Tài liệu ôn tập môn Toán cấp III

BÍ KÍP ÔN THI QUỐC GIA MÔN TOÁN
GV Đoàn Quốc Đông - 0907286916
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I.Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
II.Phương trình bậc hai: 
1.Cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai: 
: Phương trình vơ nghiệm.
: Phương trình cĩ nghiệm kép: 
: Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt:
; 
2.Cơng thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai: 
Nếu “b chẵn” (ví dụ ) ta dùng cơng thức nghiệm thu gọn.
: Phương trình vơ nghiệm.
: Phương trình cĩ nghiệm kép: 
: Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt:
; 
F Chú ý: với là hai nghiệm của phương trình bậc 2: 
3.Định lí Viet: Nếu phương trình bậc 2 cĩ 2 nghiệm thì:
— “Tổng bà, tích ca”
4.Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2: 
Nếu thì phương trình cĩ nghiệm: 
Nếu thì phương trình cĩ nghiệm: 
5.Dấu của nghiệm số: 
Phương trình cĩ 2 nghiệm trái dấu 
Phương trình cĩ 2 nghiệm dương phân biệt 
Phương trình cĩ 2 nghiệm âm phân biệt 
III.Dấu của đa thức:
1.Dấu của nhị thức bậc nhất: 
trái dấu a	0	cùng dấu a
“Phải cùng, trái trái”
2.Dấu của tam thức bậc hai: 
	cùng dấu a
cùng dấu a	0	cùng dấu a	
cùng dấu a	0 trái dấu a	0	cùng dấu a
“Trong trái, ngồi cùng”
3.Dấu của đa thức bậc 3: Bắt đầu từ ơ bên phải cùng dấu với hệ số a của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép khơng đổi dấu.
IV.Điều kiện để tam thức khơng đổi dấu trên .
Cho tam thức bậc hai: 
V.Phương trình và bất phương trình chứa trị tuyệt đối
1.Phương trình : 
2.Bất phương trình:
VI.Phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
1.Phương trình:
2.Bất phương trình:
VII. LƯỢNG GIÁC
1.Định nghĩa giá trị lượng giác:
2.Các cơng thức lượng giác cơ bản:
3.Các giá trị lượng giác đặc biệt:
4.Cơng thức cộng: 
5.Cơng thức nhân đơi: 
Hệ quả:
6.Cơng thức hạ bậc: 
7.Cơng thức nhân ba:
8.Cơng thức biến đổi tích thành tổng: 
9.Cơng thức biến đổi tổng thành tích: 
10.Cung liên kết: Sin – bù; cos – đối; phụ – chéo; hơn kém - tan, cot.
Hai cung bù nhau: và 
Hai cung đối nhau: và 
Hai cung phụ nhau: và 
Hai cung hơn kém : và 
Hệ quả:
Hai cung hơn kém : và 
“Sin gĩc lớn = cos gĩc nhỏ - Cos gĩc lớn = trừ sin gĩc nhỏ”
11.Cơng thức tính theo : 
Nếu đặt thì:
12.Một số cơng thức khác:
13.Phương trình lượng giác cơ bản
Đặc biệt: 
Đặc biệt: 
Lưu ý: 
Khi giải phương trình lượng giác ta phải đặt điều kiện nếu gặp một trong hai trường hợp sau:
TH1: Phương trình cĩ chứa hàm số tang hoặc cotang (trừ phương trình bậc nhất và bậc hai theo 1 hàm số tang hoặc cotang)
Phương trình cĩ chứa : Điều kiện
Phương trình cĩ chứa : Điều kiện
Phương trình cĩ chứa cả và : Điều kiện 
TH2: Phương trình cĩ chứa ẩn ở mẫuĐiều kiện: mẫu 
Cách chuyển hàm: 
Cách loại dấu trừ:
Ngoại lệ: 
14. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác: Là phương trình cĩ dạng
F Đặt: 
Điều kiện 
Khơng cĩ điều kiện t.
