Tài liệu Bất đẳng thức - Nguyễn Tất Thu

Mục lục
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG
THỨC 3
1.1 Khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức . . . . . 3
1.1.1 Số thực dương, số thực âm . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Khái niệm bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức . . . . . 4
1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng
thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Dự đoán dấu “=” xảy ra . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Kĩ thuật chuẩn hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Hướng dẫn, đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN 13
2.1 Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức . 32
2.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức 33
2.2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
WWW.TOANMATH.COM
2 Mục lục
2.3.1 Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2 Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3 Bất đẳng thức Schur suy rộng . . . . . . . . . . . 46
2.3.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Hướng dẫn, đáp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1
MỘTSỐVẤNĐỀCƠBẢNVỀBẤTĐẲNG
THỨC
1.1 Khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức
1.1 Số thực dương, số thực âm
• Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x> 0
• Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x< 0
• Nếu x là số thực dương hoặc x = 0, ta nói x là số thực không
âm, ký hiệu x> 0
• Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương,
ký hiệu x6 0.
1.1 Khái niệm bất đẳng thức
Định nghĩa 1.1. Số thực a được gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu
a > b nếu a− b là một số dương, tức là a− b > 0. Khi đó ta cũng ký
hiệu b< a.
Ta có: a> b⇔ a−b> 0.
Nếu a> b hoặc a= b, ta viết a> b. Ta có: a> b⇔ a−b> 0.
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
4 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Định nghĩa 1.2. Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số. Khi đó các
mệnh đề có dạng:
" A lớn hơn B ", ký hiệu : A >B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A <B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A>B
" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A6B
được gọi là một bất đẳng thức.
Quy ước :
• Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta
hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.
• Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức
đó đúng.
1.1 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Tính chất 1.1. (Tính chất bắc cầu) nếu
a> bb> c thì a> c
Tính chất 1.2. a> b⇔ a+ c> b+ c
Hệ quả 1: a> b⇔ a− c> b− c.
Hệ quả 2: a+ c> b⇔ a> b− c.
Tính chất 1.3.
a> bc> d ⇒ a+ c> b+d
Tính chất 1.4. a> b⇔
ac> bc nếu c> 0ac< bc nếu c< 0
Hệ quả 3: a> b⇔−a<−b.
Hệ quả 4: a> b⇔

a
c
> b
c
nếu c> 0
a
c
< b
c
nếu c< 0
.
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
1.2. Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 5
Tính chất 1.5.
{
a> b> 0
c> d > 0 ⇒ ac> bd
Tính chất 1.6. a> b> 0⇔ 0< 1
a
< 1
b
Tính chất 1.7. a> b> 0,n ∈N∗⇒ an > bn
Tính chất 1.8. a> b> 0,n ∈N∗⇒ npa> npb
Hệ quả 5:
• Nếu a và b là hai số dương thì : a> b⇔ a2 > b2
• Nếu a và b là hai số không âm thì : a> b⇔ a2> b2.
Tính chất 1.9. Với mọi a,b ∈R ta có:
• |a+b|6 |a|+ |b|
• |a−b|6 |a|+ |b|
• |a+b| = |a|+ |b|⇔ a.b> 0
• |a−b| = |a|+ |b|⇔ a.b6 0.
1.2 Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về
bất đẳng thức
1.2 Dự đoán dấu “=” xảy ra
Trong chứng minh bất đẳng thức, việc dự đoán dấu “=” xảy ra khi
nào có ý nghĩa rất quan trọng. Trong một số trường hợp, việc dự
đoán dấu “=” xảy ra giúp định hướng tìm lời giải. Thông thường, với
các bất đẳng thức đối xứng ba biến thì đẳng thức xảy ra khi ba biến
bằng nhau, với các bất đẳng thức hoán vị thì đẳng thức có khi hai
biến bằng nhau, với các bất đẳng thức có biến thuộc đoạn
[
α;β
]
thì
đẳng thức xả ra khi có một biến bằng α hoặc β, · · ·
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
6 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Ví dụ 1.1
Cho các số thực x, y, z> 0 thỏa x+ y+ z6 3. Chứng minh rằng√
x2+ 3
x2
+
√
y2+ 3
y2
+
√
z2+ 3
z2
> 6.
Lời giải. Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x= y= z= 1.
