Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9

Bài 1 (4 điểm)
Cho x, y, z là ba cạnh của một tam giỏc. Chứng minh rằng :
A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 > 0.
Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y thoả món : .
Ta cú A = 4x2y2 – (x2 + y2 – z2)2 = (2xy – x2 – y2 + z2)(2xy + x2 + y2 – z2)
	= [z2 – (x – y)2][(x + y)2 – z2] 
	= (z – x + y)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z)
	= (y + z – x)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z)
	Vỡ x, y, z là ba cạnh của tam giỏc nờn y + z > x, z + x > y, x + y > z và x + y + z > 0
ị (y + z – x)(z + x – y) (x + y – z)(x + y + z) > 0 
ị A > 0 (đpcm).
Cỏch 1. (1). Điều kiện x, y > 0.
Nờ́u x Ê y ị hay ị x Ê . Ta được 0 < x Ê .
 	Vỡ x là cỏc số tự nhiờn nờn x = 1. Thay vào (1) ta được y = 2.
	Trường hợp này ta được x = 1, y = 2 thoả mãn giả thiờ́t.
Nờ́u x ³ y, tương tự như trờn, ta được x = 2, y = 1 thoả mãn giả thiờ́t. 
	Vậy cú hai cặp (x ; y) cần tỡm là (1 ; 2) và (2 ; 1).
Cỏch 2. Điều kiện x > 0 và y > 0.
 	Khi đú : 	Û 2(x + y) = 3xy Û 9xy - 6x - 6y = 0
	Û (9xy - 6x) – (6y – 4) = 4
	Û (3x – 2)(3y – 2) = 4 ị 3x – 2 ẻ Ư(4) = {±1; ±2; ±4}
	Vì x là các sụ́ tự nhiờn lớn hơn 0 nờn x ³ 1ị 3x – 2 ³ 1. Hơn nữa 3x – 2 chia cho 3 dư 1. Suy ra 3x – 2 ẻ {1 ; 4}. Từ đó, ta có hai trường hợp:
	TH1 : ;
	TH2 : .
	Vậy cú hai cặp (x ; y) cần tỡm là (1 ; 2) và (2 ; 1).
Bài 2 (2 điểm)
a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + xy
GIẢI
a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x3 + y3 + xy
Ta có A = (x + y)3 - 3xy(x + y) + xy = 1 - 2xy (1)
Từ x + y = 1 => (x + y)2 = 1 => x2 + y2 + 2xy = 1
=> 2xy = 1 - (x2 + y2) thay vào (1) ta được
A = x2 + y2 với y = 1 - x ta được
A = 2x2 -2x + 1 = 2(x2 -2x.1/2+1/4-1/4) + 1 
= 2(x - 1/2)2 +1/2 1/2 Dấu “=” xảy ra ú x = 1/2
Vậy Min A = 1/2 ú x = 1/2 và y = ẵ
Bài 3: ( 3 điểm) 
 a) Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5. Tính x3+ y3
 b) Phân tích đa thức sau thanh nhân tử: 
 x2 - x - 2010.2011
GIẢI
	x+y = 3 suy ra (x+y)2 = 9 suy ra x2+y2+2xy =9 
suy ra xy=(9-5):2=2 
nên x3+y3=(x+y)(x2+y2-xy)=3(5-2)=9 
x2 - x - 2010.2011=(x2 - 2011x)+(2010x - 2010.2011)
= x( x – 2011) + 2010(x – 2011) =(x-2011)(x+2010)
Bài 4: ( 5 điểm) 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của:	A = .