Các cơng thức cần nhớ:
15. Phương trình bậc nhất đối vối sinx và cosx : Là phương trình cĩ dạng .
Chia 2 vế của phương trình cho ta được:
Vì nên tồn tại 1 cung sao cho .
Khi đĩ phương trình trở thành:
Điều kiện cĩ nghiệm: 
Cơng thức cần nhớ: 
16.Phương trình thuần nhất bậc hai: là phương trình cĩ dạng 
(*)
TH1: thế vào (*)
TH2: . Chia 2 vế (*) cho ta được phương trình bậc 2 theo 
Lưu ý: Phương trình với cĩ thể đưa về dạng (*) bằng cách: 
17. Phương trình đối xứng và phản xứng : là phương trình cĩ dạng
F Đặt :
 Điều kiện 
 Điều kiện 
VIII.Cơng thức tính đạo hàm:
“anh bạn ăn cơm bằng chén”
IX.Các dạng tốn về hàm số:
 1.Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)
Tập xác định:
Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức )
Đạo hàm: 
Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình tìm nghiệm.
Đối với hàm phân thức :(hoặc ) 
Bảng biến thiên:
Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị.
Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với hàm phân thức )
Vẽ đồ thị:
Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba 
Số nghiệm của phương trình 
 cĩ 2 nghiệm phân biệt
 cĩ nghiệm kép
 vơ nghiệm
Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương 
 cĩ 3 nghiệm phân biệt
 cĩ 1 nghiệm duy nhất
Các dạng đồ thị của hàm số phân thức
2.Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định:
a.Hàm bậc 3: 
Tập xác định .
Đạo hàm là 1 tam thức bậc 2. 
Hàm số đồng biến trên 
Hàm số nghịch biến trên 
b.Hàm nhất biến: 
Tập xác định 
Đạo hàm cĩ dấu phụ thuộc vào dấu của tử.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
 (Khơng cĩ dấu “=”)
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
 (Khơng cĩ dấu “=”)
3.Cực trị của hàm số:
Hàm số đạt cực trị tại 
Hàm số đạt cực đại tại 
Hàm số đạt cực tiểu tại 
a.Hàm bậc 3: 
Hàm số cĩ 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt
Hàm số khơng cĩ cực trị Phương trình vơ nghiệm hoặc cĩ nghiệm kép
b.Hàm bậc 4 trùng phương: 
Ta cĩ:
Hàm số cĩ 3 cực trị Phương trình cĩ 3 nghiệm phân biệt Phương trình (2) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 0.
Hàm số cĩ 1 cực trị Phương trình cĩ 1 nghiệm Phương trình (2) vơ nghiệm hoặc cĩ nghiệm kép bằng 0.
4.Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số xác định trên 1 đoạn 
Hàm số liên tục trên đoạn 
Tính đạo hàm .
Giải phương trình . Tìm các nghiệm
Tính , , 
So sánh và kết luận.
b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 khoảng hoặc nửa khoảng 
Tìm tập xác định.
Tính đạo hàm 
Lập bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận.
5.Tìm giao điểm của hai đường.
Cho hai đồ thị và . 
Phương trình hồnh độ giao điểm của và là : (*)
Giải phương trình (*) ta được hồnh độ giao điểm, thế vào 1 trong 2 hàm số hoặc được tung độ giao điểm.
6.Tìm điều kiện của tham số m để hai đường cong cắt nhau với số điểm cho trước.
Cho hai đồ thị và . 
Phương trình hồnh độ giao điểm của và là : (*)
 và cắt nhau tại điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) cĩ nghiệm phân biệt.
Lưu ý : Trục hồnh cĩ phương trình 
7.Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình.
Cho đồ thị . Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
Biến đổi phương trình về dạng (*). 
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị : 
Bảng kết quả :
Số giao điểm
Số nghiệm
Lưu ý: Nếu bài tốn chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình cĩ đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm, ta khơng cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) và (d) cắt nhau tại đúng 3 điểm, đúng 4 điểm )
8.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Cho hàm số cĩ đồ thị là đường cong (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm là: 
Lưu ý: Ta phải tìm được 3 đại lượng: 
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hồnh độ tiếp điểm 
Tính đạo hàm 
Thay vào tính 
Thay vào tính 
Phương trình tiếp tuyến: 
Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm .
Giải phương trình tìm .
Thay vào tính 
Phương trình tiếp tuyến: 
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số gĩc .
Giả sử tiếp điểm là 
Giải phương trình tìm .
Thay vào ta tìm được .
Phương trình tiếp tuyến: 
Lưu ý: 
Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng thì .
Nếu tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng thì .
X.Các cơng thức về lũy thừa và lơgarit:
1.Cơng thức lũy thừa:
Các tính chất quan trọng:
Nếu thì 
Nếu thì 
2. Cơng thức lơgarit:
Đặc biệt: 
(lơgarit của tích bằng tổng các lơgarit)
(lơgarit của thương bằng hiệu các lơgarit)
 (đổi cơ số)
 Đặc biệt: 
Các tính chất quan trọng:
Nếu thì 
Nếu thì 
XI.Phương trình và bất phương trình mũ:
1.Phương trình mũ:
2.Bất phương trình mũ:
 nếu 
 nếu 
 nếu 
 nếu 
 nếu 
 nếu 
XII.Phương trình và bất phương trình lơgarit:
1.Phương trình lơgarit:
2.Bất phương trình lơgarit:
 nếu 
 nếu 
 nếu 
 nếu 
 nếu 
 nếu 
Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit:
 Khơng cĩ điều kiện.
 Điều kiện: 
Đặt Điều kiện: 
Đặt Khơng cĩ điều kiện 
XIII.Cơng thức nguyên hàm-tích phân
Cơng thức nguyên hàm:
Nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm mở rộng
Phương pháp đổi biến số dạng 1:
Một số cách đổi biến thường gặp:
 Đặt 
 Đặt 
 Đặt 
 Đặt 
 Đặt 
 Đặt 
Nếu biểu thức dưới dấu tích phân cĩ chứa thì đặt 
Khi tính tích phân dạng :
Nếu m và n chẵn ta dùng cơng thức hạ bậc.
Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt .
Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt .
Phương pháp đổi biến số dạng 2:
Hàm cĩ chứa thì đặt 
Hàm cĩ chứa thì đặt 
Hàm cĩ chứa hay thì đặt 
Tích phân từng phần: 
 Thứ thự ưu tiên: 
Phương pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ: 
Bậc của Bậc của : Chia đa thức tử cho mẫu.
 Bậc của Bậc của : Phân tích mẫu thành tích và biến đổi theo cách sau:
Đặc biệt: 
Tính diện tích hình phẳng
Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hồnh, hai đường thẳng . 
Cơng thức: 
Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị đồ thị hàm số , hai đường thẳng 
 Cơng thức: 
Tính thể tích vật thể trịn xoay: Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hồnh và hai đường thẳng quay quanh trục hồnh tạo thành vật thể trịn xoay cĩ thể tích là: 
XIV.Số Phức
1.Định nghĩa số phức: Số phức là 1 biểu thức cĩ dạng , trong đĩ là các số thực, .
a: được gọi là phần thực
b: được gọi là phần ảo
Tập hợp các số phức được ký hiệu là 
Số phức cĩ phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo.
Hai số phức bằng nhau: khi và chỉ khi cĩ phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau. “Thực bằng thực, ảo bằng ảo”
Mơđun của số phức : 
Số phức liên hợp: của số phức là 
Phép cộng hai số phức:
Phép trừ hai số phức:
Phép nhân hai số phức:
Phép chia hai số phức: 
 (nhân cả tử và mẫu cho ).
Số phưc nghịch đảo của là: 
2.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức:
Cho phương trình bậc hai ( và )
: Phương trình cĩ 2 nghiệm phức phân biệt:
; 
: Phương trình cĩ nghiệm kép thực : 
: Phương trình cĩ 2 nghiệm thực phân biệt:
; 
Chú ý: 
Khi giải phương trình trùng phương trên tập số phức , ta đặt (khơng cần điều kiện cho )
TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai phương án A hoặc B. Nếu cĩ m cách thực hiện phương án A, n cách thực hiện phương án B thì sẽ cĩ m+n cách hồn thành cơng việc.
