Tài liệu ôn tập Toán Khối 11

1 
CHƯƠNG 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
A. LÝ THUYẾT 
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
1. Hàm số: y = sin x 
- Tập xác định D = R; tập giá trị T = [-1;1]; hàm lẻ, chu kỳ T0 = 2π 
- y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 = 
a
2π
- y = sin(f(x)) xác định  f(x) xác định 
2. Hàm số: y = cosx 
- Tập xác định D = R; tập giá trị T = [-1;1], hàm chẵn, chu kỳ T0 = 2π 
- y = cos(ax + b) có chu kỳ To = 
a
2π
- y = cos(f(x)) xác định  f(x) xác định 
3. Hàm số: y = tanx 
- Tập xác định D = R\ ;Zkπ,k
2
π






 tập giá trị T = R, hàm kẻ, chu kỳ T0 = π 
- y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 = 
a
π
- y = tan(f(x)) xác định  f(x) Z)(kπk
2
π

4. Hàm số: y = cotx 
- Tập xác định D = R\ ;Zkπ,k  tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = π 
- y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 = 
a
π
- y = cot(f(x)) xác định  f(x) Z)(kπk  
BÀI 2, 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 
MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 
1. Phương trình lượng giác cơ bản 
 • sinx = 





 Z)(k
2πkαπx
2πkαx
sinα
• 
 cosx = Z)(k2πkαxcosα  
 • tanx = Z)(kπkαxtanα  • cotx = Z)(kπkαxcotα  
Chú ý: 
 •   Z)(k
k2πarcsinaπx
k2πarcsinax
1aasinx 




 (a không thuộc cung đặc biệt) 
 •   





 Z)(k
k2πarccosax
k2πarccosax
1aacosx (a không thuộc cung đặc biệt) 
 • Z)(kkπarctanaxatanx  • Z)(kkπarccotaxacotx  
2. Các trường hợp đặc biệt 
 • sinx = 0 Z)(kπkx  • sinx = 1 Z)(k2πk2
π
x 
• sinx = -1 Z)(k2πk
2
π
x 
• cosx = 0 Z)(kkπ
2
π
x 
• cosx = 1 Z)(k2πkx  • cosx = -1 Z)(k2πkπx  
2 
 • tanx = 0 Z)(kπkx  • tanx = Z)(kπk4
π
x1 
• cotx = 0 Z)(kπk
2
π
x 
• cotx = Z)(kπk
4
π
x1 
3. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 
 • asinx+ b = 0 • acosx + b = 0 • atanx + b = 0 • acotx + b = 0 
 Cách giải: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản 
4. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 
 • asin2x + bsinx + c = 0 (1) • acos2x + bcosx + c = 0 (2) 
 • atan2x + btanx + c = 0 (3) • acot2x + bcotx + c = 0 (4) 
 Trong đó a ≠ 0 
 Cách giải: 
 * Giải (1): đặt t = sinx, điều kiện  11;t  
 * Giải (2): đặt t = cosx, điều kiện  11;t  
 * Giải (3): điều kiện kπ
2
π
x   Zk , đặt t = tanx 
 * Giải (4): điều kiện kπx   Zk , đặt t = cotx 
 5. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx 
 Dạng: asinx + bcosx = c (*) trong đó a, b, c  R và a2 + b2 ≠ 0 
 Cách giải: 
 (*) 
222222 ba
c
cosx
ba
b
sinx
ba
a





 
22 ba
c
cos.sinsin.cos

 xx  (với 










22
22
ba
b
cosα
ba
a
sinα
) 
  
22 ba
c
αxsin

 : đây là phương trình lượng giác cơ bản 
 Các công thức đặc biệt: 
 • 












4
π
xcos2
4
π
xsin2cosxsinx 
• 






4
π
xsin2cosxsinx • 






4
π
xcos2sinxcosx 
6. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx 
 Dạng: asin2x + bsinxcosx + c.cos2x = d (*) 
 + Xét cosx = 0 hay kπ
2
π
x  có phải là nghiệm của (*) không 
 + Xét cosx ≠ 0 hay kπ
2
π
x  , chia 2 vế của (*) cho cos2x ta được: 
 atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x): đây là phương trình bậc hai theo hàm số tanx 
7. Phương trình theo tổng – hiệu và tích 
 Dạng đối xứng: a(sinx + cosx) +bsinxcosx + c = 0 (1) 
 Đặt t = sinx + cosx 
 Khi đó:  2;2t;
4
π
xsin2t 





