Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số - Nguyễn Hồng Bốn

Phòng giáo dục và đào tạo thuận thành
Trường THcs nghĩa đạo
************************
Sáng kiến kinh nghiệm:
Phương pháp giảI 
các bài toán cơ bản liên quan đến 
đồ thị hàm số
 Giáo viên: Nguyễn Hồng Bốn
Nghĩa Đạo, tháng 3 năm 2009
A – Phần mở đầu
I – Lý do chọn đề tài 
Bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số là một phần kiến thức tương đối nhiều và rất cơ bản trong bộ môn toán ở lớp 9 cũng như ở chương trình toán THPT.
Trong thực tế nếu giáo viên không nghiên cứu kỹ và hướng dẫn học sinh thì các em sẽ gặp nhiều khó khăn ngay từ khâu nhận dạng bài toán và phương pháp giải cho từng loại bài.
Đặc điểm của môn Đại số nói chung là có sự liên quan mật thiết, lôgic giữa các chương, bài đòi hỏi các em phải nắm chắc kiến thức, kĩ năng cơ bản từ đó học sinh biết nhận dạng và giải được nhanh hơn.
Đối với bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số đây là một chuyên đề mà SGK chưa đề cập hết các dạng toán nên các em học sinh lớp 9 còn lúng túng.
Để giúp các em có một phương pháp học và ôn tập tốt trong các kì thi đạt kết quả cao vượt qua các trở ngại, khó khăn trên. Bản thân tôi đã tiến hành phân loại các đơn vị kiến thức, các dạng bài tập theo từng chủ đề mà các em thường gặp. Tìm hiểu, nghiên cứu các cách giải ngắn gọn tương ứng cho từng loại bài. Với những yêu cầu và mong muốn trên tôi đã chọn đề tài: Phương pháp giải các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số.
II - Đối tượng nghiên cứu 
Các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số và phương pháp giải của từng dạng bài, loại bài. 
III – Nhiệm vụ nghiên cứu 
1 – Cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số.
2 - Nghiên cứu phương pháp giải ở 4 dạng bài cơ bản 
	Điểm thuộc đường, đường đi qua một điểm; 
Vị trí tương đối giữa 2 đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ; 
Bài toán về lập phương trình của một đường thẳng; 
Bài toán về chứng minh đường thẳng luôn đi qua một điểm.
IV – Giới hạn của đề tài 
	Trong khuôn khổ một đề tài với thời gian cho phép cùng các điều kiện khác. ở đây chỉ nghiên cứu 4 dạng bài cơ bản, phương pháp giải tương ứng chưa đi sâu, mở rộng đến các bài toán nâng cao khó khăn phức tạp nhằm giúp học sinh đại trà đạt yêu cầu tối thiểu.
B – Phần nội dung
I – Các kiến thức liên quan:
	“ Bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số” muốn có phương pháp giải đúng, khắc phục được những khó khăn cần phải nắm chắc một số nội dung kiến thức cơ bản và các kĩ năng tương ứng đó là: 
	Khái niệm và dấu hiệu bản chất của đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai dạng đặc biệt y = a x2 (a 0)
	Cách biểu diễn và hình ảnh một điểm trên mặt phẳng toạ độ, vị trí của chúng trên mặt phẳng toạ độ, ở trên trục nào và khi đó giá trị của hoành độ và tung độ ra sao?
	Điều kiện để phương trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm.
	Cách giải hệ phương trình bậc nhất, bậc 2 hai ẩn số. 
	Các điều kiện về nghiệm của phương trình bậc 2, hệ 2 phương trình bậc nhất hai ẩn số.
	Cách giải bất phương trình bậc nhất, bậc 2 một ẩn số 
	Cách vẽ đồ thị 
	Vị trí tương đối giữa:1 điểm với 1 đường thẳng; 
 1 điểm với một Parabol;
 2 đường thẳng với nhau, 1 đường thẳng với 1 Parabol; 
 và quan hệ của 3 đường.
	Các điều kiện tương ứng cho mỗi trường hợp trên. Đặc biệt là việc hướng dẫn cho học sinh nhận được các dạng bài toán và viết được các điều kiện tương ứng. Học sinh biết lập luận chặt chẽ, trình bày lời giải khoa học.
