Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 12

 1
PhÇn thø nhÊt : C¸c Chuyªn §Ò 
PHƯƠNG TRÌNH HÀM 
Nguyễn Hoàng Ngải 
Tổ trưởng tổ Toán THPT Chuyên Thái Bình 
 Một trong những chuyên đề rất quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh 
giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế, đó là phương trình hàm, bất phương trình hàm. Có rất 
nhiều tài liệu viết về chuyên đề này. Qua một số năm bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh 
giỏi toán quốc gia và qua một số kì tập huấn hè tại Đại học khoa học tự nhiên – Đại học quốc 
gia Hà Nội, chúng tôi rút ra một số kinh nghiệm dạy về chuyên đề này và trao đổi với các đồng 
nghiệp. 
 Phần I: NHẮC LẠI NHỮNG KHÁI NIÊM CƠ BẢN 
1. Nguyên lý Archimede 
Hệ quả: ! : 1x k k x k∀ ∈ ⇒ ∃ ∈ ≤ < +\ ] . 
Số k như thế gọi là phần nguyên của x, kí hiệu [x] 
Vậy : [ ] [ ] 1x x x≤ < + 
2. Tính trù mật 
Tập hợp A ⊂ \ gọi là trù mật trong \ ⇔ , ,x y x y∀ ∈ <\ đều tồn tại a thuộc A sao cho 
x<a<y. 
Chú ý: 
• Tập _ trù mật trong \ 
• Tập | ,
2n
mA m n⎧ ⎫= ∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭] ] trù mật trong \ 
3. Cận trên cận dưới 
Giả sử A ⊂ \ . 
Số x được gọi là một cận trên của tập A nếu với mọi a A∈ thì a ≤ x 
Số x được gọi là một cận dưới của tập A nếu với mọi a A∈ thì a ≥ x 
Cận trên bé nhất( nếu có) của A được gọi là cận trên đúng của A và kí hiệu là supA 
Cận dưới lớn nhất( nếu có) của A được gọi là cận dưới đúng của A và kí hiệu là infA 
Nếu supA ∈ A thì sup A ≡ maxA 
Nếu inf A ∈ A thì infA ≡ minA 
Ví dụ: cho a < b 
 Nếu A = (a, b) thì sup A = b 
 inf A = a 
 Nếu A = [a, b] thì sup A = max A =b 
 inf A = min A = a 
Tính chất: 
Tính chất 1: Nếu A ≠ ∅ , A bị chặn thì tồn tại supA, infA 
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 1 of 108
 2
Tính chất 2: 
4. Hàm sơ cấp 
¾ Hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác, 
hàm số lượng giác ngược. 
¾ Hàm số sơ cấp là những hàm được tạo thành bởi hữu hạn các phép toán số học ( +, - , x, : ), 
phép toán lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản. 
5. Hàm cộng tính, nhân tính trên một tập hợp 
™ Hàm số f(x) được gọi là cộng tính trên tập xác định D nếu với mọi x, y ∈D thì x + y ∈ D và 
f(x + y) = f(x) + f(y). 
™ Hàm số f(x) được gọi là nhân tính trên tập xác định D nếu với mọi x, y ∈D thì x . y ∈ D và 
f(x . y) = f(x) . f(y). 
™ Nếu với mọi x, y ∈D mà x+y ∈D , x – y ∈D và f( x – y) = f(x) – f(y) thì f(x) cũng gọi là 
một hàm cộng tính trên D. 
™ Hàm f(x) = ( là hàm nhân tính. 
6. Hàm đơn điệu 
• Hàm số f(x) gọi là tăng trên (a, b) nếu : 
Với mọi 1 2 1 2 1 2, ( , ), ( ) ( )x x a b x x f x f x∈ ≤ ⇒ ≤ 
• Hàm số f(x) gọi là giảm trên (a, b) nếu : 
Với mọi 1 2 1 2 1 2, ( , ), ( ) ( )x x a b x x f x f x∈ ≤ ⇒ ≥ 
Phần II. CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG 
Phương pháp 1: Hệ số bất định. 
