Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 7

January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 1 
CHUYấN ĐỀ 1 
Số hữu tỉ, các phép toán trên tập hợp số hữu tỉ 
I. Tóm tắt lý thuyết: 
1. Định nghĩa: Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng 
a
b
 với a,b Z, b 0. 
2. Biểu diễn số hữu tỉ trờn trục số: Bất kỳ số hữu tỉ nào cũng có thế biểu diễn trên 
trục số. Trên trục số điểm biểu diễn số hữu tỉ x được gọi là điểm x. 
3. So sỏnh hai số hữu tỉ : Với hai số hữu tỉ x, y ta luôn có: hoặc x>y, hoặc x=y, 
hoặc x<y. 
*Ta có thể so sánh hai số hữu tỉ bằng cách viết chúng dưới dạng phân số rồi so sánh 
hai phân số đó. 
*Nếu x<y thì trên trục số, điểm x nằm bên trái điểm y. 
*Số hữu tỉ lớn hơn 0 gọi là số hữu tỉ dương; số hữu tỉ bé hơn 0 gọi là số hữu tỉ âm, 
số 0 không phải là số hữu tỉ dương, không phải là số hưu tỉ âm. 
4. Cộng trừ hai số hữu tỉ: 
*Phép cộng số hữu tỉ có các tính chất của phép cộng phân số: Giao hoán, kết hợp, 
cộng với số 0, cộng với số đối. 
* Quy tắc: x = 
a
m
; y=
b
m
 (a,b,m Z; m  0) 
Ta có: x+ y= 
a
m
+
b
m
=
a b
m

 và x-y= 
a
m
-
b
m
=
a b
m

5. Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một sô hạng từ vế này sang vế kia của một 
đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó. 
* TQ: Với mọi x,y,z  Q: x+ y = z => x=z-y. 
* Trong Q cũng có nhưỡng tổng đại số được áp dụng các phép biến đổi như các 
tổng đại số trong Z. 
6. Nhân chia số hữu tỉ: 
Quy tắc: x = 
a
m
; y=
b
m
 (a,b,m  Z; m  0) 
Ta có: x.y= 
a
b
.
c
d
=
ac
bd
 và x:y=
a
b
: 
c
d
=
ad
bc
* Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y được gọi là tỉ số của x và y, ký 
hiệu: 
x
y
 hay x: y 
7. Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ: 
  x,  khi  x 0
x
x , khi x 0

 
 
|x|  x; |x| = |-x|; |x|0 
II. Bài tập vận dụng: 
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 2 
Bài 1. 
a) Cho hai số hữu tỉ: 
a
b
 và 
c
d
 với (b > 0, d > 0). 
Chứng tỏ rằng: 
a
b
 <
c
d
 khi và chỉ khi ad < bc. 
b) áp dụng, hãy so sánh các số hữu tỉ sau: 
11
13
 và 
22
27
; 
5
11

 và 
9
23

HD: a) Ta có 
a ad c bc
;
b bd d bd
  vì b> 0, d > 0 nên bd > 0, do đó 
- Nếu 
a
b
 <
c
d
 thì 
ad bc
ad bc
bd bd
   
- Nếu 
ad bc a c
ad bc
bd bd b d
     
Vậy 
a
b
 <
c
d
  ad < bc. 
 b) Ta có 11.27=297; 13.22=286 => 11.27 < 13.22 
 vậy theo câu a) 
11
13
> 
22
27
; tương tự ta có 
5
11

 < 
9
23

Bài 2. Thực hiện phép tính sau một các hợp lý. 
3 3
0,375 0,3 1,5 1 0,7511 12A
5 5 5
0,625 0,5 2,5 1,25
11 12 3
    
 
     
 HD: 
Ta có: 
3 3 3 3 1 1 1 13 3
3( )0,375 0,3 38 10 11 12 8 10 11 1211 12
5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 50,625 0,5 5( )
11 12 8 10 11 12 8 10 11 12
       
  
              
