Tài liệu bồi dưỡng môn Hình học 8

 Tài liệu bồi dưỡng
môn hình học 8
( Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi )
Kớnh Thầy giỏo, Cụ giỏo giảng dạy bộ mụn Toỏn cấp THCS trong toàn huyện !
	Nhằm giỳp qỳy Thầy giỏo, cụ giỏo cú một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu bộ mụn toỏn của cấp Trung học cơ sở phự hợp, bộ phận chuyờn mụn Phũng GD&ĐT Quế Sơn trờn cơ sở tham khảo ý kiến của cỏc thầy cụ giỏo cú nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy bộ mụn, biờn soạn bộ tài liệu “ Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ mụn Toỏn - Cấp THCS”. “Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mụn Hỡnh Học 8 “ là tập tài liệu trong bộ tài liệu núi trón.
	Để cú thể sử dụng bồi dưỡng ở cấp trường, tài liệu khụng chia thành cỏc chuyờn đề mà được phõn bố theo chương trỡnh của sỏch giỏo khoa . Tuy vậy, để khỏi manh mỳn, cỏc nội dung được trỡnh bày theo chủ đề kiến thức chứ khụng theo từng bài . Nội dung hỡnh học 8 được tài liệu phõn thành sỏu chủ đề sau :
Tứ giỏc, hỡnh thang.
Hỡnh bỡnh hành .
Hỡnh chữ nhật, hỡnh thoi, hỡnh vuụng .
Đối xứng trục, đối xứng tõm .
Định lý Thalet và tam giỏc đồng dạng .
Hệ thức lượng trong tam giỏc - Định lý Pitago.
	Với mỗi chủ đề kiến thức bài tập được phõn thành sỏu loại cơ bản :
Bài tập về vị trớ tương đối của điểm, đường thẳng .
	- Chứng minh thẳng hàng .
	- Chứng minh song song, vuụng gúc . . . 
	- Chứng minh đồng quy.
Bài tập về chứng minh bằng nhau .
	- Chứng minh sự bằng nhau của gúc, đoạn thẳng . 
	- Chứng minh một tam giỏc là cõn, đều. Một tứ giỏc là hỡnh thang cõn ,hỡnh bỡnh hành, hỡnh thoi, hỡnh vuụng . . . .
Bài tập tớnh toỏn .
	- Tớnh số đo gúc, độ dài đoạn thẳng, cỏc bài toỏn về diện tớch .
Bài tập về quỹ tớch , dựng hỡnh .
Bài toỏn cực trị hỡnh học .
	- Bài toỏn về bất đẳng thức, Xỏc định hỡnh hỡnh học để một đại lượng nào đú đạt giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất .
Cỏc bài toỏn tổng hợp .
	Cú lẽ tập tài liệu chưa đỏp ứng một cỏch đầy đủ những yờu cầu của quớ thầy giỏo, cụ giỏo. Bộ phận chuyờn mụn Phũng GD&ĐT Quế Sơn rất mong nhận được những ý kiến đúng gúp chõn thành để cú thể sửa chữa bổ sung những gỡ cũn thiếu sút. 
	Hy vọng tập tài liệu giỳp ớch phần nào đú trong cụng tỏc bồi dưỡng học sinh giỏi bộ mụn Toỏn của quý thầy cụ.
	 Bộ phận chuyờn mụn THCS.
Tứ giác, hình thang :
Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng .
Bài toán 1a :
	Cho hình thang ABCD (AB//CD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên BC và AD . Hai đường phân giác của hai góc A ,B cắt nhau tại K. Chứng minh C,D,K thẳng hàng .
A
B
K
D
C
HD :
	Gọi K là giao điểm của phân giác góc A với DC .Dễ dàng chứng minh được DAK cân tại D. 
	Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA
BK là phân giác của góc B .
Đpcm.
TIP : Bài này có thể c/m theo hướng : - Gọi K là giao điểm của hai phân giác các góc A và B . C/m KC + KD = DC => K thuộc DC => đpcm .
Bài toán 1b :
D
C
A
B
F
A’
J
E
I
	Cho tứ giác ABCD. Gọi A’B’C’D’ theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC . Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’,DD’ đồng quy .
HD : Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là trung điểm của A’C .
- Tam giác CAA’ có EJ là đường trung bình nên EJ//AA’.
- Tam giác FEJ có AA’ qua trung điểm A’ của FJ và // với EJ nên AA’ qua trung điểm I của FE.