 và t2 = 1 + 2sinxcosx 
2
1t
sinxcosx
2 
 
3 
 Thay vào (1) ta được:   02cb2atbtc
2
1t
b.at 2
2


 
 Đây là phương trình bậc 2 theo t với điều kiện: 2t2  
 Dạng phản xứng: a(sinx − cosx) +bsinxcosx + c = 0 (1) 
 Đặt t = sinx − cosx 
 Khi đó:  2;2t;
4
π
xsin2t 





 và t2 = 1 − 2sinxcosx 
2
t1
sinxcosx
2
 
 Thay vào (1) ta được:   0b2c2atbtc
2
t-1
b.at 2
2
 
 Đây là phương trình bậc 2 theo t với điều kiện: 2t2  
NHẮC LẠI CÁC CÔNG THỨC LỚP 10 
1) Các cung liên quan đặc biệt 
 a) Hai cung đối nhau (a và – a) 
   cosaacos    sinaasin  
   tanaatan    cotaacot  
 b) Hai cung bù nhau (a và π – a) 
   sinaaπsin    cosaaπcos  
   tanaaπtan    cotaaπcot  
 c) Hai cung phụ nhau (a và a
2
π
 ) 
 cosaa
2
π
sin 





 sinaa
2
π
cos 





 
 cotaa
2
π
tan 





 tanaa
2
π
cot 





 
 d) Hai cung hơn, kém π (a và aπ ) 
   sinaaπsin    cosaaπcos  
   tanaaπtan    cotaaπcot  
 e) Cung hơn kém 
2
π
 sinxx
2
π
cos 





 cosxx
2
π
sin 





 
 cotxx
2
π
tan 





 tanxx
2
π
cot 





 
2) Các công thức lượng giác cơ bản 
 1xcosxsin 22 
 cosx
sinx
tanx 
 sinx
cosx
cotx
 xcos
1
xtan1
2
2 
 xsin
1
xcot1
2
2 
1tanx.cotx 
3) Công thức cộng 
   sinbcosasinacosbbasin    sinasinbcosacosbbacos  
4 
  
tanatanb1
tanbtana
batan


 
4) Công thức nhân đôi 
 2sinacosasin2a  
 a2sin11a2cosasinacoscos2a 2222  
atan1
2tana
tan2a
2
 
5) Công thức nhân ba 
 a4sin3sinasin3a 3 3cosaa4coscos3a 3  
a3tan1
atan3tana
tan3a
2
3


 
6) Công thức hạ bậc 
2
cos2a1
asin2

 
2
cos2a1
acos2

 
4
sin3a3sina
asin3

 
4
cos3a3cosa
acos3

 
7) Công thức biến đổi tổng thành tích 
2
ba
cos
2
ba
2coscosbcosa

 
2
ba
sin
2
ba
2sincosbcosa

 
2
ba
cos
2
ba
2sinsinbsina

 
2
ba
sin
2
ba
2cossinbsina

 
8) Công thức biến đổi tích thành tổng 
     bacosbacos
2
1
cosacosb  
     bacosbacos
2
1
sinasinb  
     basinbasin
2
1
sinacosb  
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số: 
1. 






3
π
3xcosy 2. 








1x
13x
siny
2
 3. 
xcos1
tan2x
y
2
 
4. 
tanx1
sinx1
y


 5. 
π)cos(x
sinx
y

 6. 






3
π
xcoty 
7. 
xsinx
1x
y
2 
 8. 
1cosx
cotx
y

 9. y = tanx + cot2x 
10. 
sinx
cosxtanx
y

 11. tanx
sinx1
cos2x
y 

 12. 
xsinπ
x
y  
Bài 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: 
1. y = f(x) = 2cos3x – 1 2. y = f(x) = x3 + sinx 
3. y = f(x) = 3cosx + sin2x 4. y = f(x) = cos(x + 1) + cos(x – 1) 
5. y = f(x) = sinx cos2x + tanx 6. 
cos2x
tanxsinx
f(x)y

 
7. 
sin2x
cotxcosx
f(x)y

 8. 
cos3x1
2xsin1
f(x)y
2


 
5 
9. 1sinx1sinxy  10. 12sinx12sinxy  
11. y = xsin2x + x2cosx 12. 











 3x
4
3π
cos
4
π
3xsiny 
Bài 3. Tìm giá trị của x để các hàm số sau xác định: 
1. 12sinxy  với ][0;2πx 2. 2cosx1y  với ][0;2πx 
3. 3tan2xy  với 






4
π
;
4
π
x 4. 
2sinx1
sin4x
y

 với ];2π[πx 
Bài 4. Tìm miền giá trị của các hàm số: 
1. cos4x1y  2. y = 3 – 2cos2x 
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: 
1. sin4x23y  2. 2
6
π
2x3cosy 





 
3. y = 3cos2x – 1 4. 1xcos4y 2  
5. cosx)(sinx2y  6. 3sinx)2(4y  
7. y = sin4x + cos4x 8. 






3
2π
x
3
π
4cosx1y 
9. y = sin42x – cos42x + 2 10. y = (sinx + cosx + 1)(sinx – cosx + 1) 
Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: 
1. x4cosxsiny 24  2. sinxcosxy  
Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: 
1. 
3x2cos
1
y
2 
 2. 
2xsin
8x3sin
y
2
2


 
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: 
1. y = cos2x + 2sinx + 2 2. y = cos2x + sinx + 1 
Bài 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: 
1. y = 3cosx + 4sinx + 5 2. sin2xx)sinx(cos3y 44  
3. y = 3sin2x – sin2x – cos2x 4. y = 2cosx(sinx + cosx) – 2 
5. 
2cosxsinx
cosx2
y


 6. 
2cosxsinx
12cosxsinx
y


 
Bài 10. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: 
1. 






4
π
2xsiny trên đoạn 






4
π
;
4
π
 2. 






4
π
xcoty với 






3
π
;
4
3π
Bài 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
1. xtan
xcos
1
y 4
4
 2. 
1x2cos
1
cos2xy
2 
 
3. 
1sinxxsin
1sinx
y
2 

 4. 
xcosxsin
1
cosx)(sinxy
22
3  
Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: sinxcosxcosxsinxy  
Bài 13. Cho hàm số f(x) xác định trên R và là hàm số lẻ. Xét hàm số 
cos3x
1cotx
f(x)
1cotx
f(x)
g(x) 



 
1. Tìm miền xác định của hàm số g(x) 
2. Xác định tính chẵn lẻ của hàm số g(x) 
Bài 14. Chứng minh rằng các hàm số sau đều có tính chất: Zkf(x),π)kf(x  
1. y = cos2x 2. y = sin2x – 2tanx 
6 
Bài 15. Chứng minh các hàm số sau tuần hoàn với chu kỳ là π : 
1. y = sin2x 2. y = cotx 
Bài 16. Chứng minh các hàm số sau tuần hoàn và tìm chu kỳ của nó: 
1. y = cosx 2. y = sin3x 3. y = tan4x 
4. 






3
π
2xsiny 5. 






4
π
3xtany 6. 






3
π
2xsiny 2 
Bài 17. Tìm giá trị của ][0;2πx sao cho hàm số: 
32sinxcosx
43sinxcosx
y


 nhận giá trị nguyên 
Bài 18. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đều có tính chất f(x))2πf(x  với Zk và tìm chu kỳ 
của mỗi hàm số: 
 1. y = sin2x + cos5x 2. y = cos2x sinx 3. y = sin3x + cos3x 
Bài 19. Cho hàm số: .23sinx5f(x)y  
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) 
2. Chứng minh hàm số trên là hàm số tuần hoàn 
Bài 20. Từ đồ thị hàm số y = cosx, hãy suy ra cách vẽ đồ thị các hàm số cosxy  và đồ thị hàm 
số xcosy  
Bài 21. Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x (1) 
1. Chứng minh rằng với số nguyên k tùy ý, luôn có Rxf(x),)kπf(x  
2. Lập bảng biến thiên của hàm số (1) trên 






2
π
;
2
π
3. Vẽ đồ thị hàm số (1) 
Bài 22. Giải các phương trình sau: 
1. 
4
π
sinsinx  2. 
2
1
sinx  3. 
2
2
cosx  
4. 
2
2
cosx  5. 
2
1
sinx  6. 
2
3
cosx  
Bài 23. Giải các phương trình sau: 
1. sin3x = 0 2. cos2x = -1 3. 0
3
π
2xcos 





 
4. 03
6
π
x2sin 





 5. 02
4
π
2x2cos 





 6. 03
6
π
x2cos 





 
Bài 24. Giải các phương trình sau: 
1. sin3x = sin(90o – x) 2. cos(3x + 45o) = -cosx 
3. 0sinx
3
π
2xsin 





