Tài liệu ôn tập học kỳ II môn Giải tích Lớp 12 - Năm học 2016-2017

Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
TÀI LIỆU ÔN TẬP HỌC KỲ II 
LỚP 12- NĂM HỌC 2016-2017 
MÔN: GIẢI TÍCH 
Quảng Nam, tháng 2 năm 2017 
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
A. TÍCH PHÂN 
PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
I.Nguyên hàm 
1.Định nghĩa. Cho hàm số ( )f x xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số 
( )F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( )f x trên K, nếu '( ) ( )F x f x , với mọi x K . 
Định lý. Giả sử ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( )f x trên khoảng K. Khi đó 
a. Với mỗi hằng số C, hàm số ( ) ( )G x F x C  cũng là một nguyên hàm của ( )f x . 
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của ( )f x thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) 
= F(x) + C. 
c. Họ tất cả các nguyên hàm của ( )f x là ( ) ( )f x dx F x C  , trong đó ( )F x là một 
nguyên hàm của ( )f x , C là hằng số bất kỳ. 
d. Bảng các nguyên hàm cơ bản. 
Nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp 
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thƣờng gặp Nguyên hàm của hàm số hợp ( )u u x 
,kdx kx C k R   ,kdu ku C k R   
11 . ( 1)
1
x dx x C  

   

 1
1
. ( 1)
1
u du u C  

   

ln
dx
x C
x
  ( 0x  ) ln
du
u C
u
  ( 0x  ) 
2
dx
x C
x
  2
du
u C
u
  
x xe dx e C  
u ue du e C  
(0 1).
ln
x
x aa dx C a
a
    (0 1).ln
u
u aa du C a
a
    
cos sinxdx x C  cos sinudu u C  
sin cosxdx x C   sin cosudu u C   
2
tan
cos
dx
x C
x
  ; 2 cotsin
dx
x C
x
   . 2 tancos
du
u C
u
  ; 2 cotsin
du
u C
u
   
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
Ngoài ra còn một số công thức thƣờng gặp là. 
11 ) 1 1
( ) , ( 0, 1); ln , 0.
1
1 1
; ( ) sin( )
1
sin( ) ( )
ax ax
(ax
ax ax
ax
os ax ax
ax os ax
k
k
b b
b
b dx C a k dx b C a
a k b a
e dx e C c b dx b C
a a
b dx c b C
a

 

         
 
     
    
 
 

2. Một số tính chất của nguyên hàm 
Định lý. Nếu ( ), ( )F x G x tương ứng là một nguyên hàm của ( ), ( )f x g x thì 
a. '( ) ( )f x dx f x C  
b. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx F x G x C        ; 
c. ( ) ( ) ( 0)a.f(x)dx aFa f x dx x C a     . 
3. Một số phƣơng pháp đổi nguyên hàm 
a. Phƣơng pháp đổi biến số 
 Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số ( )u u x có đạo hàm 
liên tục trên K và hàm số (u)y f liên tục sao cho [ ( )]f u x xác định trên K. Khi đó 
nếu F là một nguyên hàm của f, tức là ( ) ( )f u du F u C  thì 
[ ( )]dx=F[ ( )]+Cf u x u x . 
 b. Phƣơng pháp tích phân từng phần 
Một số dạng thƣờng gặp: 
 Dạng 1. ax( ). , ( )sin(ax ) , ( )cos(ax )bP x e dx P x b dx P x b dx     
 Cách giải: Đặt ax( ), ( sin( ) , cos( ) )bu P x dv e dx dv ax b dx dv ax b dx      
 Dạng 2. ( ) ln(a )P x x b dx 
 Cách giải: Đặt ln( ), ( ) .axu b dv P x dx   
II. Tích phân 
1.Định nghĩa Cho hàm ( )f x liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu ( )F x 
là một nguyên hàm của ( )f x thì hiệu số ( ) ( )F b F a được gọi là tích phân của ( )f x từ a đến b 
và ký hiệu là ( )
b
a
f x dx . Trong trường hợp a b thì ( )
b
a
f x dx là tích phân của f trên  ;a b . 
2.Tính chất Cho các hàm số ( ), ( )f x g x liên tục trên K và , ,a b c là ba số thuộc K. 
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
( ) 0 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) . ( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
a b a
a a b
b c b b b
a a c a a
b b b
a a a
f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx k f x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
    
