Sáng kiến kinh nghiệm Dạy cho học sinh kĩ thuật biền đổi hoán vị vòng quanh và một số ứng dụng

 MỤC LỤC 
TRANG
A Phần mở đầu
2
1. Lý do chọn đề tài
2
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
2
3. Đối tượng, phạm vi nghiêncứu
3
4. Giả thiết khoa học
3
5. Phương pháp nghiên cứu
3
6. Đóng góp về tính khoa học của đề tài
3
B. Giải quyết vấn đề
2
1. Cơ sở lý luận
2
2. Cơ sở thực tiễn
3
3. Nội dung chính
3 - 14
C. Kết luận – Kiến nghị
13
A. PHẦN MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài : 
 Đổi mới phương pháp dạy học đang là nhiệm vụ cấp bách của nền giáo dục nước ta hiện nay. Mục tiêu của đổi mới phương pháp dạy học là đào tạo được những con người mới đáp ứng được sự phát triển nhanh chóng của thời đại công nghiệp hoá, toàn cầu hoá như hiện nay. Bốn trụ cột của giáo dục trong thế kỷ XXI là “Học để biết, học để làm, học để cùng nhau chung sống, học để tự khẳng định mình” mà UNESCO đã đề ra ; mục tiêu giáo dục Việt Nam hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và các nước trên thế giới. Với mục tiêu đó thì học sinh không những cần phải chiếm lĩnh được kiến thức mà cần có các kĩ thuật trong sử dụng biến đổi tri thức toán ; từ đó hình thành và hoàn thiện cho học sinh các năng lực toán và kĩ năng sống. Vì thế, dạy cho học sinh các kĩ thuật biến đổi đại số cũng như các kĩ thuật khác đã và đang là nhiệm vụ hàng đầu của dạy – học toán.
 Dạy học kĩ thuật biến đổi đại số nói chung, dạy học kĩ thuật hoán vị vòng quanh nói riêng sẽ : 
 - Thúc đẩy học sinh học tập tích cực và đạt được những thành tích cao;
 - Giúp học sinh chủ động , sáng tạo hơn trong học tập;
 - Giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề 
 Biến đổi đại số, đặc biệt với các biểu thức nhiều biến như biểu thức dạng hoán vị vòng quanh lại là công việc khó khăn, phức tạp đòi hỏi tính kiên trì và kĩ thuật . Vì vậy, việc trau dồi các kĩ thuật biến đổi đại số cho học sinh không chỉ giúp các em có các kĩ năng toán mà còn giúp các em biết vận dụng kết quả bài toán mình vừa giải và phương pháp mình vừa thực hiện vào việc học tập toán.Với các lí do đó tôi chọn “Dạy cho học sinh kĩ thuật biền đổi hoán vị vòng quanh và một số ứng dụng” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm .
Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu : 
 - Trang bị cho học sinh các kĩ thuật biến đổi đại số thông qua dạy kĩ thuật biến đổi hoán vị vòng quanh ; nhằm nâng cao năng lực học toán cho học sinh , để các em tiếp thu bài một cách chủ động và sáng tạo và là công cụ để giải quyết một những bài tập có liên quan.
 - Gây được hứng thú cho học sinh trong học tập và tìm tòi vấn đề mới, xây dựng cho học sinh thế giới quan khoa học đa chiều trong nghiên cứu tìm hiểu vấn đề.
 - Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống kĩ thuật và phương pháp cơ bản đồng thời biết áp dụng vào giải các dạng bài tập liên quan.
 - Thông qua chủ đề nhằm giúp học sinh thấy rõ mục đích của học toán . đồng thời góp phần nâng cao chấ lượng giáo dục.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu : 
 - Đối tượng nghiên cứu: Các kĩ thuật biến đổi đại số trong chương trình toán THCS và các ứng dụng. Phương pháp giúp học sinh nắm các kĩ thuật biến đổi đại số và ứng dụng của biến đổi đại số trong học toán và giải toán.
 - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các kĩ thuật biến đổi hoán vị vòng quanh và các ứng dụng của biến đổi hoán vị vòng quanh vào giải các bài tập liên quan ở các lớp 8 – 9 và các bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 – 9.
Giả thiết khoa học:
 Dự kiến: Đề tài sẻ được lấy ý kiến của giáo viên toán tại trường và các giáo viên toán khác có kinh nghiệm sau đó áp dụng thể nghiệm cho học sinh . Khẳng định tính hiệu quả và sự khả thi của việc vận dụng dạy kĩ thuật biến đổi hoán vị vòng quanh trong các tiết ôn tập, các buổi tăng buổi và các đợt bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp.
