Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Đại số Lớp 8

Phần A: Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất.
I. TÌM GTNN , GTLN CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT BIẾN
**. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. A= (a + b)2 + c c => MinA = c a +b = 0 ....
 B = -(a + b)2 + c c => MaxB = c a +b = 0 ....
 -A lớn nhất A nhỏ nhất
 lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0 
2. Bất đẳng thức Cauchy cho n số khơng âm: cho n số khơng âm 	
Ta cĩ: 	
Dấu bằng xảy ra .
3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai bộ 
Ta cĩ: 
Dấu bằng xảy ra .
4. Bất đẳng thức Svac-sơ: 
 với 
	Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 
Bất đẳng thức Cơ si: a + b 2 ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2
Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2 
* Biểu thức là một phân thức :
 a/ Phân thức cĩ tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ : Tìm GTNN của A = .
 Giải : A = . = = .
Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đĩ theo tính chất a b thì với a, b cùng dấu). Do đĩ A -
minA = - 3x – 1 = 0 x = .
Bài tập áp dụng: 
1. Tìm GTLN của BT : HD giải: .
2. Tìm GTLN của BT : HD Giải:
3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
b/ Phân thức cĩ mẫu là bình phương của nhị thức.
 Ví dụ : Tìm GTNN của A = .
 Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức khơng âm 
 A = = 2 + 2
 minA = 2 khi và chi khi x = 2.
 Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta cĩ :
 A = = 3 - + = ( -1)2 + 2
 minA = 2 y = 1 x – 1 = 1 x = 2
Bài tập áp dụng: 
1, Tìm GTNN và GTLN của bt: 2, Tìm GTNN của bt : 
3, Tìm GTNN và GTLN của bt: 4, Tìm GTNN của bt : a, 
c/ Các phân thức dạng khác:
 Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = 
 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :
 A = = - 1 -1
 Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2
 Tìm GTLN A = = 4 - 4
Bài tập áp dụng: 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a, b, 
II. TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN
2, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a, Với x > 0; b, Với x > 0
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1
 sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A
 A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 
 Đến đây ta cĩ nhiều cách giải 
Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức cĩ chứa A
 x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1 (1)
 Mà (x – y)2 0 Hay: x2 - 2xy + y2 0 (2) 
 Cộng (1) với (2) ta cĩ 2(x2 + y2 ) 1 x2 + y2 
 minA = khi và chỉ khi x = y = 
Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A
 A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - )2 + 
minA = khi và chỉ khi x = y = 
Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới
 Đặt x = + a thì y = - a . Biểu thị x2 + y2 ta được :
x2 + y 2 = ( + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 => MinA = a = 0 x=y = 
Bài tập 1: Tìm Min A = 
Cách 1 Ta cĩ: A= 
Min A = 2011 khi 
Cách 2: 
Min 2A = 4022 khi => Min A = 2011
BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = 
Bài 2 CMR: khơng cĩ giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: 
Hướng dẫn Ta cĩ: 
Bài 3: Cĩ hay khơng các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: 
1)
2) 
Hướng dẫn Ta cĩ: 
Bài 4: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : (*)
Ta cĩ : 
Dấu “=” sảy ra khi : 
BÀI TẬP:
Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn : 
Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn : 
Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn : 
III. Các chú ý khi giải bài tốn cực trị :
1, Chú ý 1: Khi tìm bai tốn cực trị ta cĩ thể đổi biến
Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2 
ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +22minA= 2y=0x=2
2, Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị
chẳng hạn : -A lớn nhất A nhỏ nhất
 lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0 
Ví dụ : Tìm GTLN của (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi nhỏ nhất và ngược lại)
Ta cĩ : = .Vậy 1 
min = 1 khi x = 0 .Do đĩ maxA =1 khi x = 0
3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết
Bất đăng thức cĩ tính chất sau
 a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d
 b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c
 c) a > b và c b và a, b, n > 0 thì an > bn 
Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y
Giải :Áp dụng BĐT BCS ta cĩ ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4
 2x + 3y 26. Vậy maxA = 26 	
Thay y = vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 hoặc x= -4
Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 khơng thoả mãn 2x +3y 0 
Vậy Max A = 26 x =4 , y = 6
3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau
- Nếu 2 số cĩ tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đĩ bằng nhau
- Nếu 2 số dương cĩ tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đĩ bang nhau
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y thoả mãn x + y = 2005
Giải : Ta cĩ 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 
 xy lớn nhất x – y nhỏ nhất ; xy nhĩ nhất x – y lớn nhất
giả sử x > y ( khơng thể xảy ra x = y)
Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003
Ta cĩ min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002
 max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1
Do đĩ max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002
 Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1
================================================================
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ
1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau
VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 . Tìm GTNN của biểu thức : 
Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cơ si cho hai số khơng âm ta cĩ: (1)
Lại cĩ: (2 )
Từ (1) và (2) suy ra : . Vậy Min A = 8
Phân tích sai lầm: 
Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 
Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y . Từ đĩ suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)
Cĩ bạn đến đây KL khơng cĩ giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai.
