Tài liệu học tập Toán 12 - Ứng dụng tích phân

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 1 | THBTN 
Hướng dẫn giải: 
Không mất tính tổng quát ta xem tâm của đường tròn là tâm O của gốc tọa độ, khi đó ta có 
phương trình là 2 2 81x y  , khi đó thể tích của bình là hình tròn xoay bị giới hạn bởi 
đường tròn 2 2 81x y  và, 8 80; ;xy x  . 
Vậy thể tích là    8 822 2
8 8
2864
81 81
3
V x dx x dx  
 
      
Hướng dẫn giải: 
Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình tròn bằng nhau và chiều 
cao bình là 16cm . Đường cong của bình là một cung tròn của đường tròn bán kính là 9 . 
Bài 1 
Một Chi đoàn thanh niên đi dự trại ở một đơn vị bạn, họ dự định dựng một lều trại có 
dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại được căng thẳng từ trước ra sau, mặt sau trại 
cũng là parabol có kích thước giống như mặt trước) với kích thước: nền trại là một hình 
chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 
mét. Hãy tính thể tích phần không gian phía trong trại để cử số lượng người tham dự trại 
cho phù hợp. 
Bài 2 
PHẦN 8: CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 
CHỦ ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
2 | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BÓNG MÌNH TRONG GƯƠNG 
Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có 3AB 
mét, 6BC 
mét, đỉnh của parabol 
là I . Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB , 
 3 3;0 , ; 0 , 0;3
2 2
A B I
              
, phương trình của parabol có dạng:  2 0y ax b a   , Do 
, ,I A B
thuộc  P nên ta có: 2
4
3
3
y x   . Vậy thể tích phần không gian phía trong trại 
là:  
3
2
2 3
0
4
6.2 3 36
3
V x dx m
         
Hướng dẫn giải: 
Giả sử ABCDEF là hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm, ta tính diện tích một cánh hoa: 
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của cạnh AB ,      1;0 , 1; 0 , 0; 3A B I 
và đỉnh I của parabol. Phương trình của parabol có dạng:  2 0y ax b a   , Do , ,I A B
thuộc  P nên ta có: 23 3y x  . Do đó: diện tích mỗi cánh hoa là: 
   
1
2 2
1
1
3 3 4S x dx dm

    
Vậy: Diện tích của hình là:  2 22 36 4 6 3 24 34, 39
4
S dm
         
Hướng dẫn giải: 
Hình tròn  C có tâm  0;2I , bán kính 1R  là  
22 2 1x y   
3
42xy
Để trang trí cho một phòng trong một tòa nhà, người ta vẽ lên tường một hình như 
sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm một cánh hoa hình 
parabol, đỉnh của parabol cách cạnh 3 dm và nằm phía ngoài hình lục giác, hai đầu 
mút của cạnh cũng là hai điểm giới hạn của đường parabol đó. Hãy tính diện tích 
của hình nói trên (kể cả hình lục giác đều) để mua sơn trang trí cho phù hợp. 
Bài 3 
Tính thể tích hình xuyến tạo thành do quay hình tròn (C): x2 + (y–2)2 1 quanh trục 
Ox. 

Bài 4 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 3 | THBTN 
Ta có:    
2
2 2
2
2 1
1 1 1 1
2 1
y x
y x x
y x
             
Thể tích cần tính: 
   1 2 22 2 2
1
2 1 2 1 4V x x dx 

          
 
Hướng dẫn giải: 
Ta có vận tốc của chuyển động tại t (giây): 
   
,
4
2 33 2 3 4 140 /
2 2
t
v t t t t v m s
          
Chọn đáp án A. 
Hướng dẫn giải: 
Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là : 
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình  4 21 3
2
S t t  , t được tính bằng 
giây, s được tính bằng mét. Tìm vận tốc của chuyển động tại 4t  (giây). 
A. 140m/sv  . B. 150m/sv  . C. 200m/sv  . D. 0m/sv  . 
THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ 
Bài 5 
Bạn Minh ngồi trên máy bay đi du lịch thế giới với vận tốc chuyển động của máy báy là 
2( ) 3 5( / )v t t m s  .Quãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là : 
A. 36m . B. 252m . C. 1  134m D.966m . 
THPT SỐ 3 TUY PHƯỚC 
Bài 6 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
4 | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BÓNG MÌNH TRONG GƯƠNG 
  