 Tính khả thi: Các kĩ thuật biến đổi đại số có thể đưa vào các tiết học trên lớp , các buổi dạy ôn tập và bồi dưỡng học sinh giỏi.
 Tính hiệu quả: Sau khi được tiếp cận kĩ thuật , học sinh hứng thú hơn, chủ động vận dụng kĩ thuật và linh hoạt hơn trong biến đổi đại số ; đồng thời học sinh chủ động việc chọn phương pháp biến đổi đại số phù hợp , hiệu quả. Giúp học sinh có thể mở rộng được nhiều dạng bài tập hơn.
 5- Phương pháp nghiên cứu: 
 - Nghiên cứu cơ sở lý luận của một số quan điểm dạy học hiện đại
 - Nghiên cứu các kĩ thuật biến đổi đại số của các nhà toán học , nhà giáo dạy toán, các sách tham khảo và của các học sinh.
 - Thiết kế một số bài tập mới trên cơ sở các vấn đề nêu ra.
 - Thiết kế các tiết học, buổi học theo chủ đề có liên quan.
 - Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài đã được nghiên cứu.
 - Điều tra kết quả thực nghiệm đề tài.
 6- Các đóng góp của đề tài:
+ Đối với tập thể: 
 	Phù hợp với đổi mới phương pháp dạy học hiện nay	
 	Giúp cho tập thể giáo viên toán thay đổi cách nhìn khi giảng dạy các tiết luyện tập ôn tập, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi
+ Đối với cá nhân: 
	Đã từng bước thay đổi phương pháp dạy học phù hợp giúp học sinh tích cực, chủ động, tự tin, sáng tạo trong học tập.
 + Đối với học sinh:
 Hình thành và cũng cố phương pháp học tích cực ( phương pháp tự học tự nghiên cứu ) , nâng cao tính chủ động linh hoạt và sáng tạo trong biến đổi đại số nói riêng và trong học toán nói chung. 
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
I. CƠ SỞ KHOA HỌC.
 1. Cơ sở lý luận: 
 Trong khung chương tŕnh, sách giáo khoa hiện hành của bộ GD&ĐT bậc THCS môn toán, học sinh được học 4 tiết/tuần nên đa số thời gian chỉ để truyền đạt kiến thức lý thuyết cơ bản. Học sinh được thực hành qua các tiết luyện tập, ôn tập chủ yếu bằng phương pháp thụ động, giải bài tập là chính. Ngoài ra không ít giáo viên nhận thức chưa đúng về chuẩn KTKN, giảm tải nên chưa mạnh dạn đổi mới phương pháp dạy học. Mặt khác bản thân giáo viên cũng chưa quen phát triển, tổng quát hóa, đặc biệt hóa,...khai thác sâu thêm các kết quả của những bài toán "điển hình" đặc biệt gần như giáo viên chưa quen các kĩ thuật biến đổi đại số và các kĩ thuật khác trong toán học, sử dụng nó như là công cụ toán học để khai thác và giải bài tập để phục vụ cho việc hình thành phương pháp và kĩ năng cho học sinh đặc biệt là học sinh khá giỏi. Vì vậy học sinh rất lung túng khi gặp các dạng bài toán có cấu trúc tương đối phức tạp các bài hình phải vẽ đường phụ  . Còn đối tượng học sinh khá giỏi thường tự hài lòng với kết quả của mình , chưa chịu thay đổi cách học và tìm tòi sáng tạo.
2. Cơ sở thực tiễn
2.1. Thực trạng.
 a. Thuận lợi:
Thực tế tại trường chúng tôi việc dạy học theo hướng mở cũng đã được nhà trường, tổ chuyên môn quan tâm đúng mức nhằm giúp giáo viên và học sinh nhìn nhận sâu sắc những kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, sách bài tập. Đa số giáo viên giảng dạy môn toán đã chú ý đến phương pháp dạy học, chú trọng khắc sâu kiến thức cơ bản, từ đó phân tích, khai thác thêm, phát hiện những vấn đề mới liên quan.
 Bản thân nhiều năm làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp và được tham gia nhiều hội thảo do phòng và sở tổ chức
	Tỉ lệ học sinh khá giỏi ở trường nơi đang công tác tương đối nên thuận lợi cho công tác giảng dạy.
