Tài liệu dạy phụ đạo môn Toán khối 11

 . 
TÀI LIỆU DẠY PHỤ ĐẠO 
MƠN TỐN KHỐI 11 
NĂM HỌC 2016-2017 
Trang 1 
Chương 4.GIỚI HẠN 
 Chủ đề 1. GIỚI HẠN DÃY SỐ 
1) Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân: 

 Một hàm số u xác định trên tập số tự nhiên *N được gọi là dãy số vơ hạn ( gọi tắt là dãy số) nếu: u là 
ánh xạ từ *N vào R : ( )n u n→ ( ứng với mỗi *n N∈ thì cĩ một giá trị ( )u n R∈ ). 
Đặt ( ) nu n u= và gọi nĩ là số hạng tổng quát của dãy số ( )nu . 

 ( )
n
u là cấp số cộng khi và chỉ khi n nu u d+ = +1 với *n N∈ , d là hằng số. 

 ( )
n
u là cấp số nhân khi và chỉ khi n nu u .q+ =1 với *n N∈ , q là hằng số. 
2) Giới hạn hữu hạn. 
n
x
lim u
→+∞
= ⇔0
n|u | cĩ thể nhỏ hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. 
 Nếu n nu v≤ ,∀n và lim vn = 0 thì lim un = 0 
n n
x x
lim v a lim (v a)
→+∞ →+∞
= ⇔ − = 0 
3) Giới hạn ra vơ tận. 
n
x
lim u
→+∞
= +∞ ⇔ n|u | cĩ thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đĩ trở đi. 
n n
x x
lim u lim ( u )
→+∞ →+∞
= −∞ ⇔ − = +∞ 
4) Các giới hạn đặc biệt. 
→+∞
=
x
lim
n
1
0
→+∞
=
x
lim
n
1
0
n
lim C C(C const)
→+∞
= =
n
lim n
→+∞
= +∞
( )k
n
lim n k Z+
→+∞
= +∞ ∈
 Nếu |q|<1 thì n
n
lim q
→+∞
= 0 
 |q|>1 thì n
n
lim q
→+∞
= +∞ 
5) Định lý về giới hạn tiên tới vơ cùng. 
a/ Nếu n
x
lim u a,
→+∞
=
và n
x
lim v
→+∞
= ±∞ thì 
n
x
n
x
lim u
lim v
→+∞
→+∞
= 0 . 
b/ Nếu n
x
lim u a,
→+∞
> n
x
lim v
→+∞
= 0
và ( )*nv n N> ∈0 thì nx
n
x
lim u
lim v
→+∞
→+∞
= +∞
c/ Nếu n
x
lim u ,
→+∞
= +∞
và n
x
lim v a
→+∞
= > 0
thì ( )n n
x
lim u .v
→+∞
= +∞ 
6) Cấp số nhân lùi vơ hạn. 
Cấp số nhân ( )nu cĩ cơng bội thỏa |q|<1 gọi là cấp số nhân lùi vơ hạn. 
Cơng thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vơ hạn: n
u
S u u .... u
q
= + + + =
−
1
1 2
1
Trang 2 
BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Câu 1: Chứng minh các giới hạn sau: 
1) 
→+∞
+
=
−
2 1
lim 2
3n
n
n
 2) 
→+∞
+
=
+2
2 1
lim 0
4n
n
n n
 3) 
→+∞
+
=
+
2
2
sin
lim 0
2n
n n
n n
Câu 2: Tính các giới hạn sau: 
a) 
→+∞
− +
+ +
2
2
2 3
lim
3 2 1n
n n
n n
 b) 
→+∞
+
+ +3 2
2 1
lim
4 3n
n
n n
 c) 
→+∞
+ +
+
3 2
3
3 2
lim
4n
n n n
n
Câu 3: Tính các giới hạn sau: 
1) 
→+∞
+
−
n
4n 1
lim
2n 7
 2) 
→+∞
− +
− + −
2
2n
2n 2 n 8
lim
n 3 n 7
 3) 
→+∞
+ −
− +
3
2n
2n 5n 1
lim
2n n 3
Câu 4: Tính các giới hạn sau: 
a) 
→+∞
+
+
n
nn
3 4
lim
1 3.4
 b) 
→+∞
− +
+ −
n n n
n n nn
3 4 5
lim
3 4 5
 c) 
+ +
→+∞
+
+
n 1 n 1
n nn
2 3
lim
2 3
Câu 5: Tính các giới hạn sau: 
a) 
→+∞
− − − − +2 2
n
lim ( n 2n 1 n 7n 3)
 b) 
→+∞
+ −2
n
lim ( n n n)
c) 
→+∞
+ − +
+ + −
2
2n
4n 1 (2n 1)
lim
n 4n 1 n
 d) ( )lim 3 1 3 21
n
n n
→+∞
− − +
Câu 6: Tính các giới hạn sau: 
a) 
→+∞
+ −3 3
n
lim ( n 1 n) b) ( )→+∞ − +3 3nlim n n n c) →+∞ − ++ −
3 3
2n
2 n n
lim
n 1 n
Câu 7: Tính các giới hạn sau: 
1) 
2
1 2 ...lim
n
n
n→+∞
+ + +
 2) 
2
2 4 ... 2lim
3 2n
n n
n n→+∞
+ + +
+ −
3) 
2 2 2
3
1 2 ...lim
3 2n
n
n n→+∞
+ + +
+ +
 4) 
2
2
2 2 21 ...
3 3 3lim
1 1 11 ...
5 5 5
n
n
n→+∞
   + + + +   
   