Và 
1 1 13 3 3 3
1,5 1 0,75 32 3 42 3 4
5 5 5 5 1 1 1 52,5 1,25 5
3 2 3 4 2 3 4
 
         
       
 
 Vậy A=
3 3
5 5

 = 0 
Bài 3. Tìm x biết 
 a) 
3 3 2
x
35 5 7
 
   
 
 b) (5x-1)(2x-
1
3
) = 0 c) 
3 1 3
: x
7 7 14
  
HD: a) 
3 3 2
x
35 5 7
 
   
 
  
3 3 2
x
35 5 7
    x= 
3 3 2
35 5 7
   x=
5
7

January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 3 
b) (5x-1)(2x-
1
3
)= 0  5x-1= 0 hoặc 2x-
1
3
= 0 
1
x
5
 hoặc x=
1
6
c) 
3 1 3 1 3 3 1 3 3
: x : x x :
7 7 14 7 14 7 7 14 7
 
        
 
  x=
2
3

Bài 4. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau nhận giá trị âm: 
a) x2+5x; b) 3(2x+3)(3x-5) 
HD: Ta có x2+5x = x(x+5) 
x - -5 - 0 + 
x+5 - 0 + + 
x(x+5) + - + 
Vậy x2+5x < 0 khi -5 < x < 0. 
Bài 5. Cho x, y thuộc Q chứng tỏ rằng: 
a) |x+y|  |x| + |y| 
b) |x-y|  |x| - |y| 
HD: a) với mọi x, y ta luôn có: x  |x| và - x  |x|; y  |y| và - y  |y| 
Suy ra và -(x+y)  |x| + |y| hay (x+y)  -(|x| + |y|) do đó: 
-(|x| + |y|)  x+y  |x| + |y| hay |x+y|  |x| + |y| 
|x+y| = |x| + |y| khi x.y0 
 (b. học sinh tự chứng minh) 
Bài 6. Tìm x biết a) |x-3|=3 b) 1.25 -|0.5-x| = 0 c) 
2 3 1
x 1 x 0
3 4 2
  
    
  
d) 
1
x . 2,7 9
3
   
HD: Ta có 
(x)
(x)
(x)
f a
f a
f a

  
 
 (điều kiện a0) 
a) |x-3|=3  3 3x   hoặc x-3=-3  x=0 hoặc x=6 
b) 1,25 - |0.5- x|=0  |0.5-x|=1,25 (giải như a) ) 
c) A(x).B(x) = 0  A(x)= 0 hoặc B(x) = 0 
2 3 1
x 1 x 0
3 4 2
  
    
  

2
x 1 0
3
 
  
 
hoặc
3 1
x 0
4 2
 
  
 
  
3
x
2
 hoặc 
2
x
3
  
d) 
1
x . 2,7 9
3
   
1 9
x
3 2,7
 (Giải như a) ) 
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 4 
Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất của A biết rằng: A=|x-3|-|5-x| 
HD: Ta có: |x-y|  |x| - |y| vậy |x-3|-|5-x|  |x-3-x+5| = 2 Vậy giá trị lớn nhất của 
A là 2 khi (x-3)(x-5)0  x3 hoặc x5 
Bài 8. Tính nhanh 
1) 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
90 72 56 42 30 20 12 6 2
        
90
79
9
8
90
1
9
1
1
90
1
9
1
8
1
...........
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
90
1
9.8
1
8.7
1
7.6
1
6.5
1
5.4
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
90
1
72
1
56
1
42
1
30
1
20
1
12
1
6
1
2
1
90
1





























2) 
1 1 1 1
( 2).( 1 ).( 1 ).( 1 ).......( 1 )
2 3 4 n
     
 
n
3 4 5 n 1
( 2).( ).( ).( )......( )
2 3 4 n
( 2).( 3).( 4)........( (n 1))
1.2.3.4..................n
1 .(n 1)

     
    

  
Bài 9. Tính 
a) 
19
4
2
19
15
3
15
4
1
1
3
4
15
1
1
1
3
4
3
3
1
1
1
3
3
1
1
1
3
1
1
1
3












b) 
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 5 
23
17
1
23
6
2
6
11
2
1
2
11
1
1
2
2
1
2
3
2
3
3
1
2
2
1
2
2
1
1
1
3
3
1
2
2
1
2
