10
2
4
3 5 966S t dt m   
 Chọn đáp án D. 
Hướng dẫn giải: 
Gọi 
0
t là thời điểm vật dừng lại. Ta có  0 0.v t  Suy ra 0 16.t  
Vậy    
16
0
160 10 d 1280 .S t t m   
Chọn đáp án A. 
Hướng dẫn giải: 
 Quãng đường tại thời gian t :     333 2 2
2
S t t dt t t c     
 Mà     232 10 0 2
2
S c S t t t      
 Tại thời điểm  30 : 30 1410t s S  
 Chọn đáp án A. 
Một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc ( ) 160 10 ( / )v t t m s  . Quãng 
đường mà vật chuyển động từ thời điểm 0( )t s đến thời điểm mà vật dừng lại là: 
A. 1028 m. B. 1280 m. C. 1308 m. D. 1380 m. 
Bài 7 
Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức 
( ) 3 2,v t t  thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị 
m. Biết tại thời điểm 2t s thì vật đi được quãng đường là 10 .m Hỏi tại thời điểm 
30t s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu? 
A. 1410 .m B. 1140 .m C. 300 .m D. 240 .m 
CHUYÊN HẠ LONG 
Bài 8 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 5 | THBTN 
Hướng dẫn giải: 
Cường độ dòng điện tại thời điểm t là 0 sini i wt 
6
0
1 0 0 1
0
sin 2
2
T
i
Q i wtdt i Q w
w
    với 2T w
 
Chọn đáp án B. 
Hướng dẫn giải: 
Gọi  s s t là quãng thời đường đi được của vật cho đến thời điểm .t Quãng đường vật 
đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t a đến thời điểm t b là 
   .L s b s a  Mặt khác, ta đã biết    ' ,s t f t do đó  s s t là một nguyên hàm 
của .f Thành thử, tồn tại một hằng số C sao cho     .s t F t C  Vậy 
           .L s b s a F b C F a C F b F a                 
Dòng điện xoay chiều chạy trong dây dẫn có tần số góc  . Điện lượng chuyển qua tiết 
diện thẳng của dây dẫn trong 
1
6
 chu kì dòng điện kể từ lúc dòng điện bằng không là 
1
Q . 
Cường độ dòng điện cực đại là: 
A. 
1
6Q  . B. 
1
2Q  . C. 
1
Q  . D. 
1
1
2
Q  . 
THPT LẠC HỒNG 
Bài 9 
Giả sử một vât chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian,     0v f t t T   . 
Chứng minh rằng quãng đường L vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t a 
đến thời điểm   0t b a b T    là:    L F b F a  , trong đó F là một nguyên 
hàm bất kì của f trên khoảng  0; .T 
(SGK 12 NC) 
Bài 10 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
6 | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BÓNG MÌNH TRONG GƯƠNG 
Hướng dẫn giải: 
Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được đạp phanh. Gọi T là thời điểm ô tô dừng. Ta có 
  0v T  suy ra 20 40 0,5T T   . Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến 
khi dừng hẳn của ô tô là 0,5 giây. Trong khoảng thời gian 0,5 giây đó, ô tô di chuyển được 
quãng đường là      
0,5
0,5
2
0
0
20 40 d 20 20 5 .L t t t t m     
Hướng dẫn giải: 
Quãng đường  
3
4
0
3
1 2 sin 2 d 1.
4
S t t

    
Hướng dẫn giải: 
Một ô tô đang chạy với vận tốc  20 /m s thì người người đạp phanh (còn gọi là 
“thắng”). Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc 
   40 20 / ,v t t m s   trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc 
bằng đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển 
bao nhiêu mét? 
 (SGK 12 NC) 
Bài 11 
Một vật chuyển động với vận tốc    1 2 sin 2 /v t t m s  . Tính quãng đường vật 
di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm  0 t s đến thời điểm  3 .
4
t s
 
 (SGK 12 NC) 
Bài 12 
Một vật đang chuyển động với vận tốc  10 /m s thì tăng tốc với gia tốc 
   2 23 / .a t t t m s  Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 
giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. 
 (SGK 12 NC) 
Bài 13 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 7 | THBTN 
Gọi  v t là vận tốc của vật. Ta có     2' 3v t a t t t   . Suy ra  
2 33
2 3
t t
v t C   . 
Vì  0 10v  nên suy ra 10.C  Vậy  
2 33
10.
2 3
t t
v t    
Thành thử quãng đường vật đi được là  
10 2 3
0
3 4300
10 d .
2 3 3
t t
S t m
         