   + + + +   
   
Câu 8: Tính các tổng sau: 
1) ( )2 11 11 ... ...3 3 3
n
n
−
− + − + + 2) 2
7 29 5 2
... ...
10 10 10
n n
n
+
+ + + +
Câu 9: Hãy biểu diễn các số thập phân vơ hạn sau đây dưới dạng phân số: 
1) 0,66666... 2) 0,353535.... 3) 1,5454... 4) 0, 241241....
Trang 3 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 10: Cho dãy số ( )nu với 12nu n= . Từ số hạng thứ bao nhiêu trở đi thì 
1
100n
u < ? 
A. Thứ 51. B. Thứ 49 . C. Thứ 48 . D. Thứ 50 . 
Câu 11: Cho dãy ( )nu với 12 1nu n= + . Từ số hạng thứ bao nhiêu trở đi thì 
1
1000n
u < ? 
A. Thứ 498 . B. Thứ 499 . C. Thứ 500 . D. Thứ 501. 
Câu 12: Cho dãy ( )nu với 12n nu = . Từ số hạng thứ bao nhiêu trở đi thì 10
1
2n
u < ? 
 A. Thứ 10 . B. Thứ 12 . C. Thứ 11. D. Thứ 10
1 1
2
+ . 
Câu 13: Cho dãy ( )nu với 2nnu = . Để 1012 2
n < thì phải kể từ số hạng thứ mấy trờ đi? 
A. Khơng cĩ số hạng nào thỏa mãn. B. Thứ 10
1
2 1+
. 
C. Thứ 10
1 1
2
+ . D. Thứ 102 1+ . 
Câu 14: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 
A. lim10 0n− ≠ . B. 4lim 0
3
n
 
= 
 
. 
C. 3 2lim lim 0
4 3
n n
   
= =   
   
. D. 3lim 0
2
n
 
= 
 
. 
Câu 15: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 1lim n
n
+
 bằng: 
A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. +∞ . 
Câu 16: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 1lim n
n
+
 bằng: 
A. 1 . B. 0 . C. 2 . D. +∞ . 
Câu 17: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 3 2lim
4
n n
n
+
 bằng: 
A. 0 . B. 5
4
. C. +∞ . D. 3
4
. 
Câu 18: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 
2
2
2 3lim n n
n
− + −
 bằng: 
A. 1 . B. −∞ . C. 1− . D. 0 . 
Câu 19: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 
1 2
3lim
3
n n
n
+
 bằng: 
A. 1
9
− . B. 2
3
. 
C. −∞ . D. Một kết quả khác. 
Trang 4 
Câu 20: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 
2
2
1 3lim
4
n
n
−
−
 bằng: 
A. 3− . B. 1
4
. C. 1
4
− . D.3 . 
Câu 21: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: ( )lim 1n n− + bằng: 
A. Khơng cĩ giới hạn khi n → +∞ . B. 1− . 
C. 0 . D. Một kết quả khác. 
Câu 22: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 
A. 
2
2
3lim 1
1
n n
n
−
=
+
. B. 
2
2
3lim 1
1
n n
n
−
= −
+
. 
C. 
2
2
3lim 3
1
n n
n
−
=
+
. D. Khơng cĩ giới hạn khi n → +∞ . 
Câu 23: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 
A. 
sin
lim n
n
pi
 khơng cĩ giới hạn khi n → +∞ . B. 
sin
lim 1n
n
pi
= . 
C. 
sin
lim 0n
n
pi
= . D. Cả ba kết quả trên đều sai. 
Câu 24: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 
A. 1 1 1lim
3 4 12n n
 
