Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại, chọn phương pháp giải những bài toán về phân số và tính chất cơ bản của phân số

Mở đầu
Lí do chọn đề tài 
1. Môn toán ở trường tiểu học là một môn học quan trọng cùng với những môn học khác hình thành và phát triển nhân cách cũng như trí tuệ của học sinh. 
2. Môn toán là môn học phổ thông, trong đó phân số được dạy ở tiểu học thông qua các ví dụ cụ thể. Học xong học sinh mơ hồ trong “cái gọi”là đơn vị. Các em có thể hiểu về cấu tạo, khái niệm phân số nhưng khi bước vào giải các bài toán về phân số rất lúng túng kể cả những bài toán mang tính đại trà.
Ví dụ: Bài toán viết số a dưới dạng phân số có mẫu số cho trước, bài toán tìm x dạng =. Cao hơn nữa là những bài toán về chuyển động, những bài toán tính diện tích, thể tích có chứa đựng yếu tố phân số, những bài toán chia phần thực tế. 
 	Những hạn chế nói trên có nhiều nguyên nhân khách quan và chủ quan. Thiết nghĩ để khắc phục tình trạng này không có nghĩa là đưa những lý thuyết cao xa vào giảng dạy. Dựa trên thực tế hiện nay có các loại hình lớp học nhiều buổi/tuần, 2 buổi/ngày, giáo viên có thể củng cố khắc sâu có thể nâng cao kiến thức phân số cho học sinh bằng cách giới thiệu các bài toán có nội dung phân số theo một hệ thống và có chủ định. Qua từng bài toán ấy học sinh củng cố, nâng cao kiến thức phân số. Cũng qua những bài toán ấy các em phát huy được tư duy toán học, tổng hợp những kiến thức đã biết xử lí (giải) bài toán phân số tốt hơn.
 	Trên cơ sở những lí luận và thực tiễn nói trên tôi mạnh dạn đưa ra ý tưởng “Phân loại, chọn phương pháp giải những bài toán về phân số và tính chất cơ bản của phân số ” để đồng nghiệp cùng tôi nghiên cứu áp dụng bồi dưỡng nâng cao chất lượng học sinh giỏi. 
Mục đích nghiên cứu 
	- Điều tra những khó khăn sai lầm của học sinh trong quá trình giải các bài toán có cấu tạo phân số từ đó hệ thống các dạng bài có cấu tạo số thập phân và định hướng phương pháp giải
Khách thể và đối tượng nghiên cứu 
	3.1 Khách thể : Những bài toán có cấu tạo phân số 
	3.2 Đối tượng : Các bài toán về cấu tạo phân số cho học sinh giỏi 4&5 
Nhiệm vụ nghiên cứu
	- Phân loại phương pháp giải những bài toán về cấu tạo khái niệm phân số
Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp điều tra 
Phương pháp phân tích tổng hợp
Phương pháp đàm thoại
Phương pháp thực nghiệm.
Phạm vi giới hạn nghiên cứu:
Khai thác nội dung kiến thức về khái niệm, cấu tạo, tính chất phân số trong sách giáo khoa lớp 4,5. 
Tìm phân dạng những bài toán liên quan đến phân số tính chất cơ bản phân số.
Nhắc lại bổ sung những kiến thức cần cho việc giải những bài toán nói trên.
Tìm phân tích, áp dụng những phương pháp thủ thuật cụ thể giúp học sinh giải hay những bài toán nói trên.
Khảo sát học sinh đánh giá chất lượng.