Hướng dẫn giải: 
a) Gọi  v t là vận tốc của viên đạn. Ta có    ' 9, 8.v t a t  
Suy ra   9, 8 9,8 .v t dt t C     Vì  0 25v  nên 25.C  Vậy 
  9,8 25.v t t   
b) Gọi T là thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn nhất. Tại đó viên đạn có vận tốc bằng 0 . 
Vậy   0v T  . Suy ra 25 2,55
9, 8
T   (giây). 
Vậy quãng đường viên đạn đi được cho đến khi rơi xuống đất là  2 31,89 .S m 
Hướng dẫn giải: 
Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 
 25 / .m s Gia tốc trọng trường là  29, 8 / .m s 
a) Sau bao lâu thì viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất? 
b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm 
đất (tính chính xác đến hàng phần trăm). 
 (SGK 12 NC) 
Bài 14 
Giả sử một vật từ trạng nghỉ khi  0 t s chuyển động thẳng với vận tốc 
     5 / .v t t t m s  Tìm quảng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại. 
 (SGK 12 NC) 
Bài 15 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
8 | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BÓNG MÌNH TRONG GƯƠNG 
Vật dừng lại tại thời điểm 5.t  Quãng đường vật đi được là 
   
5
0
125
5 d .
6
S t t t m  
Hướng dẫn giải: 
Thời điểm A và B gặp nhau là 20 giây 
kể từ lúc A xuất phát. 
Đồ thị vận tốc của A là đường gấp khúc 
.OMN Quãng đường A đã đi được là 
diện tích hình thang .OMNQ 
Diện tích của nó là   620 12 96
2
  , do 
đó lúc gặp B , A đi được  96 .m Đồ thị 
vận tốc của B là đường thẳng .HP 
Vì B xuất phát cùng vị trí với A nên 
quãng đường B đi được là  96 .m 
Mặt khác, quãng đường B đã đi được bằng diện tích hình tam giác HPQ với 8HQ  và 
PQ chính là vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp .A Suy ra 
8
96 4
2
PQ
PQ  nên 
24.PQ  Vậy vận tốc của B tại thời điểm nó đuổi kịp A là  24 / .m s 
Một chất điểm A xuất phát từ vị trí ,O chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây 
sau nó đạt đến vận tốc  6 / .m s Từ thời điểm đó nó chuyển động thẳng đều. Một 
chất điểm B xuất phát từ cùng vị trí O nhưng chậm hơn 12 giây so với A và 
chuyển động thẳng nhanh dần đều. Biết rằng B đuổi kịp A sau 8 giây (kể từ lúc B 
xuất phát). Tìm vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp .A 
 (SGK 12 NC) 
Bài 16 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 9 | THBTN 
Hướng dẫn giải: 
Ta có:    4000 8000 ln 1 0,5 250000
1 0,5
N t dt t
t
    . 
  10 8000 ln 6 250 000 264334.N    
Kết quả: 264334. 
Hướng dẫn giải: 
Ta có:    3 3 ln 1
1
v t dt t c
t
    mà 
     0 6 6 3 ln 1 6v c v t t       
   10 3 ln11 6 13 / .v m s   
Kết quả:  13 / .m s 
Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là  .N t Biết rằng   4000'
1 0,5
N t
t
  và 
lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao 
nhiêu? 
 SGK BT 12 NC 
Bài 17 
Một vật chuyển động với vận tốc     /v t m s có gia tốc    23' / .
1
v t m s
t
  Vận 
tốc ban đầu của vật là 6   /m s . Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả 
đến hàng đơn vị). 
SGK BT 12 NC 
Bài 18 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
10 | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BÓNG MÌNH TRONG GƯƠNG 
Hướng dẫn giải: 
Quãng đường 
 1,5
2
0
sin1 3 1
0,34.
2 4
t
S dt

   
         
 
Hướng dẫn giải: 
Quãng đường 
4 2
0
4
1,2 0, 8 13 ln 3 13 ln 7 11, 81.
3
t
S dt
t
         
 
Hướng dẫn giải: 
Lợi nhuận hàng tháng của nhà sản xuất là 
      2120 120 40 160 4800f x x x x x x        
Chọn đáp án D. 
Vận tốc của một vật chuyển động là      sin1 / .
2
t
v t m s

