Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm trong khi giải các phương trình và bất phương trình vô tỉ

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
* Lí do chọn đề tài
Nhờ có sự quan tâm của Đảng và Nhà nước về công tác giáo dục - đào tạo, cùng với sự nỗ lực của giáo viên và học sinh, thời gian qua ngành giáo dục - đào tạo đã đạt được một số thành tích đáng kể. Tuy nhiên nếu đánh giá một cách khách quan, thì hiện nay chất lượng, hiệu quả giáo dục - đào tạo còn chưa đáp ứng đầy đủ được yêu cầu ngày càng cao của xã hội. Nhìn chung trình độ kiến thức của học sinh, khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành...., còn nhiều hạn chế, chưa thích ứng được với thực tiễn xã hội, khả năng vận dụng kiến thức vào sản xuất, đời sống .
 Trong chương trình dạy học Toán ở cấp học trung học cơ sở, kể cả ngay ở trong các trường chuyên thường gặp nhiều bài toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ. Khi gặp loại toán này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn khi định hướng, tìm ra phương pháp giải, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết quả (điểm), hoặc nếu có kết quả thì kết quả đạt được cũng không cao ( không có điểm tối đa). 
Vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh có được những kiến thức và kỹ năng giải được thành thạo loại toán này, đáp ứng được mục tiêu tư duy tìm hiểu tốt nhất của học sinh, đề tài “Một số kinh nghiệm trong khi giải các phương trình và bất phương trình vô tỉ” này sẽ cung cấp cho các đồng nghiệp đặc biệt là các em học sinh một cách nhìn bao quát về dạng toán này, cung cấp cho các em một số phương pháp giải cơ bản về loại toán này. 
Tôi mong rằng qua đề tài này sẽ góp phần làm tăng thêm khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán... về phương trình và bất phương trình vô tỉ. 
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận. 
 Đảng và Nhà nước đã xác định giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của toàn dân. Để phát triển sự nghiệp giáo dục , tăng cường hiệu quả sự quản lí của nhà nước về giáo dục , nhằm nâng cao dân trí , đào tạo nhân lực , bồi dưỡng nhân tài phục vụ cho tổ quốc , nội dung giáo dục phải đảm bảo tính cơ bản, toàn diện, thiết thực, hiện đại và có hệ thống, phù hợp với tâm sinh lí lứa tuổi học sinh.
 Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động của học sinh, tư duy sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên.Bên cạnh đó giáo viên có vai trò và vị trí không nhỏ để học sinh có thể hình thành được những đức tính trên .
 Trên cơ sở đó, ta thấy rằng việc hướng dẫn học sinh để các em có khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán... về phương trình và bất phương trình vô tỉ, từ đó các em định hướng tốt, tìm ra phương pháp giải, lời giải chặt chẽ. Đây cũng là một trong những khâu quan trọng trong quá trình học tập của các em học sinh, góp phần vào mục tiêu chung của ngành và của toàn xã hội.
II. Thực trạng của vấn đề.
 1. Thực trạng. 
Trong giải toán về phương trình và bất phương trình vô tỉ thì đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ, khả năng tư duy, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ và vận dụng phương pháp thích hợp vào từng bài toán cụ của đa số học sinh còn lúng túng chưa linh hoạt.
 2. Kết quả.
Do đó, qua kiểm tra khảo sát chất lượng của một lớp bồi dưỡng học sinh thì kết quả thu được như sau:
+ 13% Đạt loại giỏi
+ 36% Đạt loại khá
+ 43% Đạt loại trung bình
+ 8% Đạt loại yếu
 Từ thực trạng trên , tôi thấy rằng để giúp học sinh nắm vững phương pháp, biết vận dụng linh hoạt và tư duy tốt để trình bày một lời giải đúng, chặt chẽ thì cần phải có những biện pháp thực hiện mới , mang lại hiệu quả cao và tôi đã ứng dụng ngay vào dạy chuyên đề này ở một số lớp. Kết quả thu được qua khảo sát đã nâng cao rõ rệt hơn so với trước đó. Sau đây là một số kinh nghiệm mà tôi đã áp dụng thành công khi dạy chuyên đề “Một số kinh nghiệm trong khi giải các phương trình và bất phương trình vô tỉ ”.