− = 
 
. B. 7 1lim sin
3
n
n
  
+ = +∞  
   
. 
C. 3lim 3 0
7
n
n
  
+ =  
   
. D. Cả ba kết quả trên đều sai. 
Câu 25: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 
A. 
21 4lim 1
1 2
n
n
+
= −
−
. B. 
21 4lim 1
1 2
n
n
+
=
−
. 
C. 
21 4lim 2
1 2
n
n
+
= −
−
. D.
21 4lim 2
1 2
n
n
+
=
−
. 
Câu 26: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 
A. 3 7lim n
n
−
= +∞ . B. 2lim 2
n
= . 
C. 
22lim 2
1
n
n
=
+
. D. 7 2lim
2 2
n
n
−
= . 
Câu 27: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 
A. 2limcos 0
n
pi
= . B. 2limcos 1
n
pi
= . 
C. 2limcos 1
n
pi
= − . D. 2limcos
n
pi
 khơng cĩ giới hạn khi n → +∞ . 
Trang 5 
Câu 28: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 
A. 2 2lim cosn
n
pi
= +∞ . B. 2
2
cos
lim n
n
pi
= +∞ . 
C. 2
2
cos 1lim
2 2
n
n
pi
=
+
. D. Cả ba kết quả trên đều sai. 
Câu 29: Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây 7 2lim
4 5
n
n
−
+
 bằng: 
A. 1
2
 . B. −∞ . 
C. Khơng cĩ giới hạn khi n → +∞ . D. 0 . 
Câu 30: Kết quả nào sau đây là đúng? 
A. Cấp số nhân lùi vơ hạn ( )nu cĩ cơng bội q thì tổng 1
uS
q
=
−
. 
B. Cấp số nhân lùi vơ hạn ( )nu cĩ 1 44; 3 u q= = thì 
4 1241
3
S = = −
−
. 
C. Cấp số nhân ( )nu lùi vơ hạn cĩ 1 15; 60 u S= = thì cơng bội 43q = . 
D. Cấp số nhân ( )nu lùi vơ hạn cĩ 1 54; 4 u q= − = − thì cĩ tổng mọi số hạng là 
4 16951
4
S −= = −
+
. 
Câu 31: Cho cấp số nhân ( )nu lùi vơ hạn cĩ 1 50; 100 u S= = . Năm số hạng đầu của cấp số này là kết 
quả nào sau đây? 
A. 50;25;12,5;6,5;3, 25 . B. 50;25,5;12,5;6, 25;3,125 . 
C. 50;25;12,5;6, 25;3,125 . A. 50;25;12, 25;6,125;3,0625 . 
Câu 32: Cho cấp số nhân ( )nu lùi vơ hạn, cĩ 1 1; u q x= − = với 1x < . Tìm tổng S và 3 số hạng đầu 
cảu cấp số này. Chọn kết quả đúng: 
A. 1
1
S
x
−
=
+
 và 21; ;x x− − . B. 1
1
S
x
−
=
−
 và 21; ;x x− . 
C. 1
1
S
x
−
=
−
 và 21; ;x x− − − . D. 1
1
S
x
=
+
 và 21; ;x x− − . 
Câu 33: Cho cấp số nhân ( )nu lùi vơ hạn, cĩ 21 ; u x q x= − = với 1x < . Tìm tổng S và 3 số hạng 
đầu cảu cấp số này. Chọn kết quả đúng: 
A. 21
xS
x
−
=
−
; 3 5; ;x x x− − . B. 21
xS
x
−
=
−
; 3 4; ;x x x− − − . 
C. 21
xS
x
−
=
+
; 3 5; ;x x x− − − . D. 21
xS
x
−
=
−
; 3 5; ;x x x− − − . 
Câu 34: Kết quả nào sau đây là đúng? 
A. 5 1lim 5
1 5
n
n
+
= −
−
. B. 5 1lim 1
1 5
n
n
+
= −
−
C. 2lim 2 2n+ = . D. 2lim 2 2n − = . 
Trang 6 
Chủ đề 2. 
GIỚI HẠN HÀM SỐ 
Khi tính giới hạn của một hàm số, ta cĩ thể gặp 1 trong 4 dạng vơ định sau (bài tốn khơng cho kết quả 
trực tiếp), đĩ là: 0; ; ;0.
0
∞
∞ − ∞ ∞
∞
Một số kỹ thuật khử các dạng vơ định 
1. Dạng vơ định ∞
∞
: L = ( )lim
( )x
P x
Q x→±∞
 với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. 
 – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. 
 – Nếu P(x), Q(x) cĩ chứa căn thì cĩ thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng 
liên hợp. 
2. Dạng vơ định ∞ – ∞ : Giới hạn này thường cĩ chứa căn 
 Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. 
BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Câu 35: Tính các giới hạn sau: 
1) ( )
→+∞
−
3lim 2 3
x
x x
 2 ) ( )
→−∞
−
3lim 2 3
x
x x
 3) 
→+∞
− +2lim 3 4
x
x x 
4) 
→−∞
− +2lim 3 4
x
x x 5) 
→+∞
 + + 
 
