Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ
Những năm gần đây, cùng với việc thay bộ sách giáo khoa mới và việc sử dụng phương pháp tích cực nhằm phát huy trí lực học sinh một cách chủ động, sáng tạo, thực hiện cuộc vận động “Hai không” với bốn nội dung
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương trình,  Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phương pháp cơ bản của quá trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và không quá ba nhân tử. 
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. 
Xuất phát từ những lý do trên, cùng với những đòi hỏi của xã hội, chất lượng dạy và học ngày càng phải được nâng cao, và bằng những kinh nghiệm dạy và học toán, tôi xin mạnh dạn lựa chọn đề tài “Dạy học các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ” với hy vọng đóng góp một phần nhỏ bé công sức của mình về việc dạy học theo phương pháp mới, giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ môn toán nói chung và các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng.
PHẦN II : GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lí luận của vấn đề vấn đề nghiên cứu
	Trong bối cảnh đổi mới Giáo dục nói chung, Giáo dục THCS nói riêng thì đổi mới phương pháp dạy học là yêu cầu bắt buộc mang tính tất yếu khách quan.
	Nghị quyết TW 2 (Khóa VIII) khẳng định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”.
	Luật giáo dục điều 28 khoản 2 đã chỉ rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Trong qúa trình giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS đây là một trong những nội dung được nhiều giáo viên nghiên cứu ở những mức độ khác nhau và họ cũng đã thu được những kết quả nhất định. Song việc thực hiện được kết quả như thế nào còn tùy thuộc vào nhiều yếu tố. Trong việc dạy và học bộ môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ với các phương pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên một số phương pháp khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng Toán khó. Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mới cách dạy và học.
2. Thực trạng của vấn đề: 
 2.1 Đặc điểm tình hình nhà trường :
- Trường THCS Đan Hà có cơ sở vật chất phục vụ cho việc giảng dạy tương đối nghèo nàn
- Học sinh trường THCS Đan Hà đa phần là các em ngoan chịu khó trong học tập, các em có đầy đủ sách giáo khoa, sách bài tập.
- Đội ngũ giảng dạy môn Toán ở trường có 3 giáo viên 
 Qua thực tế giảng dạy giảng dạy bộ môn toán 8 kết hợp với dự giờ các giáo viên trong và ngoài trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Cộng trừ các phân thức không cùng mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ ... vì để giải được các dạng toán đó thì cần phải có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
	Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy: Khi gặp các dạng bài tập như, rút gọn phân thức, cộng trừ phân thức không cùng mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích... các em gặp rất nhiều lúng túng. 
Ví dụ 1: (Trong tiết 25: Luyện Tập (Toán 8 tập 1)) Khi giáo viên đưa bài tập. Yêu cầu học sinh rút gọn phân thức: 
Nhiều học sinh thể hiện sự lúng túng khi gặp ví dụ trên, có rất ít học sinh giơ tay phát biểu, chỉ có một vài học sinh khá, giỏi.
GV đặt câu hỏi gợi ý: Để rút gọn phân thức trên ta làm như thế nào?
HS: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử...
	Sau khi gợi ý, nhiều học sinh đã đưa ra lời giải tuy nhiên bên cạnh đó vẫn còn tồn tại nhiều lời giải như sau:
	= (lời giải sai- phân thức chưa được rút gọn)
Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử (mặc dù vừa được học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)
Ví dụ 2: (Trong tiết 46 Đại số 8) giáo viên đưa bài tập. Giải các phương trình sau bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử.
x(2x - 7) – 4x + 14 = 0
x2 – 5x + 6 = 0
Vì để giải được các bài toán trên học sinh cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo. 
Thực tế về trình độ học tập của học sinh qua khảo sát đầu năm môn Toán ở hai lớp 8A, 8B như sau:
Lớp
Số bài kiểm tra
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8A
32
2
6,3
9
28,1
18
56,2
3
9,4
8B
33
2
6,1
10
30,3
10
51,5
4
12,1
 3. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
	 Biện pháp : Hướng dẫn theo từng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
 Định nghĩa : Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi Đa thức đó thành một tích của những đa thức
Các phương pháp cơ bản
3.1.Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
 a. Phương pháp 
- Tìm nhân tử chung là các Đơn thức, Đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử
 - Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
* Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):
- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử.
- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất cả các hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử.
b. Ví dụ.
Ví dụ 1 : Phân tích Đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 thành nhân tử.
Giải: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y3
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.y2 
 = 3x2y ( 5y - 3x + y2 )
Ví dụ 2: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử. 
Giải: 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 
 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy 
 = 7xy.(2x – 3y + 4xy) 
Ví dụ 3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. 
- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại để xuất hiện nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y). Vậy ví dụ 2 được giải như sau:
Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y))
= 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y)
Ví dụ 4: Phân tích Đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử 
 Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y ) 
 = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y)
Ví dụ 5 : Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử.
Giải: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y 
= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1 
= 3x2y(5y - 3x + 1 )
 Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử.
 Giải: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 
= (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x)
c. Bài tập áp dụng. 
 Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 21x2y - 27y3 b) 7x(x - 1) – 4x(x - 1)
c) x(x + y) – 5xy(y - x) d) x2 + 7x3 + x2y
x(y - 1) -y(1 - y) f) 3x2(2z - y) - 21x(y - 2z)2
 2x2(3y - z) + (3y- z)(x + y) + (z - 3y)
 Bài 2: Tính nhanh:
a) 85.12,9 + 5.3.12,9	b) 52.143 – 52.39 – 8.26
 Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
a) 15.91,5 + 150.0,85 	 b) x(x-1) – y(1 – x) tại x = 2001 ; y = 1999 
c) x2 + xy + x tại x = 77; y = 22 d) x(x-y) + y(y-x) tại x = 53; y = 3
3.2. Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
Phương pháp: - Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về “dạng tích” 
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 
3. A2 – B2 = (A – B)(A + B) 
4. A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 
5. A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
b. Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: 16x2 + 8xy + y2 = (4x2) + 2.4x.y + y2 = (4x + y)2
Ví dụ 2: 9x2 - 12x + 4 = (3x)2- 2.3x.2 + 22 = (3x - 2)2 
Ví dụ 3: a. (x - y)2 – (x + y)2 = [(x - y) – (x + y)].[(x - y) + (x + y)] 
 = (x - y – x - y)(x - y + x + y) = (- 2y).2x = - 4xy
 	 b. 9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2)
 	 c. 16x2 - 9(x + y)2 = (4x)2 - [3(x + y)]2
	 = (x - 3y)(7x + y)
Ví dụ 4: 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 = (2x)3 - 3.(2x)2y + 3.2x.y2 - y3 = (2x - y)3
Ví dụ 5: 27 + 27x + 9x2 + x3 = 33 + 3.32.x +3.3.x2 + x3 = (3 + x)3
Ví dụ 6: 27x3 + y3 = (3x)3 + y3 = (3x + y)(9x2 – 3xy + y2)
Ví dụ 7: 1 - 8x3y6 = 13 – (2xy2)3 = (1 – 2xy2)[12 + 1. 2xy2 + (2xy2)2 ] 
	 = (1 – 2xy2)(1 + 2xy2 + 4x2y4 )
 c. Bài tập áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.
	Bài 1. a) x2 + 12x + 36 b) 100x – 2500 – x2
	Bài 2. a) x2 + 9y2 – 6xy b) 14x – 49 – x2
	Bài 3. a) 121x2 – 25	b) (7x + 1)2 - (2x + 1)2
3.3 Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
 a. Phương pháp: Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. 
 b.Ví Dụ: 
 +) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung: 
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
 a) x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22)
b) xy - 5y + 2x – 10	c) 2xy + z +2x +yz
Giải: a. Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y)
 x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)
 Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
	 x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y )
= x(x + 1) - y(x + 1)= (x + 1)(x - y)
 b. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) 
= y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2)
 c. Cách 1: nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz)
 Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) 
 (đa thức không thể phân tích được)
 Cách 2: nếu nhóm (2xy + 2x) và (z + yz)
 Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)
	= 2x(y + 1) + z(y + 1)
 = (y + 1)(2x + z)
 +) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức. 
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 
 x2 – 2x + 1 – 9y2 b) x2 + 4x – y2 + 4
Giải:
 a) x2 – 4x + 4 – 9y2 = (x2 – 2x + 1) – (3y)2 
 = (x – 1)2 – (3y)2 
 = (x – 1 – 3y)(x – 1 + 3y)
 b) Cách 1. Nhóm: (x2 + 4x) và – (y2 - 4 ) ta có
 x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x) - (y2 - 4 )
 	 = x(x + 4) – (y – 2)(y + 2) 
(Đa thức không thể phân tích tiếp)
 Cách 2. Nhóm x2 + 4x + 4) – y2 ta có 
 x2 + 4x – y2 + 4 = (x2 + 4x + 4) – y2
	 = (x + 2)2 – y2
	 = (x + 2 – y)(x + 2 +y)
 +) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: 
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. 