 Nguyên nhân: Được sự quan tâm của Phòng giáo dục, Chi bộ, Ban giám hiệu nhà trường và tổ chuyên môn. Giáo viên được tham gia các chuyên đề đổi mới phương pháp dạy học do PGD&ĐT tổ chức hoặc tổ chuyên môn tổ chức các chuyên đề chuyên sâu.
 b. Khó khăn:
 	Chất lượng giáo viên toán không đồng đều nên khó khăn trong đổi mới phương pháp dạy học
	Học sinh vẫn còn thói quen học theo phương pháp cũ nên lười suy nghĩ những vấn đề mới liên quan đến kiến thức cơ bản
	Nguyên nhân: Có những giáo viên không chịu khó học hỏi, tham khảo tài liệu nên kiến thức bị mai một không theo kịp xu thế mới.
	Một bộ phận phụ huynh chưa thật quan tâm đến việc học ở nhà của học sinh, học sinh chưa hiểu ý nghĩa của việc học, việc phát triển tư duy. 
2.2 Kết quả điều tra.
	Tôi đã tiến hành điều tra thực nghiệm 32 học sinh trung bình, khá, giỏi lớp 8 - 9 trường THCS nơi tôi đang công tác việc giải các bài toán đề tài và các bài toán có liên quan đến , qua năm học 2012 – 2013:
	Kết quả thu được như sau:
Số lượng HS được điều tra
Nội điều tra
SL, TL học sinh có liên hệ đến hệ thức
SL, TL học sinh không có sự liên hệ
SL, TL học sinh liên tưởng đến kiến thức khác
32
Điều tra việc giải các bài toán có liên quan đến biểu thức dạng hoán vị vòng quanh
SL: 5 em
TL: 16%
SL: 18 em
TL: 56%
SL: 9em
TL: 28%
	Nhận xét: Nhìn vào bảng kết quả ta thấy đa số học sinh không có sự liên hệ với hệ thức đã học để giải các bài toán có liên quan.
2.3 Các giải pháp đã thực hiện.
	Thay đổi phương pháp dạy học: Đối với những kiến thức, những bài tập có tính điển hình có thể áp dụng làm được nhiều bài tập khác. Giáo viên nên phân tích kỷ, nhìn nhiều góc độ khác nhau, dùng nhiều phương pháp và kĩ thuật khác nhau. Tiếp đến có thể đề xuất các bài toán tương tự. Đặc biệt là hình thành kỷ thuật phân tích bài toán để làm tái hiện các kiến thức đã học, làm tường minh mối liên hệ giữa các cấu trúc toán. Thực tế nếu giáo viên làm được như vậy thì sẻ phát huy được tính chủ động của học sinh trong quá trình học tập.
	Kiến thức: Đề tài sử dụng kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức và chứng minh các bất đẳng thức đại số.
	Sau đây là nội dung chính của đề tài nghiên cứu, đã áp dụng dạy ôn tập ở lớp 8(1) và Lớp 9(1) trường THCS nơi bản thân đang công tác, cùng với các đối tượng học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh do bản đã thân phụ trách.
II . NỘI DUNG
1 . Kĩ thuật tách thừa số trong biến đổi hoán vị vòng quanh:
Bài toán 1.1 : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b). 
 * Với bài tập này HS có thể khai triển các tích rồi nhóm một cách hợp lí rồi đi đến kết quả; tuy nhiên việc làm đó không phải đối tượng HS nào cũng thực hiện được, nếu có thì cũng không dễ dàng.
Nhận xét : Thừa số (c – a) có thể tách thành (c – b ) + ( b – a ) , 
 nên ta có: b2(c - a) = b2(c - b) + b2(b - a)
 = > F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - b) + b2(b - a) + c2(a - b) 
 = a2(b - c) - b2(b - c) - b2(a - b) + c2(a - b) .
 Vậy : F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a). 
* Như vậy với cách này HS thực hiện phân tích một cách nhanh chóng, không chỉ với HS khá giỏi mà kể cả HS trung bình và yếu cũng có thể tham gia biến đổi.
 Sau khi thực hiện xong bài 1 HS có thể làm ngay bài tập 2 sau:
Bài toán 1.2 : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a3(b - c) + b3(c - a) + c3(a - b). 
 Với nhận xét tương tự như bài toán 1, => F(a, b, c) = -(a - b)(b - c)(c - a)(a + b + c). 
Bài toán 1.3 : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b). 