- Hoàn toàn tương tự chứng minh được BB’, CC’,DD’ qua I 
- Các đường thẳng trên đồng quy tại I .
Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
	Cho tam giác ABC trong đó AB < AC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A. M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . Chứng minh rằng tứ giác NMPH là hình thang cân .
B
C
A
H
P
M
N
HD : 	- MNHP là hình thang
	- MP = AC/2 ( Đường TB )
	- HN = AC/2 ( Đường TT )
đpcm
Bài toán 2b :
	Cho tứ giác ABCD có AD=BC. M,N lần lượt là trung điểm của AB và DC. Đường thẳng AD cắt đường thẳng MN tại E. Đường thẳng BC cắt đường thẳng MN tại F. Chứng minh AEM = BFM .
D
N
C
A
B
E
F
M
I
HD :
	- Gọi I là trung điểm của BD.
	- Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD/2=BC/2).
	- IM // DE và IN //CF
đpcm .
Bài tập tính toán .
Bài toán 3a :
	Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại E. Hai cạnh AB và DC kéo dài cắt nhau tại M. Hai phân giác của hai góc CED và BMC cắt nhau tại K . Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác .
M
K
A
E
B
C
D
HD :
	Trong tam giác MKE được MKE = 1800 - (KMD +KED+DME+DEM)
	 DME+DEM = 1800 - D .
	KMD = (1800 - C - B)/2 
	KED = (1800 -A-B)/2
	Thay vào ta được : MKE = 1800 -((1800-C-B +1800-A-B )/2 +1800-D)
	 = (3600 -3600 +A+C+2B - 3600 +2D)/2
	 = (A+B+C+D+B+D-3600)/2= (B+D)/2
Bài toán 3b :
	Cho hình thang ABCD. M,N lần lượt là trung điểm của hai đáy AD và BC. O là điểm thuộc MN. Qua O kẻ đường thẳng song song với đáy hình thang . Đường thẳng này cắt AB,CD lần lượt tại E,F. Chứng minh rằng OE=OF .
B
C
A
D
E
F
N
M
O
H
I
HD : 	Chứng minh SBNMA = SNCDM (Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau ).
	Chứng minh SBEN=SNFC và SEAM = SFMD để được SEMN =SFMN 
	Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lượt là hai đường cao của hai tam giác 
OE =OF
Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài toán 4a :
	Cho tứ giác lồi ABCD . Hãy dựng đường thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau .
A
B
C
D
M
E
I
Phân tích :
	Giả sử AM là đường thẳng cần dựng . Lấy điểm E đối xứng với D qua M. AE cắt BC tại I . 
Có : SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI
SABC = SEBC => BE// AC.
Cách dựng : 
	- Dựng đường chéo AC. 
	- Từ B dựng đường thẳng song song với AC cắt AC tại E.
	- Lấy M là trung điểm của DE.
	- AM là đường thẳng cần dựng .
TIP : Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác tương đương ( có diện tích bằng diện tích hình thang ). Để chuyển bài toán về bài tập dựng trung tuyến của tam giác . Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên .
A
D
E
B
C
F
I
J
Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD . I là điểm bất kỳ của AB . Qua I hãy dựng đường thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau .
Phân tích : 
	Giả sử đã dựng được IJ . Sử dụng phương pháp biến đổi về tam giác tương đương .Ta có các bước phân tích :
	Xác định điểm F trên tia DC sao cho SIJCB = SIJF . Lúc đó SBIC = SFIC .Suy ra BF//IC .
	Xác định điểm E trên tia CD sao cho SIJAD = SIJE . Lúc đó SAID = SEID .Suy ra AE//ID .
	Rõ ràng J là trung điểm của đoạn thẳng EF .
Cách dựng :
	- Qua A dựng đường thẳng song song với ID cắt DC tại E. Qua B dựng đường thẳng song song với IC cắt DC tại F.
	- Dựng J là trung điểm của EF . IJ là đường thẳng cần dựng .
Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a :
	Cho tứ giác lồi ABCD . Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho MA + MB + MC +MD đạt giá trị nhỏ nhất .
Giải :
Cách 1: Gọi O là giao điểm hai đường chéo . M º O thì MA +MB +MC+MD đạt giá trị nhỏ nhất .
	Thật vậy, M º O ta có :
	MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD .
	Với M bất kỳ trong tứ giác ta có :
	MA +MC ³ AC
	MB + MD ³ BD
MA +MB +MC +MD ³ AC + BD.
MA +MB +MC +MD nhỏ nhất lúc M º O	 D	
Cách 2 : Với ba điểm M; A; C ta có : MA +MC ³ AC .	 C
	 Dấu “ =” xảy ra lúc Mẻ[AC]	 M	 O
	 Với ba điểm M; B; D có MB + MD ³ BD .
	 Dấu “=” xảy ra lúc M ẻ [BD]
MA + MB +MC +MD ³ AC + BD	 A	 B
Dấu “=” xảy ra lúc Mẻ[AC] và Mẻ[BD]
M º O ( Với O là giao điểm hai đường chéo ) .
Bài toán 5b :
	Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ giác lồi không lớn hơn nửa tổng hai cạnh còn lại .
Giải :
	Gọi I là trung điểm của AC ta có :	C
	MI = BC / 2	 B
	IN = AD / 2	 I
MI + IN = ( BC +AD)/ 2	 M	 N
Lại có với ba điểm M,I,N thì MI + IN ³ MN
MN Ê (BC + AD) / 2 =>đpcm .	 A
	 D
Hình bình hành :
1. Các bài toán về vị trí tương đối :
Bài toán 1a :
	Cho tam giác ABC . O là một điểm thuộc miền trong của tam giác . Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CA và L,M,N lần lược là trung điểm của OA,OB,OC .
Chứng minh EL, FM, DN đồng quy .
O
A
B
C
D
E
F
L
N
Giải :
	Dựa vào tính chất của đường trung 
	bình chứng minh các tứ giác LFEM ,
	NEDL là hình bình hành .
đpcm
M
Bài toán 1b :
	Chứng minh rằng : trong một tam giác ba đường cao đồng quy .
A
N
M
B
C
H
P
HD : 	- Dễ dàng chứng minh ba đường trung trực trong một tam giác đồng quy bằng cách dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng .
 	- Từ ba đỉnh của tam giác ABC đựng các đường thẳng song song với cạnh đối diện . Các đường thẳng này đôi một cắt nhau tại MNP .	
	- Các tứ giác BCNA và BCAM là các hình bình hành nên HA là đường trung trực của MN .
	- Tam giác MNP nhận các đường cao của tam giác ABC làm các đường trung trực .
	- Các đường trung trực của tam giác MNP đồng quy hay các đường cao của tam giác ABC đồng quy .
2. Các bài toán chứng minh sự bằng nhau :
Bài toán 2a:
	Cho tứ giác ABCD. E,F lần lượt là trung điểm của AB, CD. M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE. Chứng minh rằng MN = PQ .
HD :
F
D
P
M
Q
C
E
N
B
A
	Chứng minh tứ giác MNPQ có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường ( Chính là trung điểm của EF ).
Bài toán 2b :
	Cho tứ giác ABCD .Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ; G là đỉnh thứ tư của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ tư của hình bình hành CABH . 
G
Chứng minh BD // GH .	
Chứng minh HD = 2EF .
A
C
I
J
E
H
F
D
B
HD : 
BDGH là hình bình hành do BH và DG cùng song song và bằng AC =>đpcm .
Gọi I,J lần lượt là trung điểm của CD và CH . Chứng minh EIJF là hình bình hành => đpcm.
3. Các bài tập tính toán :
Bài toán 3a :
	Cho hình bình hành ABCD có ADC = 750 và O là giao đIểm hai đường chéo . Từ D hạ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và BC . (E thuộc AB, F thuộc BC ) . Tính góc EOF .
A
C
B
F
E
D
O
	Có O là trung điểm của DB .
	Từ đó có được OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ).
	EOD = 2EBO ( Vì DEOB cân tại O ).
	DOF = 2FBO ( Vì DFOB cân tại O )
	Cộng hai đẳng thức trên để được : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF .
	Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.750 = 1500 .
Bài toán 3b :
	Cho tam giác đều ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB,AC lần lượt tại D và E . Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD. Tính số đo các góc của tam giác GIB .
G
A
I
K
E
D
C
B
	HD : Qua C kẻ đường thẳng song song với AB , đường này cắt DE tại K.
- Tứ giác DBCK là hình bình hành nên BK cắt DC tại trung điểm I của DC .
- Chứng minh hai tam giác DBG và EKG bằng nhau .