a) x2 – 2x – 4y2 – 4y b) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y 
Giải: a) Cách 1: Nhóm (x2 – 2x) và (- 4y2 - 4y) ta có
 x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 2x) – (4y2 + 4y) 
	 = x(x - 2)–4y(y + 1)(Đa thức không phân tích tiếp được)
Cách 2: Nhóm (x2 – 4y2 ) và ( - 2x - 4y ) ta có
 x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - ( 2x + 4y ) 
 = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
 = (x + 2y)(x – 2y – 2)	 	 
b) Cách 1: Nhóm (x3 – x) và (3x2y + 3xy2 ) và (y3 – y ) 
Ta có x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y
 = (x3 – x) + (3x2y + 3xy2 ) + (y3 – y )
 = x(x2 - 1) +3xy(x + y) + y(y2 - 1)
 = x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1)
	(Đa thức không thể phân tích tiếp )
 Cách 2: Nhóm (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) và (- x - y) ta có
 x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (x + y)
	 	 = (x + y)3 – ( x + y) = (x + y)[(x + y)2 - 1]
	 	= (x + y)(x + y - 1)(x + y +1)
c. Bài tập áp dụng.
 Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x2 – 3x – y2 – 3y b) x2 – 4xy + 4y2 – z2
c) 3x2 – 3xy – 7x + 7y d) xz + yz – 11(x + y)
e) a3 – a2x – ay + xy f) xy(x + y) + yz(y+ z) + xz(x + z) + 2xyz
g) x2 + 16x – y2 + 16 h) x2 – 6xy + 9y2 –z2 + 6zt –9 t2
i) 5x2 + 10xy + 5y2 – 5z2 k) 2x3 – 5x2 + 2x – 5
Bài 2 Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức 
 A = x2 – 2xy – 9z2 + y2 	tại x = 6; y = -4; z = 30
B = 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 	tại x = 0,5
 Bài 3 Tìm x ; biết
 a) x(x - 15) + x - 15 = 0 b) 5x(x - 5) – x + 5 = 0
3.4. Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp
 a. Phương pháp: 
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:
- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức nếu có.
- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là hằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử.
b. Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1 : 5xy2 - 20xy + 20x = 5x( y2 - 4y + 4) (Đặt nhân tử chung)
 	 = 5x (y - 2 )2 (Dùng hằng đẳng thức)
Ví dụ 2: 3x2 + 6x + 3 – 3y2 = 3(x2 + 2x + 1 – y2) (Đặt nhân tử chung)
 = 3[(x2 +2 x + 1) – y2] (Nhóm các hạng tử)
	 = 3[(x + 1)2 – y2] (Dùng hằng đẳng thức)
 = 3(x + 1 - y)(x + 1 + y)
Ví dụ 3:	3x – 3y – x2 + 2xy – y2
	= (3x – 3y) – (x2 - 2xy + y2) (Nhóm các hạng tử)
	= 3(x - y) – (x - y)2 	(Dùng hằng đẳng thức)
	= (x - y)[3 – (x - y)]	(Đặt nhân tử chung)
	= (x - y)(3 – x + y)
Ví dụ 4: 	7x5y2 - 14x4y2 - 7x3y4 - 14x3y3z - 7x3y2z2 + 7x3y2 
	= 7x3y2(x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)	(Đặt nhân tử chung)
	= 7x3y2[(x2 - 2x +1) - (y2 + 2yz + z2)] (Nhóm các hạng tử)
= 7x3y2[(x - 1)2 - (y + z)2] (Dùng hằng đẳng thức)
	= 7x3y2(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z) 
 Ví dụ 5: 	5x3y - 10x2y - 5xy3 - 10axy2 - 5a2xy +5xy
 =5xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1)	(Đặt nhân tử chung)
 =5xy (Nhóm các hạng tử)
 =5xy 	(Dùng hằng đẳng thức)
 =5xy(Dùnghằngđẳng thức)
 = 5xy( x - 1 - y - a)(x - 1 + y +a )
c. Bài tập áp dụng.
 Bài 1 Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x4 + 4x3 + 4x2 	 b)x3 – 6x2 + 9x
c) 7x2 – 14xy + 7y2 – 28z2 d) x3 + 2x2y + xy2 – 9x
e) x4- 2x2 f) x3 – 5x + 3x2y + 3xy2 + y3 – 5 y
g) 5x2 + 5xy – 3x – 3y h) 20z2 – 5x2 – 10xy – 5y2
 Bài 2 Tìm x .biết :
a) 5x(x - 2) = x – 2 b) 2(x + 4) – x2 – 4x = 0
c) 9x3- x = 0 d) (2x2 - 1) – (3x + 4)2 = 0
e) x2(x - 3) + 21 – 7x = 0
 Bài 3: Tính nhanh :
a) A= x2 + x + 	tại x = 49,75
b) B= x2 – y2 – 2y – 1 	tại x = 93 và y = 6
3.2.2 Các phương pháp khác (nâng cao)
3.2.2.1 Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đối với đa thức bậc hai ax2 + bx + c).