Nhận xét: Hạng tử đầu có nhân tử (b + c) , hạng tử cuối có hạng tử (a + b) hạng tử giữa có nhân tử (c – a) có thể tách (c – a) = c + b – (a + b) làm xuất hiện các nhóm có nhân tử chung. Từ đó bài toán được giải quyết.
* Bằng việc rèn luyện cho HS kĩ năng phân tích, nhận xét tương tự như bài toán 1 , HS thực hiện giải bài toán 4 và bài toán 5.
Bài toán 1.4: Chứng minh rằng với các số nguyên a, b, c thì (a - b)3 + (b - c)3 + (c - z)3 chia hết cho 3(a - b)(b - c)(c - a)
Bài toán 1.5: Chứng minh rằng với các số nguyên a, b, c thì (a - b)5 + (b - c)5 + (c - a)5 chia hết cho 5(a - b)(b - c)(c - a). 
 * Việc thường xuyên giúp HS phát hiện những cấu trúc đặc trưng của biểu thức đại số để từ đó HS có phương án biến đổi linh hoạt là việc làm hết sức cần thiết và gây hứng thú cao cho HS; từ đó giáo dục HS ý thức nhận xét các vấn đề một cách thấu đáo để tìm ra phương án hợp lí trong giải quyết vấn đề.
 Tiếp tục với kĩ thuật tách trên khi biểu thức là tổng các phân thức phức tạp và các thừa số để tách được chưa rõ ràng. Ta đi vào mục II.
 2 . Kĩ thuật làm xuất hiện thừa số a – b; b – c; c – a rồi tách thừa số trong biến đổi hoán vị vòng quanh:
 Bài toán 2.1: Rút gọn biểu thức: Với x ≠ y ≠ z.
- Khi tiếp cận bài toán này chắc chắn học sinh thực hiện quy đồng rồi thực hiện đổi không mấy khó khăn.
- Ngoài cách nói trên, GV hướng HS tìm cách giải mới.
? Nhận xét gì về quan hệ y - z với y – x và x – z ? 
? Nhân cả tử và mẫu của với (y – z) ta có điều gì ?
? Kết hợp với quan hệ trên ta có thể tách  thế nào? 
- HS lần lượt trả lời và đi đến cách giải thứ hai :
Lời giải : Vì == 	
Nên : =
 = =0
 * Vào ngay ví dụ đầu tiên HS cảm thấy cách tách như vậy không hay ho gì mấy so với các quy đồng. Tuy nhiên cũng với kĩ thuật tách này chúng ta cho HS thấy tính ưu việt của nó qua các bài tập sau :
Bài toán 2.2 : Cho x ≠ y ≠ z. Chứng minh rằng : có giá trị không phụ thuộc vào x, y, z.
- Khi bước sang bài toán này HS bắt đầu phân hóa ra hai hướng.
+ Hướng 1 HS quy đồng rồi tính
+ Hướng 2 HS dùng kĩ thuật tách của cách hai của bài toán 1 ta có.
 Lời giải : Vì = 
 Nên: =
 = 
 = = .
* Như vậy với kĩ thuật tách x – y = x – z + z – y bắt đầu có lợi thế ở bài toán 2; tiếp tục với kĩ thuật này chúng ta cho HS giải bài toán 3:
Bài toán 2.3: Với a ≠ b ≠ c. Rút gọn biểu thức: 
 A = .
- Lời giải: Vì = 
Nên A = = 
 = +=.
 * Nhìn vào biểu thức ở bài toán 3 nếu chưa được học kĩ thuật tách này chắc chắn HS sẽ rất lung túng, nếu chọn phương án quy đồng để biến đổi thì chắc chắn sẽ gặp khó khăn, đôi khi lại gặp sai sót hoặc bế tắc.
 Trong kĩ thuật này chúng ta chú ý về hai nhận xét sau :
 NX1: Có thể tách : (x – y) = (x – z) + (z – y). Hoặc (x – y) = (x + z) – (y + z)
 NX2: Làm xuất hiện ở tử thức đại lượng (x – y) ở tử thức .
 Như vậy sau khi học xong kĩ thuật trên HS có cách nhìn mới về biến đổi đại số , HS có ý thức hơn, sáng tạo hơn khi nhận xét một vấn đề. Từ đó HS có thể giải quyết ngay các bài tập có dấu hiệu của hoán vị vòng quanh x - y, y – z ; z – x .
 Bài toán 2.4 : Với a ≠ b ≠ c. Chứng minh rằng :
 =.