 4. 0cos2x
3
2π
xsin 





 
5. 0
3
π
2xsin
4
π
2xcos 











 6. 0
4
π
2xcos
4
3π
xcos 











 
Bài 25. Giải các phương trình sau: 
1. tan3x = 1 2. cot4x + 3 = 0 
3. 
3
3
3
π
2xtan 





 4. 
33
33
4
π
xcot








 
Bài 26. Giải các phương trình sau: 
1. 
4
3
3
π
xsin2 





 2. xcos
4
π
xcos 22 





 3. sinxcos3x  
Bài 27. Giải các phương trình sau: 
1. 2sin2x cos2x = 0 2. cos2x = sin2x 
7 
3. 2cos22x = 1 4. 8sin3x – 1 = 0 
5. 12xtan33
3  6. 3cosx = 1 + 4cos3x 
7. 4sin2x – 1 = 0 8. 3 – 4cos2x = 0 
9. 4sinx.cosx.cos2x = 1 10. sinx + cosx = 2 
11. sin4x – cos4x + 1 = 0 12. (sinx + cosx)2 – 1 = 0 
13. sin2x = (cosx – sinx)2 14. cosx + sinx = cos2x 
15. (cos + 2)(2cos2x – cosx – 1) = 0 16. sin2x + 0sinx32cosx3  
Bài 28. Định m để phương trình sau có nghiệm: 
1. cos(2x – 55o) = 2m2 + m 2. mcosx + 1 = 3cosx – 2m 
3. (4m – 1)sinx + 2 = msinx – 3 4. m(m + 1)cos2x = m2 – m – 3 + m2cos2x 
Bài 29. Giải các phương trình sau: 
1. ]ππ;[x,
2
3
sinx  2. ]π[0;x,
3
π
xcos
3
π
2xsin 











 
Bài 30. Giải các phương trình sau: 
1. 0
sinx
cos2x
 2. 1
sinx
cos2x
 3. 1
cosx
cos3x
 4. 0
cosx1
sinx


Bài 31. Giải các phương trình sau: 
1. sin2x cosx = cosx – cos2x sinx 2. sin4x cos3x = sinx cos6x 
3. cos3x + cos7x = sin3x – sin7x 4. (1 + cos4x)sin2x = cos22x 
5. sin3x – 4sinx cos2x = 0 6. sin8xcos2xsinx.cosx.34  
7. 01x
4
π
sin
4
π
xsin 











 8. 4cos3x + 6sin2x = 3 
Bài 32. Giải các phương trình sau: 
1. tan2x = 






4
π
xtan 2. cot3x
4
π
xcot 





 
3. 












6
π
xtan
4
π
3xtan 4. tan(2x + 1) + cotx = 0 
Bài 33. Giải các phương trình sau: 
1. 1x)sin(π  2. cos(3sinx) = 0 3. sin(x2 – 2x) = 0 4. tan(x2 – 4x + 2) = 1 
Bài 34. Định a để phương trình sau có nghiệm: 
1. 
a4
32a
cosx


 2. 
2a
1a
1sin2x

 
Bài 35. Cho phương trình: (cosx + 1)(cos2x – mcosx) = msin2x. Tìm m để phương trình có đúng 2 
nghiệm x1, x2 






2
3π
0; 
Bài 36. Định m để phương trình sau có nghiệm: sin6x + cos6x = cos22x + m )
8
π
x(0  
Bài 37. Giải các phương trình sau: 
1. 2sinxcosx3  2. 2sinx3cosx  
3. 01sin2x3x2sin
2  4. xsin1sin2x3xcos
22  
5. 51
2
x
2sin2sinx 2  6. x)sinx(cos3cosx)(sinx 442  
Bài 38. Giải các phương trình sau: 
1. 3x4sin1cos9x93sin3x
3 2. 2sin4x3x)cosx4(sin 44  
8 
3. 12x2sinsinx.cosx32
2  4. 2cosx3
2
x
cos
2
x
sin
2






 
5. 22
6
π
2x2sinsin2xcos2x3 





 6. 0131)cosx3(1)sinx3(  
Bài 39. Định m để các phương trình sau có nghiệm: 
1. msinx + 2cosx = 1 2. mcos2x + (m + 1)sin2x = m + 2 
3. msinx.cosx + sin2x = m 4. sinx)m(21cosx5sinx  
Bài 40. Cho phương trình: msinx – cosx = -2. 
1. Giải phương trình khi m = 3 2. Định m để phương trình trên vô nghiệm 
Bài 41. Tìm m để phương trình: (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm 
Bài 42. Tìm m để phương trình: (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm 
Bài 43. Định m để phương trình sau có nghiệm: m
32cosxsinx
1cosx2sinx



Bài 44. Tìm giá trị x lớn nhất thuộc đoạn [-4;10] thỏa mãn phương trình: 1sinx3cosx  
Bài 45. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: 3cosxsin3x31x4cos
3  
Bài 46. Giải các phương trình sau: 
1. 2sin2xcos3x3sin3x  2. 