Khi x= 1 thì x2 = 1 và 3
x2
= 3 nên ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM
cho 4 số ta được
x2+ 3
x2
= x2+ 1
x2
+ 1
x2
+ 1
x2
> 4
x
.
Tương tự
y2+ 3
y2
> 4
y
và z2+ 3
z2
> 4
z
.
Do đó√
x2+ 3
x2
+
√
y2+ 3
y2
+
√
z2+ 3
z2
> 2
(
1p
x
+ 1py +
1p
z
)
> 18p
x+py+pz .
Mặt khác
p
x+py+pz6√3(x+ y+ z)6 3 nên ta có√
x2+ 3
x2
+
√
y2+ 3
y2
+
√
z2+ 3
z2
> 18
3
= 6 (đpcm).

Ví dụ 1.2
Cho các số thực không âm x, y, z đôi một khác nhau. Chứng
minh rằng
(xy+ yz+ zx)
(
1
(x− y)2 +
1
(y− z)2 +
1
(z− x)2
)
> 4.
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
1.2. Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 7
Lời giải. Vì x, y, z> 0 nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi có một số
bằng 0. Ta giả sử z=min {x, y, z}, ta có
xy+ yz+ zx> xy; 1
(y− z)2 >
1
y2
và
1
(z− x)2 >
1
x2
.
Suy ra
VT > xy
[
1
(x− y)2 +
1
x2
+ 1
y2
]
= 1x
y
+ y
x
−2
+ x
y
+ y
x
= 1
t−2 + t
Với t= x
y
+ y
x
> 2.
Ta chứng minh
1
t−2 + t> 4⇔ 1+ t
2−2t> 4t−8⇔ t2−6t+9> 0⇔ (t−3)2> 0.
Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi z= 0 x
y
+ y
x
= 3⇔ x= 3±
p
5
2
y, y> 0. 
Ví dụ 1.3
Cho a,b, c> 0 thỏa a+4b+9c= 6.Chứng minh rằng
a3+b3+ c3> 1
6
.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số thực dương ta có
a3+ x3+ x3> 3x2a hay a3+2x3> 3x2a.
Tương tự: b3 + 2y3 > 3y2b, c3 + 2z3 > 3z2c với x, y, z là các số thực
dương.
Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta có được:
a3+b3+ c3+2(x3+ y3+ z3)> 3(x2a+ y2b+ z2c) .
Ta chọn x, y, z sao cho
x2 = y
2
4
= z
2
9
= k2⇒ x= k, y= 2k, z= 3k.
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
8 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Mà
a+4b+9c= 6⇒ k+8k+27k= 6⇒ k= 1
6
⇒ x= 1
6
, y= 1
3
, z= 1
2
.
Suy ra a3+b3+ c3> 1
6
. Đẳng thức xảy ra khi a= 1
6
, b= 1
3
, c= 1
2
. 
1.2 Kĩ thuật chuẩn hóa
• Bất đẳng thức thuần nhất: Bất đẳng thức có dạng
f (a1,a2, · · · .,an)> 0 (1) với ai ∈D .
Được gọi là thuần nhất nếu
f (ka1,ka2, · · · .,kan)= f (a1,a2, · · · .,an) với mọi k ∈D.
•Nếu (1) là bất đẳng thức thuần nhất thì ta có thể giả sử g (a1,a2, · · · .,an)=
0 với g (a1,a2, · · · .,an) là một biểu thức thuần nhất.
Ví dụ 1.4
Cho các số thực dương a,b, c. Chứng minh rằng
a(b+ c)
(b+ c)2+a2 +
b(c+a)
(c+a)2+b2 +
c(a+b)
(a+b)2+ c2 6
6
5
.
Lời giải. Không mất tính tổng quát, ta giả sử a+ b+ c = 3. Khi đó,
bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
a (3−a)
(3−a)2+a2 +
b (3−b)
(3−b)2+b2 +
c (3− c)
(3− c)2+ c2 6
6
5
.
Hay là
1
2a2−6a+9 +
1
2b2−6b+9 +
1
2c2−6c+9 6
3
5
(1).
Ta tìm đánh giá
1
2a2−6a+9 6m (a−1)+
1
5
(2).