    
   
  
    
  
 3.Một số phƣơng pháp tính tích phân 
 Phƣơng pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số 
( )
( )
[ ( )] '( ) ( )
u bb
a u a
f u x u x dx f u du  . Trong 
đó ( )f x là hàm số liên tục và ( )u x có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp 
[ ( )]f u x xác định trên J; ,a b J . 
Phƣơng pháp đổi biến số thƣờng áp dụng theo hai cách 
Cách 1. Đặt ẩn phụ ( )u u x ( u là một hàm của x) 
Cách 2. Đặt ẩn phụ ( )x x t ( x là một hàm số của t). 
Đối với nguyên hàm nói chung và tích phân nói riêng cần chú ý một số dấu hiệu dẫn tới việc 
lựa chọn ẩn phụ như sau: 
Dấu hiệu Có thể chọn 
Hàm số có mẫu Đặt t là mẫu 
Hàm ( , ( ))f x x Đặt ( )t x 
Hàm ( , ( ), ( ))n mf x x x  Đặt ( )mnt x 
Hàm 
sin cos
( )
sin cos
a x b x
f x
c x d x e


 
 Đặt tan
2
x
t  
Hàm lẻ với sinx Đặt cost x 
Hàm lẻ với cosx Đặt sin xt  
Hàm chẵn với sinx và cosx t =tanx 
2 2a x | | sin ,
2 2
| | ,0os
x a t t
x a c t t
 


   

  
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
2 2x a | | , ; 0
sin 2 2
| |
,0 ;
2os
a
x t t
t
a
x t t
c t
 



    

    

2 2x a | | tan ,
2 2
| | ,0ot
x a t t
x a c t t
 


   

  
a x
a x


 hoặc 
a x
a x


Đặt cos2x a t 
( )( )x a b x  Đặt 
2( )sinx a b a t   
Phƣơng pháp tích phân từng phần. 
Định lý. Nếu ( ), ( )u x v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và ,a b là hai số 
thuộc K thì ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx   
4. Ứng dụng của tích phân 
Tính diện tích hình phẳng 
 Nếu hàm số ( )y f x liên tục trên  ;a b thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ 
thị hàm số ( )y f x , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b  là ( )
b
a
S f x dx  . 
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ( )y f x , ( )y g x và hai đường 
thẳng ,x a x b  là ( ) ( )
b
a
S f x g x dx  
Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối . 
 Nếu  b ; a x , 0)( xf thì  
b
a
b
a
dxxfdxxfS )()( 
 Nếu  b ; a x , 0)( xf thì   
b
a
b
a
dxxfdxxfS )()( 
Chú ý Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) . Thường có hai 
cách làm như sau : 
-Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét 
dấu các biểu thức f(x) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn 
 b ; a 
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
-Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn  b ; a để suy ra dấu của f(x) 
 trên đoạn đó . 
Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì 
 b ; a x , 0)( xf 
Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì 
  b ; a x , 0)( xf 
 -Cách 3 Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có :  
b
a
b
a
dxxfdxxfS )()( 
 Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục 
Ox tại các điểm ,a b là ( )
b
a
V S x dx  . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị 
cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là  ;x a b và S(x) là 
một hàm liên tục. 
 Tính thể tích khối tròn xoay. 
 Hàm số ( )y f x liên tục và không âm trên  ;a b . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm 
số ( )y f x , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b  quay quanh trục hoành tạo nên 
một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức 2 ( )
b
a
V f x dx  . 
 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )x g y , trục tung và hai đường thẳng 
,y c y d  quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi 
công thức 2 ( )
d
c
V g y dy  . 
PHẦN 2: BÀI TẬP MINH HỌA 
Dạng 1: Tích phân hàm hữu tỷ 
Bài 1: Tính tích phân 
x
I dx
x x
2 2
2
1
7 12