Tạp chí toán học trong nhà trường, số 8 – 2004 trang 62 – 66 (bản tiếng Nga) 
Nguyên tắc chung: 
9 Dựa vào điều kiện bài toán, xác định được dạng của f(x), thường là f(x) = ax + b hoặc f(x) = ax2+ 
bx + c 
9 Đồng nhất hệ số để tìm f(x) 
9 Chứng minh rằng mọi hệ số khác của f(x) đều không thỏa mãn điều kiện bài toán. 
Phương pháp dồn biến 
Bài 1: Tìm f: →\ \ sao cho: 
2 2( ) ( ) ( ) ( ) 4 .( ), ,x y f x y x y f x y xy x y x y− + − + − = − ∀ ∈\ 
Giải: 
Đặt 2
2
u vxu x y
v x y u vy
+⎧ =⎪= +⎧ ⎪⇒⎨ ⎨= − −⎩ ⎪ =⎪⎩
,
sup
0, :
,
inf
0, :
a a A
A
a A a
a a A
A
a A a
αα ε α ε
ββ ε β ε
≤ ∀ ∈⎧= ⇔ ⎨∀ > ∃ ∈ − <⎩
≥ ∀ ∈⎧= ⇔ ⎨∀ > ∃ ∈ + >⎩
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 2 of 108
 3
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) , , 0
vf u uf v u v uv
f u f vu v u v
u v
⇒ − = −
⇒ − = − ∀ ≠ 
Cho v = 1 ta có: 
2 2( ) (1) 1 , 0
1
f u fu u
u
− = − ∀ ≠ 
3( ) , 0f u u au u⇒ = + ∀ ≠ (a = f(1) – 1) 
Cho x = y = 0 ta có 2f(0) = 0 do đó f(0) = 0 
Kết luận 3( ) ,f x x ax x= + ∀ ∈\ 
Bài 2: 1 1( 1) 3 1 2 ,
1 2 2
xf x f x x
x
−⎛ ⎞− − = − ∀ ≠⎜ ⎟−⎝ ⎠ 
Giải : 
Đặt : 1 11 1
1 2 2 1 2 1
x y yy x x
x y y
− −= − ⇒ = ⇒ − =− − − 
1 1( 1) 3 1 2 ,
1 2 2
1 1 13 ( 1) ,
1 2 2 1 2
38 ( 1) 1 2
1 2
1 3 1( 1) 1 2 ,
8 2 1 2
1 3 1( ) 1 2 ,
8 2 1 2
xf x f x x
x
xf f x x
x x
f x x
x
f x x x
x
f x x x
x
⎧ −⎛ ⎞− − = − ∀ ≠⎜ ⎟⎪ −⎪ ⎝ ⎠⇒ ⎨ − −⎛ ⎞⎪⇒ − − = ∀ ≠⎜ ⎟⎪ − −⎝ ⎠⎩
⇒ − − = − + −
⎛ ⎞⇒ − = − + + ∀ ≠⎜ ⎟−⎝ ⎠
⎛ ⎞⇒ = + + ∀ ≠⎜ ⎟+⎝ ⎠
Ví dụ 1: Đa thức f(x) xác định với x∀ ∈\ và thỏa mãn điều kiện: 
 22 ( ) (1 ) ,f x f x x x+ − = ∀ ∈\ (1) . Tìm f(x) 
Giải: 
Ta nhận thấy vế trái của biểu thức dưới dấu f là bậc nhất : x, 1 – x vế phải là bậc hai x2. 
Vậy f(x) phải có dạng: f(x) = ax2 + bx + c 
Khi đó (1) trở thành: 
2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 x∀ ∈\ do đó: 
3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, x∀ ∈\ 
Đồng nhất các hệ số, ta thu được: 
1
33 1
22 0
3
3 0 1
3
a
a
b a b
a b c
c
⎧ =⎪=⎧ ⎪⎪ ⎪− = ⇔ =⎨ ⎨⎪ ⎪+ + =⎩ ⎪ = −⎪⎩
1 1 13 ( 1) ,
2 1 2 1 2
1 1 13 ( 1) ,
1 2 2 1 2
yf f y y
y y
xf f x x
x x
⎛ ⎞− −⇒ − − = ∀ ≠⎜ ⎟− −⎝ ⎠
− −⎛ ⎞⇒ − − = ∀ ≠⎜ ⎟− −⎝ ⎠
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 3 of 108
 4
Vậy 21( ) ( 2 1)
3
f x x x= + − 
Thử lại ta thấy hiển nhiên f(x) thỏa mãn điều kiện bài toán. 