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
1.2. Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 9
Ta tìm m sao cho (2) đúng với mọi a ∈ (0;3) và đẳng thức xảy ra khi
a= 1. Ta biến đổi (2) như sau
1
5
− 1
2a2−6a+9 +m (a−1)> 0⇔
2a2−6a+4
2a2−6a+9 +5m (a−1)> 0
⇔ (a−1)
[
2(a−2)
2a2−6a+9 +5m
]
> 0 (3).
Ta chọn m sao cho phương trình
2(a−2)
2a2−6a+9+5m= 0 có nghiệm a= 1,
hay là
−2
5
+5m= 0⇔m= 2
25
.
Khi đó (3) tương đương với
(a−1)
(
a−2
2a2−6a+9 +
1
5
)
> 0⇔ (a−1)(2a2−a−1)> 0⇔ (a−1)2 (2a+1)> 0.
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng. Vậy bài toán được chứng minh.

Ví dụ 1.5
Cho các số thực a,b, c. Chứng minh rằng
6(a+b+ c)(a2+b2+ c2)6 27abc+10
√(
a2+b2+ c2)3.
Lời giải. Không mất tính tổng quát, ta giả sử a2 + b2 + c2 = 9 và
|a|> |b|> |c| . Khi đó , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
2(a+b+ c)6 abc+10⇔ 2(a+b+ c)−abc6 10.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có
2(a+b+ c)−abc= a (2−bc)+2(b+ c)6
√[
a2+ (b+ c)2] .[(2−bc)2+4]
=
√
(9+2bc)(b2c2−4bc+8).
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
10 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Ta chứng minh
(9+2bc)(b2c2−4bc+8)6 100⇔ 2(bc)3+ (bc)2−20bc−286 0
⇔ (2bc−7)((bc)2+4(bc)+4)6 0⇔ (2bc−7)(bc+2)26 0 (4).
Vì
9= a2+b2+ c26 3a2⇒ a2> 3⇒ b2+ c26 6.
Suy ra 2bc−76 b2+ c2−76−1< 0 nên (4) đúng. Vậy bài toán được
chứng minh. 
Ví dụ 1.6
Cho các số thực dương a,b, c thỏa abc= 1. Chứng minh rằng
1
a+b+1 +
1
b+ c+1 +
1
c+a+1 6 1.
Lời giải. Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau
1
a+b+ 3pabc
+ 1
b+ c+ 3pabc
+ 1
c+a+ 3pabc
6 13pabc
.
Hay là
1
x3+ y3+ xyz +
1
y3+ z3+ xyz +
1
z3+ x3+ xyz 6
1
xyz
.
Với x= 3pa, y= 3pb, z= 3pc. Ta có
x3+ y3> xy (x+ y)⇒ x3+ y3+ xyz> xy (x+ y+ z)
Do đó
1
x3+ y3+ xyz 6
1
xyz
.
z
x+ y+ z .
Tương tự:
1
y3+ z3+ xyz 6
1
xyz
.
x
x+ y+ z và
1
z3+ x3+ xyz 6
1
xyz
.
y
x+ y+ z .
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có đpcm. 
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
1.2. Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức 11
Ví dụ 1.7
Cho x, y, z> 0 và x+ y+ z= 1. Chứng minh rằng :
x2+ y2+ z2> 3(x2y+ y2z+ z2x) .
Lời giải. Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau(
x2+ y2+ z2) (x+ y+ z)> 3(x2y+ y2z+ z2x)
Hay
x3+ y3+ z3+ x2z+ y2x+ z2y> 2(x2y+ y2z+ z2x) (5).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
x3+ xy2> 2x2y; y3+ yz2> 2y2z và z3+ zx2> 2z2x.
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có bất đẳng thức (5). Vậy bài toán
được chứng minh. 
1.2 Bài tập
Bài tập 1.1. Cho a,b, c> 0.Chứng minh:
abc(a+b+ c)+ (a2+b2+ c2)2> 4
√
3(a2+b2+ c2)abc.
Bài tập 1.2. Cho a,b, c> 0. Chứng minh rằng:
(a+b+ c)2
a2+b2+ c2 +
1
2
(
a3+b3+ c3
abc
− a
2+b2+ c2
ab+bc+ ca
)
> 4.
Bài tập 1.3. Cho các số thực dương a,b, c. Chứng minh rằng
7(a+b+ c) (ab+bc+ ca)6 9abc+2(a+b+ c)3.
Bài tập 1.4. Cho các số thực dương a,b, c thỏa mãn a+ b+ c = 1.