2lim 2 1
x
x x 6) 
→−∞
 + + 
 
2lim 2 1
x
x x 
Câu 36: Tính các giới hạn sau: 
1) 
→+∞
+ −
− +
3
3 2
3 4 2
lim
3 4x
x x
x x
 2) 
→−∞
+ −
− +
3
3 2
3 4 2
lim
3 4x
x x
x x
 3) ( )( )( )→+∞
−
− +
2
2
3 2 1
lim
5 1 2x
x x
x x x
3. Dạng vơ định 0
0
: 
 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. 
Câu 37: Tìm các giới hạn sau: 
1) 
3 2
21
1
lim
3 2x
x x x
x x→
− − +
− +
 2) 
4
3 21
1
lim
2x
x
x x x+→
−
− +
 3) 
→ −
+
+
5
31
1
lim
1x
x
x
Câu 38: Tính các giới hạn sau: 
1) 
→
+ − +
−
31
3 1 3
lim
1x
x x
x
 2) 
→
−
−9
3
lim
9x
x
x
 3) 
→
− −
−
2
21
2 1
lim
x
x x
x x
4. Dạng vơ định 0.∞ : 
 Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. 
 GIỚI HẠN MỘT BÊN 
Chú ý : ( ) ( ) ( )
0 0 0
lim lim lim
x x x x x x
f x L f x f x L
+ −→ → →
= ⇔ = =
Trang 7 
Câu 39: Tìm các giới hạn: 
1) 
1
2 9lim
1x
x
x=→
−
+
 2) 
1
2 9lim
1x
x
x+→
−
+
 3)
4
2 5lim
4x
x
x=→
−
−
4) 
4
2 5lim
4x
x
x+→
−
−
 5) 
2
3
1 2lim
3x
x
x+→
−
−
 6) 
2
4
16lim
4x
x
x+→
−
−
Câu 40: Tìm các giới hạn sau: 
1) 
2
15
lim
2x
x
x+→
−
−
 2) 
2
15
lim
2x
x
x−→
−
−
 3) 
2
3
1 3 2
lim
3x
x x
x+→
+ −
−
Câu 41: Tìm giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 

−
>

−= →
− <
−
2
3
4
2
2
8( ) 2
16
2
2
x x
khi x
xf x khi x
x
khi x
x
 c) 
 + −
>

−
= →
− + <

− +
2
2
x 3 2
 nếu x 1
x 1f(x) khi x 1
x 3x 1
 nếu x 1
4(3x 5x 2)
Câu 42: Tìm giới hạn của các hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
29
3( ) 33
1 3
x
khi xf x tại xx
x khi x

− <
= =
−

− ≥
 b) 
2
2
3 2
1
1( ) 1
1
2
x x
khi x
xf x tại x
x
khi x

− +
>
−= =

− ≤

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 43: Cho hàm số ( ) 1
1
xf x
x
+
=
−
. Chọn dãy số nào trong các dãy sau để cĩ ( )lim 1n
n
f x
→+∞
= − với 
0nx → . 
A. Dãy số ( ) 5;
4
n
n n
x x
 