 2. Quy tắc nhân: Một cơng việc được thực hiện qua hai hành động liên tiếp A và B. Nếu cĩ m cách thực hiện hành động A, n cách thực hiện hành động B thì sẽ cĩ cách hồn thành cơng việc.
Lưu ý: Đối với bài tốn thành lập số ta phải xét hai trường hợp nếu thỏa mãn 3 điều kiện sau:
Đề cho cĩ chữ số 0.
Số cần tìm cĩ các chữ số khác nhau.
Số cần tìm là số chia hết cho 2 (số chẵn) hoặc số chia hết cho 5.
II.Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp
1. Hốn vị: Từ n phần tử sắp thứ tự
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hốn vị của n phần tử đĩ.
Số hốn vị của n phần tử: 
n!: đọc là “n giai thừa”
2. Chỉnh hợp: Từ n lấy k sắp thứ tự
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (). Lấy ra k phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đĩ, mỗi kết quả thu được được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: 
3. Tổ hợp: Từ n lấy k
Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (). Lấy ra k phần tử, mỗi kết quả thu được được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Số các tổ hợp chập k của n phần tử: 
III.Nhị thức Niu-tơn
Cơng thức nhị thức Niu – tơn:
 Số hạng tổng quát: hoặc 
IV.Xác suất
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm, một phép đo hay một sự quan sát hiện tương nào đĩ mà:
Kết quả của nĩ khơng đốn trước được.
Cĩ thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra của phép thử đĩ.
Khơng gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả cĩ thể xảy ra của một phép thử. Kí hiệu (ơ-mê-ga).
Biến cố: Là một tập con của khơng gian mẫu.
Biến cố khơng là biến cố khơng bao giờ xảy ra.
Biến cố chắc chắn là biến cố luơn xảy ra
Phép tốn trên các biến cố:
: Hợp của các biến cố A và B ( xảy ra A xảy ra hoặc B xảy ra).
(hay ): Giao của các biến cố A và B ( xảy ra A và B đồng thời xảy ra).
 thì ta nĩi A và B là 2 biến cố xung khắc (khơng đồng thời xảy ra).
 được gọi là biến cố đối của biến cố A. (A và xung khắc và )
Xác suất của biến cố:
Trong đĩ:
: Số kết quả thuận lợi cho biến cố A.
: Số phần tử của khơng gian mẫu.
Tính chất của xác suất: 
, với mọi biến cố A.
Nếu A và B xung khắc thì: (cơng thức cộng xác suất)
, với mọi biến cố A.
HÌNH HỌC PHẲNG 
I. Một số cơng thức thường dùng trong hình học phẳng:
1. Hệ thức lượng trong tam giác: Cho , ký hiệu 
a, b, c: độ dài 3 cạnh
R: bán kính đường trịn ngoại tiếp
Định lí cơsin: 
Định lí sin: 
Cơng thức tính độ dài trung tuyến: 
2. Hệ thức lượng trong tam giác vuơng: 
Œ

Ž


3. Tỉ số lượng giác của gĩc nhọn: 
4. Lưu ý: 
Trong tam giác vuơng, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh gĩc vuơng cĩ độ dài bằng ½ cạnh huyền
Hình vuơng cĩ độ dài đường chéo bằng cạnh x.
Cạnh huyển của tam giác vuơng cân cĩ độ dài bằng 
cạnh gĩc vuơng x.
Đường cao của tam giác đều cĩ độ dài bằng .