Công việc còn lại ta phải chứng minh mọi hàm số khác f(x) sẽ không thỏa mãn điều kiện bài toán. 
Thật vậy giả sử còn hàm số g(x) khác f(x) thỏa mãn điều kiện bài toán. 
Do f(x) không trùng với g(x) nên 0 0 0: ( ) ( )x g x f x∃ ∈ ≠\ . 
Do g(x) thỏa mãn điều kiện bài toán nên: 
22 ( ) (1 ) ,g x g x x x+ − = ∀ ∈\ 
Thay x bởi x0 ta được: 20 0 02 ( ) (1 )g x g x x+ − = 
Thay x bởi 1 –x0 ta được 20 0 02 (1 ) ( ) (1 )g x g x x− + = − 
Từ hai hệ thức này ta được: 20 0 0 0
1( ) ( 2 1) ( )
3
g x x x f x= + − = 
Điều này mâu thuẫn với 0 0( ) ( )g x f x≠ 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là 21( ) ( 2 1)
3
f x x x= + − 
Ví dụ 2: Hàm số y = f(x) xác định , liên tục với x∀ ∈\ và thỏa mãn điều kiện: 
f(f(x)) = f(x) + x , x∀ ∈\ 
Hãy tìm hai hàm số như thế. 
(Bài này đăng trên tạp chí KVANT số 7 năm 1986, bài M 995 – bản tiếng Nga) 
Giải 
Ta viết phương trình đã cho dưới dạng f(f(x)) – f(x) = x (1) 
Vế phải của phương trình là một hàm số tuyến tính vì vậy ta nên giả sử rằng hàm số cần tìm có 
dạng : f(x) = ax + b. 
Khi đó (1) trở thành: 
 a( ax + b) + b – (ax + b) = x , x∀ ∈\ 
hay (a2 –a )x + ab = x, x∀ ∈\ 
đồng nhất hệ số ta được: 
2 1 5 1 51
2 20 0 0
a a a a
ab b b
⎧ ⎧+ −⎧ − = = =⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨=⎩ ⎪ ⎪= =⎩ ⎩ 
Ta tìm được hai hàm số cần tìm là: 
Hiển nhiên thỏa mãn điều kiện bài toán. 
Ví dụ 3: Hàm số :f →] ] thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 
) ( ( )) , (1)
) ( ( 2) 2) , (2)
) (0) 1 (3)
a f f n n n
b f f n n n
c f
= ∀ ∈
+ + = ∀ ∈
=
]
] 
Tìm giá trị f(1995), f(-2007) 
(olympic Ucraina 1995) 
Giải: 
Cũng nhận xét và lý luận như các ví dụ trước, ta đưa đến f(n) phải có dạng: 
 f(n) = an +b 
Khi đó điều kiện (1) trở thành: 
2 ,a n ab b n n+ + = ∀ ∈] 
Đồng nhất các hệ số, ta được: 
2 1 11
0 00
a aa
b bab b
= = −⎧ = ⎧ ⎧⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨= =+ = ⎩ ⎩⎩
1 5( )
2
f x x±=
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 4 of 108
 5
Với 
1
0
a
b
=⎧⎨ =⎩ ta được f(n) = n 
Trường hợp này loại vì không thỏa mãn (2) 
Với 
1
0
a
b
= −⎧⎨ =⎩ ta được f(n) = -n + b 
Từ điều kiện (3) cho n = 0 ta được b = 1 
Vậy f(n) = -n + 1 
Hiển nhiên hàm số này thỏa mãn điều kiện bài toán. 
Ta phải chứng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện bài toán 
Thật vậy giả sử tồn tại hàm g(n) khác f(n) cũng thỏa mãn điều kiện bài toán. 