Bài 10. Tìm giá trị của chữ trong biểu thức hữu tỉ thoả mãn điều kiện cho trước 
Ta có : 
2a 3 a.(a 1) (a 1) 4
a 1 a 1
4 4
a 1 Z Z
a 1 a 1
    
 
 
     
 
 a-1 là các ước của 4 
a -1  {-4 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 4 } 
a  {-3 ; -1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 5 } 
Vì (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2ab = 2.1/18=1/9 
a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab 
2
1 1 1 1 5
2 9 4 9 36
 
     
 
(a - b)2 = a2 - 2ab +b2 
5 1 1 1
a b
36 9 36 6
       
*) Nếu a - b = 1/6 thì a2 - b2 = (a - b)(a + b) 
 = 
12
1
2
1
.
6
1
 
*) Nếu a - b = -1/6 thì a2 - b2 = (a - b)(a + b) 
12
1
2
1
.
6
1
 
Đặt 
x
a \ (x,y) 1;x,y Z & y 0
y
    
Ta có : 
2 2
2 21 x y x ya Z x y xy
a y x xy

        (1) 
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 6 
Từ (1)  x2  xy mà (x,y) = 1 y = 1 
 y2  xy  y2  x mà (x,y) = 1 x = 1 
Vậy x = y = 1  a = 1 
Bài 11. Chứng minh : 
1/ CMR: 
2 3 10 11
1 1 1 1 1
1
2 2 2 2 2
      
Biến đổi vế trái ta có 
2 3 4 2
1 1 1 1 1
1 ........
2 3 4 100 100
      
Đặt 
2 2 2 2
1 1 1 1
A 1 ......
2 3 4 1000
      
III. Bài tập tự giải: 
Bài 1. Cho a,b Z và b 0 chứng tỏ rằng: 
a -a -a a
; =
-b b -b b
 
Bài 2. Cho 
a
(b > 0)
b
 chứng tỏ rằng 
a) 
a
 < 1
b
 khi và chỉ khi a < b 
b) 
a
 > 1
b
 Khi và chỉ khi a> b 
Bài 3. So sánh hai số hữu tỉ 
a
b
 và 
a + n
b + n
 với a, b, n Z và b> 0; n > 0 
Áp dụng so sánh 
2
7
và 
4
9
; 
17
25

 và 
14
28

Bài 4. a) Cho A =
1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1 1
2 3 4 9 10
      
          
      
 So sánh A với 
1
9

 b) Cho B =
1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1 1
4 9 16 81 100
      
          
      
 So sánh B với 
11
21

Bài 5. Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau nhận giá trị dương 
a) x2- 4x; b) (4-x)(x-3) c) 
(x 1)(x 2)
x 6
 

Bài 6. Viết tổng thành tích 
a) ax + bx- ay- by + az - bz b) am+ bn+ bm+ an – m - n 
c) 3a(2b + c) + 8b + 4c 
Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của B biết B = |1993- x| +|1994 - x| 
Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C=x2+ |y-2| -5 
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 7 
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = 
5
x
3
  
Bài 10. Tìm các giá trị của x để cho 
x 3
A
3x 2



 a) A= 0; b) A< 0 
Bài 11. Tìm số nguyên n để phân số sau có giá trị là một số nguyên và tính giá trị 
đó: 
a) A=
3n 9
n 4


; b) B =
6n 5
2n 1


Bài 12. Tìm x biết 
a) |3x-5|= 4 b) 
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
10 11 12 13 14
    
    c) 
x 4 x 3 x 2 x 1
2005 2006 2007 2008
   
   
Bài 13. Chứng minh rằng 
1 2 3 99
... 1
2! 3! 4! 100!
     