   Tính quãng 
đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn kết quả đến 
hàng phần trăm). 
SGK BT 12 NC 
Bài 19 
Vận tốc của một vật chuyển động là    
2 4
1,2 / .
3
t
v t m s
t
   Tính quãng đường 
di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 4 giây (làm tròn kết quả đến hàng 
phần trăm). 
 SGK BT 12 NC 
Bài 20 
Một nhà sản xuất máy ghi âm với chi phí là 40 đôla/cái. Ông ước tính rằng nếu 
máy ghi âm bán được với giá x đôla/cái thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua 
 120 x cái. Biểu diễn lợi nhuận hàng tháng của nhà sản xuất bằng một hàm theo 
giá bán (gọi hàm lợi nhuận là f(x) và giá bán là x), khi đó hàm cần tìm là 
A.   2 120f x x x   . B.   2 120 40f x x x    . 
C.   2 120 40f x x x   . D.   2 160 4800f x x x    . 
Bài 21 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 11 | THBTN 
Hướng dẫn giải: 
Vận tốc tại thời điểm t giây là      2' 3 6 4v t s t t t    
Gia tốc tại thời điểm t giây là      ' 6 6a t v t t   
Suy ra gia tốc tại thời điểm 2t s giây là  2 6a  
Chọn đáp án B. 
Hướng dẫn giải: 
Ta có    2 2 ln 1
1
v t dt t c
t
    
Mà vận tốc ban đầu 5m/s tức là:    0 5 2 ln 0 1 5 5v c c       . 
Nên    2 ln 1 5v t t   . 
Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là:    10 2 ln 11 5 9.8v    
Chọn đáp án A. 
Một người chạy xe máy chuyển động thẳng theo phương trình , 
trong đó t tính bằng giây  s , S tính bằng mét  m . Gia tốc của xe máy lúc 2t s 
bằng? 
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 
  3 23 4S t t t t  
2/m s 2/m s 2/m s 2/m s
Bài 22 
Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu 5 /m s và có gia tốc được xác định bởi 
công thức 22 ( / )
1
a m s
t
  . Vận tốc của vật sau 10s đầu tiên là ( làm tròn kết quả 
đến hàng đơn vị) 
A. 10 /m s B. 9 /m s C. 11 /m s D. 12 /m s 
Bài 23 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
12 | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BÓNG MÌNH TRONG GƯƠNG 
Hướng dẫn giải: 
Đặt hệ trục với tâm O , là tâm của mặt cầu; đường thẳng đứng là Ox , đường ngang là Oy ; 
đường tròn lớn có phương trình 2 2 25x y  . 
 Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox, đường cong 225 , 3, 3y x x x     quay 
quanh Ox là:  
3
2
3
25 132V x dx 

   
Chọn đáp án A. 
Hướng dẫn giải: 
Ta có     10
1 2
v t a t dt C
t
   . 
Một khối cầu có bán kính 5dm , người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng 
vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà 
chiếc lu chứa được. 
A. 132 (dm3) B. 41 (dm3) 
C. 
100
3
 (dm3) D. 43 (dm
3) 
5dm
3dm
3dm
Bài 24 
Một vật di chuyển với gia tốc      2 220 1 2 /a t t m s   . Khi 0t  thì vận tốc của 
vật là 30 /m s . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả 
đến chữ số hàng đơn vị). 
A. 106S m . B. 107S m . C. 108S m . D. 109S m . 
Bài 25 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 13 | THBTN 
Theo đề ta có  0 30 20v C   
Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là: 
2
0
10
20 5 ln 5 100 108
2 1
S dt m
t
           . 
Chọn đáp án C. 
Hướng dẫn giải: 
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ .Khi đó hình nêm 
có đáy 
là nửa hình tròn có phương trình : 
2225 , 15;15y x x        
Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại 
điểm có hoành độ , 15;15x x      
cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là  S x
(xem hình). 
Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt 
phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 045 để lấy một hình 
nêm (xem hình minh họa dưới đây) 
 Hình 1 Hình 2 
Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (hình 2).Tính V . 
A. 
32250V cm B. 32250
4
V cm C. 31250V cm D. 31350V cm 
Bài 26 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
14 | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BÓNG MÌNH TRONG GƯƠNG 
Dễ thấy 0 2, tan 45 15NP y MN NP y x     
Khi đó    21 1. 225
2 2
S x MN NP x   
Suy ra thể tích hình nêm là :  
15
3
15
2250V S x dx cm