Từ (3) suy ra f(0) = g(0) = 1 
Từ (3) suy ra f(1) = g(1) = 0 
Sử dụng điều kiện (1) và (2) ta nhận được: 
g(g(n)) = g(g(n+2)+2) n∀ ∈] 
do đó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) n∀ ∈] 
Hay g(n) = g(n+2)+2 n∀ ∈] 
Giả sử n0 là số tự nhiên bé nhất làm cho 0 0( ) ( )f n g n≠ 
Do f(n) cũng thỏa mãn (4) nên ta có: 
0 0 0 0
0 0
 ( 2) ( ) 2 ( ) 2 ( 2)
( 2) ( 2)
g n g n f n f n
g n f n
− = + = + = −
⇔ − = − 
Mâu thuẫn với điều kiện n0 là số tự nhiên bé nhất thỏa mãn (5) 
Vậy f(n) = g(n) , n∀ ∈` 
Chứng minh tương tự ta cũng được f(n) = g(n) với mọi n nguyên âm. 
Vậy f(n) = 1 – n là nghiệm duy nhất. 
Từ đó tính được f(1995), f(-2007). 
Các bài tập tương tự: 
Bài 1: Tìm tất cả các hàm số :f →\ \ thỏa mãn điều kiện: 
2( ) ( ) 2 ( ) (1 ) 2 (3 ), ,f x y f x y f x f y xy y x x y+ + − − + = − ∀ ∈\ 
 Đáp số f(x) = x3 
Bài 2: Hàm số :f →` ` thỏa mãn điều kiện f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, n∀ ∈` 
Tìm f(2005) 
 Đáp số : 2006 
Bài 3: Tìm tất cả các hàm :f →` ` sao cho: 
2 2( ( )) ( ( )) 3 3,f f n f n n n+ = + + n∀ ∈` 
 Đáp số : f(n) = n + 1 
Bài 4: Tìm các hàm :f →\ \ nếu : 
1 1 8 23 5 , 0, ,1, 2
3 2 2 1 3
x xf f x
x x x
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧ ⎫− = ∀ ∉ −⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ 
 Đáp số : 28 4( )
5
xf x
x
+= 
Bài 5: Tìm tất cả các đa thức P(x) [ ]x∈\ sao cho: 
P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y), ,x y∀ ∈\ 
 Đáp số : P(x) = x3 + cx 
 Phương pháp xét giá trị 
Bài 1: Tìm :f →\ \ thỏa mãn: 
1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) , , ,
2 2 4
f xy f yz f x f yz x y z+ − ≥ ∀ ∈\ 
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 5 of 108
 6
Giải: 
 Cho x= y = z = 0: 
Cho y = z = 0: 
Cho x= y = z = 1 
 Cho y = z = 1 
Từ ( 1) và (2) ta có f(x) = 1
2
Bài 2: Tìm : (0,1)f → \ thỏa mãn: 
f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) , , (0,1)x y z∀ ∈ 
Giải : 
Chọn x = y = z: f(x3) = 3xf(x) 
Thay x, y, z bởi x2 f(x6) = 3 x2 f(x2) 
Mặt khác f(x6) = f(x. x2 .x3) = xf(x) + x2 f(x2) + x3 f(x3) 
Hay 3 x2 f(x2) = xf(x) + x2 f(x2) + 3x4 f(x) 
 2 x2 f(x2) = xf(x) + 3x4 f(x) 
3
2 3 1( ) ( ),
2
xf x f x x+⇒ = ∀ ∈\ 
Thay x bởi x3 ta được : 
9
6 3
9
2 2
3 9
2
3 1( ) ( ),
2
3 13 ( ) 3 ( ),
2
3 1 3 13 ( ) 3 ( ),
2 2
( ) 0, 0
xf x f x x
xx f x xf x x
x xx f x xf x x
f x x
+⇒ = ∀ ∈
+⇒ = ∀ ∈
+ +⇒ = ∀ ∈
⇒ = ∀ ≠
\
\
\
Vậy f(x) = 0 với mọi x 
Phương pháp 2: Sử dụng tính chất nghiệm của một đa thức 
(Bài giảng của Tiến sỹ Nguyễn Vũ Lương – ĐHKHTN – ĐHQG Hà Nội) 
Ví dụ 1: Tìm P(x) với hệ số thực, thỏa mãn đẳng thức: 
1 1 1 1 ( ) ,
4 4 2 4
1( ) , (1)
2
f x x
f x x
+ − ≥ ∀ ∈
⇔ ≤ ∀ ∈
\
\
( )1 1 1 1( ) ( )
2 2 2 4
1( ) , (2)
2
f x f x f x
f x x
+ − ≥
⇔ ≥ ∀ ∈\
2
2
1 1 1 (0) (0) (0)