Nội dung
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn 
1. Mục tiêu giáo dục toán học ở Tiểu học 
 Khái niệm và cấu tạo phân số đựơc hình thành ở lớp 4, khắc sâu mở rộng ở lớp 5. Học phân số các em được tiếp cận với một kiểu số mới cho phép ghi thương đúng một phép chia hai số tự nhiên. Phân số ghi một giá trị được so sánh với một đơn vị nào đó. Vậy nên hiểu sâu, nắm chắc phân số các em có thể xử lý được các tình huống, các bài toán có ý nghĩa thực tế. Chính vì thế phát huy tối đa tư duy toán học giúp các em nắm chắc phần này cần phải có những bài toán cụ thể trên cơ sở kiến thức cơ bản về phân số. Mặt khác thực tế cho thấy nếu học sinh nắm chắc về phân số sẽ có khả năng học tốt các bài toán về diện tích, bài toán thực tế, có kỹ năng thực hành những yếu tố chứa đựng kiến thức phân số.
2.Nội dung dạy học phân số ở Tiểu học 
Việc học phân số ở tiểu học là một chủ đề quan trọng trong chương trình lớp 4và lớp 5. Nội dung dạy học phân số gồm 3 phần chính:
+ Phân số và tính chất cơ bản của phân số
+ Bốn phép tính về phân số 
+ Giải toán về phân số
Trong đề tài này tôi chỉ xin tìm hiểu một phần nhỏ đó là 
2.1. Bài toán về phân số và tính chất cơ bản là một trong các dạng toán khó đối với học sinh xoay quanh về khái niệm phân số và vận dụng tính chất cơ bản của phân số.
2.2. Yêu cầu đối với học sinh khi giải bài toán về phân số và tính chất phân số đó là hiểu được khái niện phân số vận dụng nhuần nhuyễn các ứng dụng của tính chất cơ bản của phân số đã được học như: rút gọn phân số, quy đồng mẫu số, so sánh phân số... 
	2.3. Các bài toán về phân số và tính chất cơ bản của phân số
+ Các bài toán khắc sâu về khái niệm sử dụng các tính chất của phân số.
+ Các bài toán về cấu tạo phân số.
+ Các bài toán về so sánh phân số.
Chương 2: Thực trạng giải những bài toán về phân số và tính chất cơ bản phân số
	1. Nhận định chung 
Giải bài toán có cấu tạo, khái niệm phân số có một số lượng khá lớn trong chương trình lớp 4&5. Kết quả của hoạt động giải toán cũng là cơ sở để đánh giá kết quả môn học toán . Song các em có thể hiểu về cấu tạo, khái niệm phân số nhưng khi bước vào giải các bài toán về phân số rất lúng túng kể cả những bài toán mang tính đại trà. Tôi thiết nghĩ các bài toán có cấu tạo phân số là một trong những dạng khó.
- Đối với giáo viên: còn nhiều vấn đề tranh luận về nội dung và phương pháp giải các bài toán về cấu tạo, khái niệm phân số.
- Đối với học sinh ở lứa tuổi tiểu học: hoạt động nhận thức chủ yếu dựa vào hình dạng bên ngoài, chưa nhận rõ thuộc tính đặc trưng của vật. Do đó học sinh rất khó khăn trong việc nhận thức khái niệm phân số khá trừu tượng. Dẫn đến giải các bài toán có cấu tạo phân số chưa đạt kết quả cao.
- Đối với sách giáo khoa mới chỉ giới thiệu trẻ những lý thuyết về phân số khái niệm, cấu tạo chưa quan tâm đến những bài toán. Điều này sẽ rất là thiếu sót đối với những học sinh có khả năng muốn tìm hiểu sâu hơn về phân số ngay ở bậc Tiểu học.
Chính vì thế tôi dành nhiều thời gian nghiên cứu, tham khảo tài liệu. Trong quá trình nghiên cứu tôi đã tiến hành khảo sát chất lượng giải các bài toán có cấu tạo phân số cho học sinh khá giỏi tại lớp 5 của trường Tiểu học Nghĩa Đô kết quả thu được như sau:
Điểm 9-10
Điểm 7- 8
Điểm 5-6
Điểm 3 - 4
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10
28%
12
33%
12
33%
2
6%
2. Những khó khăn sai lầm của học sinh khi giải toán về cấu tạo phân số. 
Trước kết quả khảo sát chất lượng bài tập về cấu tạo phân số còn quá thấp , tôi tiến hành đi tìm hiểu nguyên nhân thì được biết lí do chủ yếu sau :
+ Học sinh chưa hiểu hết về khái niệm phân số.