GIẢI
a(2đ), A = =	
Ta thấy : 	 nên . Do đó:
Min 
Bài 5: ( 2 điểm) 
 Cho ba số dương a , b , c thoả mãn : . Chứng minh rằng :
Ta có :
( do a,b,c dương)
Bài 6 : (1,5 điểm) Tính số trị của biểu thức
 Biết : 10a2-3b2+5ab = 0 và 9a2-b2 # 0
	Ta có (9a2-b2ạ0) 
Bài 7: (2 điểm) Cho a+b+c=1 và a2+b2+c2=1
 a) Nếu , CMR: xy+yz+zx=0
 b) Nếu a3+b3+c3=1 . Hãy tìm giá trị của a,b,c
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
 (do a2+b2+c2=1)
	b)Ta có
ịa+b=0 hoặc b+c=0 hoặc c+a=0
Với a+b=0 ta có c=1
 Mặt khác a2+b2+c2=1ị a2+b2=0ịa=b=0
	Tương tự : b=1 thì a=c=0; a=1 thì b=c=0
Vậy ta có (a,b,c)ẻ{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
Bài 8: (2đ) 
Cho x,y,z 0 thoả mãn x+ y +z = xyz và + + = 
Tính giá trị của biểu thức P = 
Có (= + 2(
(= p + 2 ; 3 = p+2 ( vì x +y+z=xyz)
suy ra P = 1
Bài 9. (5,0 điểm)
Biết 
a(a + 2) + b(b - 2) – 2ab = 80, hãy tính a – b
a(a + 2) + b(b - 2) - 2ab = 80
(a – b)2 2(a – b) -80 = 0
(a - b)2 – 2(a – b) +1 – 81 = 0
(a – b + 1)2 -92 = 0
(a – b + 10)(a – b - 8) = 0
(a – b + 10) = 0 hoặc (a – b - 8) = 0
a – b = -10 hoặc a – b = 8
Bài 10: (4đ)
Cho tam giác ABC cân tại A ; BC = a ; AC = b . 
Vẽ các đường phân giác BD, CE 
a, Chứng minh rằng DE // BC
b, Tính DE từ đó suy ra 
, (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra DE//BC
b, DEC cân đặt DE = BC = x thì AD = b-x
áp dụng hệ quả của định lý ta lét ta có hay 
; ax +bx =ab ; x = = DE
Suy ra 
Bài 11. (3,5điểm)
Các số a, b thỏa mãn điều kiện 4a2 + b2 = 5ab
Chứng minh nếu 4a > b thì 2a > b > 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 
GIẢI
1>Các số a, b thoả mãn điều kiện 4a2 + b2 = 5ab
 Chứng minh nếu 4a > b thì 2a > b > 0
	Từ 4a2 + b2 = 5ab (4a - b)(a - b) = 0
Vì 4a > b 4a – b > 0 Do đó a – b = 0 hay a = b
 4a > a 3a > 0 a > 0
Khi a > 0 thì 2a > a > 0 hay 2a > b > 0
2. Với mọi x ta có: x2 + 4x + 10 = (x + 2)2 + 6 6
Nên B = với mọi x
Vậy biểu thức B = có giá trị lớn nhất bằng khi x = -2
 Bài 12: 
a. Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A= 
a : 3y-x=6 x=3y-6 Thay vào ta cú A=4
Bài 13
a. Chứng minh : a5 - a chia hết cho 30 với aZ
b. Chứng minh rằng : x5 – x + 2 không là số chính phương với mọi xZ+
a, có: a5-a=a(a4-1)=a(a2-1)(a2+1)=a(a-1)(a+1)(a2-4+5)
 = a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1) vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên; 5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết cho 30đpcm
b,Từ bài toán trên ta có: x5-x x5-x+2 chia 5 dư 2 x5-x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phương nào có tận cùng là 2hoặc 7)Vậy
x5-x+2 không thế là số chính phương với mọi x
Bài 14 (4điểm)Tìm x,y,zZ+ thỏa mãn các phương trình sau: xy-4x=35-5y
Biến đổi phương trình về dạng (x+5)(y-4)=15 xét các trường hợp và loại ta có các cặp (x,y) cần tìm là (10;5); (0;7)
Bài 15:(4điểm) Biết : 4x-3y=7 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=2x2+5y2
Có x= khi đó M==
Vậy Mmin =5 khi y=
Bài 16:(3 điểm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
 a. Phõn tớch biểu thức A thành nhõn tử.