2 2 4
1( (0) ) 0
2
1(0)
2
f f f
f
f
+ − ≥
⇔ − ≤
⇔ =
3 2 3 2( 3 3 2) ( 1) ( 3 3 2) ( ), (1)x x x P x x x x P x x+ + + − = − + − ∀
2
2
1 1 1(0) (1) (1)
2 2 4
1( (1) ) 0
2
1(1)
2
f f f
f
f
+ − ≥
⇔ − ≤
⇔ =
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 6 of 108
 7
Giải: 
2 2(1) ( 2)( 1) ( 1) ( 2)( 1) ( ),x x x P x x x x P x x⇔ + + + − = − − + ∀ 
Chọn : 2 ( 2) 0x P= − ⇒ − = 
1 ( 1) 0
0 (0) 0
1 (1) 0
x P
x P
x P
= − ⇒ − =
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy P(x) = x(x – 1)(x + 1)(x + 2)G(x) 
Thay P(x) vào (1) ta được: 
2 2( 2)( 1)( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 2)( 1) ( 1)( 1)( 2) ( ),x x x x x x x G x x x x x x x x G x x+ + + − − + − = − − + − + + ∀ 
 Đặt 2
( )( ) (x 0, 1, -2)
1
G xR x
x x
= ≠ ±+ + 
( ) ( 1) (x 0, 1, -2)
( ) 
R x R x
R x C
⇒ = − ≠ ±
⇒ = 
Vậy 2( ) ( 1) ( 1)( 1)( 2)P x C x x x x x x= + + − + + 
Thử lại thấy P(x) thỏa mãn điều kiện bài toán. 
Chú ý : Nếu ta xét P(x) = (x3 + 1)(x – 1) 
Thì P(x + 1) = (x3 + 3x2 + 3x + 2)x 
Do đó (x3 + 3x2 + 3x + 2)xP(x) = (x2 – 1)(x2 – x + 1)P(x + 1) 
Từ đó ta có bài toán sau 
Ví dụ 2: Tìm đa thức P(x) với hệ số thực, thỏa mãn đẳng thức: 
(x3 + 3x2 + 3x + 2)xP(x) = (x2 – 1)(x2 – x + 1)P(x + 1) với mọi x 
Giải quyết ví dụ này hoàn toàn không có gì khác so với ví dụ 1 
Tương tự như trên nếu ta xét: 
P(x) = (x2 + 1)(x2 – 3x + 2) 
Ta sẽ có bài toán sau: 
Ví dụ 3: Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn đẳng thức: 
2 2 2 2(4 4 2)(4 2 ) ( ) ( 1)( 3 2) (2 1),x x x x P x x x x P x x+ + − = + − + + ∀ ∈\ 
Các bạn có thể theo phương pháp này mà tự sáng tác ra các đề toán cho riêng mình. 
Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp sai phân để giải phương trình hàm. 
1. Trước hết ta nhắc lại khái niệm về dãy số. 
 Dãy số là một hàm của đối số tự nhiên: 
:
 n x(n)
x →` `
6 
 Vì { }n 0,1,2,3,...∈ 
 { }1 2( ) , , ,...n ox x x x⇒ = 
2. Định nghĩa sai phân 
Xét hàm x(n) = xn 
Sai phân cấp 1 của hàm xn là 1n n nx x x+= −+ 
Sai phân câp 2 của hàm xn là 2 1 2 12n n n n n nx x x x x x+ + += − = − ++ + + 
( )2 2
2 2
2 2
1 ( 1) ( 1) ( ),
( 1) ( ) ,
1 1
( 1) ( ) ,
( 1) ( 1) 1 1
x x G x x x G x x
G x G x x
x x x x
G x G x x
x x x x
⇒ + + − = − + ∀
−⇔ = ∀− + + +
−⇔ = ∀− + − + + +
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 7 of 108
 8
Sai phân câp k của hàm xn là 
0
( 1)
k
k i i
n k n k i
i
x C x + −
=
= −∑+ 
3. Các tính chất của sai phân 
9 Sai phân các cấp đều được biểu thị qua các giá trị hàm số 
9 Sai phân có tính tuyến tính: 
( )k k kaf bg a f b gΔ + = Δ + Δ 
9 Nếu xn đa thức bậc m thì: 
 k nxΔ Là đa thức bậc m – k nếu m> k 
 Là hằng số nếu m= k 
 Là 0 nếu m<k 
Ví dụ : 
Xét dãy số hữu hạn: 1, -1, -1, 1, 5, 11, 19, 29, 41, 55 
Tìm quy luật biểu diễn của dãy số đó. 