+ Nhiều dạng bài có tính trừu tượng dẫn đến không phân loại nhận dạng được cách giải.
Nên học sinh còn gặp nhiều lúng túng khi giải những bài toán có cấu tạo phân số.
Chương 3: Giải pháp
Trước những thực trạng giải toán có cấu tạo phân số của học sinh như đã nêu trên tôi tiến hành biện pháp phân loại chọn phương pháp giải những bài toán về phân số và cấu tạo phân số cho học sinh để giúp học sinh học tốt hơn khi dạy dạng toán này.
Biện pháp 1: Giúp học sinh hệ thống kiến thức về phân số và tính chất cơ bản của phân số .
1. Phân số
+ Viết được gọi là một phân số gồm:
 - b: (dưới dấu gạch ngang) mẫu số chỉ số phần bằng nhau được chia ra của một đơn vị (một cái bánh, một hình vuông, một mảnh ruộng)
 - a: Tử số (viết trên dấu gạch ngang) chỉ số phần lấy đi trong b phần bằng nhau được chia ra. Đọc (a trên b). Nếu đọc là “Ba phần tư” 
+ Phân số là thương đúng của phép chia a cho b (a: b = ). Vậy có thể coi dấu “ –’’ là dấu chỉ phép chia.
+ Một phân số có tử số lớn hơn mẫu số thường hay được viết dưới dạng hỗn số.
Ví dụ: đọc “hai một phần ba”
 	+ Các phân số có mẫu số là 10, 100, 1000, ... được gọi là các phân số thập phân
2.Các tính chất về phân số:
- Khi ta nhân hay chia cả tử số và mẫu số của phân số với cùng một số tự nhiên khác không thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.
Ví dụ: 	 	 
3.ứng dụng các tính chất cơ bản của phân số:
3.1.Rút gọn phân số
Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số cùng chia hết cho một số thì ta chia cả tử số và mẫu số cho số ấy được một phân số mới bằng phân số ban đầu. Việc ấy gọi là rút gọn phân số.
Ví dụ: 	
* Một phân số không rút gọn được gọi là phân số tối giản. (Không cùng chia hết cho một số nào) 
 	Ví dụ: 	
3.2.Quy đồng mẫu số
- Quy đồng mẫu số là làm cho các phân số ấy có mẫu số bằng nhau (chung)
- Quy đồng mẫu số:
+ Bước 1: Tìm mẫu số chung
+ Bước 2: Chia mẫu số chung cho từng mẫu số được một giá trị gọi là thừa số phụ
+ Bước 3: Lần lượt nhân cả tử số và mẫu cho từng phân số với thừa số phụ tương ứng
- Cách tìm mẫu số chung: Nhân tất cả các mẫu số lại với nhau.
3.3. So sánh phân số
3.3.1. Quy tắc 1:
- Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn một
- Phân số có tử số bằng mẫu số thì bằng một.
- Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì bé hơn một
3.3.2. Quy tắc 2:
- Trong hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn 
- Trong hai phân số có cùng mẫu số phân số nào có mẵu số lớn hơn thì nhỏ hơn.
3.3.3. Cách so sánh hai phân số: 
- Quy đồng mẫu số rồi so sánh theo quy tắc 2.
4. Các kiến thức bổ sung
4.1. Cách tìm mẫu số chung 
- Cách 1: Nếu mẫu số lớn nhất chia hết cho các mẫu số khác thì lấy luôn mẫu số ấy làm mẫu số chung.
- Cách 2: Đem mẫu số lớn nhất lần lượt nhân với 2,3,4... cho đến khi được số chia hết cho tất cả các mẫu số còn lại thì lấy đó làm mẫu số chung.