III. Các giải pháp và tổ chức thực hiện.
1. Các giải pháp thực hiện.
- Tìm hiểu cơ sở lý luận về việc chuẩn bị lựa chọn phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ và trên cơ sở đó nhằm giới thiệu khái quát một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ cho học sinh. Phát huy tính tích cực chủ động tìm tòi, áp dụng phương pháp thích hợp vào từng bài toán cụ thể. 
- Cần giải quyết triệt để những sai lầm, thiếu sót mà học sinh thường mắc phải khi gặp các loại toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. 
- Khi giải loại toán này học sinh còn gặp nhiều khó khăn, do đó cần phải định hướng cho học sinh khả năng tư duy, vận dụng phương pháp, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán linh hoạt đúng và chặt chẽ.
- Tổng kết vận dụng kiến thức, trên cơ sở đó để đưa ra được một số phương pháp giải phù hợp nhằm đạt hiệu quả cao khi giải phương trình và bất phương trình vô tỉ. 
2. Các biện pháp tổ chức thực hiện.
2.1) Công việc chuẩn bị của giáo viên, học sinh.
 a) Chuẩn bị của giáo viên.
Để có được những phương pháp giải toán giải phương trình và bất 
trình vô tỉ thì công việc chuẩn bị của giáo viên là hết sức quan trọng.
* Việc thứ nhất:
Nghiên cứu trước những tài liệu tham khảo nhằm nắm chắc nội dung mục đích yêu cầu của từng dạng toán để xác định rõ việc lựa chọn phương pháp giải thích hợp nhất.
* Việc thứ hai: 
Giáo viên phải sắp xếp những phương pháp đã được chuẩn bị bằng những kiến thức cơ bản như: Định nghĩa, định lý, tính chất ...
Nhằm lựa chọn những phương pháp giải thích hợp khai thác triệt để nội dung của từng dạng toán. 
 b) Công việc chuẩn bị của học sinh.
Để có những kỹ năng thực hành giải phương trình và bất phương trình vô tỉ thành thạo, hông lệ thuộc, bị động thì học sinh cần phải có sự chuẩn bị kỹ về kiến thức cơ bản về mở đầu từ số vô tỉ căn bậc hai và các loại phương trình vô tỉ đơn giản nhằm thấy rõ được mục đích của việc lựa chọn và sử dụng phương pháp giải toán phù hợp.
 c) Hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp.
Như những điều ta đã nói và được biết ai cũng có thể khẳng định bộ môn toán có nhiệm vụ hàng đầu là hình thành kỹ năng và phát triển tư duy thế nhưng để cho học sinh có được những kỹ năng giải loại toán phương trình và bất phương trình vô tỉ thì là vấn đề khó ngoài ra cần phát triển được khả năng phát triển tư duy khoa học. Do đó việc lựa chọn và sử dụng phương pháp giải hợp lý là một việc rất cần thiết. Muốn có được điều này thì trước hết học sinh cần phải nắm và hiểu sâu sắc nội dung và mục tiêu của từng dạng toán mới có được sự lựa chọn phương pháp giải tốt nhất, đạt kết quả cao nhất.
Như vậy để có được sự lựa chọn phù hợp phương pháp giải cũng như
rèn luyện được kỹ năng giải toán của học sinh trước hết mỗi giáo viên phải 
hướng dẫn cho học sinh thấy và biết phân nhóm được các loại toán phù hợp với từng phương pháp giải. Từ đó, việc thực hiện quá trình giải đơn giản đi rất nhiều không còn hiện tượng lúng túng tìm cách giải.
2.2) Một số định lý về phương trình và bất phương trình vô tỷ.
a) Định lý 1: Phương trình = g (x) tương đương với hệ
g (x) > 0
f (x) = g2(x)
b) Định lý 2: Bất phương trình > tương đương với hệ 
 f (x) >, g (x) > 0
 f2(x) > g2(x)
Định lý 3: Bất phương trình > g(x) tương đương với 2 hệ:
f(x) > 0	 g(x) > 0
 g(x) g2(x)
d) Định lý 4: Bất phương trình: < g(x) tương đương với hệ
f(x) > 0
g(x) > 0 
f(x) < g2(x)
 	e) Một số kiến thức cơ bản được cụ thể qua các công thức dưới đây.
(học sinh cần chú ý tránh mắc phải sai lầm trong khi giải toán phần này)
2.3) Một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải phương trình và tỉ. 
Ta gọi phương trình vô tỉ là những phương trình tính chứa ẩn trong dấu căn cần tách các sai lầm sau: 
Ví dụ 1: Giải phương trình.
	(1)
*) Lời giải sai: Chuyển vế: 	(2)
Bình phương hai vế: 
x - 1 = 5x - 1 + 3x - 2 + 2 	(3)
Rút gọn: 2-7x = 2 	(4)
Bình phương hai vế.
4 - 28x + 49x2 = 4(15x2 - 13x + 2)	(5)
Rút gọn: (11x-2) (x-2) = 0
x1 = ; x2 = 2
*) Phân tích sai lầm. 
a. Sai lầm thứ nhất: là không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức. Thật vậy ở căn thức , phải có x > 1, do đó giá trị x = không phải là nghiệm của (1). Để khắc phục sai lầm này cần tìm tập xác định của nghiệm phương trình (1) hoặc thử lại các giá trị tìm được của x vào phương trình ban đầu. 
b. Sai lầm thứ hai. Là không đặt điều kiện để biến đổi tương đương (4), (5) không tương đương, phương trình (4) tương đương với hệ.
2 - 7x > 0
(2 - 7x)2 = 4 ( 15x2 - 13x + 2)
Do vậy phương trình (5) là phương trình hệ quả của phương trình(4)
nó chỉ tương đương với (4) với điều kiện : 2-7x > 0. Do đó x = 2 cũng không là nghiệm của (1).
*) Cách giải đúng.
Đặt điều kiện tồn tại của (1) là x > 1. Do đó x < 5x suy ra x - 1< 5x - 1. Như vậy vế trái của (1) là số âm, còn vế phải không âm. Vậy phương trình (1) vô nghiệm.
 Ví dụ 2: Giải PT(x+3) 
Lơì giải sai: Ta có : 
Nhận xét: Rõ ràng x=-3 không phải là nghiệm của PT
	Ghi nhớ: 
Ví du 3: Giải PT:
Lời giải sai: 
Nhận xét: Rõ ràng x= -3 không phải là nghiệm của PT
	Ghi nhớ: 
Ví dụ 4: Giải PT:
Lời giải sai:
Vậy PT trên vô nghiệm.
Nhận xét : PT đã cho có nghiệm x= -7 ?
	Ghi nhớ :
Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi Nên mất một nghiệm: x=-7
2.4) Một số phương pháp sử dụng khi giải phương trình và bất phương trình vô tỉ.
2.4.1) Phương pháp 1: Nâng lên luỹ thừa để phá dấu căn. 
Một trong các nguyên tắc để giải phương trình hoặc bất phương trình chứa căn thức là chúng ta phải làm mất dấu căn, thông thường chúng ta sử dụng một trong các định lý trên để dấu căn của phương trình hoặc bất phương trình, thường chỉ nên áp dụng một hoặc hai lần và khi đó sẽ đưa phương trình hoặc bất phương trình vô tỷ về dạng mà ta có thể giải dễ dàng hơn. 
Ví dụ1: Giải bất phương trình.
Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là.
5x - 1 > 0
3x - 2 > 0	 x > 1 	(*)
 	 x - 1 > 0
Với điều kiện (*) phương trình cho tương đương với phương trình. 
Cả hai vế của phương trình đều không âm, nâng lên luỹ thừa hai của
cả hai vế ta được phương trình tương đương. 
 5x - 1 = 4x - 3 + 2 
 x + 2 = 2 
Với x > 1 thì cả hai vế của phương trình trên đều không âm, bình phương 2 vế ta được phương trình tương đương: 
 (x+2)2 = 4 (x-1) (3x-2)
 11x2 - 24x + 4 = 0
Phương trình này có 2 nghiệm: x1 = 2 và x2 = 
Ta thấy chỉ có x = 2 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2
Ví dụ2: Giải bất phương trình. 
	(1)
Giải: Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là: 
1 + x > 0
	- 1 < x < 1
1 - x > 0
Ta xét các khả năng có thể sảy ra sau đây: 
1. Nếu - 1 < x < 0: Khi đó (1)
 - x < 	(2)
Do x2 < 1 - x + 1 + x - 2 
 2 - x2 > 2 
 4 - 4x2 + x4 > 4 - 4x2 
 x4 > 0 luôn đúng
Với mọi x thoả mãn - 1 < x < 0.
Vậy - 1 < x < 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho.
2. Nếu 0 1 - x > 0
(1) 	 1 + x + 1 - x - 2 < x2
 2 - x2 < 2 
 4 - 4x2 + x4 < 4- 4x2
 x4 < 0 x = 0
Nghiệm này bị loại. 
Vậy nghiệm của bất phương trình là: -1 < x < 0
2.4.2) Phương pháp 2: Đưa PT về PT chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ3: Giải phương trình: (1) . 
 Nếu x > 0 thì x - 2+ x = 8 ,
Thuộc khoảng đang xét.
Nêu x < 0 thì –x +2 +x = 8, phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình có một nghiêm: x = 5.
2.4.3) Phương pháp 3: Phương pháp khoảng.
Nội dung của pháp pháp này là đưa các bất chương trình căn thức về bất phương trình tách, tìm nghiệm các thừa số rồi xét dấu để tìm nghiệm. 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 
x < x2 - 6 (1)
Giải: 
Điều kiện để bất phương trình có nghĩa là: 10 - x2 > 0 => x2 < 10 
 |x| ≤
Với điều kiện đó ta có: (1) x- x2 + 6 < 0 (2)
Xét phương trình: 
x - x2 + 6 = 0 x= x2 - 6
	x (x2 - 6) > 0
 x2 (10 - x2)	 = x4 - 12 x2 + 36
	 - 
	x4 - 11x2 + 18 = 0
	 - 
	x2 = 9; x2 = 2
	 - 
	x = + 3; x = + 
	 x = 3
	x = -
Xét dấu vế trái của (2) ta có:
x
 -3 0 3 
10-x2
////0 │ │ │ │ │ │ │ 0//////
x(x2- 6)
/////////////////////0 + │ + 0////////////////0 +
+ │ + 0 - │ - 0 + │ + 0 - │ - 0 + │ + 
Kết quả
////////////////////0 - 0 + │/////////////////0 - 0 + │///////
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 
 < x < -, < x < 3
2.4.4) Phương pháp 4: Phương pháp đặt ẩn phụ.
Một số bài toán về giải phương trình và bất phương trình có chứa căn
thức có thể giải được nhờ việc đưa thêm vào các ẩn phụ để phá căn thức hoặc
có thể đưa về các phương trình hoặc bất phương trình đại số. Thông thườngcó thể đặt ẩn mới bằng một căn thức (hoặc tổng hay hiệu hai căn thức) nào đó. Chúng ta thường gặp 3 dạng ẩn phụ sau: 
Dạng 1: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình hay bất phương trình với một ẩn mới. 
Dạng 2: Đặt ẩn phụ để đưa về một hệ hai phương trình hai ẩn mới. 
Dạng 3: Đặt ẩn phụ để đưa về một phương trình với hai ẩn (phương pháp sử dụng phương trình bậc hai). 
Ví dụ 5: Giải phương trình: 
;
Giải: ĐK:x
Đặt ; Khi đó x-2= y3 ; x+1 = z2
Ta có HPT sau: ; Giải HPT (y = 1;z =2) thõa mãn 
Giải tìm x = 3(thoã mãn)
Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình là: x= 3
Ví dụ 6: Giải phương trình: 7x2 + 7x = 	(1)
Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: 4x + 9 > 0 => x > 
Đặt: = t + (t > ) = t2 + t + 
 7t2 + 7t = x + khi đó. 
 (1) 	Lấy (2) trừ đi (3) ta có 
7(x2 – t2) + 7(x - t) = t -x (x - t) (7x + 7t + 8) = 0
 	xét hai khả năng xảy ra
a. Nếu x - t = 0 t= x. Thay vào (2) ta có: 7x2 + 7x = x + 
 14x2 + 12x - 1 = 0
 x = Do điều kiện x = t ³ nên x = là ghiệm.
b. Nếu 7x + 7t + 8 = 0 t = thay vào (2) ta có:
7x2 + 7x = + x = 
Kết hợp với điều kiện t³ ta có: x = 
Vậy nghiệm của phương trình là: x = , x= 
* Nhận xét: Muốn sử dụng phương pháp hệ phương trình ta thường đưa về hệ phương trình đối xứng hoặc quy về phương trình tích. Khi đặt ẩn phụ ta phải chú ý kiểm tra điều kiện của các ẩn mới và ẩn cũ.
Ví dụ 7: Giải phương trình: 5. = 2(x2 + 2)	(1)
Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x + 1 0 => x -1
Đặt u = (với điều kiện u 0; v 0)
v = 
Khi đó ta có: u2 = x + 1 u2 + v2 = x2 + 2. 
v2 = x2 - x + 1 	Thay vào phương trình trên
Ta có: 5uv = 2(u2 +v2) => 2u2 – 5uv + 2v2 = 0 
=> u1 = 2v, u2 = v (Xét đó là phương trình bậc hai ẩn u)
Xét hai trường hợp:
a. Với u = 2v từ đó suy ra = 2 
 x + 1 = 4(x2 - x +1)
 4x2 - 5x + 3 = 0 = 52 - 4.4.3 <0 phương trình này vô nghiệm
b. Với u = v = 4(x + 1) = (x2 - x +1)
 x2 - 5x - 3 = 0 => x = 
2.4.5) Phương pháp 5: Nhân với biểu thức liên hợp để quy về phương trình hoặc bất phương trình tích.
Mục tiêu của phương pháp này là nhân với biểu thức liên hợp của căn thức nào đó để xuất hiện thừa số chung ở hai vế (nếu là bất phương trình thì có thể bằng phương pháp khoảng)
Ví dụ 8: Giải phương trình: 
 + = + 	(1)
Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là:
 (*)
Khi đó: (1) - = - 
 = 
 2(x+2)=0
 x + 2 => x = -2 Thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phương trình có nghiệm là: x = -2
Ví dụ 9: Giải PT:
ĐK: Nhân hai vế của PT cho biểu thức liên hợp(1)
(2)
Giải PT (2) Ta có x= 2 là nghiệm duy nhất của PT.
2.4.6) Phương pháp 6: Phương pháp đánh giá.
Nhiều bài toán bằng cách đánh giá tinh tế dựa trên các tính chất của bất đẳng thức, ta có thể nhanh chóng chỉ ra được nghiệm của nó.
Ví dụ 10: Giải phương trình: 
Giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa 
x2 + 2x + 5 > 0 	
x - 1 ≥ 0 
Nhận xét rằng: x2 + 2x + 5 ≥ 4 với mọi x 
Nên suy ra vế trái = 2 
 phương trình vô nghiệm. 
* Chú ý: Việc sử dụng các tính chất trị tuyệt đối để giải phương trình, bất phương trình cũng là một hướng trong “phương pháp đánh giá”
Ví dụ 11: Giải phương trình
	(1)
Giải: Ta có: (1) + 
 +=1
+ = 
 > 0 
 1< 
 1 £ x - 1 £ 4 2 £ x £ 5
Vậy nghiệm của phương trình là 2£ x £ 5
* Chú ý: 
- Rất nhiều học sinh giải bài toán này chỉ thu được nghiệm là x = 2 và x = 5
- Bài toán trên có thể giải như sau: 
 	=
2.4.7) Phương pháp7: Phương pháp Bất đẳng thức.
 a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau:
Ví dụ 12: Giải PT: 
ĐK:x ;Ta có với ĐK này thì x < 5x
Do đó Vế trái là một số âm, vế phải không âm. Vậy phương trình vô nghiệm.
b) Sử dụng tính đối nghịch hai vế:
Ví dụ13: Giải PT:
Giải: Vế trái của PT:
	Vế phải của PT:5-(x+1)2 
	Vậy hai vế của PT bằng 5 
KL:x = -1
c) Sử dụng tính đơn điệu:
Ví dụ14 : Giải PT: 
Giải: Ta thấy x =3 là nghiệm của PT
Với x >3 Thì .Nên vế trái của (1) >3
Với -1 .Nên vế trái của (1)<3
Vậy x =3 là nghiệm duy nhất của PT
d) Sử dụng ĐK xẩy ra dấu bằng :
	Ví dụ15: Giải PT: 
Giải: ĐK:x > áp dụng BĐT Với a>0,b>0 .Xẩy ra dấu “=” khi và chỉ khi a=b. Do đó (1)
T/mãn (2)
2.5) Một số bài tập đề nghị tự làm.
 Giải các phương trình:
Bài 1: x2 - 4x = 8
Bình phương 2 vế đưa về: (x2 + 8)(x2 - 8x + 8) = 0
Đáp: x = 4 + 2
Bài 2: 
HD: Đặt 2x2 - 9 x + 4 = a > 0, 2x + 1 = b > 0
đưa về 
Rút gọn b = 0 hoặc b = a
Đáp: 
Bài 3: 
HD: Điều kiện x > 1
Bình phương hai vế xuất hiện điều kiện x < - 1 nghiệm x = -1.