- Từ đó có được GIB =900 và BGI = BGK/2 = DGE/2 
- Có DGE = 1200 ( Do ADE đều ) nên BGI = 600 và GBI = 300 .
4. Các bài toán quỹ tích, dựng hình
Bài toán 4a :
	Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho DA=CE. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi D di động trên cạnh AB .
D
I
E
B
A
C
Bài toán 4b :
	Cho góc nhọn xAy và O là điểm thuộc miền trong của góc . Dựng trên Ax điểm M và trên Ay điểm N để :
O là trung điểm của MN .
x
OM =2ON.
Giải :
O’
A
O
y
N
M
a. C1 :( Dựa vào kiến thức về hình bình hành )
Phân tích :
	 Gọi O’ là điểm đối xứng của A qua O . Khi O là trung điểm của MN thì tứ giác AMO’N là hình bình hành . 
Cách dựng :
	- Dựng O’ đối xứng với A qua O.
	- Dựng đường thẳng qua O’ song song với Ay cắt Ax tại M
	- Dựng đường thẳng qua O’ song song với Ax cắt Ay tại N
C2 :( Dựa vào kiến thức về đường trung bình )
Phân tích :
	Khi O là trung điểm của MN thì đường thẳng qua O song song với Ay sẽ cắt Ax tại trung điểm của AN .
Cách dựng :
	- Dựng đường thẳng qua O song song với Ay cắt Ax tại O1 . Trên tia Ax dựng M sao cho O1 là trung điểm của AM.
	- Tương tự trong cách dựng N .
b.
	 	 (x)
M
N
D
O
A
	 N1 (y)
HD : Xem O là trọng tâm của tam giác => xác định được D là chân đường trung tuyến xuất phát từ A => Quy về bài toán 3a để giải .
5. Các bài toán cực trị :
Bài toán 5a :
	Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến . Chứng minh rằng : 
 AB + AC ³ 2AM .
Giải : Lấy A1 là điểm đối xứng của A qua M ta có : A
	ABA1C là hình bình hành .
BA1 = AC và AA1 = 2AM
AB +AC = AB + BA1 .	B	 	 C
Lại có : AB + BA1 > AA1 	 M
AB + AC > AA1 =2AM => đpcm	 A1	
Bài toán 5b :
	Chứng minh rằng, trong một tam giác trung tuyến ứng với cạnh nhỏ hơn thì lớn hơn .
	 A
	 M	 N
	 B I H C D	
	Kẻ ND //MC (DẻBC) ; NI //AB (IẻBC)
	Dễ dàng chứng minh được : MC = ND.
	MN = BI =CD .
	Giả sử AB NI HI <HC ( Quan hệ hình chiếu đường xiên )
HI + IB HB < HD
NB NB < MC .
Bài toán 5c :
	 Một con kênh có hai bờ song song. P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía con kênh. Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đường đi từ P đến Q nhỏ nhất .
Q
 N
M
P’
P
HD : Dựng hình bình hành NMPP’ ta được :
	PM + MN + NQ = PP’ + P’N + NQ
	Do PP’ = const . Để PM + MN + NQ nhỏ nhất thì P’N +NQ nhỏ nhất .
P’,N,Q thẳng hàng .
Dễ dàng suy ra cách dựng .
II . Hình chữ nhật, hình thoi , hình vuông :
Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng .
Bài toán 1a :
	Cho hình chữ nhật ABCD . Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh BM vuông góc với MK .
C
I
B
K
H
M
D
A
HD : 	- Kẻ MI // AB ( I thuộc BH ) 
	- Chứng minh ICKM là hình bình hành => IC//MK
	- Chứng minh I là trực tâm của tam giác CBM => CI vuông góc với BM
MK vuông góc với BM.
Bài toán 1b :
	Cho tam giác ABC có AD là đường cao . Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông ABEF và ACGH . Chứng minh rằng AD,BG,CE đồng quy .
H
E
A
I
G
D
B
F
C
HD:	Dựng hình bình hành FAHI .Chứng minh hai tam giác ABC và HIA bằng nhau để được :
	IAH = BCA .
	IA = BC
	Từ IAH = BCA chứng minh IAD thẳng hàng .Hay ID là đường cao của tam giác IBC .
	Từ IA = BC cùng với IAH = BCA chứng minh hai tam giác IAC và BCG bằng nhau . Được CBG = AIC cùng với IA vuông góc với BC được BG vuông góc với IC
	Tương tự chứng minh được CE vuông góc với IB .