4.2. Các cách so sánh phân số không qui đồng
- Phân số a, b, c có a > b và b > c thì a > c 
x, y gọi là phần bù của phân số a, b
- Các phân số a và b là những phân số nhỏ hơn 1.
a + x =1 
b + y =1
+ Nếu x > y thì a < b
 x b 
x, y được gọi là phần hơn của các phân số a và b
- Các phân số a và b là những phân số lớn hơn 1.
 a - 1= x
 b - 1= y 
+ Nếu x > y thì a > b
 x < y thì a < b 
- So sánh phân số bằng cách đưa các phân số về hỗn số.
+ Tách phần nguyên nếu phân số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn.
+ Tách phần nguyên: Nếu phần nguyên bằng nhau so sánh phần phụ(chọn một trong các cách so sánh ở trên) phân số nào có phần phụ lớn hơn thì lớn hơn.
- So sánh bằng cách rút gọn các phân số.
4.3. Các kiến thức dùng cho giải các bài toán về cấu tạo phân số
- Trong một tổng gồm hai số hạng, nếu ta thêm vào số hạng này bao nhiêu đơn vị và bớt ở số hạng kia đi bấy nhiêu đơn vị thì tổng không thay đổi.
- Khi cùng thêm (hoặc cùng bớt) ở các số bị trừ và số trừ một số đơn vị như nhau thì hiệu số không thay đổi.
-Khi thêm vào tử số của một phân số một số bằng mẫu số của phân số đó (mẫu số lớn hơn không) và giữ nguyên mẫu số thì giá trị của phân số tăng thêm một đơn vị.
- Khi bớt ở tử số một phân số lớn hơn một, một số bằng mẫu số của phân số đó giữ nguyên mẫu số thì giá trị phân số đó giảm đi một đơn vị.
- Khi thêm vào tử số của một phân số bằng tử số của phân số đó, giữ nguyên mẫu số thì giá trị của phân số đó tăng lên 2 lần.
Biện pháp 2: Các bài toán về cấu tạo khái niệm và so sánh phân số
*Dạng 1: Các bài toán khắc sâu về khái niệm sử dụng các tính chất của phân số.
Bài 1: Viết số tự nhiên 6 thành các phân số có mẫu số lần lượt là: 5;11;12;100.
Giải: 6 viết thành tương tự có : 	
Bài 2: Tìm số tự nhiên x biết: 	
	Giải: 	 Vậy x = 20
 	Vì : mà 
 	Mà Vậy x=9
Bài 3: Có 7 cái bánh chia đều cho 12 người. Hỏi phải cắt thế nào để mỗi cái bánh không cắt quá 5 phần.
Giải: Lấy 3 cái bánh cắt mỗi cái thành 4 phần bằng nhau. Lấy 4 cái bánh cắt mỗi cái thành 3 phần bằng nhau. Mỗi ngươi lấy cái bánh và cái bánh.
*Dạng 2: Các bài toán về cấu tạo phân số.
Bài 1: Cho phân số . Hỏi phải bớt ở tử số bao nhiêu đơn vị và thêm vào mẫu số bấy nhiêu đơn vị thì được phân số mới, rút gọn phân số mới ta được phân số . 
Giải:Tổng của tử số và mẫu số của phân số mới khi chưa rút gọn là: 17 + 28 = 45
Tổng của tử số và mẫu số khi rút gọn là: 1 + 2 = 3
Vậy số lần giản ước: 45 : 3 = 15 lần
Phân số khi chưa giản ước : 
Số cần tìm là: 17 – 15 = 2.
 Đáp số 2.
	Bài 2: Cho phân số: . Hỏi:
	 a) Cùng phải bớt ở tử số và mẫu số của phân số đã cho bao nhiêu đơn vị để được 
	Giải: Hiệu giữa mẫu số và tử số là: 83 - 23 = 60 cùng thêm, cùng bớt ở cả tử số và mẫu số nên hiệu phân số mới chưa giản ước là: 60.