6
π
xcos32sinx
6
π
xsin 
3. cosx)(sin3x3sinxcos3x  4. 02sin2x5x)sin(π5x
2
π
sin3 





 
5. 012sin3xsinx3
2
x
2cos2  6. 0sinxcos2x2sin3xcos5x3  
Bài 47. Giải các phương trình sau: 
1. 3
cos2xcosx
sin2xsinx



 2. 3
sinx)2sinx)(1(1
2sinx)cosx(1



Bài 48. Giải các phương trình sau: 
1. 1x4coscos4x32x
4
π
2cos 22 





 2. 2sinx + cotx = 2sin2x + 1 
3. 

















 x
4
3π
2cos12x
2
π
sin3
2
x
π4sin 22 
Bài 49. Giải các phương trình sau: sinx + cosx sin2x + cos3x3 = 2(cos4x + sin3x) 
Bài 50. Giải các phương trình sau: 
1. sinx + cosx + 3sinx cosx – 1 = 0 2. 3(sinx + cosx) + 2sinx cosx + 3 = 0 
3. cosx – sinx + 6sinx cosx = 1 4. 2(sinx + cosx) + sin2x = 21 
5. 08cosx)(sinx332sin2x  6. 21sin2xcosx))(sinx2(1  
Bài 51. Giải các phương trình sau: 
1. 1
4
π
xsin2sin2x 





 2. 1sin2x
4
π
xcos2 





 
3. 02cosx)1)(sinx2(cosx)(sinx 2  
4. x2)sinx.cos2(1xcosxsin 33  
Bài 52. Định m để phương trình sau có nghiệm: 
1. sin2x + 4(cosx – sinx) = m 2. 2(sinx + cosx) + sin2x + m – 1 = 0 
3. sinx – cosx = msinx cosx 4. 04m1cosx)m(sinx22sin2x  
Bài 53. Giải các phương trình sau: 
1. sin2x + sinx cosx – 2cos2x = 0 2. 4sin2x – 5sinx cosx – 6cos2x = 0 
9 
3. 1x2coscosxsinx3xsin 22  4. 2sin2x + 2sin2x – 4cos2x = 1 
5. 4x2cossin2x33x4sin
22  6. 3sin22x – sin2x cos2x – 4cos22x = 2 
7. 01sinx.cosx32x3sinxcos
22  8. 3cos4x – 4sin2x cos2x + sin4x = 0 
Bài 54. Định m để phương trình: 3sin2x + msin2x – 4cos2x = 0 có nghiệm 
Bài 55. Tìm m để phương trình: (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 1 có nghiệm 
Bài 56. Cho phương trình: (m + 2)cos2x + msin2x + (m + 1)sin2x = m – 2 
1. Giải phương trình khi m = -1 2. Định m để phương trình có nghiệm. 
Bài 57. Giải các phương trình sau: 
1. 01cos2x32x2sin
2  2. cos2x + sinx + 1 = 0 
3. 022cosx2cos2x  4. 5cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0 
Bài 58. Giải các phương trình sau: 
1. 5tanx – 2cotx – 3 = 0 2. cot4x – 4cot2x + 3 = 0 
3. 05
cosx
4
xtan2  4. 
xsin
xsin1
xcotx2cos
2
3
22  
Bài 59. Giải các phương trình sau: 
1. sin4x + cos4x + sinx cosx = 0 2. 3cos2x + 4cos3x – cos3x = 0 
3. 2(1 + cos2x – cos22x) = 1 + cos4x 4. 4sin22x + 6sin2x – 9 – 3cos2x = 0 
5. 2cos3x cosx – 4sin22x + 1 = 0 6. (3 + 2sinx)cosx – (1 + cos2x) = 1 + sin2x 
Bài 60. Giải các phương trình sau: 
1. 04)7π5cos(x2x
2
17π
sin 