Bài 14. 
 a) Người ta viết 7 số hữu tỉ trên một vòng tròn . Tìm các số đó, biết rằng tích của 
hai số bất kỳ cạnh nhau bằng 16. 
b) Cũng câu hỏi như trên với n số. 
Bài 15. Chứng minh rằng: A=
1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
1.2 3.4 5.6 49.50 26 27 28 50
         
Bài 16. Cho A= 
1 1 1 1
...
1.2 3.4 5.6 99.100
    chứng minh rằng: 
7 5
A
12 6
  
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 8 
CHUYấN ĐỀ 2 
luỹ thừa của một số hữu tỉ 
Các bài toán về luỹ thừa 
Số tiết: 6 tiết 
I. Tóm tắt lý thuyết: 
- Luỹ thừa bậc n của một số hữu tỉ x ký hiệu là xn, là tích của n thừa số x (n là một 
số tự nhiên lớn hơn 1). 
Quy ước: x0=1; x1=x. 
+ Ta có các quy tắc: 
   
m n m + n m n m - n
m
m
n mm m.n m m
m
x .x x ; x :x =x (xạ0;m n)
x x
x  x ; x.y x .y ; (y 0)
y y
 
 
    
 
+Bổ sung: 
*Luỹ thừa với số mũ nguyên âm: 
-n
n
1
x
x
 (n nguyên dương, x  0) 
(x-n là nghịch đảo của xn ) 
*Hai luỹ thừa có cùng cơ số. 
Cho m> n > 0 thì: Nếu a >1 am > an 
 a=1 am = an 
 a<1 am < an 
*Luỹ thừa bậc chẳn của hai số đối nhau thì bằng nhau 
(-x)2n = x2n 
*Luỹ thừa bậc lẽ của hai số đối nhau thì đối nhau 
(-x)2n+1 = -x2n+1 
II. Bài tập vận dụng: 
* Dạng 1.So sánh lũy thừa: 
1/ So sánh 2100 và 10249 
Biến đổi về cùng cơ số 
Ta có : 10249 = (210)9 = 290 < 2100 
Nên 10249 < 2100 
2/ So sánh 2300 và 3200 
 Ta có : 2300 = (23)100 = 8100 
 3200 = (32)100 = 9100 
Vì 8100 < 9100 nên 2300 < 3200 
3/ So sánh 1340 và 2161 
2161 > 2160 = (24)40 = 1640 > 1340 
Nên 2161 > 1340 
4/ So sánh 329 và 1813 
 Ta có : 329 = (25)9 = 245 
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 9 
 1813 > 1613 = (24)13 = 252 
Vậy 1813 > 252 > 245 = 329 nên 1813 > 329 
*Dạng 2. Thứ tự thực hiện phép tính biểu thức có chứa luỹ thừa 
 Phương pháp : 
+ Biến đổi đưa về cùng số mũ để gộp cơ số 
+ Biến đổi đưa về cùng cơ số , đặt cơ số chung để tính hợp lý 
Bài 1. Tính 
a) (-2)3 +22 + (-1)10 = -8 + 4 + 1 = -3 
b) 
           
22 2 2 22 33 2 5 81 8 25
81 64 525 515
       
    
c)  
0
23 21 12 3 . 2 .4 2 : .8
2 2
            
= 8 + 3 + 1 + (4 : 1/2) . 8 = 8 + 3 + 1 + 8.8 =74 
d) 
2
3 2 3 4 21 19.3 . . 3 .3 3 3 27
81 3

    
 
Bài 2. Tính 
a) (-2)3+22+(-1)10 b)      
22 232 23 2 5    
 
 c)  
0
23 21 12 3 2 .4 2 : .8
2 2
         
   
Giải. a) (-2)3+22+(-1)10 = -8+4+1=-3 
 b)      
22 232 23 2 5    
 
=34- 26-54=81-64-375=-358 
c)  
0
23 21 12 3 2 .4 2 : .8
2 2
            
= 8+3.1 2
2
1 1
.4 2 : .8
2 2
 
    
 =
1 1
8+3- .4 4 : .8 74
4 2
 
  
 