 b. Chứng minh: Nếu a, b, c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc thỡ A < 0.
a.A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) 
 = 
 = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)
b.Ta cú: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giỏc) 
Tương tự: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0 
Vậy A< 0
Bài 17:(3 điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
 A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014
A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010
 Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0
Nờn:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 2010
Dấu ''='' xảy ra x – y = 0 và y – 2 = 0 x = y = 2.
Vậy GTNN của A là 2010 tại x = y =2
Bài 18:(7 điểm)
 Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
Tính tổng: 
Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC
Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF.
Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN. 
 Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.
a.	 Trước hết chứng minh: = 
Tương tự có: ; 
 Nên = 
 = 1
b. Trước hêt chứng minh BDHBEC 
 BH.BE = BD.BC
 Và CDHCFB CH.CF = CD.CB.
 BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (đpcm
c. Trước hết chứng minh: AEF ABC 
 Và CDECAB 
 mà EBAC nên EB là phân giác của góc DEF.
 Tương tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE.
 Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF 
 nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
d. Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có OMH = ONC (c.c.c) .(1)
 Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên:.(2)
 Từ (1) và (2) ta có: HO là phân giác của góc BHC
 Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của góc BHC nên O là điểm cố định. 
 Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O
Bài 19: (1 điểm) 
 Cho a + b + c = 1 , a2 + b2 + c2 = 1 và . Tớnh giỏ trị của xy + yz + xz
GIẢI
 . (0,25 điểm)
 Do đú:
(x+y+z)2=( vỡ a2 + b2 + c2 = 1) (0,25 điểm)
 x2 + y2 + z2 + 2xy +2yz + 2xz = x2 + y2 + z2 (0,25 điểm)
2xy +2yz + 2xz = 0
 xy + yz + xz = 0 
Bài 20: (3,5 điểm) 
 Cho tam giỏc ABC cú diện tớch S, trung tuyến AM. K là một điểm của AM sao cho 
 KM = 2 KA . BK cắt AC tại N.
 a) Tớnh diện tớch tam giỏc AKN theo S.
 b) Một đường thẳng đi qua K cắt cỏc cạnh AB, AC lần lượt tại I và J.
 Tớnh giỏ trị của: 
a) Gọi E là trung điểm NC: NE = EC. (0,25 điểm)
cú ME là đường trung bỡnh nờn ME//BN suy ra KN//ME (0,25 điểm)
cú KM = 2KA NE = EC = 2AN (0,25 điểm)
Chứng minh được AC = AN + NE + EC = 5AN (0,25 điểm) 
Chứng minh được SAKN = SAKC (0,25 điểm)
 SAKC = SAMC (0,25 điểm)
 SAMC = SABC (0,25 điểm)
 SAKN = SABC = (0,25 điểm)
b) Vẽ BD // IJ và CF // IJ (D, F thuộc tia AM) (0,25 điểm)
Chứng minh được BMD = CMF MD = MF (0,25 điểm)
ABD cú IK// BD nờn: (định lý Ta-let) (0,25 điểm) 
 AFC cú KJ// CF nờn: (0,25 điểm) 
 (0,25 điểm)
Bài 21:
 a. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
 A = x2– 2xy + 2y2 - 4y + 2015
 b. Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a> b > 0
Tính: 
 a). A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2011 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2011 2011
Dấu ''='' xảy ra x – y = 0 và y – 2 = 0 x = y = 2.
Vậy GTNN của A là 2011 tại x = y =2 (3đ)
 b). Từ 4a2 + b2 = 5ab ta có (a-b)(4a-b) = 0 vì 2a> b > 0 => 4a>b>0 => a=b => P = . (1đ)
Bài 22 : 
 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy M bất kì sao cho BM < CM. Từ M vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tứ giác AEMF là hình gì? vì sao?