=  
 
. B. Dãy số ( ) 1;
2
n
n n
x x
 
=  
 
. 
C. Dãy số ( ); 2nn nx x = . D. Dãy số ( );n nx x n= . 
Câu 44: Cho hàm số ( ) 2
1
xf x
x
−
=
+
. Chọn dãy số nào trong các dãy sau để cĩ ( )lim 1n
n
f x
→+∞
= − với 
1nx → . 
A. Dãy số ( ); 1n nx x = . B. Dãy số ( ) ( ); 1 mn nx x = − . 
C. Dãy số ( ) 1;n nx x
n
= . D. Dãy số ( ) 3;
2
m
n n
x x
 
=  
 
. 
Câu 45: Cho hàm số ( ) 5f x x= +
thì ( )
4
lim
x
f x
→
 bằng : 
A. 9 B. 3 
C. 4 D. 0 
Trang 8 
Câu 46: Cho hàm số ( ) 2f x x= − . thì ( )lim
x
f x
→−∞
 bằng : 
A. 0 B. −∞
C. +∞ D. 2 . 
Câu 47: Chọn kết quả đúng dưới đây? 
A.
1
1lim 1
1x
x
x→
+
=
−
. B.
1
1lim 0
1x
x
x→−
+
=
−
. C.
2
1lim 3
1x
x
x→
+
= −
−
. D.
2
1 1lim
1 3x
x
x→−
+ −
=
−
. 
Câu 48: Chọn kết quả đúng dưới đây? 
A.
1
2
lim 2 1 2
x
x
→−
− = − . B.
1
2
lim 2 1 0
x
x
→
− = . C. lim 2 1
x
x
→−∞
− = +∞ . D. lim 2 1
x
x
→+∞
− = −∞ . 
Câu 49: Cho hàm số ( )
22 1
1
x xf x
x
− −
=
−
 thì ( )
1
lim
x
f x
→
 bằng : 
A. 3 . B. 
1
2
. C. 1. D. +∞ . 
Câu 50: Cho hàm số ( )
3 1
1
xf x
x
+
=
+
 thì ( )
1
lim
x
f x
→−
 bằng 
A. 0 . B. +∞ . C. 3− . D. 3+ . 
Câu 51: Cho hàm số ( )
2 3 2
1
x xf x
x
− +
=
−
 thì ( )lim
x
f x
→+∞
 bằng : 
A. +∞ . B. 1. C. 1
3
. D. Cả A, B, C đều sai. 
Câu 52: Cho hàm số ( ) 4f x x= − . Thì ( )lim
x
f x
→−∞
 bằng. 
A. 0 . B. Khơng tồn tại giới hạn C. +∞ . D. Một kết quả khác. 
Câu 53: Cho hàm số ( ) 2 7f x x= − + . thì ( )lim
x
f x
→+∞
 bằng : 
A. +∞ . B. −∞ . C. 0 . D. Cả A, B, C đều sai. 
Câu 54: Cho hàm số ( ) 34f x x= − . Thì ( )lim
x
f x
→−∞
 bằng : 
A. −∞ . B. 4 . C. +∞ . D. Cả A, B, C đều sai. 
Câu 55: Cho hàm số ( ) 2 3
1
xf x
x
−
=
−
 thì ( )
1
lim
n
f x
−→
 bằng. 
A. −∞ B. 2 . C. +∞ D. Một kết quả khác. 
Câu 56: Cho hàm số ( ) 2 3
1
xf x
x
−
=
−
. thì ( )
1
lim
n
f x
+→
 bằng 
A. 2− . B. 2 C. +∞ . D. −∞ . 
Câu 57: Cho hàm số ( ) 2 1sinf x x
x
= . Kết quả nào sau đây là đúng? 
A. 2 210 sinx x
x
≤ ≤ . B. 2
0
1lim sin 0
x
x
x→
= . 
C. 2
0
1lim sin
x
x
x→
= +∞ . D. 2
0
1lim sin 1
x
x
x→
= . 
Câu 58: Cho hàm số ( )
2
xf x
x
= . Kết quả nào dưới đây là đúng? 
A. 
0
lim
2x
x
x+→
= +∞ . B. 
0
1lim
2 2x
x
x+→
= . 
C. 
0
lim
2x
x
x−→
= −∞ . D. 
0
1lim
2 2x
x
x−→
= . 
Trang 9 
Câu 59: Cho hàm số ( ) ( )
cos
1
xf x
x
pi
pi
=
+
. Chọn kết quả đúng? 
A. ( )1
cos 1lim
1 2x
x
x
pi
pi→
= −
+
. B. ( )1
cos 1lim
1 2x
x
x
pi
pi pi→
= −
+
. 
C. ( )1
cos 1lim
1 2x
x
x
pi
pi pi→
=
+
. D. ( )1
cos 1lim
1 2x
x
x
pi
pi→
=
+
. 
Câu 60: Cho hàm số ( ) 2 1 0
2 0
x xf x
x
− ≥
= 
<
. Kết quả nào sau đây là đúng? 
A. ( ) ( )
0 0
lim lim 2 1 1
x x
f x x
− −→ →
= − = . B. ( ) ( )
0 0
lim lim 2 1 1
x x
f x x