Chứng minh rằng
a2
b
+ b
2
c
+ c
2
a
> 3(a2+b2+ c2).
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
12 Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài tập 1.5. Cho các số thực dương thỏa mãn 3
p
a2+ 3
p
b2+ 3
p
c2 = 3.
Chứng minh rằng
a2+b2+ c2> 3
√
a4+ 3
√
b4+ 3
√
c4.
1.3 Hướng dẫn, đáp số
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 2
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
2.1 Bất đẳng thức AM-GM
Bất đẳng thức AM −GM là bất đẳng thức cổ điển được sử dụng
nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ta biết trung
bình cộng của nsố thực a1,a2, · · · ,an là số a1+a2+·· ·+ann và trung
bình nhân của n số đó là npa1a2 · · ·an (với điều kiện là npa1a2 · · ·an
tồn tại). Bất đẳng thức AM−GM cho chúng ta đánh giá giữa trung
bình cộng của các số thực không âm và trung bình nhân của chúng.
Cụ thể như sau:
2.1 Bất đẳng thức AM-GM
Định lí 2.1. (BĐT AM-GM) Cho n số thực không âm a1, a2, · · · , an.
ta có
a1+a2+·· ·+an
n
> npa1 ·a2 · · ·an
đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = ·· · = an.
Chứng minh. Có nhiều cách đề chứng minh bất đẳng thức AM−
GM, dưới đây ta sẽ chứngminh bất đẳng thức AM−GM bằng phương
pháp quy nạp.
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức AM−GM cho trường hợp
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
14 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
n= 2. Tức là, cần chứng minh
a1+a2
2
>pa1.a2
Bất đẳng thức này tương đương với
a1+a2> 2pa1a2⇔
(p
a1−pa2
)2> 0
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2.
Tiếp theo ta chứng minh cho trường hợp n = 4. Tức là cần chứng
minh
a1+a2+a3+a4
4
> 4pa1.a2.a3.a4
Áp dụng trường hợp n= 2 ta có
a1+a2
2
>pa1.a2
và
a3+a4
2
>pa3.a4
Do đó
a1+a2+a3+a4
4
=
a1+a2
2
+ a3+a4
2
2
>
p
a1a2+pa3a4
2
> 4pa1a2a3a4
Nên trường hợp n= 4 được chứng minh.
Tiếp đến ta chứng minh trường hợp n= 3, tức là chứng minh
a1+a2+a3
3
> 3pa1.a2.a3
Đặt a4 = a1+a2+a33 . Áp dụng cho trường hợp n= 4 ta có
a1+a2+a3+a4
4
> 4pa1.a2.a3.a4
Hay
a1+a2+a3+ a1+a2+a33
4
> 4
√
a1.a2.a3.
a1+a2+a3
3
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
2.1. Bất đẳng thức AM-GM 15
Suy ra
a1+a2+a3
3
> 3pa1.a2.a3
(đpcm). Để chứng minh cho trường hợp tổng quát ta chứng minh
theo hai bước sau:
Bước 1: Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n= 2m
+) Với m= 1, ta có n= 2nên bất đẳng thức đúng với m= 1
+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n= 2m−1, ta chứng minh bất đẳng
thức đúng với n= 2m.
Tức là
a1+a2+·· ·+a2m−1 +·· ·+an
n
> npa1a2 · · ·an (1)
Đặt
x= a1+a2+·· ·+a2m−1
2m−1
, y= a2m−1+1+a2m−1+2+·· ·+a2m
2m−1
Theo giả thiết quy nạp ta có
x> 2m−1pa1a2 · · ·a2m−1 , y> 2m−1
p
a2m−1+1 · · ·an
Áp dụng cho trường hợp n= 2 ta có:
x+ y
2
>pxy
Hay
a1+a2+·· ·+a2m−1 +a2m−1+1+·· ·+an
2m
> 2mpa1a2 · · ·an
Hay (1) được chứng minh.