5.Các cơng thức tính diện tích:
Tam giác thường:
Œ(: độ dài 3 đường cao)

Ž
(r: bán kính đường trịn nội tiếp, : nửa chu vi)
(Cơng thức Hê-rơng)
Tam giác vuơng: x tích 2 cạnh gĩc vuơng
Tam giác đều: 
Hình vuơng: 
Hình chữ nhật: 
Hình bình hành: hoặc 
Hình thoi: hoặc hoặc 
x tích 2 đường chéo
Hình thang: 
Hình trịn: 
II.Các đường trong tam giác:
1.Đường trung tuyến_Trọng tâm
Xuất phát từ đỉnh
Qua trung điểm cạnh đối diện
* Tính chất: 
Ba đường trung tuyến trong tam giác cắt nhau tại một điểm và điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.
Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng độ dài đường trung tuyến.
2.Đường cao_Trực tâm
Xuất phát từ đỉnh 
Vuơng gĩc cạnh đối diện
* Tính chất:
Ba đường cao trong tam giác cắt nhau tại một điểm và điểm này được gọi là trực tâm của tam giác.
3.Đường trung trực_Tâm đường trịn ngoại tiếp
Qua trung điểm một cạnh 
Vuơng gĩc với cạnh đĩ
* Tính chất:
Ba đường trung trực trong tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác và đĩ là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác.
4.Đường phân giác_Tâm đường trịn nội tiếp
Xuất phát từ một đỉnh
Chia gĩc ứng với đỉnh đĩ thành 2 gĩc bằng nhau
* Tính chất:
Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm, điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác và đĩ là tâm đường trịn nội tiếp tam giác.
Đường phân giác của tam chia cạnh đối diện thành 2 đoạn tỉ lệ với 2 cạnh kề 2 đoạn ấy
5.Đường trung bình
Qua trung điểm hai cạnh 
* Tính chất:	
Song song với cạnh đáy
Cĩ độ dài bằng cạnh đáy
III.Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác
Cạnh – Gĩc – Cạnh
Gĩc – Cạnh – Gĩc
Cạnh – Cạnh – Cạnh
Nếu là tam giác vuơng:
Cạnh huyền – Gĩc nhọn 
Cạnh huyền – Cạnh gĩc vuơng
IV.Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác
2 gĩc bằng nhau
1 gĩc bằng nhau xen giữa hai cạnh tỉ lệ
3 cạnh tỉ lệ
Nếu là tam giác vuơng:
1 gĩc nhọn bằng nhau
2 cạnh tỉ lệ
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Quan hệ song song: 
Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và khơng cĩ điểm chung.
Đường thẳng d song song với mặt phẳng nếu khơng nằm trong và song song với một đường thẳng nằm trong .
Hai mặt phẳng song song với nhau nếu mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
Quan hệ vuơng gĩc:
Hai đường thẳng và vuơng gĩc với nhau nếu gĩc giữa chúng bằng .
Đường thẳng d vuơng gĩc với mặt phẳng nếu vuơng gĩc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng .
Tính chất:
Đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng thì sẽ vuơng gĩc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng .
(Định lý 3 đường vuơng gĩc) Cho đường thẳng khơng vuơng gĩc với mặt phẳng và đường thẳng nằm trong mặt phẳng . Khi đĩ, điều kiện cần và đủ để vuơng gĩc với là vuơng gĩc với hình chiếu của trên .
Hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau nếu mặt này chứa một đường thẳng vuơng gĩc với mặt kia.
Tính chất:
Hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuơng gĩc với giao tuyến thì cũng sẽ vuơng gĩc với mặt phẳng kia.
Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuơng gĩc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuơng gĩc với mặt phẳng thứ ba đĩ.
Gĩc:
Gĩc giữa hai đường thẳng: Gĩc giữa hai đường thẳng a và b là gĩc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b.
Gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Gĩc giữa đường thẳng d và mặt phẳng là gĩc giữa d và hình chiếu d’ của d trên .
Cách tìm gĩc giữa đường thẳng và mặt phẳng : 
Tìm hình chiếu d’ của d trên .
Khi đĩ gĩc giữa d và bằng gĩc giữa d và d’: 
Ta cĩ thể trình bày như sau:
- Vì nên hình chiếu của O trên là O.
- Vì nên hình chiếu của A trên là H.
 Hình chiếu của AO trên là HO
Gĩc giữa hai mặt phẳng: Là gĩc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng, cùng vuơng gĩc với giao tuyến.
Cách tìm gĩc giữa hai mặt phẳng và :
Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng và 
Tìm 2 đường thẳng a và b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và mà cùng vuơng gĩc với giao tuyến d.
Khi đĩ gĩc giữa hai mặt phẳng và bằng gĩc giữa hai đường thẳng a và b.
Khoảng cách:
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Từ A kẻ 
Phương pháp tìm đoạn AH:
Chọn (hoặc dựng) mặt phẳng phụ chứa A và vuơng gĩc với mặt phẳng theo giao tuyến là đường thẳng a.
Trong mặt phẳng , kẻ 
Lưu ý: Nếu thì 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
Cách 1: Bằng độ dài đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng đĩ.
MN được gọi là đoạn vuơng gĩc chung của hai đường thẳng a và b nếu 
Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt phẳng song song với nĩ chứa đường thẳng cịn lại.
Trong đĩ là mặt phẳng chứa đường thẳng a và song song 
với đường thẳng b và M là điểm tùy ý trên đường thẳng b.
Hình chĩp – khối chĩp:
Thể tích khối chĩp bằng một phần ba diện tích dáy nhân với chiều cao
Một số lưu ý khi tính diện tích đa giác:
Trong tam giác ABC, nếu M là điểm tùy ý trên cạnh BC ta cĩ: 
Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần cĩ diện tích bằng nhau.
Hai đường chéo hình bình hành chia hình bình hành thành 4 phần cĩ diện tích bằng nhau. 
Các khối hình chĩp thường gặp:
 Hình chĩp đều: Là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều và tất cả các cạnh bên đều bằng nhau.
 Tính chất của hình chĩp đều:
Đường cao đi qua tâm của đáy.
Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và hợp với đáy các gĩc bằng nhau.
Các cạnh bên hợp với đáy các gĩc bằng nhau.	
Chú ý: 
Tứ giác đều là hình vuơng, ta thường vẽ là hình bình hành cĩ tâm là giao điểm của 2 đường chéo.
Đối với tam giác đều ta vẽ tam giác thường cĩ tâm là giao điểm hai đường trung tuyến.
Tứ diện đều là tứ diện cĩ tất cả các cạnh đều bằng nhau.
Hình chĩp cĩ một cạnh bên vuơng gĩc với đáy:
Chú ý: Giả thiết bài tốn cĩ thể cho một trong hai dạng sau:
 và cùng vuơng gĩc với 
Ta cĩ: 
Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuơng gĩc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuơng gĩc với mặt phẳng thứ ba đĩ”
Hình chĩp cĩ một mặt bên vuơng gĩc với đáy: thì đường cao của mặt bên đĩ sẽ là đường cao của hình chĩp.
Chú ý: 
Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng vuơng gĩc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuơng gĩc với giao tuyến thì cũng sẽ vuơng gĩc với mặt phẳng kia”
Đường cao SH của chính là đường cao của hình chĩp nên vẽ SH thẳng đứng.
Thường bài tốn cho “ là tam giác đều là nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy” ta trình bày như sau:
Gọi H là trung điểm AB
Vì đều SH là đường cao của 
Ta cĩ: 
Tỉ số thể tích của khối chĩp: Cho khối chĩp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S. 
Ta cĩ: (Cơng thức này chỉ được dùng cho khối chĩp tam giác)
Các trường hợp đặc biệt:
Ứng dụng cơng thức thể tích để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng:
Ta cĩ: 
Tương tự: 
Trong đĩ: 
Hình lăng trụ - khối lăng trụ:
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao
 Tính chất của hình lăng trụ:
Các cạnh bên song song và bằng nhau.
Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành.
Hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, là hai đa giác bằng nhau, cĩ các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
Lăng trụ đứng: Là lăng trụ cĩ cạnh bên vuơng gĩc v