*Dạng 3. Tính luỹ thừa có qui luật : 
Phương pháp : 
Sử dụng công thức : a2 - b2 = (a - b).(a + b) 
Ví dụ. Tính 
1/ 1002 - 992 +982 - 972 +........+22- 1 
 = (1002 - 992) + (982 - 972) +......+(22 - 1) 
 = (100 - 99)(100 + 99) +(98 - 97)(98 + 97) 
 +....+(2 - 1)(2 + 1) 
 = 100 + 99 + 98 + 97 + 96 +..... + 2 + 1 
= 
= 
 
5050
2
100.1100


2/ (202 + 182+162+....+22) -(192+172+152+...+12) 
 Đáp số = 210 
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 10 
*Dạng 4. Tìm giá trị của biến trong luỹ thừa: 
Bài 1. Tìm n biết 
a) 
  
nn n 2 3 n 3n-2 n1 27 3 3 . 3 3 3 3
9
3n 2 n 3n - n 2 2n 2 n 1
    
        
b) 2-1. 2
n
 + 4 . 2
n - 1
 = 5 . 2
5
 2
n - 1 + 2
2
 . 2
n - 1
 = 5 . 2
5
 2n - 1 ( 1 + 22 ) = 5 . 25 
 2 n - 1. 5 = 5 . 25 
 2
n - 1
 = 25 
 n - 1 = 5 
 n = 6 
c) x(n - 2)(n + 3) = 1 
 x(n - 2)(n + 3) = 1= x 0  (n - 2)(n + 3) = 0 
Vậy n = 2 hoặc n = -3 
d) 2x + 2 - 2x = 96 
 2x(22 - 1) = 96 
 2x . 3 = 96 
 2x = 96 : 3 = 32 = 25 x = 5 
Bài 2.Tìm x biết: 
a) (2x+1)2 =1 b) (3x-2)2 = 0 c) (x+3)3 = - 27 
Giải. 
a) Ta có 1=12 = (-1)2  2x+1 = 1 hoặc 2x+1 = -1  x=0 hoặc x=-1 
b) (3x-2)2 =03x-2=0 
2
3
x  
c) (x+3)3 =-27 =(-3)3  x+3=-3 x=-6 
Bài 3. Tìm x biết: 
a) 2x+2-2x=96 b) 7x+2+2.7x-1=345 
Giải. 
a) 2x+2-2x=96 22.2x-2x=96 2x(4-1)=96 2x=32=25x=5 
b) 7x+2+2.7x-1=345 73 .7x-1+2.7x-1=345  7x-1 (73+2)=345  7x-1 345=345 
 7x-1 =1 x-1= 0 x=1 
*Dạng 5. Chứng minh đẳng thức: 
Bài 1. Chứng minh rằng: 
a) 128.912 =1816; b) 4510.530=7520; c) 
 
34 3
5 3
5 5 64
125 25

 
 Chứng minh 
a) 128.912 =1816 
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 11 
VT=128.912=      
8 12 82 2 2 8 24 16 32 16 16 162 .3 . 3 2 .3 .3 2 .3 2 .9 18 VP     
b) 4510.530=(9.5)10.510.520=320.510.510.520=320.520.520=(3.5.5)20=7520; 
c) 
 
3
4 3
5 3
5 5 64
125 25

 (học sinh tự giải) 
Bài 2. Chứng minh rằng : 109 + 108 + 10 7  222 
109 + 108 + 10 7 = 107.(102 + 10 + 1) = 107. 111 
= 106 .2 .5 .111 = 106 . 5 . 222  222 
*Dạng 4. Bất đẳng thức: 
So sánh hai số sau 
a) 
10
1
16
 
 
 
và 
50
1
2
 
 
 
 b) 0,110 và 0,320; c) 2300 và 3200 d) 230+320+430 và 3.2410 
HD: a) 
10
1
16
 
 
 
=
10 40
4
1 1
2 2
   
   
   