	Hiệu giữa tử số và mẫu số khi giản ước là: 4 – 1 = 3
	Số lần giản ước là : 60 : 3 = 20 lần.
 Vậy phân số mới chưa giản ước là: 
 Số cần tìm là: 23 - 20 = 3 
 Đáp số 3.
Bài 3: Cho phân số giá trị của phân số này thay đổi như thế nào nếu:
	a. Thêm vào tử số a một số bằng mẫu số b ().
	b. Thêm vào tử số a một số chính bằng tử số a ().
	c. Trường hợp là một phân số lớn hơn 1, bớt ở tử số a một số đúng bằng b ().	
Giải	 a. Khi ta thêm vào tử số của phân số một số chính bằng b mà mẫu số giữ nguyên, chứng tỏ ta đã thực hiện phép cộng: = . Vậy phân số tăng lên một đơn vị
	b. Thêm vào tử số a một số chính bằng a ta có:
	Vậy phân số tăng lên 2 lần
	c. hay a > b. Vậy theo đầu bài ta có: 
Vậy phân số giảm đi 1 đơn vị.
	Bài 4: Viết 3 phân số khác nhau cho mỗi trường hợp sau:
a. Nhỏ hơn đơn vị b. Lớn hơn đơn vị c. Bằng đơn vị
Giải: 
	a. b. 	 c. 
Bài 5: Viết các phân số sau dưới dạng hỗn số mà phần phân số của hỗn số là phân số thập phân.
Giải:
*Dạng 3: Các bài toán về so sánh phân số không sử dụng phương pháp qui đồng.
Bài 1: Không qui đồng mẫu số so sánh các cặp phân số sau:
	a. và 	b) và 	c) và 
	d) và ; e) và g) và f. và 
Giải:
a. hoặc 
b) . Vậy 
c) và Nhận xét có: 27 - 13 = 41 - 27 = 14
1- và 1- . Do nên 
Vậy 
d) và Có 
Vậy .
e) và . Ta có 
 1 > 
g) và . Ta có . Mà 3 > 2 Vậy: 3hay 
f. và . Ta có. ; . Mà . Vậy 
Bài 2: Tìm phân số ở giữa hai phân số sau: và 
 Ta có ; 	 mà . Vậy 
Biện pháp 3: Giúp học sinh tìm ra những thủ thuật nhận dạng để giải các bài toán về cấu tạo, so sánh phân số.
1. Các bài toán về cấu tạo phân số đưa về dạng toán điển hình.
Một số bài toán về cấu tạo phân số mà khi giải bài toán đó thực chất là giải các bài toán.
Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số.
Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số.
Trước khi thực hiện giải bài toán người giải toán cần phân tích, thực hiện các bước trung gian để chuyển bài toán có “hình thức phân số” sang giải các bài toán điển hình.
	Ví dụ 1: Cho một phân số . Hãy tìm một số sao cho đem tử số trừ đi số đó, đem mẫu số cộng với số đó ta được phân số mới bằng phân số tối giản .
	Nhận xét: Tìm số a sao cho . Thực chất là tìm a, nhưng muốn tìm được a thì phải tìm được phân số . Mặt khác ta có 17 + 3 = (17 - a) + (3 + a) = 20. Vậy bài toán đưa về là tìm 2 số (17 - a ) và (3 + a) biết tổng của chúng là 20 và tỉ số là .
Giải: Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là: 17 + 3 = 20. 
Khi trừ ở tử số đi bao nhiêu đơn vị và cộng thêm vào mẫu của nó đi bấy nhiêu đơn vị thì tổng của tử số và mẫu số không thay đổi nên vẫn là 20. 