 
 
Hƣớng dẫn: I dx
x x
2
1
16 9
1
4 3
 
   
  
 =  x x x
2
1
16ln 4 9ln 3    = 1 25ln2 16ln3  . 
Bài 2: Tính tích phân 
dx
I
x x
2
5 3
1


 
Hƣớng dẫn: Ta có: 
x
xx x x x
3 2 3 2
1 1 1
( 1) 1
   
 
  I x x
x
2
2
21 1 3 1 3
ln ln( 1) ln2 ln5
2 2 2 812
 
         
 
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
Bài 3: Tính tích phân 
xdx
I
x
1
0 3
( 1)


 
Hƣớng dẫn: 
Ta có: 
x x
x x
x x
2 3
3 3
1 1
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
      
 
 I x x dx
1 2 3
0
1
( 1) ( 1)
8
         
Bài 4: Tính nguyên hàm 
x
I dx
x
2
4
( 1)
(2 1)



 
Hƣớng dẫn: Ta có: 
x x
f x
x x
2
1 1 1
( ) . .
3 2 1 2 1
    
    
    
 
x
I C
x
3
1 1
9 2 1
 
  
 
. 
Bài 5: Tính tích phân 
x
I dx
x
1 7
2 5
0
(1 )


 
Hƣớng dẫn: Đặt t x dt xdx21 2     
t
I dt
t
2 3
5 5
1
1 ( 1) 1 1
.
2 4 2

  
Bài 6: Tính tích phân I x x dx
1
5 3 6
0
(1 )  
Hƣớng dẫn: Đặt 
dt t t
t x dt x dx dx I t t dt
x
1 7 8
3 2 6
2
0
1 1 1
1 3 (1 )
3 3 7 8 1683
 
             
 
 . 
Bài 7: Tính tích phân I x x dx
1
5 3 6
0
(1 )  
Hƣớng dẫn: Đặt 
dt t t
t x dt x dx dx I t t dt
x
1 7 8
3 2 6
2
0
1 1 1
1 3 (1 )
3 3 7 8 1683
 
             
 
 . 
Bài 8: Tính tích phân 
x
I dx
x
2 2001
2 1002
1
.
(1 )


 
Hƣớng dẫn: Ta có: 
x xdx
I
x x
1 2000
2 2000 2 2
0
1 .2
2 (1 ) (1 )

 
 . Đặt t x dt xdx
2
1 2    
  
t
I dt d
t tt t
10002 21000
1000 2 1001
1 1
1 ( 1) 1 1 1 1
1 1
2 2 2002.2
   
       
   
  
Bài 9: Tính tích phân 
x
I dx
x x
1 5
22
4 2
1
1
1



 
 
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
Hƣớng dẫn: Ta có: 
x x
x x
x
x
2
2
4 2
2
2
1
1
1
11
1



   
. Đặt t x dt dx
x x
2
1 1
1
 
     
 
  
dt
I
t
1
2
0
1


 . Đặt 
du
t u dt
u
2
tan
cos
    I du
4
0
4


  
Dạng 2: Tích phân hàm vô tỷ 
Bài 1: Tính nguyên hàm 
x
I dx
x x
2
3 9 1

 
 
Hƣớng dẫn: Ta có 
x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
2 2 2
2
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
      
 
    
 Lại có I x dx x C2 3
1 1
3   
 I x x dx
2
2
9 1  x d x x C
3
2 2 2 2
2
1 1
9 1 (9 1) (9 1)
18 27
      
  I x x C
3
2 32
1
(9 1)
27
    
Bài 2: Tính nguyên hàm 
x x
I dx
x x
2
1



 
Hƣớng dẫn: Ta có  
x x
dx
x x
2
1


 
x x
dx dx
x x x x
2
1 1
 
 
  . 
 Lại có 
x
I dx
x x
2
1
1


 . 
Đặt t= x x t x x21 1    x t3 2 2( 1)   x dx t t dt2 2
4
( 1)
3
   
  t dt t t C2 3
4 4 4
( 1)
3 9 3
    =  x x x x C
3
1
4 4
1 1
9 3
    
 Đối với 
x
I dx
x x
2
1


 = 
d x x
x x
2 (1 )
3
1


 = x x C2
4
1
3
  
 Vậy:  I x x C
3
4
1
9
   
Bài 3: Tính tích phân 
x
I dx
x x
3
0
3
3 1 3


  
 