>
50
1
2
 
 
 
b) 0,320 > 0,120 
* Dạng 6. Bài toán về phép chia hết: 
 Chứng minh rằng 
a) 5 4 35 5 5  chia hết cho 7. 
b) 6 5 47 7 7  chia hết cho 11 
c) 54 24 1024 .54 .2 chia hết cho 7263 
HD giải. 
a)  5 4 3 3 2 35 5 5 5 5 5 1 5 .21 7       (vì 21 chia hết cho 7). 
b) 6 5 4 4 2 47 7 7 7 (7 7 1) 7 .55 11       (vì 55 chia hết cho 11) 
c)    
54 2454 24 10 3 3 10 54 72 54 8 724 .54 .2 3.2 . 3 .2 .2 3 .3 .8 .8 .8.2  
III. Bài tập tự giải: 
Bài 1. Rút gọn biểu thức A 2 3 49 501 5 5 5 ... 5 5       
Bài 2. Cho B=
2 3 4 98 99
1 1 1 1 1 1
...
2 2 2 2 2 2
         
              
         
 .Chứng minh rằng B < 1 
Bài 3. Sắp xếp các số hữu tỉ a; b; c theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. 
100 75 50a 2 ; b 3 ; c 5   
Bài 4. Tìm các số tự nhiên x biết: 
 a) x x 2 x 1 x 1a)5 5 650 b)3 5.3     
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 12 
CHUYấN ĐỀ 3 
tỉ lệ thức - tính chất dãy tỉ số bằng nhau 
I. Tóm tắt lý thuyết: 
*Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số. Trong tỉ lệ thức 
a c
b d
 các số 
hạng a,d gọi là ngoại tỉ; b, c gọi là các số hạng trung tỉ. 
*Tính chất 1: Nếu 
a c
b d
 thì ad=bc. 
*Tính chất 2: Nếu a.d = b.c và a,b,c,d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức: 
a c a b d c d b
; ; ;
b d c d b a c a
    
 Như vậy, từ 1 trong năm đẳng thức sau đây ta có thể suy ra được các đẳng 
thức còn lại. 
* Tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau: 
1) Từ dóy tỉ số   
a c
b d
  ta suy ra:   
a c a c a c
b d,b d
b d b d b d
 
     
 
. 
Tổng quỏt hơn, ta cú:  
2)  Từ  dóy  tỉ  số     
a c e
b d f
   ta  suy  ra: 
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
   
   
   
(  giả  thiết 
cỏc số đều cú nghĩa). 
II. Bài tập vận dụng 
Bài 1. Tìm các số x,y,z biết 
x 1 y 2 z 3
2 3 4
  
  (1) và x 2y 3z 14   (2) 
 ad = bc 
(a, b, c, d  0) 
a c
b d
 
a b
c d
 
d c
b a
 
d b
c a
 
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 13 
Giải. Đặt 
x 1 y 2 z 3
k (k Z)
2 3 4
  
    suy ra: x = 2k+1; y=3k+2; 
z = 4k+3 
Thay vào (2) ta có: 2k+1- 6k – 4 + 12k+ 9 = 14  k=1 
Vậy x= 3; y = 5; z = 7. (Học sinh có thế giải cách khác) 
Bài 2. Chứng minh rằng: từ tỉ lệ thức: 
a c
b d
 có thể suy ra tỉ lệ thức: 
a b c d
a b c d
 

 
Giải. Từ 
a c
b d
 , suy ra 
a b
c d
 , áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
a b a b a b
.
c d c d c d
 
  
 
Từ 
a b a b
,
c d c d
 

 
ta lại suy ra
a b c d
.
a b c d
 

 
(đpcm) 
Bài 3. Tìm các số x, y, z biết rằng 
x y y z
;
3 4 5 7
  và 2x 3y z 186   
Giải. Từ giả thiết ta có 
x y y z
;
15 20 20 28
  theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta 
có: 
x y z 2x 3y 2x 3y z 186
3
15 20 28 30 60 30 60 28 62
 
      
 
 suy ra x= 45; y= 60; z = 84 
Bài 4. Tìm các số x,y,z biết rằng: 
y z 1 x z 2 y x 3 1
x y z x y z
     