 2. x)14sin(9π112x
2
13π
3sin 





 
Bài 61. Giải các phương trình sau: 
1. (2tanx – cotx)sin2x = 2sin2x + 2 2. 
sinx)(1224sinx
4
π
2xcos
4
π
2xcos 











 
Bài 62. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: sinxcosx1  trên đoạn ];3π[π 
Bài 63. Tìm nghiệm thuộc khoảng )(0;2π của phương trình: 3cos2x
2sin2x1
sin3xcos3x
sinx5 







 
Bài 64. Cho phương trình: 2cos2x + (m + 4)sinx – (m + 2) = 0 
1. Giải phương trình trên với m = 2 
2. Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm thuộc 






2
π
;
2
π
Bài 65. Định m để phương trình: cos2x – cosx + 1 – m có nghiệm thuộc đoạn 





2
π
0; 
Bài 66. Giải các phương trình sau: 
1. sin5x + sin3x + sinx = 0 2. cosx + cos3x = sin4x 
3. cosx – cos2x = sin3x 4. sin5x + sinx + 2sin2x = 1 
Bài 67. Giải các phương trình sau: 
1. sin2x sin5x = sin3x sin4x 2. cosx cos5x = cos2x cos4x 
3. cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinx sin2x 4. sin4x sin2x + sin9x sin3x = cos2x 
Bài 68. Giải các phương trình sau: 
1. 


















4
π
xcos
6
π
xcos
3
π
xcos 2. 1cosx
12
π
xsin22 





 
Bài 69. Giải các phương trình sau: 
1. cos3x – 2cos2x = 2 2. sin6x + 2 = 2cos4x 
Bài 70. Giải các phương trình sau: 
1. 4cos2x – 2cos22x = 1 + cos4x 2. sin2x = cos22x + cos23x 
10 
3. cos23x cos2x – cos2x = 0 4. cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 
5. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 6. 1)(sinx
2
1
3
2π
xcos
3
π
xcos 22 











 
Bài 71. Giải các phương trình sau: 
1. 0
cosx)sin2x(sinx
cos2xcos4xx2sin2



 2. 2
xsin
2xsin
2xsin
xsin
2
2
2
2
 
3. 
cos4x1
sin4x
2sin2x
cos4x1



 4. 1
x2cosx).sin(1
cosx)2cosx)(1(1



Bài 72. Giải các phương trình sau: 
1. 
sinx
cos2x3
24cotx

 2. cotxtanx
sinx
cos2x
cosx
sin2x
 
3. cos4x)16(1
cos2x
xtanxcot 22


 4. 
xsin
xsin1
xcotx2cos
2
3
22  
Bài 73. Giải các phương trình sau: 
1. 3 – 4cos2x = sinx(2sinx + 1) 2. 01sinx
2
x
cos
2
x
sin  
3. sinx2x3coscosx6xsin
22  4. 12sin2xcos2xxsin2  
5. 
2
x
4cosxcosxcos 223  6. 1)sinxx(2cos3sin2xcosx 2  
7. 2sin22x + sin7x – 1 – sinx = 0 8. 0xcossinx)(1
2
x
2cos 22  
Bài 74. Giải các phương trình sau: 
1. 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1 2. 4cosx + 2sinx = 3 + cos2x 
Bài 75. Giải các phương trình sau: 
1. (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx 
2. (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin2x – 1 
3. (2cosx – 1)(2cosx + 2sinx + 1) = 3 – 4sin2x 
4. (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx – 4) + 4cos2x = 3 
5. 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx 
6. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 
7. sinx(1 + cosx) = 1 + cosx + cos2x 
8. (1 + 2sinx)2cosx = 1 + sinx + cosx 
9. cosx)33(sinx1cosxsinx32x2cos2  
10. (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = 0 
11. (1 + sin2)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1 + sin2x 
12. sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = 1 + cos4x 
Bài 76. Giải các phương trình sau: 
1. sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 
2. sin2x – cos2x = 3sinx + cosx – 2 
3. sin2x + cos2x + 2(cosx – sinx) – 3 = 0 
4. 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8 
5. sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4cosx 
6. 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 
7. cos2xsin2x31sinx2cosx6  
8. 4cosxsinx12x
2
π
2sinsin2x 





 
Bài 77. Giải các phương trình sau: 
1. cos2x + sin3x + cosx = 0 2. cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 
11 
3. 2sin3x – cos2x + cosx = 0 4. cos3x + sin3 + 2sin2x = 1 
5. s