Tài liệu môn Toán - Bất đẳng thức cauchy

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
A) LÝ THUYẾT
I) Định lí: Cho . Khi đó . 
Dấu bằng xảy ra .
II) Hệ quả
1. Hệ quả 1: Cho và . Khi đó khi 
2. Hệ quả 2: Cho và . Khi đó khi .
B) ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
I) Dùng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ nhất
1. Nhận xét chung: Để áp dụng bất đẳng Cauchy tìm giá trị nhỏ nhất của ta làm như sau: 
Biến thỏa mãn có nghiệm.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Const.
Xét dấu bằng và kết luận.
2. Một số dạng bài thường gặp
Dạng 1: với là hằng số dương; A và B là các biểu thức đại số nhận giá trị dương.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Phương pháp chung: 
Sử dụng xuất hiện các cơ số có trong .
Sử dụng với là số mũ của thừa số trong .
Ví dụ 1. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải
Ta có: .
Theo giả thiết: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
.
Dấu . Kết luận: khi .
 Dạng 2: Cho là tổng đối xứng của các biến dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Phương pháp chung: Đặt 
. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
. Dấu bằng xảy ra . Kết luận.
Ví dụ 2. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải
Đặt 
Kết luận: 
Dạng 3: Cho là tổng đối xứng của các biến dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Phương pháp chung: 
Biến đổi tổng, chọn 
Đánh giá 
Tìm (Dạng 2)
Ví dụ 3. Cho .
Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Dự đoán: 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta được:
 Kết luận: đều
Dạng 4: Cho với là hằng số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Ví dụ 4. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải
Kết luận: 
Dạng 5: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
( là hằng số dương)
Phương pháp chung: 
Chọn sao cho:
Đánh giá Cauchy , xét dấu bằng và kết luận.
Ví dụ 5. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Phân tích: . Chọn 
Lời giải
Kết luận: .
Dạng 6: Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Phương pháp chung:
Dự đoán 
Dùng Cauchy hạ bậc . Khai căn 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương: 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức ta được: .
Dấu bằng xảy ra Kết luận
Ví dụ 6. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải
Kết luận: 
Ví dụ 7. Cho . Chứng minh rằng: .
Lời giải
Ta có: 
Dạng 7: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . ( là các tổng đối xứng của ), 
Phương pháp chung: 
Chọn 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số
Cộng vế với vế . Xét dấu bằng, kết luận.
Ví dụ 8. Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
 Phân tích: Chọn 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:
. Cộng vế với vế các bất đẳng thức ta được:
Kết luận: .
II. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị lớn nhất
1. Nhận xét chung: Để sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Tìm giá trị lớn nhất của 
Biến đổi tích: Lũy thừa hai vế của tích với số mũ hợp lí hoặc nhân hai vế của tích với 1 số dương hợp lí
Tích mới thỏa mãn:   có nghiệm
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Xét dấu bằng và kết luận.
2. Một số dạng bài thường gặp
Dạng 1: Cho và Tìm giá trị lớn nhất của với là các tổng đối xứng của các biến.
Phương pháp chung:
. Cộng vế với vế 
Dấu bằng xảy ra . Kết luận
Ví dụ 9. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của .
Phân tích: 
Lời giải
; 
. Kết luận: .
Dạng 2: Cho là các biểu thức nhận giá trị dương. Tìm giá trị lớn nhất của 
Ví dụ 10. Cho . Tìm giá trị lớn nhất của .
Lời giải
Ta có: .
Dấu bằng xảy ra 
Kết luận: khi 
Ví dụ 11. Cho thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của .
Phân tích: 
Lời giải
Dấu bằng xảy ra 
. Dấu bằng xảy ra .
Kết luận: khi .