Bước 2: Ta chứng minh nếu bất đẳng thức đúng với n> 2 thì cũng
đúng với n−1
Gải sử
a1+a2+·· ·+an
n
> npa1a2 · · ·an
Ta chứng minh
a1+a2+·· ·+an−1
n−1 >
n−1pa1.a2 · · ·an−1
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
16 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
Thật vậy: Đặt an = a1+a2+·· ·+an−1n−1 . ÁP dụng bất đẳng thức Cô si
cho n số ta có
a1+a2+·· ·+an
n
> npa1a2 · · ·an
Hay
a1+a2+·· ·+= a1+a2+·· ·+an−1n−1
n
> n
√
a1a2 · · ·an−1.= a1+a2+·· ·+an−1n−1
Suy ra
a1+a2+·· ·+an−1
n−1 >
n−1pa1.a2 · · ·an−1
(đpcm). Từ hai bước trên ta có bất đẳng thức AM−GM được chứng
minh. 
2.1 Các hệ quả
Cho các số thực dương a1,a2, · · · ,an. Ta có
1
a1
+ 1
a2
+·· ·+ 1
an
> n
2
a1+a2+·· · .+an
Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = ·· · = an.
2.1 Các ví dụ
Ví dụ 2.1
Cho a,b, c> 0 thỏa a2+b2+ c2 = 3. Chứng minh rằng
a5+b5+ c5> 3.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
a5+a5+1+1+1> 3a2 hay 2a5+3> 3a2.
Tương tự
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
2.1. Bất đẳng thức AM-GM 17
2b5+3> 3b2 và 2c5+3> 3c2.
Cộng ba bất đẳng thức trên ta có đpcm. 
Nhận xét 1. Ta có bài toán tổng quát như sau Cho a,b, c > 0 thỏa
mãn a+b+ c= 3 (hoặc abc= 1) và m,n ∈N,m> n. Khi đó
am+bm+ cm> an+bn+ cn (1).
Bất đẳng thức (1) còn đúng khi m,n là các số hữu tỉ dương. Và ta có
thể tổng quát 3 biến thành k biến.
Ví dụ 2.2
Cho a,b, c> 0 thỏa ab+bc+ ca= 3. Chứng minh rằng
a3+b3+ c3> 3.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
a3+b3+1> 3ab
b3+ c3+1> 3bc
c3+a3+1> 3ca. Cộng ba bất đẳng thức trên ta có đpcm. 
Ví dụ 2.3
Cho các số thực dương a,b, c. Chứng minh rằng
a4
b2 (c+a) +
b4
c2 (a+b) +
c4
a2 (b+ c) >
a+b+ c
2
.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
a4
b2 (c+a) +
b
2
+ b
2
+ c+a
4
> 2a
hay
a4
b2 (c+a) +b+
c+a
4
> 2a.
Tương tự, ta cũng có
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
18 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
b4
c2 (a+b) + c+
a+b
4
> 2b và c
4
a2 (b+ c) +a+
b+ c
4
> 2c.
Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm.

Ví dụ 2.4
Cho a,b, c> 0. Chứng minh rằng
3
√(
2a
b+ c
)2
+ 3
√(
2b
c+a
)2
+
√(
2c
a+b
)3
> 3.
Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
a+b+ c= a+ b+ c
2
+ b+ c
2
> 3 3
√
a
(b+ c)2
4
,
suy ra
3
√(
2a
b+ c
)2
> 3a
a+b+ c .
Chứng minh tương tự, ta cũng có
3
√(
2b
c+a
)3
> 3b
a+b+ c và
3
√(
2c
a+b
)2
> 3c
a+b+ c .
Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta có đpcm. 
Ví dụ 2.5
(BĐT AM-GM suy rộng) Cho ai > 0 (i = 1,n) và các số hữu tỉ
dương αi thỏa mãn
n∑
i=1
αi = 1. Chứng minh rằng:
n∑
i=1
αiai > aα11 .a
α2
2 · · ·aαnn .
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
2.1. Bất đẳng thức AM-GM 19
Lời giải. Vì αi là các số hữu tỉ dương và
n∑
i=1
αi = 1 nên tồn tại các
số nguyên dương N,k1,k2, · · · ,kn sao cho αi = kiN . Áp dụng bất đẳng
thức AM-GM cho N số, ta có
n∑
i=1
αi·ai =
a1+a1+·· ·+a1︸ ︷︷ ︸
k1 số
+·· ·+an+an+·· ·+an︸ ︷︷ ︸
kn số
N
> a
k1
N
1 · · ·a
kn
N
n = aα11 · · ·aαnn .
Bất đẳng thức được chứng minh. 
Ví dụ 2.6
Cho các số thực dương a1,a2, · · · ,an. Chứng minh rằng
(1+a1)(1+a2) · · · (1+an)>
(
1+ npa1.a2 · · ·an
)n .
Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
1
n
√
(1+a1)(1+a2) · · · (1+an)
+ n
√
a1a2 · · ·an
(1+a1)(1+a2) · · · (1+an)
6 1 (1).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
VT(1)6 1
n
1∑
i=1
1
1+ai
+ 1
n
1∑
i=1
ai
1+ai
= 1.
Bài toán được chứng minh. 
Ví dụ 2.7
Cho a,b, c> 0. Chứng minh rằng
a
b+ c +
b
c+a +
c
a+b >
3
2
(Bất đẳng thức Nesbit).
Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với( a
b+ c +1
)
+
(
b
c+a +1
)
+
( c
a+b +1
)
> 9
2
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
20 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
Hay
(a+b+ c)
(
1
a+b +
1
b+ c +
1
c+a
)
> 9
2
(1).
Ta có
1
a+b +
1
b+ c +
1
c+a >
9
a+b+b+ c+ c+a =
9
2(a+b+ c)
Nên (1) đúng. 
Ví dụ 2.8
Cho các số thực dương a,b, c thỏa a+ b+ c = 1. Chứng minh
rằng
1
a2+b2+ c2 +
1
ab
+ 1
bc
+ 1
ca
> 30.
Lời giải. Ta có:
ab+bc+ ca6 (a+b+ c)
2
3
= 1
3
1
ab
+ 1
bc
+ 1
ca
> 9
ab+bc+ ca
1
a2+b2+ c2 +
1
ab+bc+ ca +
1
ab+bc+ ca >
9
(a+b+ c)2 = 9.
Do đó
VT > 1
a2+b2+ c2 +
9
ab+bc+ ca
= 1
a2+b2+ c2 +
1
ab+bc+ ca +
1
ab+bc+ ca +
7
ab+bc+ ca > 9+
7
1
3
= 30.
Ta có điều phải chứng minh. 
Ví dụ 2.9
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn : xy+ yz+ zx= 3.Chứng
minh rằng:
1
xyz
+ 4
(x+ y)(y+ z)(z+ x) >
3
2
.
Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
2.1. Bất đẳng thức AM-GM 21
Lời giải. Ta có:
3
√
xyz (x+ y) (y+ z) (z+ x)6 x (y+ z)+ y (z+ x)+ z (x+ y)
3
= 2.
Suy ra
4
(x+ y) (y+ z) (z+ x) >
xyz
2
Do đó
VT > 1
xyz
+ xyz
2
> 1
2xyz
+ xyz
2
+ 1
2xyz
> 1+ 1
2
= 3
2
.
Bài toán được chứng minh. 
Ví dụ 2.10
Cho các số thực dương a,b, c thỏa a+ b+ c = 3. Chứng minh
rằng
abp
c2+3
+ bcp
a2+3
+ cap
b2+3
6 3
2
.
Lời giải. Ta có
3(ab+bc+ ca)6 (a+b+ c)2 = 9⇒ ab+bc+ ca6 3
Suy ra
1p
c2+3
6 1p
c2+ab+bc+ ca
= 1p
(a+ c)(b+ c) 6
1
2
(
1
a+ c +
1
b+ c
)
.
Do đó:
abp
c2+3
6 1
2
(
ab
a+ c +
ab
b+ c
)
Tương tự:
bcp
a2+3
6 1
2
(
bc
a+b +
bc
a+b
)
và
cap
b2+3
6 1
2
( ca
b+a +
ca
b+ c
)
Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta có:
abp
c2+3
+ bcp
a2+3
+ cap
b2+3
6 1
2
(a+b+ c)= 3
2
.

Nguyễn Tất Thu
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
22 Chương 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN
Ví dụ 2.11
(IMO 2001) Cho các số thực dương a,b, c. Chứng minh rằng
a2p
a2+8bc
+ b
2
p
b2+8ca
+ c
2
p
c2+8ab
> 1.
Lời giải. Gọi P là vế trái của bất đẳng thức cần chứngminh. Không
mất tính tổng quát, ta giả sử a+b+ c= 1.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
ap
a2+8bc
+ ap
a2+8bc
+a (a2+8bc)> 3a⇔ 2ap
a2+8bc
+a (a2+8bc)> 3a.
Tương tự :
2bp
b2+8ca
+b (b2+8ca