II – Các dạng bài toán cơ bản và phương pháp giải:
Dạng 1: Điểm thuộc đường - đường đi qua một điểm 
* Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A( -2, 2) và đường thẳng (d1) có PT y = - 2(x + 1)
a) Giải thích vì sao A nằm trên (d1)
b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị ( P ) đi qua A 
Bài giải
a) f (xA) = f( - 2) = -2( -2 + 1) = 2 = yA
Vậy A ẻ (d1)
b) Vì (P)đi qua A nên toạ độ điểm A phải nghiệm đúng phương trình (P) thay x = - 2, y = 2 vào PT của (P) ta được.
2 = a( - 2)2 Û a = 
Vậy với a = thì (P) y = x2 luôn đi qua A 
	* Tóm lại: Đồ thị hàm số y = f(x) mà đi qua một điểm A(xA, yA) trên mặt phẳng toạ độ thì toạ độ điểm đó nghiệm đúng của phương trình y = f(x) 
	Dạng 2: Xét vị trí tương đối của hai đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ.
* Nội dung: Cho (P) và (d) theo thứ tự là đồ thị của hàm số y = f( x) và y = g(x) 
Hỏi (P) và (d) sẽ xảy ra vị trí như thế nào đối với nhau trên cùng mặt phẳng toạ độ .
	* Phương pháp giải : Toạ độ điểm chung của (P) và (d) nếu có là nghiệm của hệ phương trình sau: 
y = f(x)
 (A)
y = g(x)
	Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của phương trình 
f(x) – g(x) = 0 (1)
	- Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì hệ phương trình (A) vô nghiệm Û (P)và (d) không có điểm chung Û Hai đồ thị không giao nhau .
- Nếu phương trình (1) có nghiệm kép Û hệ PT(A) có nghiệm kép Û (P) và (d) tiếp xúc với nhau, đường thẳng trở thành tiếp tuyến của đường cong. Điểm chung là tiếp điểm của đường thẳng và đường cong. 
Nếu PT(1) có hai nghiệm phân biệt Û PT(A) có hai nghiệm phân biệt Û (P) và(d) có hai điểm chung phân biệt.
Ví dụ 2: Trong cùng một mặt phẳng toạ độ, cho Parabol (p) y = x2 và đường thẳng (d) có PT: y = 2x + m
Tìm m để a) (P) và(d) không có điểm chung 
 b ) (P) tiếp xúc với (d)
 c ) (P) Cắt (d) tại hai điểm phân biệt .
Bài giải:
a) ( P) và (d) không có điểm chung khi và chỉ khi hệ PT
	y = f(x)
 (*) vô nghiệm 
 y =g(x)
Hệ PT(*) vô nghiệm khi phương trình 
x2 - 2x - m = 0 Vô nghiệm
Û ∆’< 0 Û b’2 - ac < 0 Û 1 + m ≤ 0 Û m < - 1
Vậy với m < - 1 thì (P) và ( d) không cắt nhau.
b) (P) và (d) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình 
x2 – 2x – m = 0 có nghiệm kép 
Û ∆’ = 0 Û 1 + m = 0 Û m = - 1
Khi đó x = = 1 Û y = 1 
Vậy với m = - 1 thì (P) và (d) tiếp xúc nhau và toạ độ tiếp điểm là (1; 1)
c) ( P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 
x2 – 2x – m = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
Û ∆’ > 0 Û 1 + m > 0 Û m > - 1 
Vậy với m > - 1 thì (P) và(d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt 
Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt có phương trình 
(d1): y = ax + 
(d2): y = bx + 
a) Xác định a và b để đường thẳng(d1)và (d2) cùng đi qua điểm A(1; 2)
b) Với a, b vừa tìm được ở câu a, gọi giao điểm của (d1) và (d2) cùng đi qua điểm A (1; – 2) với trục tung lần lượt là B,C hãy tìm toạ độ của B và C.
c) Hãy xác định a và b để đường thẳng (d1)và (d2) cắt nhau tại một điểm (0; 5)
Bài giải:
a) Đây là bài toán cơ bản điểm thuộc đường, đường đi qua điểm:
Vì (d1)và (d2) cùng đi qua A(1; 2) nên toạ độ điểm A phải nghiệm đúng đồng thời 2 phương trình ( d1) và (d2)
Thay x = 1, y = 2 vào (d1)và (d2) ta có HPT: 
 2 = a + 2a + b = 4 ( 1)
 Û
2 = a + a + 3b = 6 ( 2)
Giải hệ ta được : a = 
 b = 
Vậy với : a = 
 thì ( d1) và (d2) cùng đi qua A (1; 2) 
 	 b = 
b) Để giải câu b ta cần phải hiểu một điểm nằm trên trục tung thì hoành độ của điểm đó bằng 0.
Việc xác định tung độ của các điểm đó tức là việc xác định tung độ gốc của các đường thẳng trên.
Với a = và b = thì:
(d1) y = x + Û là tung độ điểm B .
Vậy toạ độ điểm B( 0; )
	Với a = và b = thì (d2) : y = x + 
Û tung độ điểm C là 
Vậy toạ độ điểm C ( 0; )
c) Câu này cách giải giống câu a, nhưng điểm (0; 5) nằm trên trục tung vì (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm (0; 5) nên x = 0, y = 5 là nghiệm của HPT:
y = ax + 
y = bx + 
Thay x = 0, y = 5 vào hệ trên ta được hệ HPT:
 5 = a . 0 + a = 15
 Û
 5 = b. 0 + b = 10
Vậy với a = 15; b = 10 thì ( d1) và (d2) cùng đi qua điểm( 0; 5)
* Cách giải thứ 2: 
	Vì (d1) đi qua điểm (0; 5) là điểm trên trục tung (điểm có tung độ y = 5) là tung độ gốc của (d1)
Û = 5 Û b = 10
Tương tự điểm có tung độ y = 5 là tung độ gốc của (d2) cùng đi qua điểm (0; 5) 
* Chú ý: Đồ thị hàm số y = ax + b luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
Dạng 3: Bài toán về lập phương trình đường thẳng 
* Bài toán 1: Lập PT đường thẳng (d) đi qua điểm A( xA, yA) và có hệ số góc k.
Đây là bài toán đi tìm hệ số b trong phương trình đường thẳng và là một bài toán cơ bản đường đi qua một điểm.
Lời giải
	Phương trình tổng quát của (d) là y = ax + b
+ Xác định a: Theo bài toán ta có a = k
+ Xác định b: Vì đường thẳng (d) đi qua A ( xA, yA)
ta thấy a = k, x = xA, y = yA vào phương trình tổng quát của d ta được phương trình của (d) cần tìm là:
y = kx + yA - kxA
* Bài toán 2: Lập PT đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A( xA, yA); B(xB,yB)
Lời giải
Phương trình tổng quát của (d) là y = ax + b
Vì (d) đi qua A và B nên ta có hệ PT
 yA = axA+ b
 yB = axB+ b
Giải hệ trên ta tìm được a và b 
Thay a và b vào PT(d) được PT của (d) cần tìm.
* Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong (P) có PT: y = f(x)
Lời giải
Phương trình tổng quát của (d) có dạng: y = kx + b 
Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là f(x) = kx + b (1)
	Vì (d) tiếp xúc với (P) nên PT(1) có nghiệm kép. 
	Từ điều kiện này ta tìm được b và suy ra PT của (d) 
	* Bài toán 4: Lập PT của đường thẳng (d) đi qua A( xA, yA), tiếp xúc với đường cong P: y = f(x) và song song với đồ thị hàm số: y = kx +m
Giải:
Ta đưa bài toán này về dạng bài 3 và 4 vì (d) song song với y = kx +m do đó hệ số góc là k.
	Dạng 4: Bài toán về chứng minh đường thẳng luôn đi qua điểm cố định. 
Ta có phương trình ax +b = 0 có vô số nghiệm khi a = 0, b = 0
* Bài toán: Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng sau đây luôn đi qua một điểm cố định và tìm toạ độ điểm đó. 
y = mx + m - q ( m, q là tham số ẻ R)
Cách giải
 	Gọi A( x0, y0)là một điểm cố định trong mặt phẳng toạ độ mà đường thẳng y = mx + m – q luôn đi qua với mọi m 
Vì A là điểm thuộc đường thẳng, nên toạ độ A nghiệm đúng phương trình đường thẳng. Thay vào đó ta có:
y0 = mx0 + m - q luôn đúng "m 
Û m (x0 + 1) - (y0 + q) đúng "m 
Û x0 + 1= 0 x0 = 0
 Û
 y0 + q = 0 y0 = - q
A(- 1, -q) là điểm cố định
Vậy đường thẳng trên luôn đi qua điểm A( - 1, - q) cố định với mọi m 
* Các ví dụ: 
Ví dụ 4: CM rằng đường thẳng y = mx + m – 2 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm toạ độ điểm đó: 
Bài giải
Gọi A( x0 , y0)là một điểm cố định mà đường thẳng trên luôn luôn đi qua với mọi m 
Ta có y0 = mx 0 + m – 2 Û m (x0 + 1) – (y0 + 2) = 0 luôn đúng "m 
Û x0 + 1 = 0 x0 = - 1
 Û
 y0 + 2 = 0 y0 = - 2
 Vậy điểm A( - 1; - 2) là điểm cố định mà đường thẳng trên luôn đi qua A"m
* Ví dụ 5: Trên mặt phẳng toạ độ xOy ta xét Parabol( P) và đường thẳng(d) lần lượt có PT:
(P) : y = 2x2
(d) : y = ax + 2 – a 
	Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì Parabol( P) và đường thẳng (d) có một điểm chung cố định.
Tìm toạ độ điểm chung đó:
( Trích đề thi vào THPT năm học 1999 - 2000)
Đây là bài toán đi tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn luôn đi qua "a rồi chứng tỏ điểm đó thuộc đường cong (P). 
Bài giải
Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d)luôn đi qua là M( x0, y0)với mọi a
Thay vào PT của (d) ta có: 
y0 = ax0 + 2 – a luôn đúng"a
Û ( x0 – 1) a – y0 + 2 = 0
Û x0 – 1 = 0 x0 = 1 
 Û 
 2 – y0 = 0 y0 = 2
Vậy đường thẳng (d) luôn luôn đi qua điểm M (1; 2) cố định "a
Ta nhận thấy rằng toạ độ M(1; 2) luôn luôn thoả mãn phương trình của (P). Thật vậy f(1) = 2 . 12 = 2 = yM
Vậy (P) và(d) luôn luôn có một điểm chung cố địnhM(1; 2) với mọi a 
* Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt có phương trình:
(d1): y = 3x – 2 (d2): y = x + m
Hãy tìm m để 2 đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên Parabol có PT: y = x2.
Bài giải:
Ta có thể giải theo hai cách sau: 
Cách1: Xác định toạ độ giao điểm của (d1) và (P) toạ độ giao điểm của (P) và (d1) là nghiệm của hệ PT sau:
 y = 3x – 2
 y = x2
	Hoành độ giao điểm là nghiệm của PT: x2 – 3x + 2 = 0
Ta thấy: a + b + c = 1 – 3 + 2 = 0
Nên PT có 2 nghiệm phân biệt x1 = 1 ; x2 = 2
Với x1 = 1 thì tung độ giao điểm y1 = 1 ta có toạ thứ nhất là A(1 ; 1)
Với x2 = 2 thì tung độ giao điểm là y2 = 4 ta có toạ độ giao điểm thứ hai là B(2 ; 4)
Vì(d2) cũng đi qua A hoặc B
Nếu( d2) đi qua A thì m thoả mãn PT: 1 = 1 + m Û m = 0
Nếu( d2) đi qua B thì m thoả mãn PT: 4 = 2 + m Û m = 2
Vậy với m = 0 thì (d1) cắt(d2) tại điểm A(2, 1) trên đồ thị hàm số y = x2
Với m = 2 thì ( d1) cắt (d2) tại B (2; 4 ) trên đồ thị hàm số y = x2
* Cách 2: Ta có thể tìm toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) theo m rồi thay toạ độ x, y theo m vào phương trình (P): y = x2 để tìm được các giá trị của m.
 * Thực chất để tìm m và toạ độ giao điểm của d1, d2 trên P là giải hệ 3PT: 
 d1: y = 3x - 2
 d2: y = x + m
 P: y = x2
Với 3 ẩn m,x,y
	Ví dụ 7: Trong cùng một hệ trục toạ độ vuông góc cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2m – 1
a) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm đó. 
b) Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định A ẻ(P)
Bài giải:
 a) ( d) tiếp xúc với (P) Û phương trình x2 + 4mx – 8m – 4 = 0 có nghiệm kép 
Û D’ = b’2 – ac = 0 Û 4m2 + 8m + 4 = 0 Û (m + 1)2 = 0 Û m = - 1
Vậy với m = -1 thì (d) tiếp xúc với (P)
Toạ độ tiếp điểm là nghiệm của hệ PT
 y = x2 x = 2
 Û
 y = - x + 1 y = - 1
Vậy toạ độ tiếp điểm là ( 2; – 1)
b) Gọi toạ độ điểm cố định A(x0, y0) mà đường thẳng (d) luôn đi qua "m ta có:
y0 = mx0 – 2m – 1 luôn đúng "m Û (x0 – 2 ) m – (y0 + 1) = 0 "m
Û x0 – 2 = 0 x = 2
 Û
 y0 + 1 = 0 y = - 1
Ta nhận thấy x0 = 2; y0 = - 1 thoả mãn PT của (P) do đó điểm A(2; - 1) thuộc Parabol y = x2 mà A cố định.
Ví dụ 8: Xác định các giá trị của tham số k để 3 đường thẳng 
(I): x +6y = 0 (II): ( 1 – k) x + ky = 1 + k (III): 6x + 7y = - 6
	Đồng quy tại 1điểm
Bài giải:
	Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (I) và (III) điểm chung của (I) và (III) là nghiệm của hệ PT: 
 x + 6y = 0 (1)
 6x + 7y = - 6 (2)
	Giải hệ ta được : x = - 
 y = 
	Vậy toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng (I) và(III) là 
A(- ; )
Vì toạ độ điểm A thoả mãn PT II ( vì 3 đường thẳng đồng quy) 
thay x =- ; y = vào PT II, ta được
(1 – k) (- ) + = 1 + k
	Û - 36 + 36 k + 6k = 29 + 29k
Û 13k = 65 
Û k = 5
 Vậy với k = 5 thì 3 đường thẳng trên đồng quy tại điểm A(- ;)
	* Tương tự ví dụ 6 ta có thể tìm k và xác định toạ độ điểm đồng quy bằng cách giải hệ 3 PT
	Ví dụ 9: Cho Parabol y = - x2 và điểm A( - 1 ; 1) 
Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với(P) và đi qua điểm A( - 1;1)
Bài giải:
	Phương trình tổng quát (d) là: y = ax + b vì (d) đi qua điểm A(- 1 ; 1) nên toạ độ A(- 1; 1) là nghiệm của phương trình (d), thay vào ta có: 
 a – b = - 1 (1)
	Vì (d) tiếp xúc với Parabol nói trên nên phương trình: 
x2 + 2ax + 2b = 0 có nghiệm kép Û D’ = 0 Û a2 – 2b = 0 (2)
Kết hợp (1) và(2) ta có HPT
a – b = -1 (1)
a2 – 2b = 0 (2)
Giải hệ HPT ta được 
a1 = 1 + , b 1 = 2 + khi đó (d1) là y = (1 + )x + 2 + 
a2 = 1+; b2 = 2 - ta có PT(d2) là y = ( 1 - ) x + 2 - 
III – Kết quả thực hiện 
	Qua các năm nghiên cứu và thực tế dạy học sinh tôi nhận thấy: 
Các em đã biết phân loại bài tập và nhận dạng được bài tập và có định hướng giải đúng. 
Phần lớn học sinh dễ tiếp thu hơn và đã có kỹ năng giải bài tập khá tốt, tuy nhiên những bài tập ở mức độ cao thì học sinh còn gặp khó khăn .
Các em đã có hứng thú không còn ngần ngại khi giải quyết bài tập loại này.