 * Chắc chắn khi nhìn thấy bài toán 4 HS có thể vận dụng kĩ thuật tách nêu trên và ở tử thức của mỗi phân thức trong biểu thức đã có sẵn b – c, c – a , a – b . tuy nhiên HS có thể bị sai lầm khi tiến hành tách như ở các bài toán trên, vì ở đây cả 3 phân thức trong biểu thức đều sẵn có b – c, c – a , a – b vì vậy vai trò của cả ba biểu thức trên như nhau, do đó phải tách đồng loạt cả ba phân thức đó, từ đó bài toán được giải quyết.
Các bài tập đề xuất, áp dụng phương pháp :
Bài toán 2.5. Rút gọn biểu thức: 
 P= (a ≠- b; b ≠ - c; c ≠ -a)
Bài toán 2.6 : Chứng minh rằng : 
Bài toán 2.7: Cho (a ≠- b; b ≠ - c; c ≠ -a) . Chứng minh rằng: 
 =.
Bài toán 2.8: Rút gọn biểu thức: 
 Q = + (a ≠- b; b ≠ - c; c ≠ -a)
3 - Ứng dụng và khai thác hằng đẳng thức a3 + b3 + c3 = 3abc trong biến đổi hoán vị vòng quanh.
* Việc biến đổi các biểu thức dạng hoán vị vòng quanh được mở rộng bởi các hằng đẳng thức cho ba số, vận dụng và phát triển các hằng đẳng thức này gần đây được phát triển mạnh mẽ và giúp nhiều trong việc hình thành và phát triển năng lực toán cho HS.
 Bài toán 3.1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a3 + b3 + c3 - 3abc. 
Lời giải : Ta có a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc 
 = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c) 
 = (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2 - 3ab] 
 = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) 
 = .(a + b + c)[ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ]. 
Nhận xét : Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 
 .(a + b + c)[ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ] = 0 
Như vậy nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
Do đó cho a = x - y ; b = y - z ; c = z - x thì a + b + c = 0, ta có bài toán : 
 Bài toán 3.2 : Phân tích đa thức (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 thành nhân tử. 
HD : Từ nhận xét trên ta có ngay : (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x). 
* Với a + b + c = 0 nếu cho : a = x2 + y2 ; b = z2 - x2 ; c = - y2 - z2 ta lại có bài toán : 
 Bài toán 3.3 : Phân tích thành nhân tử : (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 
Lời giải : (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 - (y2 + z2)3 = (x2 + y2)3 + (z2 - x2)3 + (- y2 - z2)3 
 = 3(x2 + y2)(z2 - x2)(- y2 - z2) 
 = 3(x2 + y2)(y2 + z2)(x + z)(x - z). 
- Với kĩ thuật này HS cần xét được mối quan hệ : a + b + c = 0 xuất hiện trong biểu thức.
- Với ý đồ này GV hướng HS khai thác thêm bài tập mới :
Bài toán 3.4 : Cho + = 0 Tính : P = 
Lời giải : + = 0 => 
Ta có : P = = xyz.( ) = xyz. = 3 . 
Vậy P = 3. 
 - Tiếp tục ẩn a + b + c = 0 trong đẳng thức a3 + b3 + c3 = 3abc ta có bài toán sau :
 Bài toán 3.5 : Cho abc ≠ 0, a3 + b3 + c3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức :
 A = (1 + )(1 + )(1 + ) 
Lời giải : Theo bài toán 1, a3 + b3 + c3 = 3abc. 
+ Nếu a + b + c = 0 thì : A = .= -= - 1. 
+ Nếu a = b = c thì : A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 . 2 . 2 = 8.
 Vậy A nhận hai giá trị là 8 hoặc -1. 
* Với a = yz ; b = zx ; c = xy thì : a3 + b3 + c3 = 3abc y3z3 + z3x3 + x3y3 = 3x2y2z2. 
Từ đó hình thành bài toán : 
Bài toán 3.6 : Cho xyz ≠ 0 thỏa mãn : x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2. Tính giá trị biểu thức : M = (1 + ).(1 + ).(1 + ) . 
HD : Theo cách đặt nêu trên, dễ dàng đưa bài toán 6 về bài toán 5. 
Kết quả M = - 1 hoặc M = 8. 
Bài toán 3.7 : Giải hệ : 
Lời giải : Theo bài 1.
 Ta có : a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) 
 1 - 3abc = 1 - ab - bc - ca , Hay 3abc = ab + bc + ca . (1) 
Mặt khác (a + b + c)2 = 1 a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 1 
Hay ab + bc + ca = 0 . (2) 
Từ (1) và (2) => abc = 0 hoặc a = 0, hoặc b = 0 , hoặc c = 0. 