Giải: 
Ta lập bảng sai phân như sau: 
nx 1 -1 -1 1 5 11 19 29 41 55
nxΔ -2 0 2 4 6 8 10 12 14 
2
nxΔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 
Vậy 2 nxΔ = const do đó nx là đa thức bậc hai: 2nx an bn c= + + 
Để tính a, b, c ta dựa vào ba giá trị đầu 0 1 21, 1, 1x x x= = − = − sau đó giải hệ phương trình ta 
nhận được: a = 1, b = -3, c = 1. 
Do đó 2 3 1nx n n= − + 
4. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất 
 0 1 1 00, , 0 (1)n k n k k n ka x a x a x a a+ + −+ + + = ≠" 
Gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k (ở đây k = n +k -1) 
5. Phương trình đặc trưng. 
 1 20 1 2 0
k k k
ka a a aλ λ λ− −+ + + + =" (2) 
6. Nghiệm tổng quát 
Nếu (2) có k nghiệm phân biệt 1 2 3, , , , kλ λ λ λ thì nghiệm tổng quát của (1) là 
1 1 2 2
n n n
n k kx c c cλ λ λ= + +" 
Nếu (2) có nghiệm bội, chẳng hạn nghiệm 1λ có bội s thì nghiệm tổng quát của (1) sẽ là: 
2 1
1 1 2 1 2 1 1 1 1
n n n s n n n
n s s s k kx c c n c n c n c cλ λ λ λ λ λ− + += + + + + + +" " 
7. Ví dụ 
Ví dụ 1: cho dãy ( nx ) có 
 3 2 1
0 1 2
6 11 6
3, 4, 1
n n n nx x x x
x x x
+ + += − +
= = = − 
Hãy tìm nx 
Giải : 
Ta có 3 2 16 11 6 0n n n nx x x x+ + +− + − = 
Phương trình đặc trưng là : 
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 8 of 108
 9
3 2 6 11 6 0
1, 2, 3
λ λ λ
λ λ λ
− + − =
⇔ = = = 
 Suy ra: 1 2 32 3
n n
nx c c c= + + 
 Để tìm 1 2 3, ,c c c ta phải dựa vào 0 1 2, ,x x x khi đó ta sẽ tìm được : 
1
2
3
3
2
8
7
2
c
c
c
⎧ = −⎪⎪ =⎨⎪⎪ = −⎩
 Từ đó 3 78.2 3
2 2
n n
nx = − + − 
 Ví dụ 2: 
 Cho dãy số ( nx ) có 0 1 20, 1, 3x x x= = = và 1 2 37 11 5 , 3n n n nx x x x n− − −= − + ∀ ≥ 
 Tìm nx 
Phương trình đặc trưng là : 
3 2 7 11 5 0
1, 1, 5
λ λ λ
λ λ λ
− + − =
⇔ = = = 
Vậy nghiệm tổng quát là : 1 2 35
n
nx c c n c= + + 
Để tìm 1 2 3, ,c c c ta phải dựa vào 0 1 2, ,x x x khi đó ta sẽ tìm được : 
1
2
3
1
16
3
4
1
16
c
c
c
⎧ = −⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪ =⎪⎩
Từ đó ta được: 1 3 1 5
16 4 16
n
nx n= − + + 
Chú ý : Với phương trình sai phân, ta có một số loại khác nữa như phương trình sai phân 
tuyến tính không thuần nhất, phương trình sai phân phi tuyến và có cả một hệ thống 
phương pháp giải quyết để tuyến tính hóa phương trình sai phân. Song liên quan đến 
phương trình hàm trong bài viết này, chỉ nhắc lại phương trình sai phân tuyến tính đơn giản 
nhất ( chưa xét đến phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất có nghiệm phức). 