đpcm ( Tính chất ba đường cao trong tam giác )
Bài tập về chứng minh bằng nhau .
Bài toán 2a :
	Cho hình vuông ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AD . BN, CM cắt nhau tại P. Chứng minh rằng DP =AB .
B
M
A
P
N
I
C
D
HD :	Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng BN và CD . Dễ dàng chứng minh được IC = 2AB.
	Hai tam giác MCB và NBA bằng nhau đồng thời AB vuông góc với BC nên CM vuông góc với NB .
	Tam giác vuông PIC có PD là trung tuyến nên PD = IC/2 = AB ( đpcm )
Bài toán 2b:
D
	Cho hình vuông ABCD . Về phía trong của hình vuông dựng tam giác cân FAB (FA=FB) sao cho FAB = 150 . Chứng minh tam giác FDC là tam giác đều .
C
HD :
I
C1 : 
F
	Dựng về phía ngoài của tam giác
tam giác đều ABF’. Các tam giác FAF’ và
J
B
A
FBF’ bằng nhau từ đó chứng minh được
tam giác FAF’ cân tại F’ (Hai góc đáy 
bằng 750 ) => FF’ = F’A = AB.
	Tứ giác ADFF’ có DA song song
và bằng FF’ nên nó là hình bình hành .
F’
DF = F’A = AB
	Tương tự cũng có CF = F’B = AB
Tam giác FDC đều
C2 : Dựng I phía trong tam giác sao cho IBC =ICB =150 . CI cắt FB tại J.
	Có : BI = BF (Do cách dựng ) và FBI = 900 -(150 +150 ) = 600 . nên tam giác FBI đều .
	IJB = 150 + 150 = 300 nên CJ là trung trực của FB => CF = CB. 
Tương tự ta cũng có DF = DA =>đpcm .
Bài tập tính toán .
Bài toán 3a :
	Cho hình vuông ABCD . E là điểm bất kỳ trên AB. Phân giác của góc CDE cắt BC tại K . Chứng minh rằng CK + EA = DE
Giải :
E’
C
B
K
E
D
A
HD : Trên tia đối của tia CB lấy điểm E’ sao cho CE’ = AE .
	Chứng minh được hai tam giác ADE và CDE’ bằng nhau để được :
	- DE’ = DE	(1)
	- EDA = E’DC	(2)
	Có DK là phân giác góc EDC và (2) . Chứng minh được KDE’ = KDA
	 Lại có : KDA = E’KD 
Tam giác E’DK cân tại E’
E’D = E’K
DE = E’K = AE + KC đpcm )
Bài toán 3b :
	Cho hình vuông ABCD . Lấy các điểm E,F thứ tự thuộc các cạnh AD,AB sao cho AE=AF . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BE . Tính góc CHF
A
B
O
F
H
C
K
E
D
HD : Gọi K là giao điểm của AH với DC . O là giao điểm của BK và FC . 
- Chứng minh được FBCK là hình chữ nhật .
- Tam giác vuông BHK có HO là trung tuyến nên HO = BK/2 = FC/2
- Tam giác FHC có trung tuyến HO bằng nửa FC nên nó vuông tại H. Hay góc FHC = 900 .
Bài tập về quỹ tích , dựng hình .
Bài tập 4a :
	Dựng hình vuông ABCD biết tâm O của hình vuông, điểm M thuộc cạnh AD và điểm N thuộc cạnh BC .
A	- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC
B
O
E	- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC
F	- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC
M
M’
N’
N
C
D
HD :
Phân tích : Giả sử hình đã dựng được ta có :
	- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M’) .
	- Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N’).
	- Đường thẳng qua O vuông góc với MM’ cắt AB ở E và DC ở F. Dễ dàng chứng minh được OE =OF =OM 
Cách dựng :
	- Dựng M’ đối xứng với M qua O .
	- Dựng N’ đối xứng với N qua O .
	- Dựng đường thẳng d vuông góc với MM’ . Trên d lấy E,F sao cho OE=OF= OM .
	- Dựng các đường thẳng MN’, NM’
	- Qua E dựng đường thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ tại A và NM’ tại B
	- Qua F dựng đường thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ tại D, và NM’ tại C
	- ABCD là hình vuông cần dựng .
 	. . . . . . .
TIP : Thay đổi việc cho các điểm M,N ta có nhiều bài tập xung quanh bài tập này .