  
Chọn đáp án A. 
Hướng dẫn giải: 
Khoảng thời gian để tốc độ sinh lợi nhuận để dự án hai bằng một nửa dự án lần một khi: 
    2 21 2 5 5 152 50 400 10 10 350 0 5 5 15
t
P t P t t t t t
t
              
5 5 15t   năm. 
Lợi nhuận vượt trong khoảng thời gian 0 5 5 15t   sẽ xác định bằng tích phân sau: 
       
 
5 5 15
0
5 5 15 5 5 15
2
2 1
0 0
5 5 15
2
0
2 3
400 10 50
350 10
1
350 5 6674.6
3
L P t P t dt t t dt
t t dt
t t t

 

            
  
        
 

Chọn đáp án A. 
      21 1. . 225
2 2
S x MN NP x
Tập đoàn dầu khí Việt Nam PVC dự định đầu tư một khu sản xuất, chế biến dầu 
thô tại TP.Quảng Ngãi. Giả sử sau t năm đầu tư, dự án đầu tư lần một sẽ phát sinh 
lợi nhuận với tốc độ   21 50P t t  trăm đôla/năm, tiếp sau đó dự án lần hai sẽ 
phát sinh lợi nhuận với tốc độ  2 200 5P t t  trăm đôla/năm. Biết sau thời gian t 
năm thì tốc độ lợi nhuận của dự án hai bằng một nửa với tốc độ lợi nhuận với dự 
án một. Tính lợi nhuận vượt thực tế cho khoảng thời gian trên 
A. 6676,4đô B. 6576,4đô C. 5676,4đô D. 6679,4đô 
Bài 27 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 15 | THBTN 
Hướng dẫn giải: 
Trước hết để giải bài toán này ta cũng chú ý. Biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia 
tốc a là: .v a dt  
Áp dụng công thức trên, ta có: 
 2
20
1 2
v adt dt
t
 

  
Đến đây ta đặt: 
2
2
1 2 2 .
2
10 10 10
10 .
1 2
du
u t du dt dt
v du u du K K
u tu

     
       
Với 0, 30 20.t v K    
Vậy biểu thức vận tốc theo thời gian là: 2
10
20 / .
1 2
v cm s
t
       
Chọn đáp án D. 
Nhận xét: dựa trên nội dung công thức trên ta có thể tính toán, trả lời các câu hỏi trong 
Vật Lí ứng dụng và trong đời sống. Ta theo dõi các ví dụ tiếp theo. 
Trong giờ thực hành môn Vật Lí. Một nhóm sinh viên đã nghiên cứu về sự chuyển 
động của các hạt. Trong quá trình thực hành thì nhóm sinh viên này đã phát hiện 
một hạt prôton di chuyển trong điện trường với biểu thức gia tốc (theo 2/cm s ) là: 
  220 1 2 .a t   Với t của ta được tính bằng giây. Nhóm sinh viên đã tìm hàm 
vận tốc v theo t , biết rằng khi 0t  thì 230 / .v m s Hỏi biểu thức đúng là? 
A. 210 25 /
1 2
v cm s
t
       
 B. 210 20 /
1
v cm s
t
       
C. 210 10 /
1 2
v cm s
t
       
 D. 210 20 /
1 2
v cm s
t
       
Bài 28 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 
16 | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BÓNG MÌNH TRONG GƯƠNG 
Hướng dẫn giải: 
Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc  29,8 /a m s . 
Ta có biểu thức vận tốc v theo thời gian t có gia tốc a là: 
9, 8 9,8 .v adt dt t C       
Ở đây, với: 0, 15 / 15t v m s C    
Vậy ta được biểu thức vận tốc có dạng: 9, 8 15.v t  
Đến đây, ta nghĩ đến việc nếu lấy tích phân của vận tốc v lần nữa thì sẽ cho ta kết quả gì? 
Do đó, ta xét bài toán ứng dụng tiếp theo dưới đây. 
Chọn đáp án A. 
Hướng dẫn giải: 
Tia lửa chịu sự tác động của trọng lực hướng xuống nên ta có gia tốc  29,8 /a m s . 
Ta có biểu