Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN MỸ 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình 
không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 
Họ và tên: Nguyễn Văn Hiến 
Đơn vị: THCS Đoàn Thị Điểm - Yên Mỹ - Hưng Yên 
Năm học 2012 - 2013 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn 2
MỤC LỤC 
A. MỞ ĐẦU ......................................................................................................................3 
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN ......................................................................................3 
1. Cơ sở lí luận ...........................................................................................................3 
2. Cơ sở thực tiễn .......................................................................................................3 
II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP 
NGHIÊN CỨU. .............................................................................................................4 
1. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................4 
2. Đối tượng nghiên cứu .............................................................................................5 
3. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................5 
B. NỘI DUNG ...................................................................................................................5 
I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN NHỚ ....... 5 
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn........................................................................5 
2. Hệ phương trình đối xứng loại một .........................................................................7 
3. Hệ phương trình đối xứng loại hai ..........................................................................8 
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC ........9 
1. Phương pháp biến đổi tương đương ........................................................................9 
DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y. ................9 
DẠNG 2: Một hoặc hai phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích. ................... 14 
2. Phương pháp đặt ẩn phụ ....................................................................................... 19 
3. Phương pháp đánh giá .......................................................................................... 25 
C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....................................................................................... 29 
I. GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM ............................................................................ 29 
II. KẾT QUẢ KIỂM TRA TRƯỚC VÀ SAU KHI DẠY THỰC NGHIỆM ................. 35 
1. Kết quả kiểm tra trước khi tiến hành dạy thực nghiệm .......................................... 35 
2. Kết quả kiểm tra sau khi tiến hành dạy thực nghiệm ............................................. 36 
3. So sánh đối chứng trước và sau tiến hành thực nghiệm ......................................... 36 
D. KẾT LUẬN ................................................................................................................ 37 
I. NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN HẠN CHẾ ......................................................................... 37 
II. BÀI HỌC KINH NGHIỆM ..................................................................................... 38 
III. KIẾN NGHỊ VỀ VIỆC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN ................................................... 39 
IV. KẾT LUẬN CHUNG ............................................................................................. 40 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................ 41 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn 3
A. MỞ ĐẦU 
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN 
1. Cơ sở lí luận 
Kiến thức về phương trình, hệ phương trình trong chương trình toàn của 
bậc học phổ thông là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp 
học sinh tiếp cận đến các nội dung khác trong chương trình toán học, vật lí 
học, hoá học, sinh học của bậc học này. 
Trong chương trình toán của bậc học phổ thông, bắt đầu từ lớp 9 học 
sinh được học về hệ phương trình, bắt đầu là hệ hai phương trình bậc nhất hai 
ẩn. Cùng với đó học sinh được học hai quy tắc biến đổi tương đương một hệ 
phương trình là “Quy tắc thế”; “Quy tắc cộng đại số”. Trong chương trình 
toán lớp 8 và lớp 9 học sinh được học khá đầy đủ về phương trình một ẩn 
như: phương trình bậc nhất một ẩn; phương trình tích; phương trình chứa ẩn ở 
mẫu; phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương trình bậc hai; phương 
trình chứa dấu căn. Thông qua việc học các dạng phương trình trên học sinh 
được trang bị tương đối đầy đủ về các phương pháp giải các phương trình đại 
số, điều này đồng nghĩa với việc học sinh được trang bị các phương pháp giải 
hệ phương trình không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của hệ, 
không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ dạng này 
là hệ phương trình không mẫu mực. Việc giải các hệ phương trình không mẫu 
mực đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tương 
đương một hệ phương trình, các phép biến đổi tương đương một phương 
trình, đặc biệt học sinh phải rất tinh ý phát hiện ra những đặc điểm rất riêng 
của từng hệ từ đó có cách biến đổi hợp lí nhờ đó mới có thể giải được hệ. 
2. Cơ sở thực tiễn 
Tuy trong nội dung chương trình toán lớp 8 và lớp 9 đã trang bị cho học 
sinh khá đầy đủ kiến thức về phương trình và hệ phương trình đại số cùng các 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn 4
phương pháp giải. Trong khi đó, việc trang bị các phương pháp giải hệ phương 
trình không mẫu mực hầu như không được đề cập tới trong sách giáo khoa và 
ngay cả hệ thống sách tham khảo hiện có dành cho học sinh trung học cơ sở. 
Việc giải được các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh 
phải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợp 
lí đối với riêng từng hệ phương trình đã cho, điều này đánh giá được trình độ 
kiến thức của học sinh. Chính vì vậy, trong nội dung các đề thi học sinh giỏi 
cấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Hưng Yên, 
đề thi khảo sát chất lượng học kì 2 môn toán 9 nhiều năm gần đây của Sở 
Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên luôn xuất hiện các câu hỏi yêu cầu học sinh 
phải giải các hệ phương trình không mẫu mực, với mục đích phân loại đối 
tượng học sinh. Không những vậy, trong nội dung đề thi tuyển sinh vào khối 
THPT chuyên của trường Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm Hà Nội ở môn 
toán vòng 1, vòng 2 luôn xuất hiện các câu hỏi giải hệ phương trình thuộc 
kiểu hệ không mẫu mực. 
Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh 
giỏi viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực không có, 
chính vì thế giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng khi dạy đến 
chuyên đề này. Vì vậy, khi dạy đến nội dung này giáo viên thường dạy lướt 
qua bằng một số ví dụ minh hoạ chưa làm rõ được những đường lối chung để 
giải các hệ phương trình không mẫu mực. 
Chính vì những lí do mang tính lí luận và thực tế trên mà tôi chọn sáng 
kiến của mình là “Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu 
mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9”. 
II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG 
PHÁP NGHIÊN CỨU. 
1. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 
Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống 
các phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình không mẫu 
mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 của cấp trung học cơ sở. 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn 5
Nhiệm vụ cần đạt: 
- Chỉ ra được kiến thức về hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần 
nắm vững trước khi tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình không 
mẫu mực. 
- Đưa ra hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 
có sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư duy kiến thức bộ môn. 
- Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh 
theo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập 
khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạ 
phong phú cho tứng phương pháp. 
2. Đối tượng nghiên cứu 
Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là hệ thống các 
phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực, những điểm học sinh cần 
lưu ý khi tiến hành giải các hệ phương trình loại này. 
3. Phương pháp nghiên cứu 
Để hoàn thiện sáng kiến này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cưu sau: 
- Phương pháp duy vật biện chứng và duy vật lịch sử. 
- Phương pháp trừu tượng hoá khoa học. 
- Phương pháp phân tích tổng hợp. 
- Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê. 
- Phương pháp số liệu, hệ thống hoá  phỏng vấn, điều tra, khảo sát 
điều tra thực tế. 
B. NỘI DUNG 
I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
CẦN NHỚ 
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 
Định nghĩa: 
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có dạng: 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn 6
 (1)
' ' ' (2)
ax by c
a x b y c
 

 
trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước, 2 2 0a b  và 2 2' ' 0a b  . 
Nghiệm của hệ là cặp số  ; x y thoả mãn đồng thời hai phương trình (1) 
và (2) của hệ. Giải hệ tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ. 
Cách giải: 
Trong chương trình toán trung học cơ sở để giải hệ hai phương trình bậc 
nhất hai ẩn ta thường sử dụng hai phương pháp: 
- Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế; 
- Phương pháp cộng đại số nhờ sử dụng quy tắc cộng đại số. 
Để minh hoạ cho hai phương pháp này ta xét ví dụ sau: 
Ví dụ. Giải hệ phương trình 3 2 4 (1)
2 5 (2)
x y
x y
 

 
Lời giải: 
Cách 1: (Sử dụng phương pháp thế) 
- Từ phương trình (2) của hệ, rút y theo x ta có 5 2y x  . Thay vào phương 
trình (1) của hệ ta được:  3 2 5 2 4x x   Hay 7 14x  . 
- Theo quy tắc thế hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình 
sau: 7 14 2
5 2 1
x x
y x y
  
 
   
Vậy hệ có nghiệm duy nhất    ; 2; 1 .x y  
Cách 2: (Sử dụng phương pháp cộng đại số) 
- Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 rồi cộng với phương trình (1) vế 
với vế ta được:    4 2 3 2 10 4x y x y     Hay 7 14x  . 
- Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ 
phương trình sau: 7 14 2
2 5 1
x x
x y y
  
 
   
Vậy hệ có nghiệm duy nhất    ; 2; 1 .x y  
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn 7
Nhận xét: Trong chương trình toán lớp 10 của cấp THPT học sinh mới bắt 
đầu tiếp cận đến việc giải hệ phương trình trên bằng phương pháp sử dụng 
định thức cấp 2. Bằng phương pháp sử dụng định thức ta có thể giải hệ 
phương trình trên như sau: 
Hệ phương trình 
3 2 4
2 5
x y
x y
 

 
 có: 
3 2 4 2 3 4
3.1 2.2 7 0; 4.1 5.2 14; 3.5 2.4 7
2 1 5 1 2 5x y
D D D
 
             
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất: 
14 2
7
7 1
7
x
y
Dx
D
D
y
D
   

   

2. Hệ phương trình đối xứng loại một 
Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối 
xứng loại một nếu mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y 
(nghĩa là mỗi phương trình của hệ không thay đổi khi ta đổi vai trò của x và y 
cho nhau). 
Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của 
hệ. 
Cách giải thường dùng: Đặt S x y  và P xy , với điều kiện 2S 4P 0  đưa 
hệ đã cho về hệ đơn giản hơn đã biết cách giải. 
Ví dụ. Giải hệ phương trình 
 2 2
11
3 28
x y xy
x y x y
  

   
Lời giải: 
Đặt S x y  và P xy , khi đó hệ đã cho có dạng: 
2
11 (1)
2 3 28 (2)
S P
S P S
 

  
Từ (1) suy ra 11P S  , thay vào phương trình (2) ta được: 
 2 22 11 3 28 hay 5 50 0.S S S S S       
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt: 5; 10.S S   
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn 8
* Nếu 5S  thì 6,P  nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: 
  2
2
5 6 0 2 3 0
3
t
t t t t
t

         
Suy ra    ; 2; 3x y  hoặc    ; 3; 2 .x y  
* Nếu 10S   thì 21,P  nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: 
  
3
10 21 0 3 7 0
7
t
t t t t
t
 
          
Suy ra    ; 3; 7x y    hoặc    ; 7; 3 .x y    
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:        2; 3 ; 3; 2 ; 3; 7 ; 7; 3 .    
3. Hệ phương trình đối xứng loại hai 
Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối 
xứng loại hai nếu trong hệ phương trình, khi đổi vai trò của x và y cho nhau 
thì phương trình này trở thành phương trình kia. 
Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của 
hệ. 
Cách giải thường dùng: Trừ các vế tương ứng của hai phương trình thì nhận 
được phương trình tích dạng      
0
.f , 0
f , 0
x y
x y x y
x y
 
    
Từ đó hệ đã cho tương đương với hai hệ đơn giản hơn có thể giải được. 
Ví dụ. Giải hệ phương trình sau: 
3
3
1 2 (1)
1 2 (2)
x y
y x
  

 
Lời giải: 
Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được: 
 
  
3 3
2 2
2
2 2 2
 2
2 0
30 ( 2 2 0 , )
2 4
.
x y y x
x y x xy y
yx y x xy y x y x y
y x
  
     
             
 
 
V × 
Thay y x vào phương trình (1) ta được: 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn 9
  3 2
1
2 1 0 1 1 0 1 5
2
x
x x x x x
x

           

Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là: 
  1 5 1 5 1 5 1 51; 1 ; ; ; ; .
2 2 2 2
          
      
   
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 
1. Phương pháp biến đổi tương đương 
Để biến đổi tương đương một hệ phương trình chúng ta sử dụng các quy 
tắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng đại số. Cùng với đó ta 
cần kết hợp các phép biến đổi tương đương một phương trình trong quá trình 
biến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bình 
phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung, 
Nhìn chung việc biến đổi tương đương các hệ phương trình loại này đòi 
hỏi người làm phải rất khéo léo và linh hoạt trong từng bước biến đổi. Ta có 
thể vận dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ không mẫu mực 
trong các tình huống sau. 
DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y. 
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau: 
2 2
2 1 0
1 0
x y
x y xy
  

   
Lời giải: 
Ta có: 
   
 
2 2
2 2
2 1 0
1 0
2 1
2 1 2 1 1 0
2 1
5 1 0
2 1 1
0 0
2 1 1
1 1
x y
x y xy
x y
y y y y
x y
y y
x y x
y y
x y x
y y
  

   
  
     
    
      
          
  
    
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn 10
Vậy hệ có hai nghiệm:    1; 0 ; 1; 1 . 
Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên 
ta có thể rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ, 
theo quy tắc thế ta nhận được một hệ mới tương đương. Trong hệ mới nhận 
được có một phương trình là phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ. 
Trong lời giải trên, ta đã tính x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào 
phương trình thứ hai. Ta cũng có thể tính y theo x rồi thế vào phương trình 
thứ hai của hệ, tuy nhiên việc biến đổi hệ tiếp theo sẽ trở nên phức tạp vì xuất 
hiện mẫu số. 
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau: 
  2 2
2
1 1 3 4 1 (1)
1 (2)
      

  
x y x y x x
xy x x
Lời giải: 
Nhận thấy 0x  không thoả mãn phương trình (1) của hệ nên hệ không có 
nghiệm  0; y . 
Khi 0x  từ phương trình (2) ta có 
2 11 xy
x

  thay vào phương trình (1) ta 
được: 
     
   
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
1 1 3 4 1
11
1 2 1 1 3 1
11
1
1
12 1 2 0
2
211 11 5
2
x xx x x x
x x
xy
x
x x x x
xy
x
x
x
yx x x x
xxy xyx yx
    
      
   
  
     
  
 

 
                            
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:   51; 1 ; 2; .
2
    
 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn 11
Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên 
ta tiến hành tính ẩn y theo ẩn x rồi thế vào phương trình (1) của hệ. Tuy nhiên 
việc tính y theo x ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét  0; y 
không là nghiệm của hệ để từ đó với 0x  ta có thể tính 
2 11 xy
x

  và hệ 
nhận được tương đương với hệ đã cho. 
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau 
2 2
2 2
10 0
4 2 20 0
x y x
x y x y
   

    
Lời giải: 
Lấy phương trình thứ nhất trừ cho phương trình thứ hai ta được 7 10y x  . 
Theo quy tắc cộng đại số, hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau: 
 
   

 
    
 
 
   
 
 
  
                 
2 2
22
2
10 0
7 10
7 10 10 0
7 10
3 2 0
7 10
1
1
17
2
2
7 10
24
x y x
y x
x x x
y x
x x
y x
x
x
y
x
x
y x
y
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:    1; 17 ; 2; 24 .    
Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình của hệ đều không có phương trình nào 
là phương trình bậc nhất đối với một ẩn, nhưng bằng việc sử dụng quy tắc 
cộng đại số trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình 
là phương trình bậc nhất hai ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ. 
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau 
 
 
2 5
3 4
x y xy x y xy
x y xy x y xy
    

   
Lời giải: 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, H­ng Yªn 12
*) Dễ thấy 0x y  là nghiệm của hệ. 
*) Các cặp số  x y víi y 0 hay    ; x 0; x 0; y 0 đều không là nghiệm. 
*) Với xy 0. Chia cả hai vế của mỗi phương trình trong hệ cho xy 0 ta 
được: 
x y
x y
x y
x y
    

    

1 1
2 5
1 1
3 4
Suy ra x y x y x y
x y
         
1 1
5 2 4 3 2 1 
Thay 2 1x y  vào phương trình thứ 2 của hệ ban đầu ta được: 
     
  
 
           
   
          
 

         
           
 
23 2
2 1
2 1 2 1 3 2 1 4 2 1
2 12 1
1 10 9 1 010 19 10 1 0
2 1
41 1 41 11
1 10 10 hoÆc hoÆc 9 41
1 9 4120
20
9 41
20
x y
y y y y y y y y
x yx y
y y yy y y
x y
y x x
x
y y
y y
y





9 41
20
Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: 
   