Bài 4: 5
HD: Đặt 
Đưa về dạng: 5ab = 2(a2 + b2)
Đáp số: 
Bài 5: 
HD: Tìm được 2 < y < 3
 6 < x < 11
Bài 6:
;HD câu a)PT Vô nghiệm;câu b)PT có vô số nghiệm x 
Bài 9: 
HD: Biến đổi về PT chứa dấu giá trị tuyệt đối
Câu:a); Câu b) 
IV. Kiểm nghiệm.
 Kết quả đạt được. 	
Như vậy, với cách hướng dẫn này tôi nhận thấy các em học và tiếp thu bài tốt hơn.Đa số các em học sinh đã định hướng đúng và trình bày lời giải chặt chẽ, khả năng tư duy, khả năng thực hành, kỹ năng giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ và vận dụng phương pháp thích hợp vào từng bài toán cụ thể thì đa số các em rất linh hoạt, thực hiện tốt.
Do đó, sau khi hướng dẫn, bồi dưỡng các em học theo định hướng này tôi kiểm tra khảo sát chất lượng và đã thu được một kết quả khả quan như sau:
Đối tượng
Phương pháp
Điểm giỏi
Điểm khá
Điểm TB
Điểm yếu
Một lớp
(hs) 9
Cũ
13%
36%
43%
8%
Mới
34%
48%
17%
1%
C. KẾT LUẬN
Trên đây tôi đã giới thiệu một vài phương pháp giải toán phương trình và bất phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS đây không chỉ là hành trang ban đầu về kiến thức và kỹ năng thực hành cho học sinh mà còn là hành trang cho các em trong những chương trình toán cao hơn. Đây là một cơ sở để kích thích các em tăng tính ham mê, thích học môn toán.
Như vậy việc lựa chọn các phương pháp giải toán như đã giới thiệu trên đây bản thân tôi đã nhận thấy được các em đã vận dụng tương đối hiệu quả, dễ dàng tìm cách giải và đạt kết quả cao trong quá trình học tập, bản thân đã từng bước đưa các phương pháp này vào vận dụng giải toán và đã được kết quả tương đối tốt. Ngay từ lúc này việc giải loại toán phương trình và bất phương trình vô tỉ đối với các em học sinh không còn là một loại toán khó khăn như trước nữa. Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn thì ngay cả giáo viên và học sinh cần phải nỗ lực hơn nữa, cần phải có sự phân tích từng loại toán một cách chính xác. Tôi tin rằng trong một thời gian không lâu các phương pháp giải này sẽ trở thành một món ăn tinh thần cho những em học sinh.
	Trên đây là một sáng kiến kinh nghiệm nhỏ mà tôi rút ra được trong quá trình giảng dạy bộ môn toán đưa ra để đồng nghiệp tham khảo mong muốn góp phần của việc giảng dạy được tốt hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn!
Ngày 17 tháng 3 năm 2015
Tôi xin cam kết đề tai nay do tôi viết, không lay cua ai.
Người viết: ..
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa Toán 9 (tập 1)
2. Sách giáoviên Toán 9 (tập 1)
3. Nâng cao và phát triển toán 9 (tập 1) – Nhà xuất bản giáo dục (Vũ Hữu Bình)
4. 23 Chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp (tập 1) - Nhà xuất bản giáo dục (Nguyễn Văn Vĩnh)
Mục lục Trang 
A. ĐẶT VẤN ĐỀ .. 1
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ  2 
I. Cơ sở lí luận .. 2
II. Thực trạng của vấn đề 2
1. Thực trạng .2
2. Kết quả 2
III. Các giải pháp và tổ chức thực hiện ...3 
1. Các giải pháp thực hiện ..3
2. Các biện pháp và tổ chức thực hiện .3
2.1. Công việc chuẩn bị của giáo viên, học sinh ..3 
2.2. Một số định lý về phương trình và bất phương trình vô tỉ  5
2.3. Một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải phương trình và tỉ ..6
2.4. Một số phương pháp sử dụng khi giải phương trình và bất phương
 trình vô tỉ. ..8
5. Một số bài tập đề nghị tự làm. ..17
IV. Kiểm nghiệm ..18
C. KẾT LUẬN. ...19
Tài