8. Áp dụng đối với phương trình hàm 
Ví dụ 1: Tìm tất cả các hàm :f →\ \ thỏa mãn: 
 f(f(x)) = 3f(x) – 2x , x∀ ∈\ 
Giải : 
Thay x bởi f(x) ta được: 
f(f(f(x))) = 3f(f(x)) – 2f(x) , x∀ ∈\ 
 .. 
2 1
(... ( )) 3 (... ( )) 2 (... ( ))
n n n
f f x f f x f f x
+ +
= −	
 	
 	
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 9 of 108
 10
Hay 2 1( ) 3 ( ) 2 ( ), 0n n nf x f x f x n+ += − ≥ 
Đặt ( ), 0n nx f x n= ≥ 
Ta được phương trình sai phân: 
 2 13 2n n nx x x+ += − 
Phương trình đặc trưng là : 2 3 2 0 1 2λ λ λ λ− + = ⇔ = ∨ = 
Vậy 1 2 2
n
nx c c= + 
Ta có: 
 0 1 2
1 1 22 ( )
x c c x
x c c f x
= + =
= + = 
Từ đó ta được 1 22 ( ), ( )c x f x c f x x= − = − 
Vậy 2( )f x x c= + hoặc 1( ) 2f x x c= − 
Ví dụ 2: Tìm tất cả các hàm f xác định trên N và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 
2 ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ),
(1) 1
f n f k n f k n f n f k k n
f
+ − − = ≥
= 
Giải: 
Cho k = n = 0 
2 22 (0) 2 (0) 3 (0)
(0) 0 (0) 2
f f f
f f
⇒ − =
⇔ = ∨ = − 
Nếu f(0) = 0 chọn n = 0 ta được: -2 f(k) = 0 do đó f(k) = 0 với mọi k 
Chọn k = 1 ta được f(1) = 0 mâu thuẫn với giả thiết. 
Vậy f(0) = -2 
Chọn n = 1 ta được phương trình: 
 2 (1) ( 1) 2 ( 1) 3 (1) ( ),
2 ( 1) 2 ( 1) 3 ( ),
f f k f k f f k k
f k f k f k k
+ − − = ∀
⇔ + − − = ∀ 
Đặt ( )kx f k= ta có phương trình sai phân 1 12 3 2 0k k kx x x+ −− − = 
Phương trình đặc trưng là 2 12 3 2 0 2
2
λ λ λ λ− − = ⇔ = ∧ = − 
Vậy 1 2
1( ) 2
2
n
nf n c c ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Ta tìm 1 2,c c từ điều kiện f(0) = -2 , f(1) = 1 
Dễ tìm được 1 20, 2c c= = − 
Vậy 1( ) 2
2
n
f n ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Phương pháp 4: ĐIỂM BẤT ĐỘNG. 
1. Đặc trưng của hàm 
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 10 of 108
 11
Như ta đã biết, phương trình hàm là một phương trình thông thường mà nghiệm của nó là 
hàm. Để giải quyết tốt vấn đề này, cần phân biệt tính chất hàm với đặc trưng hàm. Những 
tính chất quan trắc được từ đại số sang hàm số, được gọi là những đặc trưng hàm. 
™ Hàm tuyến tính f(x) = ax , khi đó f(x + y) = f(x) + f(y) 
Vậy đặc trưng là f(x + y) = f(x) + f(y) với mọi x, y 
™ Hàm bậc nhất f(x) = ax + b, khi đó f(x) + f(y) = 2f( 
Vậy đặc trưng hàm ở đây là ( ) ( ) , ,
2 2
x y f x f yf x y+ +⎛ ⎞ = ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ \ 
Đến đây thì ta có thể nêu ra câu hỏi là : Những hàm nào có tính chất 
( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y+ = + ∀ ∈\ . Giải quyết vấn đề đó chính là dẫn đến phương trình 
hàm. Vậy phương trình hàm là phương trình sinh bởi đặc trưng hàm cho trước. 