+ +→ →
= − = . 
C. ( )
0 0
lim lim 2 2
x x
f x
− −→ →
= = . D. ( )
0
lim 2
x
f x
→
= . 
Câu 61: Cho hàm số ( ) 2 1 1
2 1
x xf x
x
− <
=  ≥
. Kết quả nào sau đây là đúng? 
A. ( )
1 1
lim lim 2 1
x x
f x
+ +→ →
= = . B. ( ) ( )
1 1
lim lim 2 1 3
x x
f x x
− −→ →
= − = − . 
C. ( )
1 1
lim lim 2 2
x x
f x
+ +→ →
= = . D. ( )
1
lim 1
x
f x
→
= − . 
Câu 62: Cho hàm số ( ) 2 1 1
1
3 
x xf x
x
+ ≤
= 
>
. Kết quả nào sau đây là đúng? 
A. ( )
1 1
lim lim 3 3
x x
f x
+ +→ →
= = . B. ( ) ( )
1 1
lim lim 2 1 1
x x
f x x
→ →
= + = − . 
C. ( )
1
lim
x
f x
→
 khơng cĩ giới hạn. D. ( )
1
lim 3
x
f x
→
= − . 
Câu 63: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 
2
23
9lim
6x
x
x x→
−
+ +
 bằng. 
A. 6
5
. B. 6
5
− . C. 5
6
− . D. 0 . 
Câu 64: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 
2
21
4 3lim
4 5x
x x
x x→
− +
+ −
 bằng. 
A. 1
3
− . B. 1
3
. C. 3
5
− . D. 3
5
. 
Câu 65: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 
2
4
6 8lim
2x
x x
x→
− +
−
 bằng. 
A. 4 . B. 8 . C. 12 . D.16 . 
Câu 66: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 25
5lim
25x
x
x→
−
−
 bằng. 
A. 20 5− . B. 20 5 . C. 1
20 5
. D. 1
20 5
− . 
Câu 67: Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: 
2
2
3 2 5lim
2 7n
x x
x→+∞
− + −
−
 bằng. 
A. 3
2
. B. 2
3
. C. 2
3
− . D. 3
2
− . 
Trang 10 
Chủ đề 3. 
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
1. Hàm số liên tục tại một điểm: 
 Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 ⇔ ( )
→
=
0
0lim ( )
x x
f x f x
2. Hàm số liên tục trên một khoảng khi hàm số y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đĩ. 
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b] khi hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và 
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
+ −→ →
= =
4. • Hàm số đa thức liên tục trên R. 
 • Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đĩ: 
 • Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. 
 • Hàm số y = ( )
( )
f x
g x
 liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0. 
6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b): f(c) = 0. 
Nĩi cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)<0 thì phương trình f(x) = 0 cĩ ít nhất một nghiệm 
c∈ (a; b) 
BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Câu 68: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
3
1( ) 11
1 1
x
khi xf x tại xx
khi x
 +
 ≠
= = −
−

− =
 b) 
3 2
1
1( ) 1
1
1
4
x
khi x
xf x tại x
khi x
 + −
≠
−= =

=

c ) 
2
5
5
( ) 52 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
f x tại xx
x khi x
 −
>
= =
− −