Chứng minh : AFEN là hình thang cân?
M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi? Vì sao? 
d) Tính : ANB + ACB = ?
Giải
Tứ giác AEMF là hình bình hành vì có các cạnh đối song song. (2đ)
Gọi EF cắt MA và MN tại O và K=> OK//AN (đtb) 
Mặt khác AE=NF (cùng bằng MF) => AFEN là hình thang cân. (2đ)
Tứ giác AEMF đã là hình bình hành, nó sẽ trở thành hình thoi khi có AM là phân giác góc BAC=> khi đó M là giao phân giác góc BAC với cạnh BC (HS có thể tìm ra M là trung điểm BC vì ABC cân) (2đ)
Ta có EN=EB (cùng bằng EM)
 => ENB =EBN
Mà ENA+C =NAC+ABC (T/c tam giác cân và hình thang cân) 
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên => tứ giác ANBC tổng hai góc đối này bằng tổng hai góc đối kia nên : ANB + ACB = 1800 (1đ)
Bài 23 (2 điểm).
a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của:	A = .
b, Rút gọn :.
a, A = = 	
Đặt y = => A = y2 – 2y + 3 = (y – 1)2 + 2 2	
=> min A = 2 => y = 1 => x = 2
Vậy min A = 2 khi x = 2	
b, A= 
*
*
Vậy A= 3
Bài 24: a) Biết a – b = 7. Tớnh giỏ trị của biểu thức sau:
	A = a2(a + 1) – b2(b – 1) + ab – 3ab(a – b + 1)
 A = (a – b)3 + (a – b)2 = (a – b)2(a – b + 1) = 72(7 + 1) = 392
Bài25: Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của C = . 
 C = = 
 Vậy maxC = 2ú x = 1.
Ta cú: C = = 
Vậy minC = ú x = -2.
Bài 26: Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc B tự. Kẻ BM và BN lần lượt vuụng gúc cỏc cạnh AD và CD tại M và N. Biết rằng Tớnh cỏc gúc của hỡnh thoi ABCD. 
DBMD = DBND
Gọi I là trung điểm của BD
=> IM = IN = IB = ẵ BD
Mà MN = ẵ BD => IN = IN = NM
DMIN đều
Gúc MIN = 600
Mà IM = IN, DN = DM
ID là đường trung trực của MN
ID là phõn giỏc của gúc MIN
Gúc MID = 300
DMIB cõn tại I
Mà gúc MID = gúc IMB + gúc IBM = 2IBM (t/c gúc ngoài)
Gúc IBM = ẵ MID = 150
Gúc ADB = 90 – 15 = 750
gúc ADC = gúc DCB = 2.75 = 1500
 = Gúc C = 300.
Bài 27(6điểm). 
a. Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử:
* x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 
 	= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
 	= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 
 * ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
 	= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
 	= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
 	= (x2 + 7x + 11)2 - 52
 	= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
 	= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
Bài 28(6điểm). Cho hỡnh vuụng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trờn đường chộo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh: 
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất. 
a. Chứng minh: 	
 đpcm
DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm
c. Cú Chu vi hỡnh chữ nhật AEMF = 2a khụng đổi
 khụng đổi
 lớn nhất (AEMF là hỡnh vuụng)
 là trung điểm của BD.
Bài 29:(2điểm)	Tìm các số x, y nguyên biết rằng:	
Từ:	
Quy đồng mẫu vế phải ta có :. Do đó : y(x-2) =8.
Để x, y nguyên thì y và x-2 phải là ước của 8. Ta có các số nguyên tương ứng cần tìm trong bảng sau:
Y
1
-1
2
-2
4
-4
8
-8
x-2
8
-8
4
-4
2
-2
1
-1
X
10
-6
6
-2
4
0
3
1