™ Hàm lũy thừa ( ) , 0kf x x x= > 
Đặc trưng là f(xy) = f(x)f(y) 
™ Hàm mũ ( ) ( 0, 1)xf x a a a= > ≠ 
Đặc trưng hàm là f(x + y) = f(x)f(y), ,x y∀ ∈\ 
™ Hàm Logarit ( ) log (a>0,a 1)af x x= ≠ 
Đặc trưng hàm là f(xy) = f(x) + f(y). 
™ f(x) = cosx có đặc trưng hàm là f(x + y) + f(x – y) = 2f(x)f(y) 
Hoàn toàn tương tự ta có thể tìm được các đặc trưng hàm của các hàm số 
f(x) =sinx, f(x) = tanx và với các hàm Hypebolic: 
¾ 
¾ sin hypebolic 
2
x xe eshx
−−= 
¾ cos hypebolic 
2
x xe echx
−+= 
¾ tan hypebolic 
x x
x x
shx e ethx
chx e e
−
−
−= = + 
¾ cot hypebolic 
x x
x x
chx e ecothx
shx e e
−
−
+= = − 
 shx có TXĐ là \ tập giá trị là \ 
 chx có TXĐ là \ tập giá trị là [1, )+∞ 
 thx có TXĐ là \ tập giá trị là (-1,1) 
 cothx có TXĐ là \{0}\ tập giá trị là ( , 1) (1, )−∞ − ∪ +∞ 
 Ngoài ra bạn đọc có thể xem thêm các công thức liên hệ giữa các hàm 
 hypebolic, đồ thị của các hàm hypebolic 
2. Điểm bất động 
Trong số học, giải tích, các khái niệm về điểm bất động, điểm cố định rất quan trọng và 
nó được trình bày rất chặt chẽ thông qua một hệ thống lý thuyết. Ở đây, tôi chỉ nêu ứng 
dụng của nó qua một số bài toán về phương trình hàm. 
Ví dụ 1: Xác định các hàm f(x) sao cho: f(x+1) = f(x) + 2 x∀ ∈\ 
Giải: 
Ta suy nghĩ như sau: Từ giả thiết ta suy ra c = c + 2 do đó c = ∞ 
WWW.MATHVN.COM www.MATHVN.com
Page 11 of 108
 12
Vì vậy ta coi 2 như là f(1) ta được f(x + 1) = f(x) + f(1) (*) 
Như vậy ta đã chuyển phép cộng ra phép cộng. Dựa vào đặc trưng hàm, ta phải tìm a : 
f(x) = ax để khử số 2. Ta được 
 (*) ( 1) 2a x ax⇔ + = + 
 2a⇔ = 
Vậy ta làm như sau: 
Đặt f(x) = 2x + g(x) 
Thay vào (*) ta được: 2(x + 1) + g(x + 1) = 2x + g(x) + 2, x∀ ∈\ 
Điều này tương đương với g(x + 1) = g(x), x∀ ∈\ 
Vậy g(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 1. 
Đáp số f(x) = 2x + g(x) với g(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 1. 
Qua ví dụ 1, ta có thể tổng quát ví dụ này, là tìm hàm f(x) thỏa mãn: 
 f(x + a) = f(x) + b, x∀ ∈\ , a, b tùy ý 
Ví dụ 2: Tìm hàm f(x) sao cho: f(x + 1) = - f(x) + 2, x∀ ∈\ (1) 
Giải: 
ta cũng đưa đến c = -c + 2 do đó c = 1 
vậy đặt f(x) = 1 + g(x), thay vào (1) ta được phương trình: 
 g(x + 1) = - g(x), x∀ ∈\ 
Do đó ta có: 
 [ ]
( 1) ( )
( 2) ( )
1( ) ( ) ( 1)
 x (3)2
( 2) ( )
g x g x
g x g x
g x g x g x
g x g x
+ = −⎧⎨ + =⎩
⎧ = − +⎪⇔ ∀ ∈⎨⎪ + =⎩
\
Ta chứng minh mọi nghiệm của (3) có dạng : 
 [ ]1( ) ( ) ( 1) , x 
2
g x h x h x= − + ∀ ∈\ 
ở đó h(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 2 
qua ví dụ này, ta có thể