 2) 8 1
3
x
y m m x m x m= + − + + − + − 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
ɩNguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
17 
* Ta có 2' ( 2) 2( 2) 8 y m x m x m= + − + + − . 
+ 2m = − , khi đó ' 10 0,y x= − ≤ ∀ ∈ ⇒ℝ hàm số luôn nghịch biến trên ℝ . 
+ 2m ≠ − tam thức 2' ( 2) 2( 2) 8 y m x m x m= + − + + − có ' 10( 2)m∆ = + 
*Bảng xét dấu '∆ 
m −∞ 2− +∞ 
'∆ − 0 + 
2m+ < − thì ' 0y < với mọi x ∈ ℝ . Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ . 
2m+ > − thì =' 0y có hai nghiệm ( )< 1 2 1 2,x x x x . Hàm số đồng biến trên 
khoảng ( ) 1 2;x x . Trường hợp này không thỏa mãn . 
Vậy 2m ≤ − là những giá trị cần tìm. 
Bài tập tương tự : 
Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định . 
1. 2
1
m
y x
x
= + +
−
( ) 42. 1 3
2
m
y m x
x
+
= − − −
+
3 213. 1
3
y x m x= − + 
4 2 214. 1
4
y mx m x m= − + − 
Ví dụ 3 : Tìm a để các hàm số sau luôn đồng biến trên ℝ . 
3 211. 4 3
3
y x ax x= + + + 
( ) ( )2 3 212. 1 1 3 5
3
y a x a x x= − + + + + 
Giải : 
3 211. 4 3
3
y x ax x= + + + 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có 2' 2 4y x ax= + + và có 2' 4a∆ = − 
* Bảng xét dấu '∆ 
a −∞ 2− 2 +∞ 
'∆ + 0 − 0 + 
+ Nếu 2 2a− với mọi x ∈ ℝ . Hàm số y đồng biến trênℝ . 
+ Nếu 2a = thì ( )2' 2y x= + , ta có : ' 0 2, ' 0, 2y x y x= ⇔ = − > ≠ − . Hàm 
số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ; 2−∞ −  và )2;− +∞ nên hàm số y đồng 
biến trênℝ . 
+ Tương tự nếu 2a = − . Hàm số y đồng biến trênℝ . 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
18 
+ Nếu 2a thì ' 0y = có hai nghiệm phân biệt 
1 2
,x x . Giả sử 
1 2
x x< . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1 2;x x ,đồng biến trên mỗi 
khoảng ( )1;x−∞ và ( )2;x +∞ . Do đó 2a không thoả mãn yêu 
cầu bài toán . 
Vậy hàm số y đồng biến trênℝ khi và chỉ khi 2 2a− ≤ ≤ . 
( ) ( )2 3 212. 1 1 3 5
3
y a x a x x= − + + + + 
* Hàm số đã cho xác định trên ℝ . 
* Ta có : ( ) ( )2 2' 1 2 1 3y a x a x= − + + + và có ( )2' 2 2a a∆ = − + + 
Hàm số y đồng biến trênℝ khi và chỉ khi ( )' 0, 1y x⇔ ≥ ∀ ∈ ℝ 
 + Xét 2 1 0 1a a− = ⇔ = ± 
3
1 ' 4 3 ' 0 1
4
a y x y x a= ⇒ = + ⇒ ≥ ⇔ ≥ − ⇒ = i không thoả yêu cầu bài 
toán. 
1 ' 3 0 1a y x a= − ⇒ = > ∀ ∈ ⇒ = − i ℝ thoả mãn yêu cầu bài toán. 
+ Xét 2 1 0 1a a− ≠ ⇔ ≠ ± 
* Bảng xét dấu '∆ 
a −∞ 1− 1 2 +∞ 
'∆ − 0 + 0 − 
+ Nếu 1 2a a thì ' 0y > với mọi x ∈ ℝ . Hàm số y đồng biến trênℝ . 
+ Nếu 2a = thì ( )2' 3 1y x= + , ta có : ' 0 1, ' 0, 1y x y x= ⇔ = − > ≠ − . Hàm 
số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ); 1 ` 1;va −∞ − − +∞  nên hàm số y 
đồng biến trênℝ . 
+ Nếu 1 2, 1a a− < < ≠ thì ' 0y = có hai nghiệm phân biệt 
1 2
,x x . Giả sử 
1 2
x x< . Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1 2;x x ,đồng biến trên mỗi 
khoảng ( )1;x−∞ và ( )2;x +∞ . Do đó 1 2, 1a a− < < ≠ không thoả mãn yêu cầu 
bài toán . 
Do đó hàm số y đồng biến trênℝ khi và chỉ khi 1 2a a< − ∨ ≥ . 
Vậy với 1 2a≤ ≤ thì hàm số y đồng biến trênℝ . 
Bài tập tương tự : 
Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định . 
( )3 2 211. 3 1
3 2
m
y x x m x= − + − − 
( )
3
22. 2 3
3
x
y mx m x= − + + + 
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tài Liệu ôn thi Tú Tài Đại học theo cấu trúc BGD. 
19 
( ) ( )
3
23. 2 1 4 1
3
x
y m m x x= + − − + − 
( ) ( ) ( )
3
24. 2 2 3 5 6 2
3
x
y m m x m x= − − − + − + 
Chú ý : 
Phương pháp: 
 * Hàm số ( , )y f x m= tăng trên ' 0 ' 0
x
y x min y
∈
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥
ℝ
ℝ ℝ . 
 * Hàm số ( , )y f x m= giảm trên ' 0 ' 0
x
y x max y
∈
⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤
ℝ
ℝ ℝ . 
Chú ý: 
1) Nếu 2'y ax bx c= + + thì 
 * 
0
0
' 0 
0
0
a b
c
y x
a
 = =
 ≥≥ ∀ ∈ ⇔  > ∆ ≤
ℝ 
* 
0
0
' 0 
0
0
a b
c
y x
a
 = =
 ≤≤ ∀ ∈ ⇔  < ∆ ≤
ℝ 
2) Hàm đồng biến trên ℝ thì nó phải xác định trên ℝ . 
Dạng 4 : Hàm số đơn điệu trên tập con củaℝ . 
Phương pháp: 
 * Hàm số ( , )y f x m= tăng x I∀ ∈ ' 0 min ' 0
x I
y x I y
∈
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ . 
 * Hàm số ( , )y f x m= giảm ' 0 max ' 0
x I
x I y x I y
∈
∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ . 
Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau 
1. 
4mx
y
x m
+