Bài toán 4b :
	Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên đoạn thẳng đó .Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB dựng các hình vuông ACDE và CBGH . Các hình vuông này có tâm lần lượt là O1,O2 . Tìm quỹ tích trung điểm I của O1O2 khi C chạy trên AB .
E
D
HD :
I
H
G
	Hạ O1M,IJ,O2N vuông 
C
góc với AB
O2
O1
O1MNO2 là hình thang có IJ là đường
M
A
trung bình nên IJ = (O1M +O2N)/2
N
B
= (AC + CB)/ 4 =const
J
I di chuyển trên phần đường 
thẳng song song với AB cách AB một đoạn bằng AB/4.
Bài toán cực trị hình học .
Bài toán 5a :
	Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình vuông). Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để nó có chu vi nhỏ nhất .
Giải :	 B	N	 C
	Gọi E,F,G lần lượt là trung điểm của
	MN; NQ; PQ ta có :
	MN = 2BE.	 E F	
	NP = 2GF.	 G P
	QM = 2EF	 M	 
	QP = 2GD
	A	Q	D	
MN + NP +PQ+QM = 2(BE +EF+FG+GD) ³ 2BD
Dấu “ =” xảy ra lúc E,F,G ẻ BD .
E ẻ BD => MN//AC => DMBN vuông cân tại B
Gẻ BD => PQ//AC => DPDQ vuông cân tại D
Từ (1) và Fẻ BD => NM =PQ
Tứ giác MNPQ thoả ba điều kiện trên thì có chu vi nhỏ nhất .
Bài toán 5b :
	Cho tam giác vuông tại A. M là điểm bất kỳ thuộc BC . D,E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB, AC . Xác định M để DE nhỏ nhất, lớn nhất .
	 A	
Giải :
	Tứ giác ADME là hình chữ nhật .
	DE = AM .	 D	 E
	B	M	 C
Để DE nhỏ nhất thì AM vuông góc với BC .
Để DE lớn nhất
	Nếu AB >AC thì M º B
	Nếu AC >AB thì M º C
	Nếu AB =AC thì M º B hoặc M º C .
Bài toán 5c :
(1)
	Cho hình vuông ABCD ; M là điểm bất kỳ trên cạnh AB . Đường vuông góc với CM tại C cắt đường thẳng AB tại K . Tìm ví trí của M để đoạn MK có giá trị nhỏ nhất .	
Giải :	Gọi I là trung điểm của MK	A M B I K
 MK = 2CI
 (quan hệ trung tuyến cạnh huyền )
C
D
	Để MK nhỏ nhất => CI nhỏ nhất => I º B . Lúc đó CI vừa là trung tuyến vừa là đường cao => MCK vuông cân .
MCB = 450 => M º A .
Bài toán 5d :
	Cho đoạn thẳng AB = a. C là điểm bất kỳ trên AB . Vẽ các hình vuông ACDE; CBFG . Xác định vị trí của điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên đạt giá trị nhỏ nhất .
	 G	 F	
Giải :
	Đặt AC = x => CB = a-x .
	SACDE + SCBFG = x2 + (a-x)2	 E	 D	
	= 2(x -a/2)2 + a2/2 ³ a2/2
	Dấu “=” xảy ra lúc x =a/2 .
	 A C	B	
C là trung điểm của AB
6. Các bài toán tổng hợp
Bài toán 1b :
	Cho tam giác ABC . Về phía ngoài của tam giác dựng các hình vuông ABGH , ACEF và BCIJ. Gọi O1,O2, O3 lần lượt là tâm các hình vuông . M là trung điểm của BC, D là trung điểm của HF. 
a. Chứng minh O1MO2 là tam giác vuông cân .
b. Tứ giác DO1MO2 là hình vuông .
c. Chứng minh HF = 2AM .
d. Chứng minh AD vuông góc với BC và AM vuông góc với HF
e. Chứng minh O1O2 = AO3 . 
A
B
C
O2
O1
M
G
H
E
F
D
I
J
O3
A’
P
Q
N
K
HD :
Chứng minh hai tam giác HAC và BAC bằng nhau để được :
	- HC = BF 
	-AHC = ABF cùng với AH vuông góc với AB được HC vuông góc với BF .
 O1M và O2M lần lượt là hai đường trung bình của hai tam giác BHC và BCF nên : - O1M song song và bằng nửa HC