Giải đúng: Vì x + y = 1 nên 
Áp dụng bất đẳng thức Cơ Si cho hai số khơng âm Ta cĩ : 
Dấu “=” xẩy ra khi 
Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài tốn thì ta phải kiểm tra xem chúng cĩ đồng thời xảy ra dấu bằng khơng. Cĩ như vậy thì hướng giải của bài tốn mới đúng.
2, Sai lầm khi khơng sử dụng hết điều kiện của bài tốn:
VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1. Tìm GTNN của BT : 
Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cơ si cho hai số khơng âm Ta cĩ: (1)
Áp dụng bất đẳng thức cơ si cho hai số khơng âm Ta cĩ: (2)
Từ (1) và (2) =>A 8 => Min A = 8
Phân tích sai lầm: Đẳng thức xảy ra ở (1) khi 
Đẳng thức sảy ra ở (2) khi . Từ đĩ suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1)
Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cơ si cho hai số dương ta cĩ : 
Ta cĩ : . Khi đĩ: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 1 - = (1)
 (2). Từ (1) và (2) =>A 8 ++4 = =>Min A = khi x=y =
Lưu ý: Khi giải bài tốn mà khơng sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết. Cĩ như vậy thì hướng giải của bài tốn mới đúng.
3, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
VD1: Tìm GTLN của bt: 
Lời giải sai: A đạt Max khi đạt Min Ta cĩ : 
Do đĩ Min . Vậy Max A = 
Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A cĩ tử khơng đổi nên đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương
Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét nên tử và mẫu của A là dương
VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4
Ta cĩ : A = x2 + y2 2xy => A đạt GTNN 
Khi đĩ MinA = 8
Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được f(x,y) g(x,y) chứ chưa c/m được f(x,y) m với m là hắng số. 
Chẳng hạn: Từ x2 4x – 4 => x2 đạt nhỏ nhất x2 = 4x – 4 (x – 2 )2 = 0 x =2
Đi đến min x2 = 4 x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x2 = 0 x =0
Lời giải đúng: Ta cĩ x + y =4 (1)
Ta lại cĩ : (2)
Từ (1) và (2) => 2( x2 + y2 ) => A = x2 + y2 
Vậy Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2.
Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số cĩ tử và mẫu là số tự nhiên, số nguyên  Cĩ như vậy thì hướng giải của bài tốn mới đúng.
4, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2
VD1: Tìm GTNN của bt: A = x + 
Lời giải sai : x + = . Vậy: Min A = 
P/tích sai lầm: sau khi c/m f(x) chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)=(vơ lí )
Lời giải đúng: ĐKTT là do đĩ : A = x + => Min A = 0 
VD2: Tìm GTLN của với x, y , z là các số khơng âm và x +y+ z =1
Lời giải sai: Áp dụng BĐT ta cĩ : 
 => . Vậy Max A = 
Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=”
ĐK để Max A = là : ( vơ lí )
Lời giải đúng: Ta cĩ : (1)
 (2)
Từ (1) và (2) => hay: 
Max A = khi 
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : với x > 0, a, b là các hằng số dương.
Lời giải sai: Ta cĩ: 
Do đĩ: vậy Min A = 
Phân tích sai lầm: Nếu thì khơng cĩ: A = 
Lời giải đúng : Ta cĩ .
Theo bất đẳng thức Cauchy : nên A ≥ 2 + a + b = 
min A = khi và chi khi .
VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk Tìm GTNN của bt: 
Do x > 0, y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức cơsi cho 2 số 
ta cĩ: Hay => 
Mặt khác ta cĩ: x > 0, y > 0 => . áp dụng bất đẳng thức cơsi ta cĩ:
Vậy: Min A = 4 khi : 
VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : 
Ta cĩ: 
Áp dụng BĐT Cơ- si cho 2 số ta cĩ : 
Max A = 2 khi 
VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : với x, y, z > 0.
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: 
Do đĩ 
Cách 2 : Ta cĩ : . Ta đã cĩ (do x, y > 0) nên để 
chứng minh ta chỉ cần chứng minh : (1)
(1) Û xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
Û xy + z2 – yz – xz ≥ 0 Û y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 Û (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đĩ (1) đúng. Từ đĩ tìm được giá trị nhỏ nhất của .
Khơng phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Cơsi đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để cĩ thể vận dụng BĐT Cơ-si rồi tìm cực trị của nĩ:
Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đĩ
VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của , ĐKXĐ : 
Bình phương hai vế ta cĩ : A2 = 2 + 
Với . áp dụng bất đẳng thức cơsi cho và ta cĩ:
 hay 
A2 4 =>A 2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2
VD2: Tìm GTNN của biểu thức: (*)
ĐKXĐ : 
Khi đĩ => A > 0
Từ (*) => 
A = 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )
Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : 
Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : 
Bài 4: Tìm GTNN của : 
Bài 5: Tìm GTNN của : với x, y, z dương và x + y + z 12
Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác khơng.
VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Giải: ĐKXĐ: Ta cĩ: = 
Dấu “=” xảy ra khi 
VẬN DỤNG BDT ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
Bài 1: Tìm GTNN của hàm số : 
Cách 1: 
Nếu: x < -1 thì 
Nếu: thì 
Nếu: x > 1 thì 
Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi 
Cách 2 : áp dụng BĐT ( Dấu “=” sảy ra khi a.b )
Ta cĩ : 
Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi 
Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN của A = x2y
Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta cĩ : 
A = x(4 -2x ) = 2 – = 
=> Max A = 2 khi 
Cách 2: Ta cĩ : A = . Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x, xy ta cĩ: Thay số ta cĩ : =A
Vậy Max A =2 khi 
 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:
Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, 
b, 
Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, b,
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Phần B: MỘT SỐ BT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: 	
Hướng dẫn
Ta cĩ: 
Tương tự: => 
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1
Bài 2. Cho Tìm GTNN của biểu thức : .
Nhận xét: 
Ta nên nhớ mục đích là đánh giá Q nên nhìn vào biểu thức trên ta cĩ hai hướng để khai thác : Hướng thư nhất : Khai thác tử số dùng cauchy đánh giá về mẫu, hoặc hướng thứ hai là khai thác mẫu dùng cauchy đánh giá đưa về tử sau đĩ rút gọn đi đến điều cần chứng minh. Sau đây tơi khai thác theo hướng hai.
Ta cĩ: 
. Dấu bằng xảy ra khi .
Chú ý : Biểu thức Q là một biểu thức đồng bậc nên ngồi cách giải trên chúng ta cịn cĩ thể giải bằng phương pháp hàm số, tơi xin trình bày hướng giải này ở phần sau của bài viết này.
Bài 3. Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Hướng dẫn
Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta cĩ 
 (*)
Áp dụng (*) ta cĩ 
Bài 4. Chứng minh
Nhận xét: 
Bất đẳng thức trên là hệ quả của bất đẳng thức
qua một phép biến đổi.
Do đĩ để giải được nhanh gọn bài tốn trên ta phải thực hiện phép đổi biến để đưa về bất đẳng thức nguồn ban đầu.
Đặt .
Bài tốn trở thành chứng minh: 
Để giải được tiếp tục nhận xét điểm rơi ở bài này là 
Từ đĩ ta giải được như sau: 
Cộng vế theo vế ta được: dấu bằng xảy ra 
Tuy nhiên chúng ta cĩ thể giải bài tốn trên bằng cách sau:
Ta cĩ : 
Tương tự: => 
Áp dụng bất đẳng thức Svac_so ta cĩ: 
 , dấu bằng xảy ra 
Bài 2. Cho . Chứng minh rằng: .
Nhận xét: 
Với điều kiện đã cho và biểu thức dưới mẫu số của bất đẳng thức cần chứng minh gợi ý cho ta nên thay thế mẫu số và đánh giá mẫu. Nếu học sinh khơng cĩ kinh nghiệm thì khơng nhìn thấy điều này. Cụ thể như sau.
Hướng dẫn 
 nhìn vào đích của chúng ta là và nhìn vào điều kiện cho ta hướng đi như sau:
Ta cố gắng chứng minh 
Thật vậy: 
Tương tự:
Cộng các bất đẳng thức vế theo vế ta được: 
Bài 3. Cho 
Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn
Ta cĩ : 
=> 
=> , tương tự ta cĩ: 
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1.
Bài 4. Cho các số dương 
 	Chứng minh rằng: 
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta cĩ:.
Suy ra: 
Tương tự ta cĩ: 
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta cĩ: .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Bài 5.
Hướng dẫn
Ta cĩ: 
Tương tự => 
Mặt khác: 
=> 
Phần 2. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi:
Bài 1: Cho 
Chứng minh rằng : 
HD: Đổi biến a=,b=,c=.Tổng sang tích, kết hợp chọn điểm rơi .
Bài 2: Cho . Chứng minh : .
 HD: 
2. Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng kết hợp chọn điểm rơi
Bài 1: Cho ba số thực và .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
 HD: , cauchy
Bài 2: Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
 HD: Chọn điểm rơi bằng cách :
 giả sử : A = , tìm .
3. Kỹ thuật đổi biến :
Bài 1: với a, b, c > 0, ab + bc + ca = abc. (ĐHQGHN-HV Ngân hàng – D_2000)
Bài 2: với x, y, z > 0.(ĐH Nông nghiệp 1 – A_2001)
4. Kỹ thuật đánh giá mẫu số:
Bài 1: Chứng minh : .
 HD: Ta cĩ : tương tự cho các biểu thức , cộng vế 
 CHÚC CÁC EM THÀNH CƠNG