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
Hƣớng dẫn: 
 Đặt t x tdu dx1 2     
t t
I dt t dt dt
tt t
2 2 23
2
1 1 1
2 8 1
(2 6) 6
13 2

   
 
  
3
3 6ln
2
   
Bài 4: Tính tích phân 
x x
I dx
x
3 2
0
2 1
1
 


 
Hƣớng dẫn: Đặt x t x t21 1      dx tdt2 
  
t t t
I tdt t t dt t
t
2
2 22 2 2 5
4 2 3
11 1
2( 1) ( 1) 1 4 54
2 2 (2 3 ) 2
5 5
    
      
 
  
Bài 5: Tính tích phân 
x
I dx
x x
5 2
1
1
3 1



 
Hƣớng dẫn: Đặt 
tdt
t x dx
2
3 1
3
    
 
t
tdt
I
t
t
2
2
4
2
2
1
1
3 2
.
31
.
3
 
 
 
 

 
t
t t
t
3
4 4
2 1 1 100 9
ln ln .
9 3 1 27 5
2 2
  
     
 
Bài 5: Tính tích phân 
x
I dx
x x
5 2
1
1
3 1



 
Hƣớng dẫn: Đặt 
tdt
t x dx
2
3 1
3
    
 
t
tdt
I
t
t
2
2
4
2
2
1
1
3 2
.
31
.
3
 
 
 
 

 
t
t t
t
3
4 4
2 1 1 100 9
ln ln .
9 3 1 27 5
2 2
  
     
 
Bài 6: Tính tích phân I x x x dx
1
3 2
0
( 1) 2   
Hƣớng dẫn: I x x x dx x x x x x dx
1 1
3 2 2 2
0 0
( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)         . Đặt t x x
2
2  
 I
2
15
  . 
Bài 7: Tính tích phân 
x x x
I dx
x x
2 3 2
2
0
2 3
1
 

 
 
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
Hƣớng dẫn: 
Ta có 
x x x x
I dx dx
xx x
1 12 2
2 2
1 1
1 1 1 1
2(1 ) (1 ) 
     
 
  
  
x
dx dx
x x
1 1 2
1 1
1 1 1
1
2 2
 
  
   
 
  
 + I dx x x
x
1
1
1 1
1
1 1 1
1 ln | 1
2 2


 
        
 
 
 + 
x
I dx
x
1 2
2
1
1
2


  . Đặt t x t x tdt xdx
2 2 2
1 1 2 2        I2= 
t dt
t
2 2
2
2
0
2( 1)


 
 Vậy: I 1 . 
Bài 8: Tính tích phân 
x
I dx
x
2 2
1
4 
  
Hƣớng dẫn: Ta có Ta có: 
x
I xdx
x
2 2
2
1
4 
  . Đặt t = x t x tdt xdx
2 2 2
4 4       
  I = 
t tdt t t
dt dt t
tt t t
0
0 0 02
2 2 2
33 3 3
( ) 4 2
(1 ) ln
24 4 4
  
     
    
   = 
2 3
3 ln
2 3
 
  
  
. 
Bài 9: Tính tích phân 
x
I dx
x x
3 2
2 2
0
(1 1 ) (2 1 )

   
 
Hƣớng dẫn: Đặt x t2 1    I t dt
t t
4
2
3
42 36 4
2 16 12 42ln
3
 
       
 
 
Bài 10: Tính tích phân 
dx
I
x x
1
33 3
0 (1 ). 1

 
 
Hƣớng dẫn: Đặt t x
3 3
1   
t dt
I dt
t t t t
3 3
2 22
2 2
1 14 3 2 33 3.( 1) .( 1)
 