Vậy theo bài ra ta có sơ đồ sau:
20
Tử số mới:
Mẫu số mới: 
Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 3 = 4 (phần)
Tử số mới là: 20 : 4 = 5
Mẫu số mới là: (20 : 4) 3 = 15
Phân số mới 
Vậy số cần tìm là: 17 – 5 = 12
Đáp số 12:
Ví dụ 2:	Cho phân số . Hỏi phải bớt ở tử số và mẫu số đi bao nhiêu đơn vị để được một phân số mới có giá trị bằng .
Nhận xét. Giả sử có 2 số A và B thì A - B = (A- C) - (B - C) có nghĩa là khi cùng bớt ở số bị trừ và số trừ đi cùng một số thì hiệu quả chúng không thay đổi. Đưa A, B về dạng một phân số thì hiệu của tử số và mẫu số không thay đổi. Vậy bài toán thực chất là tìm 2 số A, B sao cho hiệu A - B = 33 – 21 = 12 và tỉ số .
Giải: Khi cùng bớt ở tử số và mẫu số của phân số đi cùng một số thì hiệu giữa chúng không thay đổi: 33 – 21 = 12. Bài toán trở thành tìm 2 số (tử số, mẫu) biết hiệu chúng là 12 và tỉ số là . Theo đề bài ra ta có sơ đồ sau:
12
Tử số mới:	
Hiệu số mới:
	Hiệu số phần bằng nhau: 5 – 3 = 2 (phần)
Mẫu số mới: (12: 2) 3 = 18
Phân số mới: 
Vậy số cần tìm: 33 – 30 = 3
2. Một số thủ thuật nhận dạng để giải các bài toán về so sánh các phân số.
	Các bài toán về so sánh phân số có rất nhiều dạng và dù ở dạng nào thì bằng cách quy đồng mẫu số các phân số ta luôn so sánh được giá trị các phân số. Song trong phạm vi bài viết này tôi xin đề cập một vài thủ thuật nhận dạng từ đó đưa ra phương pháp áp dụng giải bài toán so sánh phân số nhanh nhất và không quy đồng mẫu số. (Yêu cầu dành cho học sinh giỏi). Giải những bài toán dạng này ngoài việc rèn cho học sinh kĩ năng còn bồi dưỡng tư duy, sáng tạo toán học, năng lực, nhân cách mỗi học sinh, giúp các em học tập các lớp trên tốt hơn.
	2.1. Những bài toán so sánh phân số qua đại lượng trung gian
	Ví dụ 1: Không quy đồng hãy so sánh các cặp phân số sau:
a) và 	b) và 	 
Giải: a. và 
	Nhận xét: có 1999 < 2000
	 có 2002 > 2001
Theo quy tắc ta chọn 1 làm yếu tố trung gian để so sánh.
 < à 	
b) 
Đối với những phân số này đều là những phân số nhỏ hơn 1 (1999 < 2002, 2000 < 2001). Khi so sánh tử số và mẫu số trong cùng một phân số nhưng chưa tìm ra yếu tố, dấu hiệu so sánh. Ta nghĩ đến việc so sánh tử số, mẫu số của cả hai phân số. Ví dụ so sánh tử số 1 với tử số 2 mẫu số 1 với mẫu số 2
Nhận xét: Tử số 1: 1999 < Tử số 2: 2000
Mặt khác MS1 2002 > MS2 2001 chọn phân số trung gian là: 
 hoặc (hoặc )
Giải:
Do < 	nên à < 
 < 	
* Vậy những cặp phân số như thế nào có thể áp dụng cách so sánh qua trung gian?
+ và nếu a > b và c > d thì yếu tố trung gian là 1
+ và nếu a d thì yếu tố trung gian là và 
* Xét thấy học sinh đã thành thạo đối với những bài toán cụ thể này giáo viên có thể bồi dưỡng học sinh qua bài toán tổng quát để giúp học sinh có thể tự ra đề toán cho bạn bè.