IV – Bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất 
Việc phân chia kiến thức theo từng chuyên đề từng dạng bài là hết sức cần thiết, giíp chúng ta có thể đi sâu hơn về từng nội dung kiến thức, phân tích đánh giá được đầy đủ hơn vì vậy chúng ta nên coi đây là việc làm thường xuyên, cần thiết để đem lại hiệu quả cao.
Trong quá trình giảng dạy ngoài việc giáo viên tự phân tích, tổng hợp để phân dạng các nội dung kiến thức thì việc dạy cho học sinh biết cách phân tích, tổng hợp, biết tự mình phân chia các đơn vị, các dạng bài tập. Đây là nhiệm vụ chính của người giáo viên của quá trình dạy học và giáo dục.
	Khi học sinh được hướng dẫn các bài toán theo các dạng bài học sinh sẽ định hướng và biết nhận dạng và có phương pháp giải một cách nhanh chóng, gặp ít các trở ngại.
Với “Bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số” thì ngoài những kĩ năng lập luận theo từng dạng bài tập của chuyên đề thì việc liên hệ với hình ảnh của chúng trên mặt phẳng toạ độ giúp học sinh khẳng định kiến thức chắc chắn hơn. Vì vậy trong quá trình giảng dạy và học tập chúng ta cần có hình ảnh minh hoạ trên đồ thị các mối quan hệ đó .
C – Phần Kết Luận
	Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của tôi sau nhiều năm ôn tập kiến thức cho học sinh lớp 9 nói chung và ở phần hướng dẫn học sinh giải các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số nói riêng.
Với sự hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy có hạn, không sao tránh khỏi những thiếu sót trong khi giảng dạy chuyên đề này. Vậy bản thân tôi rất mong các thầy giáo, cô giáo, các đồng nghiệp đóng góp ý kiến, phê bình để chất lượng giảng dạy, đặc biệt là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ở chuyên đề này nói riêng và chất lượng môn Toán nói chung ở trường THCS. 
Xin chân thành cám ơn
 Nghĩa Đạo, ngày 10 tháng 3 năm 2009
 Người viết
Nguyễn Hồng Bốn
Tài liệu tham khảo
1 – Sách giáo khoa Đại số 9
	2 – SGV Đại số 9
	3 – Toán nâng cao và phát triển Đại số 9
4 – Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9
5 – Toán Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9
6 - Để học tốt Đại số 9
 7 – Các đề thi tốt nghiệp THCS và tuyển sinh vào THPT và một số các tài liệu hướng dẫn ôn thi khác.
Mục Lục
Trang
 A – Phần mở đầu
2
B – Phần Nội dung
3
Dạng 1
4
Dạng 2
4
Dạng 3
7
Dạng 4
8
 Kết quả thực hiện - Bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất
13
C – Phần Kết luận
13
Tài liệu tham khảo
14
đề kiểm tra toán 9
phần hàm số và đồ thị
Thời gian làm bài: 90 phút
***************************
Bài 1: 
Cho các hàm số (d): y = mx + 2n + 3và (d’): y = nx + 2m 
	a) Tìm m, n biết (d) và (d’) cùng đi qua A(1; 1).
	b) Vẽ đồ thị hai hàm số trên với m và n vừa tìm được ở câu a) và tìm toạ độ giao điểm B và C của hai đồ thị hàm số trên với trục hoành.
	c) Tính chu vi, diện tích và các góc của tam giác ABC.
	Bài 2: 
	Cho các hàm số (d): y = mx + 1 (d’): y = 2x + 3
	và (P): y = x2
	a) Tìm m để (d) và (P) tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm đó.
	b) Tìm m để (d); (d’) và (P) đồng qui.
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục tung.
Bài 3:
 	Cho các hàm số (d): y = 2mx - m + 1 và (P): y = 4x2.
Chứng minh rằng (d) và (P) luôn có một điểm chung cố định với mọi m.
Bài 4: 
	Lập phương trình đường thẳng (d) biết:
a) Đường thẳng đó đi qua điểm A(0; -1) và tiếp xúc với Parabol (P): y = x2
b) Đường thẳng đó đi qua điểm A(2; 1) và vuông góc với đường thẳng 
(d’): x - y = 1.
c) Đường thẳng đó đi qua điểm A(1; 1) và cắt (P): y = x2 tại điểm có tung độ bằng 4. 
===========Hết==========