 
  
dt dt t
dt
t
tt t
tt
3 3 3
2
3
2 2 2 3
2 2 4
1 1 1
3 3
42 3
33
1
1
11
1. 1

 
 
   
    
    
   
   
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
 Đặt 
dt
u du
t t
3 4
1 3
1     
u u
I du u du u
1
11 12 1 2
2 1 22 23 3
3 3
3
0 0
0
0
1 1 1
13 3 3 2
3


 
 
     
  
 
  
Bài 11: Tính tích phân 
x
I dx
x x
x
2 2 4
2
3
1
1

 
  
 
 
Hƣớng dẫn: Đặt t x2 1  
  
t
I dt
t
3 2 2
2
2
( 1)
2



 = 
t t
dt t dt dt
t t
3 3 34 2
2
2 2
2 2 2
2 1 1 19 2 4 2
ln
3 4 4 22 2
   
     
    
   
 Bài 12: Tính tích phân 
x
I dx
x x
27
3 2
1
2


 
Hƣớng dẫn: 
Đặt t x6  
t t
I dt dt
tt t t t
3 33
2 2 2
1 1
2 2 2 1
5 5 1
( 1) 1 1
 
     
   
 
2 5
5 3 1 ln
3 12
 
    
 
Bài 13: Tính tích phân I x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4

   
Hƣớng dẫn: I = x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4

  = x x dx
2
5 2
2
4

 + x x dx
2
2 2
2
4

 = A + B. 
 + Tính A = x x dx
2
5 2
2
4

 . Đặt t x  . Tính được: A = 0. 
 + Tính B = x x dx
2
2 2
2
4

 . Đặt x t2sin . Tính được: B = 2 . 
 Vậy: I 2 . 
Bài 14: Tính tích phân 
 x dx
I
x
2 2
4
1
3 4
2
 
  
Hƣớng dẫn: 
x
I dx dx
x x
2 2 2
4 4
1 1
3 4
2 2

   . 
 + Tính I
1
= dx
x
2
4
1
3
2
 = x dx
2
4
1
3 7
2 16
  . 
 + Tính 
x
I dx
x
2 2
2 4
1
4
2

  . Đặt x t dx tdt2sin 2cos   . 
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
  
tdt
I t dt t d t
t t
22 2 2
2 2
2 4 2
6 6 6
1 cos 1 1 1 3
cot cot . (cot )
8 8 8 8sin sin
  
  
 
     
 
   
 Vậy:  I 1 7 2 3
16
  
Bài 15: Tính tích phân I x dx
3
2
2
1  
Hƣớng dẫn: Đặt 
x
du dx
u x
x
dv dx
v x
2
2
1
1

        
x
I x x x dx x dx
x x
3 3
2 2
2 2
2 2
3 1
1 . 5 2 1
2 1 1
 
        
   
  
dx
x dx
x
3 3
2
2
2 2
5 2 1
1
   

  I x x
2 3
2
5 2 ln 1     
   I 5 2 1ln 2 1 ln2
2 4
    
Dạng 3: Tích phân hàm lƣợng giác 
Bài 1: Tính nguyên hàm 
x x
I dx
x x
2
8cos sin2 3
sin cos
 


 
Hƣớng dẫn: 
 
x x x
I dx x x x x dx
x x
2
(sin cos ) 4cos2
sin cos 4(sin cos
sin cos
 
      
  x x C3cos 5sin   . 
Bài 2: Tính nguyên hàm 
x x x
I dx
x
cot tan 2tan2
sin 4
 
  
Hƣớng dẫn: 
x x x x
I dx dx dx C
x x xx
2
2cot 2 2tan2 2cot 4 cos4 1
2
sin4 sin4 2sin4sin 4

        
Bài 3: Tính nguyên hàm 
x
I dx
x x
2
cos
8
sin2 cos2 2
 
 
 
 
 
Hƣớng dẫn: 
x
I dx
x
1 cos 2
1 4
2 2
1 sin 2
4


 
  
 
 
  
 
 
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
x
dx
dx
x
x x
2
cos 2
1 4
2 2
1 sin 2
sin cos
4
8 8

  
 
