Tài liệu ôn tập lớp 9 – Môn Toán

Chỉ có sự nỗ lực của chính bạn mới đem lại thành công
Bài 1: Cho biểu thức : M = 
Rút gọn M.
Tính giá trị của M khi x = 7 + 4
Tìm x sao cho M = 2
Bài 2: Cho biểu thức : P = 
Rút gọn P.
Tính giá trị của P khi x = 
Tìm các giá trị của n để có x thoả mãn ().P > + n
Bài 3: Cho biểu thức : B = 
Rút gọn B.
Tìm x để : 2.B < 1
c) Với giá trị nào của x thì B. = 4/5
Bài 4: Cho biểu thức : M = 
Rút gọn M.
Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên.
c) Tìm x sao cho : M > 1
Bài 5: Cho biểu thức : A = 1 : 
Rút gọn A.
Tính giá trị của A nếu x = 7 - 4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A .
Bài 6: Cho biểu thức : P = 
Rút gọn P.
Tính giá trị của P khi x = 
c) Tìm x sao cho P = 1/2
Bài 7: Cho biểu thức : A = 
Rút gọn A.
Tính giá trị của A nếu x = 
c) Xét dấu của tích A.
Bài 8: Cho biểu thức : A = 
Rút gọn A.
Tìm x để A < 0
Bài 9: Cho biểu thức : B = 
Rút gọn B.
Tính giá trị của B khi x = 6 + 2
c) Tìm x nguyên để B nguyên.
Bài 10: Cho biểu thức : A = 
Rút gọn A.
Tính giá trị của A nếu x = 
c) Tìm x nguyên để A nguyên
Bài 11: Cho biểu thức : M = 
Rút gọn M.
Tìm x để M < 1
c) Tìm các số tự nhiên x để M nguyên.
Bài 12: Cho biểu thức : A = 
Rút gọn A.
Tìm x để A > 1
c) Tìm m để có số x sao cho: (+ 1).A = m.(x+1) -2
Bài 13: Cho biểu thức : P = 
Rút gọn P.
Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4.
c) Tìm x sao cho P = -1
Bài 14: Cho biểu thức : M = 
Rút gọn M.
Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên
c) Tìm x thoả mãn M < 0
Bài 15: Cho biểu thức : P = 
Rút gọn P.
Tính giá trị của P khi x = 
Tìm x nguyên để P là số tự nhiên
Tìm x để P < -1
Bài 16: Cho biểu thức : B = 
Rút gọn B.
Tính giá trị của B khi x = 9 - 4
c) Tìm x sao cho B.( x – 1 ) = 3
Bài 17: Cho biểu thức : M = 
Rút gọn M
Tính giá trị của M khi x = 2 - và y = 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu : 
Bài 18: Cho biểu thức : B = 
Rút gọn B.
Cho B= Chứng minh : 
 Bài 19 : Cho biểu thức : 
Rút gọn P.
Tìm x để 
 ( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT Chu Văn An, Amterdam, HN. Khúa thi : 2001-2002 ) 
Bài 20 : Cho biểu thức : 
 với x ≥ 0 ; x ≠ 1. 
1) Rỳt gọn P. 
2) Tìm x sao cho P < 0. 
 ( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYấN TỈNH HÀ TÂY.Mụn : Toỏn (chung)Khúa thi : 2003 – 2004) 
Bài 21 : Cho biểu thức : 
Rút gọn P.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Tìm x để biểu thức nhận giá trị là số nguyên
 ( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT Chu Văn An, Amterdam, HN. Khúa thi : 20-6-2003 ) 
Bài 22 : Cho biểu thức : 
Rút gọn P
Tìm x để 
 ( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT Chu Văn An, Amterdam, HN. Khúa thi : 18-6-2004 ) 
Bài 23 : Cho biểu thức : 
Rút gọn P
Tìm m để có x thoả mãn : 
 ( ĐỀ THI Tốt nghiệp trung học cơ sở, HN. Khúa thi : 26-5-2005 ) 
Ước mơ chính là bánh lái của con tầu, để ước mơ thành công bạn cần có nghị lực
Bài 1: Một xe tải đi từ A đến B cách nhau 214,5 km . Cùng lúc đó một xe khách đi từ B trở về A. Tìm vận tốc của mỗi xe, biết rằng xe khách đi nhanh hơn xe tải 4km mỗi giờ nên đã đến A trước khi xe tải đến B 1 giờ 30 phút.
Bài 2: Một xe tải đi từ A đến B cách nhau 120 km .Nửa giờ sau một xe máy chạy từ A để đến B chạy chậm hơn xe tải 6 km/h nên đến B chậm hơn 70 phút so với xe tải.Tính vận tốc mỗi xe ? 
Bài 3: Hai bến sông AB cách nhau 80km. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc chạy từ A đến B , ca nô thứ nhất chạy chậm hơn ô tô thứ hai 4km/h . Trên đường đi ca nô thứ hai dừng lại nghỉ 1giờ rồi chạy tiếp đến B. Tính vận tốc của mỗi ca nô , biết rằng ca nô thứ nhất đến B trước ca nô thứ hai 20 phút.
Bài 4: Một ca nô xuôi dòng 90km , rồi ngược dòng 36 km. Biết thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngược dòng là 2 giờ và vận tốc xuôi dòng lớn hơn ngược dòng là 6km/h. Tính thời gian mỗi ca nô đi hết quãng đường AB.
Bài 5: Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 54km. Cả đi lẫn về mất 5 giờ 15 phút .Tính vận tốc của dòng nước , biết vận tốc riêng của tàu khi nước yên lặng là 21km/h.
Bài 6: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 60km đi ngược chiều nhau. Sau 1giờ 20 phút gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô , biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược là 9km/h và vận tốc dòng nước là 3km/h.
Bài 7:Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 24km, cùng lúc đó có một chiếc bè trôi theo dòng nước từ A về hướng B. Sau khi ca nô đến B quay trở lại thì gặp chiếc bè đã trôi được 8km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng vận tốc của bè bằng vận tốc dòng nước bằng 4km/h.
Bài 8: Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian đã định.Khi đi được nửa quãng đường xe bị chắn bởi xe hoả 3 phút .Vì vậy để đến B đúng hạn xe phải tăng tốc 2km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định.
Bài 9:Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ C đến D. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc 45km/h .Sau khi đã đi được 3/4 quãng đường CD, xe con tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại vì vậy đã đến D sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.Tính quãng đường CD.
Bài 10: Một người đi xe đạp dự định đi hết quãng đường AB dài 20km trong thời gian đã định. Nhưng thực tế , sau khi đi được 1 giờ với vận tốc dự định, người đó đã giảm vận tốc đi 2km/h trên quãng đường còn lại. Vì vậy đã đến B chậm hơn dự kiến 15 phút.Tính vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đường.
Bài 11:Một ô tô dự định đi hết quãng đường AB dài 150 km trong thời gian đã định. Sau khi đi được 2 giờ , người lái xe quyết định tăng tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại .Do đó đã đến B sớm hơn dự kiến 30 phút. Tính vận tốc ô tô đi ở đoạn đường đầu ?
Bài 12: Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km trong thời gian đã định.Sau khi đi được nửa quãng đường , người đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù trên quãng đường còn lại đã tăng tốc thêm 2km/h song vẫn đến đến B chậm hơn dự kiến 12phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp trên đoạn đường cuối của đoạn AB.
Bài 13: Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km. Cùng lúc đó có một xe máy chạy từ B trở về A và gặp xe ô tô tại một tỉnh C cách một trong hai điểm khởi hành 75km. Tính vận tốc của mỗi xe ,biết rằng nếu vận tốc của hai xe không đổi và xe máy khởi hành trước ô tô 48 phút thì sẽ gặp nhau ở giữa quãng đường.
Bài 14: Một ô tô đi từ địa điểm A đến điểm B với vận tốc xác định . Nếu vận tốc tăng 20km/h so với dự định thì thời gian đến B sẽ giảm 1giờ, nhưng nếu vận tốc giảm 10km/h thì thời gian đến B sẽ tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Bài 15 : Một bố nứa trụi tự do (với vận tốc bằng vận tốc của dũng nước) và một ca nụ cựng dời bến A để xuụi dũng sụng. Ca nụ xuụi dũng được 144 km thỡ quay trở về bến A ngay, cả đi lẫn về hết 21 giờ. Trờn đường ca nụ trở về bến A, khi cũn cỏch bến A 36 km thỡ gặp bố nứa núi ở trờn. Tỡm vận tốc riờng của ca nụ và vận tốc của dũng nước. 
( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYấN TỈNH HÀ TÂY.Mụn : Toỏn (chung)Khúa thi : 2003 – 2004) 
Bài 16: Theo dự kiến , một công nhân dự định làm 70 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhưng thực tế , do áp dụng khoa học kỹ thuật nên đã tăng năng suất 5 sản phẩm mỗi giờ .Do đó không những hoàn thành trước thời hạn 40 phút mà còn vượt mức 10 sản phẩm. Tính năng suất dự kiến.
Bài 17: Một công nhân dự định làm 33 sản phẩm trong thời gian đã định . Trước khi làm việc xí nghiệp giao thêm cho 29 sản phẩm nữa . Do vậy mặc dù người đó đã làm tăng mỗi giờ 3 sản phẩm song vẫn hoàn thành chậm hơn dự kiến 1 giờ 30 phút. Tính năng suất dự kiến.
Bài 18: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong thời gian đã định thì mỗi giờ phải bơm được 10 m3 . Sau khi bơm được 1/3 thể tích bể chứa , người công nhân vận hành cho máy hoạt động với công suất lớn hơn 5m3 mỗi giờ so với ban đầu. Do vậy , so với qui định bể chứa được bơm đầy trước 48 phút . Tính thể tích bể chứa .
Bài 19: Một xí nghiệp giao cho một công nhân làm 120 sản phẩm trong thời gian qui định. Sau khi làm được 2 giờ , người đó cải tiến kỹ thuật nên đã tăng được 4sản phẩm/ giờ so với dự kiến . Vì vậy trong thời gian qui định không những hoàn thành kế hoạch mà còn vượt mức 16 sản phẩm. Tính năng suất làm lúc đầu.
Bài 20: Một công nhân dự định làm 36 sản phẩm trong thời gian đã định.Sau khi đi được nửa số lượng được giao , người đó dừng lại nghỉ 30 phút . Vì vậy mặc dù làm thêm 2 sản phẩm mỗi giờ với nửa số sản phẩm còn lại song vẫn hoàn thành công việc chậm hơn dự kiến 12phút. Tính năng suất dự kiến .
Bài 21:Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30 phút đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy 15 phút rồi khoá lại, rồi mở tiếp vòi thứ hai chảy 20 phút thì được 20% bể. Hỏi nếu để từng vòi chảy một thì sau bao lâu bể đầy.
Bài 22:Hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 40 phút đầy bể. Tính xem nếu để từng vòi chảy thì mỗi vòi cần bao lâu, biết rằng để chảy đầy bể thì vòi thứ nhất cần nhiều hơn vòi thứ hai là 4 giờ.
Bài 23:Hai công nhân cùng làm một công việc sau 4 ngày hoàn thành . Biết rằng nếu làm một mình xong việc thì người thứ nhất làm nhanh hơn người thứ hai là 6 ngày .Tính thời gian mỗi người làm một mình xong công việc trên.
Bài 24: Trong một buổi liên hoan, một lớp học sinh mời 15 khách tới dự . Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm 1 dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải xếp thêm 1 người nữa mới đủ chỗ ngồi.Hỏi ban đầu lớp học có bao nhiêu dãy ghế, biết mỗi dãy có số người ngồi như nhau và không quá 5 người.
Bài 25:Trong một trang sách nếu thêm 2 dòng và mỗi dòng bớt đi 1chữ thì số chữ trong trang tăng thêm 4 chữ. Nhưng nếu bớt đi 3 dòng và mỗi dòng thêm 2 chữ thì số chữ trong trang vẫn không thay đổi. Tính số chữ , số dòng trong trang sách lúc đầu.
Bài 26: Theo dự kiến, một đội xe đự định điều động một số lượng xe để chuyên chở 420 tấn hàng . Nhưng thực tế đội đã điêù động thêm 5 xe nữa . Do vậy mỗi xe chuyên chở ít hơn ban đầu 7 tấn so với dự kiến. Tính số lượng xe mà đội đã điều động chuyên chở.
Bài 27:Tổng của chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là 10. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì sẽ được số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Tìm số có hai chữ số.
Bài 28:Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m . Người ta làm một lối đi xung quanh vườn thuộc đất của vườn rộng 2m , diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256m2. Tính kích thước của vườn
Bài 29:Trên một miếng đất hình thang cân chiều cao 35m, hai đáy lần lượt bằng 30m, 50m người ta làm hai đoạn đường có cùng chiều rộng. Các tim đường lần lượt là đường trung bình của hình thang và các đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đáy.Tính chiều rộng các đoạn đường đó biết rằng diện tích làm đường chiếm 0,25 diện tích hình thang.
Học vấn luôn đem đến cho bạn niềm vui thực sự
Bài 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính OA=R. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại trung điểm H của OA.
a) Tứ giác ABOC là hình gì ?
b) Gọi K là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng:KBOC tứ giác nội tiếp và KB,KC là tiếp tuyến của (O)
c) Tam giác KBC là tam giác gì?
d) Trực tâm tam giác ABC là điểm nào trên hình vẽ ?
e) Tính độ dài BC.
f) Tính diện tích phần trung của hình tròn(O;R) và hình tròn ngoại tiếp tứ giác KBOC.
Bài 2: Cho (O;R) và dây ABAB.Từ C kẻ hai tiếp tuyến với (o)tại P,K. Gọi I là trung điểm của AB
a) Chứng minh rằng Tứ giác CPOK nội tiếp
b) Chứng minh rằng: C,P, I, O, K cùng nằm trên một đường tròn
c) Chứng minh rằng tam giác ACP đồng dạng với tam giác PCB suy ra CP2=CB.CA
d) gọi H trực tâm tam giác CPK.Tính PH theo R
e) Giả sử PA//CK. Chứng minh rằng tia đối của tia BK là phân giác của góc CBP
Bài 3 : Cho DABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Từ B, C kẻ tiếp tuyến với đường tròn, chúng cắt nhau tại D. Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đường tròn tại E, F và cắt AC tại I.
Chứng minh góc DOC bằng góc BAC
Chứng minh bốn điểm O, I, D, C nằm trên một đường tròn 
Chứng minh IE=IF 
Chứng minh ID là phân giác góc BIC
Cho B,C cố định , khi A chuyển động trên cung BC lớn thì I di chuyển trên đường nào ?
Bài 4: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P sao cho AP>R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tại M.
Chứng minh APMO nội tiếp
Chứng minh rằng BM//OP
Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành .
Chứng minh rằng PNMO là hình thang cân
Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minhI, J, K thẳng hàng.
Bài 5 : Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB = 2R. C là trung điểm của đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuụng gúc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường trũn trờn tại I. K là một điểm bất kỡ nằm trờn đoạn thẳng CI (K khỏc C ; K khỏc I), tia AK cắt nửa đường trũn đó cho tại M. Tiếp tuyến với nửa đường trũn tõm O tại điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D. 
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cựng nằm trờn một đường trũn. 
2) Chứng minh ΔMNK cõn. 
3) Tớnh diện tớch ΔABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI. 
4) Chứng minh rằng : Khi K di động trờn đoạn thẳng CI thỡ tõm của đường trũn ngoại tiếp ΔAKD nằm trờn một đường thẳng cố định. 
 ( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 HỆ CHUYấN TỈNH HÀ TÂY.Mụn : Toỏn (chung)Khúa thi : 2003 –2004) 
Bài 6: Cho đoạn AB và M nằm giữa A.B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vuông AMCD, MBEF. AF cắt BC tại N
a)Chứng minh rằng:AF vuông góc với BC,suy ra N nằm trên hai đường tròn ngoại tiếp AMCD, MBEF.
b) Chứng minh: D, N,E thẳng hàng và MN vuông góc với DE
c)Cho AB cố định M di động. Chứng minh:MN luôn đi qua điểm cố định,
Bài7:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O). D,E là điểm chính giữa của cung AB, AC. DE cắt AB và AC tại H,K.
a) Chứng minh rằng: tam giácAHK cân
b) BE cắt CD tại I, Chứng minh rằng AI vuông góc với DE
c) Chứng minh rằng:CEKI nội tiếp
d) Chứng minh rằng IK//AB
e) tam giác ABC có thêm điều kiện gì ? thì AI//EC
Bài 8:Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn. Người ta vẽ một đường tròn tâm E tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB tại N. Đường này cắt MA, MB lần lượt tại các điểm thứ hai C, D.
Chứng minh CD//AB
Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN luôn đi qua một điểm K cố định.
Chứng minh:tích KM.KN không đổi
Gọi giao điểm của các tia CN,DN với KB,KA lần lượt là C,,D,.Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC,D, đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 9:Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH. Đường tròn đường kính AH cắt các cạnh AB,AC, lần lượt tại E,F.
Chứng minhtứ giác AEHF là hình chữ nhật. 
Chứng minhAE.AB=AF.AC
Chứng minh rằng BEFC nội tiếp
Đường thẳng qua Avuông góc với EF cắt BC tại I, Chứng minh I là trung điểm của đoạn BC.
Chứng minh rằng nếu diện tích của ABC gấp đôi diện tích hình chữ nhật AEHF thì tam giác ABC vuông cân.
Bài 10: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. P là điểm chính giữa của cung AB( phần không chứa C,D). Hai đây PC, PD lần lượt cắt dây AB tại E và F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây BC,PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minhrằng:
Góc CID bằng góc CKD.
Tứ giác CDEF nội tiếp được.
PC.PE = PD.F
IKCD nội tiếp
IK//AB.
PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD.
Bài 11: Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến tại C với đường tròn cắt AB,AD kéo dài lần lượt tại E và F.
Chứng minh AB.AE=AD.AF bằng hai phương pháp.
Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh AM vuông góc với BD.
Tiếp tuyến tại B và D với đường tròn (O) cắt EF lần lượt tại I, J. Chứng minh I và J lần lượt là trung điểm của CE và CF.
Tính diện tích phần hình tròn giới hạn bởi dây AD và cung nhỏ AD, biết AB=6 và AD=6.
Bài 12: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R và một điểm M bất kì nằm trên nửa đường tròn (M khác A và B). Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt đường trung trực của đoạn AB tại I.Dường tròn tâm I tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D (D nằm trong góc BOM).
Chứng minh các tia OC,OD là các tia phân giác của các góc ACM và BOM.
Chứng minh CA và DB vuông góc với AB.
Chứng minh AC.BD=R2
Tìm một vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để tổng AC+BD đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó theo R.
Bài 13:Cho đường tròn tâm (O;R), hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau. Trong đoạn AB lấy một điểm M( khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N với đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
tứ giác OMNP nội tiếp được.
Tứ giác CMPO là hình bình hành.
Tứ giác OMNP nội tiếp
Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Khi M di động trên đoạn AB thì P chạy trên một đoạn thẳng cố định.
Bài 14:Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính BD(AC cắt BO). Kéo dài AB và DC cắt nhau ở E;CB và DA cắt nhau tại F.
Chứng minh DB vuông góc với EF( gọi chân đường vuông góc là G)
Chứng minh BCGF , ABGF nội tiếp
Chứng minh:BA.BE=BC.BF=BD.BG 
Chứng minh B là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACG.
Cho góc ABC bằng 1350, hãy tính độ dài AC theo BD.
Bài 15 : Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng theo thứ tự ấy và một đường thẳng d vuông góc với AC tại A. Vè đường tròn đường kính BC và trên đó lấy một điểm M bất kì. Tia CM cắt đường thẳng d tại D; Tia AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai tại N; tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ hai P.
Chứng minh ABMD nội tiếp
Chứng minh tích CM.CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M
Tứ giác APND là hình gì ?tại sao ?
Chứng minh trọng tâm G của tam giác MAC chạy trên một đường tròn cố định khi M di động
Bài 16: Cho tam giác vuông cân ABC (góc C=90),E là một điểm tuỳ ý trên cạnh BC . Qua B kẻ một tia vương góc với tia AE tại H và cắt tia AC tại K. Chứng minh rằng:
 Tứ giác BHCA nội tiếp 
KC. KA=KH.KB .
Độ lớn của góc CHK không phụ thuộc vào vị trí điểm E
Khi E di chuyển trên cạnh BC thì BE.BC+ AE. AH không đổi
Bài 17 : cho đường tròn tâm O và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa cảu cung nhỏ AB và C là một điểm nằm giữa đoạn AB. Tia MC cắt đường tròn tại điểm thư hai D. Chứng minh :
MA2 = MC.MD
MB.BD = BC.MD
Đường tròn ngoại tiếp DBCD tiếp xúc với MB tại B.
Tổng bán kính của hai đường tròn ngoại tiếp DBCD và DACD không đổi khi C di động trên đoạn AB.
 Bài 18: Cho DABC có góc A > 90o. Đường tròn (O), đường kính AB cắt đường tròn (O/) đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H. Một đường thẳng (d) quay quanh A cắt Đường tròn (O), đường tròn (O/) lần lượt tại M, N sao cho A nằm giữa M và N.
Chứng minh H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông.
Chứng minh tỷ số không đổi.
Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh bốn điểm A, H, K, I thuộc một đường tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định.
Xác định vị trí của đường thẳng (d) để diện tích DHMN lớn nhất.
 ( ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT Chu Văn An, Amterdam, HN. Khúa thi : 1999- 2000 ) 
Bài 19:Cho đoạn thẳng AB và một điểm P nằm giữa A và B.Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB và lần lượt trên hai tia dó lấy hai điểm C và D sao cho : AC.BD=AP.PB (1)
Chứng minh tam giác ACP đồng dạng với tam giác BPD.
Chứng minh góc CPD bằng 900. Từ đó suy ta cách dựng hai điểm C;D thoả mãn (1)
Gọi M là hình chiếu của P trên CD, chứng minh góc AMB bằng 900
Gọi AM cắt CP tại I, BM cắt PD tại K. Chứng minh IK // AB
Chứng minh điểm M chạy trên nửa đường tròn cố định khi C;D lần lượt di động trên Ax, By nhưng vẫn thoả mãn (1).
Bài 20:Cho tam giácABC cân tại A( góc A<900) nội tiếp đường tròn (O). Một điểm M tuỳ ý trên cung nhỏ AC. Tia Bx vuông góc với AM cắt tia CM tại D. Chứng minh rằng:
Góc AMD bằng góc ABC.
Tam giác BMD cân
Khi M di động trên cung nhỏ AC thì D chạy trên một cung tròn cố định và độ lớn của góc BDC không đổi .
Bài 21: Cho tam giác ABC vuông tại A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E.Các đường thẳngCD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
tam giácABC đồng dạng với tam giácEBD.
Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được.
Chứng minh AD.AB = AG.AE
AC//FG.
Các đường thẳng AC, DE, BF đồng quy.
Bài 22: Cho hai đường tròn (O1),(O2) tiếp xúc ngoài tại A. Một đường thẳng (d) tiếp xúc với (O1),(O2) lần lượt tại B, C.
Chứng minh tam giác ABC vuông.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia tiếp tuyến chung củ