Ví dụ 2: Cho phân số thêm 1 vào tử số và bớt 1 ở mẫu số ta được phân số lớn hơn hay nhỏ hơn phân số ban đầu, giải thích cách làm không dùng quy đồng mẫu số.
nên: < 
Giải: Do: < 
	* Từ bài toán này bạn có thể dùng cho bất kì một phân số nào, từ đó trừ đi hoặc cộng thêm ở tử số và ngược lại cộng thêm hoặc trừ đi ở mẫu số được một cặp phân số cần so sánh.
2.2. Những bài toán về so sánh phân số bằng cách sử dụng phần bù, phần hơn
	Đối với những bài toán về so sánh phân số việc tìm ra những dấu hiệu qua việc so sánh giữa các yếu tố tử số với mẫu số trong cùng một phân số, so sánh tử số, mẫu số phân số này với tử số và mẫu số phân số kia là hết sức quan trọng. Từ đó chọn phương pháp so sánh hợp lí nhất.
	Ví dụ 1:	Không quy đồng hãy so sánh các cặp phân số sau:
	a) và 	b) và 	
Do:	 nên:	 < 
Giải:	a) và 	
	Có 1- 	 	 
 1- 	
	b) và 
Do:	 nên:	
nên:	 < (T.T2)
	Có 	 
	* Các cặp phân số có dấu hiệu như thế nào thì áp dụng cách so sánh thông qua phần bù hay phần hơn ?
	- Sử dụng cách so sánh phần bù nếu cả hai phân số đều nhỏ hơn 1 và hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số ấy đều bằng nhau.
- Sử dụng cách so sánh phần hơn cả hai phân số đều lớn hơn 1 và hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số ấy đều bằng nhau 
	* Nguyên tắc tổng quát để ra đề đối với những phân số dạng trên:
	- Chọn một phân số tối giản.
	- Tìm hiệu a – b hoặc b – a giả sử hiệu là e.
	- Chọn một phân số tối giản có hiệu (c - d) hoặc (d – c) là e
	Ta có: Cặp 2 phân số và cần so sánh không quy đồng bằng cách so sánh phần bù hoặc phần hơn.
	2.3. Những bài toán về só sánh phân số bằng cách đưa về hỗn số (tách phần nguyên).
* Những cặp phân số như thế nào thì chọn cách so sánh bằng cách đưa về hỗn số?
	- Những cặp phân số lớn hơn 1.
	Ví dụ: So sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất:
	a) ă 	b) ă 
	Giải: a) và 	 hay	 < 
	 b) và .Vậy < 
	* Những cặp phân số dạng này khi đưa về hỗn số trường hợp các phần nguyên bằng nhau lúc này việc so sánh phần phân số lại đưa về các dạng đã đề cập ở trên.
2.4. Những bài toán so sánh phân số bằng cách rút gọn những phân số đặc biệt.
Ví dụ: So sánh những phân số sau: 	 và 
 	- Có 
- Những bài toán dạng này đã theo một quy tắc nhất định có:
	 x 1001 = 	x10101=
3. Thủ thuật tìm hướng giải các bài toán chia phần
	* Đây là những bài toán chia phần quen thuộc để giải được những bài toán kiểu này ta cần tìm ra quy tắc ra đề toán từ đó đi ngược lại có cách giải.
	- Những bài toán dạng chia một số vật cụ thể thành một số phần nhất định sao cho số lần cắt là ít nhất. ( dạng bài 3 trang 8)
 	- ở dạng toán này người ra đề thường chọn một số vật cụ thể thực tế cần chia (Ví dụ: Cái bánh, quả cam, ). Số lượng chọn thường là các số nguyên tố: như 5, 7, 9, 11,  Sau đó chọn một cặp số có tổng bằng số lượng trên sao cho các số là nhỏ nhất. Ví dụ: 3 + 2 = 5; 4 + 3 = 7; 5 + 4 = 9; 5 + 6