                               
  
x
dx
dx
x x
2
cos 2
1 14
2 32 2
1 sin 2 sin
4 8

 
  
   
   
    
           
  
 x x C
1 3
ln 1 sin 2 cot
4 84 2
     
             
Bài 4: Tính tích phân 
dx
I
x x
3
2 3 sin cos



 
 
Hƣớng dẫn: 
dx
I
x
3
1
2
1 cos
3

 

 
  
 
 = 
dx
I
x2
3
1
4
2sin
2 6

 

 
 
 
 = 
1
4 3
. 
Bài 5: Tính tích phân I dx
x
6
0
1
2sin 3



 
Hƣớng dẫn: I dx dx
x x
6 6
0 0
1
1 1 2
2
sin sin sin sin
3 3
 
 
 
 
  
x x
dx dx
x x
x
6 6
0 0
cos
cos
2 6 2 6
3
sin sin 2cos .sin
3 2 6 2 6
   
  
    
      
     
   
     
   
  
x x
dx dx
x x
6 6
0 0
cos sin
2 6 2 61 1
2 2
sin cos
2 6 2 6
  
 
   
    
    
   
    
   
 
x x
6 6
0 0
ln sin ln cos .....
2 6 2 6
 
    
       
   
Bài 6: Tính tích phân I x x x dx
2
4 4
0
cos2 (sin cos )

  
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
Hƣớng dẫn: I x x dx x d x
2 2
2 2
0 0
1 1 1
cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 0
2 2 2
 
   
       
   
  
Bài 7: Tính tích phân 
x
I dx
x
3
2
0
4sin
1 cos



 
Hƣớng dẫn: 
Ta có 
x x x
x x x x x
x x
3 3
2
4sin 4sin (1 cos )
4sin 4sin cos 4sin 2sin2
1 cos sin

    

 I x x dx2
0
(4sin 2sin2 ) 2

    
Bài 8: Tính tích phân I xdx
2
0
1 sin

  
Hƣớng dẫn: 
x x x x
I dx dx
22 2
0 0
sin cos sin cos
2 2 2 2
  
    
 
 
x
dx
2
0
2 sin
2 4
  
  
 
 
x x
dx dx
3
22
30
2
2 sin sin
2 4 2 4



 
 
    
       
    
  
  4 2 
Bài 9: Tính nguyên hàm 
xdx
I
x x
sin2
3 4sin cos2

 
 
Hƣớng dẫn: Ta có: 
x x
I dx
x x
2
2sin cos
2sin 4sin 2

 
 . Đặt t xsin  
I x C
x
1
ln sin 1
sin 1
   

Bài 10: Tính nguyên hàm 
dx
I
x x
3 5
sin .cos
  
Hƣớng dẫn:   xx
dx
xxx
dx
I
23233 cos.2sin
8
cos.cos.sin
Đặt t xtan . I t t t dt x x x C
t x
3 3 4 2
2
3 1 3 1
3 tan tan 3ln tan
4 2 2tan
          
 
 
Bài 11: Tính nguyên hàm 
x x
I xdx
x
2011 2011 2009
5
sin sin
cot
sin

  
Hƣớng dẫn: 
Ta có: 
xx
I xdx xdx
x x
2011
2011 22
4 4
1
1
cotsin
cot cot
sin sin


   
Tài liệu ôn tập giải tích 12 học kỳ II 
Trần Thông sưu tầm và biên soạn Facebook: Hội Toán Bắc Nam 
Đặt t xcot  I t tdt t t C
2 4024 8046
22011 2011 2011
2011 2011
t (1 )
4024 8046
     
= x x C
4024 8046
2011 2011
2011 2011
cot cot
4024 8046
  
Bài 12: Tính tích phân I x x dx
2
2
sin (2 1 cos2 )


   
Hƣớng dẫn: 
Ta có: I xdx x xdx H K2 2
2 2
2sin sin 1 cos2
 
 
      
 + H xdx x dx
2
2 2
2sin (1 cos2 )
2 2
 
 
 
       
 + K x x x xdx
2 2 2
2 2
sin