  
 
Giải. 
Theo tính chất dạy tỉ số bằng nhau ta có: 
y z 1 x z 2 y x 3 1
x y z x y z
     
  
 
=
y z 1 x z 2 y x 3 2(x y z)
2
x y z x y z
         
 
   
(vì x+y+z  0). Do đó x+y+z = 0,5. Thay kết quả này vào đề bài ta có: 
0,5 x 1 0,5 y 2 0,5 z 3
2
x y z
     
   tức là 
1,5 x 2,5 y 2,5 z
2
x y z
   
   
Vậy 
1 5 5
x ; y ; z
2 6 6

   
Bài 5. Tìm x, y, z .Biết 
x y y z
& ; 2 x 3 y z 1 8 6
3 4 5 7
     
Giải. Từ 
x y x y
3 4 15 20
   (1) 
Từ 
y z y z
5 7 20 28
   (2) 
Từ (1) và (2) 
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 14 
x y z 2x 3y
15 20 28 30 60
2x 3y z 186
3
30 60 28 62
    
 
  
 
x = 3 . 15 = 45 
y = 3 . 20 = 60 
 z = 3 . 28 = 84 
Bài 6 . Tìm x, y biết : 
x y
2 5
 và xy = 90 
Chú ý : 
x y xy
2 5 2.5
  
Giải . 
* Cách 1. Đặt tỉ số k 
x y
k
2 5
   x = 2k , y = 5k 
 xy = 2k . 5k = 10k2 = 90  k2 = 9 
 k = 3 hoặc k = - 3 
 x = 6 hoặc x = -6 
 y = 15 hoặc y = - 15 
* Cách 2. 
2
2x y x.x xy x 90 18 x 36
2 5 2 5 2 5
x 6
y 15
       
  
 
Bài 7. Cho tỉ lệ thức 
a b a 2b a c
,b,d 0.CMR: 
c d c 2d b d
 
  
 
. 
Giải. 
Từ       
a b a 2b a c
a b c 2d c d a 2b 3ab 3bc
c d c 2d b d
 
            
 
Bài 8. Cho 
a 5 b 6 a 5
,a 5,a 6.CMR: 
a 5 b 6 b 6
 
   
 
Giải. 
     
a 5 b 6 a 5
a 5 b 6 a 5 b 6 6a 5b .
a 5 b 6 b 6
 
          
 
Bài 9. CMR nếu :  
a c
b d
 thỡ 
2 2
2 2
a b ab
c d cd



. 
January 1, 2011 
[MAI THẾ QUỲNH - TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC 
SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7 
 15 
Giải. 
Bài 11.  Cho  cỏc  số  A,B,C  tỉ  lệ  với  a,  b,c  CMR  giỏ  trị  của  biểu  thức    :  
Ax By C
Q
ax by c
 

 
 khụng phụ thuộc vào x,y. 
Giải. 
Ta cú 
A B C
k A ka;B kb;C kc Q k
a b c
          
Bài 12. Cho biểu thức 
x 2y 3z
P
x 2y 3z
 

 
, biết rằng cỏc số x,y,z tỉ lệ với cỏc số 5;4;3 
CMR  giỏ trị của P khụng phụ thuộc vào x,y,z  
Giải. 
Ta cú  
x y z 2
k x 5k;y 4k;z 3k P
5 4 3 3
          
Bài 13. Cho tỉ lệ thức 
a c
1
b d
  , với  a, b , c, d 0  
CMR 
a b c d
a c
 
 
Giải. 
a c a b a b a b a
b d c d c d c d c
 
      
 
a b c d
a c
 
  
Bài 14. Cho a + d = b + c và   2 2 2 2a d b c b , d 0    .CMR: 4 số a,b,c,d cú thể 
lập thành một tỉ lệ thức. 
Giải.  
a+d = b + c    
2 2 2 2 2 2a d     b c a d 2ad b c 2bc ad bc            
a c
b d
  
Bài 15. Cho
a x b y
 ;  
k a k b
   .CMR : 
2
2