− + ≤
Câu 69: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: 
a) 
2 1( ) 1
2 3 1
x khi xf x tại x
mx khi x
 <
= =
− ≥
 b) 
3 2 2 2
1( ) 11
3 1
x x x
khi xf x tại xx
x m khi x

− + − ≠
= =
−
 + =
Câu 70: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: 
a) 
3
3
2
1
1( )
4
1
3
x x
khi x
xf x
khi x
 + +
≠ − += 

= −

 b)
2 2
2
( ) 2
2 2 2
x
khi x
f x x
khi x

−
≠
= 
−

=
Câu 71: Xác định m để hàm số sau đây liên tục tại điểm x = 1. 

− + − ≠
=
−
 + =
x x x
khi xf x x
x m khi x
3 2 2 2
1( ) 1
3 1
Câu 72: Chứng minh rằng các phương trình sau luơn cĩ nghiệm: 
a) 5 3 3 0x x− + = b) 5 1 0x x+ − = 
Trang 11 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 
Câu 73: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: 
A. Hàm số 3 22 5 7y x x x= + − + liên tục trên tập ℝ . 
B. Hàm số 3 5
1
xy
x
+
=
+
 liên tục trên tồn bộ tập ℝ . 
C. Hàm số 2
4
1
xy
x
−
=
+
 liên tục trên tồn bộ tập ℝ . 
D. Hàm số siny x= liên tục trên tồn bộ tập ℝ . 
Câu 74: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: 
A. Hàm số 1y x= − liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ . 
B. Hàm số cosy x= liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ . 
C. Hàm số 2 1y x= + liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ khác 1− . 
D. Hàm số tany x= liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ . 
Câu 75: Kết quả nào sau đây đúng? 
A. Hàm số tany x= liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ . 
B. Hàm số tany x= liên tục tại mọi x khác ( ) k kpi ∈Z . 
C. Hàm số tany x= liên tục tại mọi x khác ( )
2
 k kpi pi+ ∈Z . 
D. Hàm số coty x= liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ . 
Câu 76: Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: 
A. Hàm số 1y
x
= liên tục tại mọi 0x ≠ . 
B. Hàm số 2
1
2
y
x
−
=
+
 liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ . 
C. Hàm số 1
3
xy += liên tục tại mọi 1x ≠ − . 
D. Hàm số 2 1 3y x= + − liên tục tại mọi x thuộc tập ℝ . 
Câu 77: Cho hàm số ( ) 3 5
1
xf x
x
+
=
−
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 
A. ( )
1
lim 1
x
f x
→−
= . B. ( )
0
lim 5
x
f x
→
= − . 
C. ( )
1
lim 8
x
f x
→
= . D. ( )lim
x
f x
→+∞
= +∞ . 
Câu 78: Cho hàm số ( ) 2f x x= − 
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 
A. ( )
4
lim 2
x
f x
→
= . B. ( )
1
lim 2
x
f x
→
= − . 
C. ( )
2
lim 1
x
f x
→
= . D. ( )lim
x
f x
→−∞
= +∞ . 
Câu 79: Cho hàm số ( ) 3 xf x
x
=
 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 
A. ( )
0
lim 0
x
f x
+→
= . B. ( )
0
lim 0
x
f x
−→
= . 
C. ( )
0
lim 0
x
f x
→
= . D. Hàm khơng liên tục tại 0x = . 
Trang 12 
Câu 80: Cho hàm số ( ) 3 xf x
x
= . Kết quả nào sau đây là sai? 
A. ( )
2
lim 3
x
f x
→
= . B. ( )
1
lim 3
x
f x
→
= . C. ( )
2
lim 3
x
f x
→−
= . D. ( )
1
lim 3
x
f x
→−
= − . 
Câu 81: Cho hàm số ( ) 2 0
2 0
xf x
x x
<
= 
− ≥
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 
A. ( )0 2f = . B. ( )
0 0
lim lim 2 2
x x
f x
+ +→ →
= = . 
C. ( )
0 0
lim lim 2 2
x x
f x
− −→ →
= = . D. Hàm liên tục tại 0x = . 
Câu 82: Cho hàm số ( )
2 1 1
1
x xf x
a x
 − >
= 
≤
. Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại 1x = . 
A. 2a = −