Từ đây lần lượt => các nghiệm của hệ là : (a, b, c) = (0, 0, 1) ; (0, 1, 0) ; (1, 0, 0) ; 
 * Thay đổi cách hỏi bài toán 3.7 ta có bài toán sau:
Bài toán 3.8 : Cho : Tính giá trị của biểu thức: P = a2002 + b2003 + c2004. 
HD : Áp dụng bài 3.7, ta có kết quả duy nhất P = 1. 
Bài toán 3.9 : Cho ΔABC có ba cạnh a, b, c thỏa mãn : a3 + b3 + c3 = 3abc. Hỏi ΔABC là tam giác gì ?
Lời giải : a3 + b3 + c3 = 3abc hoặc a + b + c = 0 ( không xảy ra vì a, b, c > 0) ; 
 hoặc a = b = c ΔABC là tam giác đều. 
Bài toán 3.10 : Cho : Tính x3 + y3 + z3 theo a, b, c. 
Lời giải : Áp dụng bài 1 : 
 Ta có : x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) 
 x3 + y3 + z3 = 3xyz + a(b2 - (xy + yz + zx)) (1) 
Mặt khác, a2 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) 
=> : xy + yz = (2)
Từ hay xyz = c.(xy + yz + zx) 
xyz = . (theo (2)) (3) . 
Thay (2) ; (3) vào (1) ta có : x3 + y3 + z3 = 3+ a 
= . 
Bài toán 3.11 : Biết : Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc. 
Lời giải : 
 Từ giả thiết ta => ax + by + bx + cy + cx + ay = a + b + c 
 (a + b + c)(x + y - 1) = 0 
+ Với a + b + c = 0, theo bài toán 1 => đpcm. 
+ Với x + y - 1 = 0 => y = 1 - x, thay vào hệ, sau một số biến đổi dẫn đến a = b = c, theo bài toán 1 => đpcm.
 * Chắc chắn vẫn còn nhiều tìm tòi khám phá xung quanh đa thức 
F(a, b, c) = a3 + b3 + c3 - 3abc.
Bài toán 3.12 : Giải các phương trình : 
a) (3x - 2)3 - (x - 3)3 = (2x + 1)3. b) 
Bài toán 3.13 : Giải phương trình nghiệm nguyên : (x + y)3 = (x - 2)3 + (y + 2)3 + 6. 
Bài toán 3.14 : Phân tích thành nhân tử : (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3. 
Bài toán 3.15 : Phân tích thành nhân tử: 
 (x + y + z)3- (x + y - z)3- (x - y + z)3- (- x + y + z)3 
Bài toán 3.16 : Cho abc ≠ 0, a + b + c = 0. Tính : . 
Bài toán 3.17 : Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng :
 a3 + b3 + c3 + d3 = 3(c + d)(ab - cd). 
 * Như vậy trong biến đổi hoán vị vòng quanh , việc phát hiện và vận dụng các hằng đẳng thức có sẵn giúp HS không chỉ ứng dụng giải thành công và nhanh chóng các bài tập toán mà còn giúp các cháu hứng thú hơn trong học tập và rèn luyện được tính năng động , linh hoạt và sáng tạo trong học tập ; không những thế mà còn giáo dục cho HS ý thức khai thác những vấn đề mới trên cơ sở những tri thức lí thuyết vừa học.
4. Kĩ thuật xét giá trị riêng:
* Với bài toán 1.1 nêu trên không chỉ với kĩ thuật tách mà chúng ta có thế cho HS tìm hiểu và mở rộng thêm kĩ thuật xét giá trị riêng. 
 1. Giả sử phải phân tích biểu thức F(a, b, c) thành nhân tử, trong đó a, b, c có vai trò như nhau . Nếu F(a, b, c) = 0 khi a = b thì F(a, b, c) sẽ chứa các nhân tử a – b, b - c và c - a. 
Bài toán 4.1 : Phân tích thành nhân tử : F(a, b, c) = a2(b - c) + b2(c - a) + c2(a - b). 
Nhận xét : Khi a = b ta có : F(a, b, c) = a2(a - c) + a2(c - a) = 0, do đó F(a, b, c) có chứa nhân tử a - b. 
 Tương tự F(a, b, c) chứa các nhân tử b - c, c - a. Vì F(a, b, c) là