Phương pháp:
 - Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất hiện dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức. 
Ví dụ: 
	 Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử. 
Giải: Cách 1: (tách hạng tử bậc 2: x2) 
 x2 - 6x + 8 = 3x2 - 6x - 2x2 + 8
 = 3x(x - 2) - 2(x2 - 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)] = (x - 2)(x - 4)
Cách 2: (tách hạng tử bậc 1: - 6x) 
x2 - 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8 = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
	Cách 3: (tách đồng thời hạng tử bậc nhất và hạng tử tư do:)
	 x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 - 2x + 4= (x - 2)2 - 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
	Cách 4: (tách hạng tử tự do:)	
 x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1= (x - 3)2 - 1 = (x - 2)(x - 4)
	 x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
	 x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử.
 Gợi ý ba cách phân tích (chú ý có nhiều cách phân tích)
Giải: Cách 1 (tách hạng tử bậc hai : 3x2) 
3x2 – 8x + 4 = 4x2 – 8x + 4 – x2 =(2x – 2)2 – x2 
 = (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2 (tách hạng tử bậc nhất: – 8x) 
 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 3 (tách hạng tử tử do : 4) 
 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2)
 = (x – 2)(3x + 6 – 8) = (x – 2)(3x – 2)
Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa về dạng ax2 + b1x + b2x + c bằng cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho 
 = hay b1b2 = ac 
 Trong thực hành ta làm như sau: 
Bước 1: Lập tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
 Áp dụng: Phân tích đa thức: – 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử 
Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2 
Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12
Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
Bước 3: b = 7 = 4 + 3
Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x
 Khi đó ta có lời giải: – 6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2
 = (– 6x2 + 4x) + (3x – 2) 
 = –2x(3x – 2) + (3x – 2) 
 = (3x – 2)(–2x + 1)
Chú ý: Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tương tự như đa thức bậc 2 một biến
Ví dụ: 3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2 
Giải
 Cách 1: 	4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2 
 = 4x(x - y) - 3y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)
Cách 2: 	4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2
	 = 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y)
	 = 4(x - y)2 + y(x - y) = (x - y)(4x - 3y)
Đa thức bậc hai ax2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử trong phạm vi số hữu tỷ. Nếu:
- Khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách không có 2 thừa số nào có tổng bằng b.
Ví dụ 4: đa thức x2 + 4x + 6 có a = 1; b = 6 
 => a.c = 6 = 1.6 = 2.3 = (-1)(-6) = (-2)(-3) 
không có 2 thừa số nào có tổng bằng b = 4.
- Hoặc sau khi đưa đa thức bậc 2 về dạng a(x2 - k) thì k không phải là bình phương của một số hữu tỷ.
Ví dụ 5: x2 + 4x + 6 = (x2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2)2 + 2 = (x + 2)2 - (- 2);
(-2) không phải là bình phương của một số hữu tỷ nào. Vậy đa thức x2 + 4x + 6 không phân tích được thành tích.
 Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau ra thừa số : n3 – 7n + 6 
 Giải: n3 – 7n + 6 = n3 – n – 6n + 6 
= n(n2 – 1) – 6(n – 1) 
= n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) 
= (n – 1)[n(n + 1) – 6] 
 = (n – 1)(n2 + n – 6)
= (n – 1)(n2 – 2n + 3n – 6) 
= (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) 
= (n – 1)(n – 2)(n + 3) 
Ví dụ 7: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử.
 Ta có cách tách như sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
 Giải: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30
 = x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1)
 = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1)
 = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30) = (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6)
 c. Bài tập áp dụng
	* Phân tích đa thức thành nhân tử:
 Bài 1: a) x2- 6x + 5 	 b) x2 + x – 10	 c) x2 + 7x + 8 	 d) x2 – 14x + 1 e) 6x2 – 11x + 3 f) 9x2 + 12x – 5 
 Bài 2 : a) 2x2 - 3xy + 27y2 b) 2x2 – 5xy + 3y2.
 Bài 3 : a) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
 b) xy(x + y) - yz(y + z) + xz(x - z) ;
 c) x(y2 + z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 2xyz ;
 d) (x + y)(x2 - y2) + (y + z)(y2 - z2) + (z + x)(z2 - x2) ;
 e) x3(y - z) + y3(z - x) + z3(x - y) ;
 f)x3(z - y2) + y3(x - z2) + z3(y - z2) + xyz(xyz - 1).
Bài 4) a) x3 – 4x + 3 ;	b) x3 + 7x – 6 ;	(áp dụng ví dụ 4)
3.2.2.2 Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Phương pháp: 
Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng t