Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Ôn thi Đại học

1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2009 
I. Đường thẳng 
1. Phương trình đường thẳng 
a) Các định nghĩa 
• Vectơ ( );n A BG khác vectơ 0G và có giá vuông góc với đường thẳng ( )d được gọi là vectơ 
pháp tuyến của đường thẳng ( )d 
• Vectơ ( );u a bG khác vectơ 0G có giá song song hoặc trùng với ( )d được gọi là vectơ chỉ 
phương của đường thẳng ( )d 
Nếu 0a ≠ thì bk
a
= được gọi là hệ số góc của đường thẳng ( )d 
• Chú ý: 
- Các vectơ pháp tuyến (vectơ chỉ phương) của một đường thẳng thì cùng phương. Nếu 
( );n A BG là vectơ pháp tuyến của ( )d thì ( ). ;k n kA kB=G cũng là vectơ pháp tuyến của ( )d 
- Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì vuông góc nhau. Nếu 
( );n A BG là vectơ pháp tuyến thì ( );u B A−G là vectơ chỉ phương. 
b) Các dạng phương trình 
• Phương trình tổng quát của đường thẳng ( )d đi qua điểm ( )0 0;M x y có vectơ pháp tuyến 
( );n A BG là: 
( ) ( ) ( )
( )
0 0
0 0
: 0
0
d A x x B y y
Ax By C C Ax By
− + − =
⇔ + + = = − − 
 Nhận xét: 
Phương trình đường thẳng ( )1d song song với ( )d có dạng: ( )1 : 0d Ax By C′+ + = 
 Phương trình đường thẳng ( )2d vuông góc với ( )d có dạng ( )2 : 0d Bx Ay C′′− + = 
 Phương trình đường thẳng có hệ số góc k và đi qua điểm ( )0 0;A x y là: ( )0 0y k x x y= − + 
 Phương trình đường thẳng đi qua ( ) ( );0 , 0;A a B b là: ( ) : 1x yAB
a b
+ = (phương trình đoạn chắn) 
• Phương trình tham số của đường thẳng ( )d đi qua ( )0 0;N x y có vectơ chỉ phương ( );u a bG 
là: 
 ( ) 0
0
:
x x at
d
y y bt
= +⎧⎨ = +⎩
 ( t là tham số) 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
2
• Phương trình chính tắc của đường thẳng ( )d đi qua ( )0 0;N x y có vectơ chỉ phương ( );u a bG 
( ), 0a b ≠ là: 0 0x x y y
a b
− −= 
c) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng 
Cho hai đường thẳng ( )1 1 1 1: 0d A x B y C+ + = và ( )2 2 2 2: 0d A x B y C+ + = . Khi đó số giao điểm 
của ( )1d và ( )2d là số nghiệm của hệ phương trình: ( ) 1 1 1
2 2 2
0
:
0
A x B y C
I
A x B y C
+ + =⎧⎨ + + =⎩
 Trong trường hợp ( )1d và ( )2d cắt nhau thì nghiệm của ( )I chính là tọa độ của giao điểm. 
2. Khoảng cách và góc 
a) Khoảng cách 
• Cho đường thẳng ( ) : 0Ax By CΔ + + = và điểm ( )0 0;A x y . 
Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ( )d là: ( ) 0 0/ 2 2A Ax By Cd A BΔ
+ += + 
• Cho hai đường thẳng ( )1 1 1: 0A x B y CΔ + + = và ( )2 2 2 2: 0A x B y CΔ + + = cắt nhau tại A . Khi 
đó phương trình hai đường phân giác của góc A là: 
( ) 1 1 1 2 2 21 2 2 2 2
1 1 2 2
: 0A x B y C A x B y Cd
A B A B
+ + + ++ =+ + và ( )
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 2
: 0A x B y C A x B y Cd
A B A B
+ + + +− =+ + 
b) Góc 
Hai đường thẳng ( )1d và ( )2d cắt nhau tại A tạo ra 4 góc, góc nhỏ nhất trong 4 góc đó được 
gọi là góc giữa hai đường thẳng ( )1d và ( )2d . Nếu 1 2//d d thì góc giữa hai được thẳng là 0o . 
Gọi α là góc giữa ( )1d và ( )2d , β là góc giữa hai vectơ chỉ phương ( )1 1 1;u a bJG và ( )2 2 2;u a bJJG . 
Khi đó: Nếu 0 90o o≤ β ≤ thì α = β 
 Nếu 90 180o o< β ≤ thì 180oα = −β 
Trong đó β được tính như sau: 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
.cos
. .
u u a a bb
u u a b a b
+β = = + +
JG JJG
JG JJG 
Khi đó 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos cos
.
a a bb
a b a b
+α = β = + + 
Các kết quả trên vẫn đúng nếu thay vectơ chỉ phương bằng vectơ pháp tuyến. 
Trường hợp đặc biệt: 
Phương trình đường thẳng đi qua điểm ( )0 0;A x y hợp với Ox một góc α có hệ số góc 
là tank = α và có phương trình là: ( )0 0y k x x y= − + 
3. Bài tập về đường thẳng 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
3
 a) Bài tập cơ bản 
 Bài 1. (Phương trình các đường thẳng cơ bản trong tam giác). 
Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-3; 4) và C(2;0). 
a) Viết phương trình đường trung tuyến AM. 
b) Viết phương trình đường cao BK 
c) Viết phương trình đường trung trực của AB. 
 Bài 2. (Tìm tọa độ các điểm đặc biệt trong tam giác) 
Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2; 3) và C(2;0) 
a) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. 
b) Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. 
c) Viết phương trình đường thẳng qua IH và chứng minh rằng IH đi qua trọng tâm G của tam 
giác ABC. 
Bài 3. (Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng). 
Cho 2 điểm A(1;2) và B(-3; 3) và đường thẳng ( ) : 0d x y− = 
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên ( )d 
b) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua d. 
c) Tìm giao điểm của ( )BD và ( )d 
Bài 4. (Tìm điểm trên đường thẳng cách một điểm khác một khoảng cho trước) 
 Cho đường thẳng 2 2:
1 2
x t
y t
= − −⎧Δ ⎨ = +⎩ và điểm M(3;1). 
a) Tìm trên Δ điểm A sao cho 13AM = 
b) Tìm trên Δ điểm B sao cho MB là ngắn nhất. 
Bài 5. (Viết phương trình đường thẳng qua một điểm cách một điểm một khoảng cho 
trước) 
Cho điểm ( )1;1A và điểm ( )2;2B − . Viết phương trình đường thẳng ( )d qua A và cách B một 
khoảng bằng 5 . 
Bài 6. (Viết phương trình đường thẳng hợp với một đường thẳng cho trước một góc) 
Cho đường thẳng ( ) 1 0x yΔ + − = . Viết phương trình đường thẳng ( )d hợp với ( )Δ một góc 
a) 090 b) 045 c) 060 d) 030 
 b) Bài tập nâng cao 
Bài 1. (B – 2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm ( )1;1A và ( )4; 3B − . Tìm điểm C 
thuộc đường thẳng 2 1 0x y− − = sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. 
Bài 2. (A – 2006) Trong mặt phẳng tọa độ, cho các đường thẳng: 
( ) ( ) ( )1 2 3: 3 0 : 4 0 : 2 0d x y d x y d x y+ + = − − = − = 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
4
Tìm tọa độ điểm M trên ( )3d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ( )1d bằng hai lần 
khoảng cách từ M đến ( )2d 
Bài 3. (D – 2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh 
( ) ( ) ( )1;0 ; 4;0 ; 0;A B C m− với 0m ≠ . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định 
m để tam giác GAB vuông tại G. 
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ;0
2
I ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , 
phương trình đường thẳng AB là 2 2 0x y− + = và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D 
biết rằng đỉnh A có hoành độ âm. 
Bài 5. Cho đường thẳng ( ) : 2 4 0d x y− + = và điểm ( )2;0A − . Tìm điểm B trên trục hoành và 
điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC vuông cân tại C. 
Bài 6 (A – 2002). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc cho tam giác ABC vuông tại 
A, phương trình đường thẳng BC là 3 3 0x y− − = , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán 
kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 
Bài 7. (B – 2003) Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có 
n, 90oAB AC BAC= = . Biết ( )1; 1M − là trung điểm cạnh BC và 2 ;0
3
G ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ là trọng tâm tam giác 
ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C 
Bài 8 (A – 2004). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm ( )2;0A và ( )3; 1B − − . Tìm 
tọa độ trực và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. 
Bài 9 ( A – 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng 
( ) ( )1 2: 0 : 2 1 0d x y d x y− = + − = 
Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc 1d , đỉnh C thuộc 2d và các 
đỉnh B, D thuộc trục hoành. 
Bài 11 (B – 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ điểm C của tam 
giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của điểm C trên đường thẳng AB là ( )1; 1H − − . 
Đường phân giác trong của góc A có phương trình 2 0x y− + = và đường cao kẻ từ B có 
phương trình 4 3 1 0x y+ − = 
Bài 10 ( B – 2007) Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho điểm ( )2;2A và các đường 
thẳng: ( ) ( )1 2: 2 0 : 8 0d x y d x y+ − = + − = 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
5
Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc các đường thẳng ( )1d và ( )2d sao cho tam giác ABC 
vuông cân tại A. 
Bài 12. Cho hai đường thẳng 1
3:
3 1
x yd − = − và 2
3
:
2
x t
d
y t
= +⎧⎨ = −⎩ và điểm M(1,2) 
Tìm trên 1d điểm A và 2d điểm B sao cho A, B đối xứng nhau qua M. 
Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C . Khoảng cách từ 
trọng tâm G đến trục hoành bằng 1
3
và tọa độ hai đỉnh ( ) ( )2;0 , 2;0A B− . Tìm tọa độ đỉnh C . 
Bài 14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm ( ) ( )0;4 , 5;0A B và đường thẳng 
( ) : 2 2 1 0d x y− + = . Lập phương trình hai đường thẳng lần lượt đi qua ,A B nhận đường thẳng 
( )d làm đường phân giác. 
Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng ( ) : 2 2 0d x y− + = và điểm 
( )0;2A . Tìm trên ( )d hai điểm ,B C sao cho tam giác ABC vuông tại B và 2AB BC= . 
Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( )1 : 3 4 6 0d x y− − = và 
( )2 : 5 12 4 0d x y+ + = cắt nhau tại điểm M . Lập phương trình đường thẳng qua ( )1;1K cắt 
( ) ( )1 2,d d tai hai điểm ,A B sao cho tam giác MAB cân tại M . 
Bài 17. Cho 3 đường thẳng ( ) ( ) ( )1 2 3: 0, : 2 0, : 2 1 0d x y d x y d x y+ = + = − + = . Viết phương trình 
các cạnh của tam giác ABC ; biết A là giao điểm của ( )1d và ( )2d ; ( )3,B C d∈ và tam giác BAC 
vuông cân tại A 
Bài 18 – 20. Các bài cực trị cơ bản. 
Bài 18. Cho đường thẳng ( ) : 1 0d x y+ + = và hai điểm ( ) ( )2;3 , 2;0A B . Tìm điểm M trên đường 
thẳng ( )d sao cho: 
a) MA MB+ nhỏ b) MA MB− lớn nhất 
Bài 19. Cho đường thẳng ( ) : 2 2 0d x y+ − = và hai điểm ( ) ( )2;0 , 2;6A B − . Tìm điểm N trên 
đường thẳng ( )d sao cho: a) NA NB+ là nhỏ nhất b) NA NB− lớn nhất 
Bài 20 Bài 3. Cho đường thẳng ( ) : 1 0d x y+ + = và hai điểm ( ) ( )2;3 , 4;1A B − . Tìm điểm M trên 
đường thẳng ( )d sao cho: a) MA MB+JJJG JJJG nhỏ nhất. b) 2 22 3MA MB+ nhỏ nhất. 
b) Chuyên đề - Xác định các yếu tố của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước 
Dạng 1: Biết tọa độ đỉnh và phương trình các đường cùng tính chất. 
Cho tam giác ABC có điểm A(2;2), hai đường thẳng 1 : 9 3 4 0d x y− − = , 2 : 2 0d x y+ − = . 
Sử dụng giả thiết này để giải các bài toán sau. 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
61. Biết tọa đỉnh và phương trình hai đường cao. 
Cho d1, d2 lần lượt là các đường cao BH và CK. 
a) Viết phương trình cạnh AB, AC 
b) Viết phương trình cạnh BC, và đường cao còn lại. 
2. Biết tọa độ đỉnh và phương trình hai đường trung tuyến. 
Cho d1, d2 là các đường trung tuyến BM và CN. 
a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, tìm điểm D đối xứng của A qua G. 
b) Viết phương trình đường thẳng qua D song song với BM 
c) Viết phương trình đường thẳng qua D song song với CN 
d) Tìm tọa độ của B, C. 
3. Biết tọa độ đỉnh và phương trình hai đường phân giác. 
Cho d1, d2 là các đường phân giác trong của góc B và C. 
a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d1, d2 
b) Tìm tọa độ điểm A’, A’’ đối xứng của A qua d1, d2. 
c) Viết phương trình đường thẳng BC. 
d) Xác định tọa độ điểm B, C. 
Dạng 2: Biết tọa độ đỉnh và phương trình hai đường khác tính chất. 
Cho tam giác ABC đình A(2;-1), hai đường thẳng 1 2: 2 1 0, : 3 0d x y d x y− + = + + = 
Sử dụng giả thiết trên để giải các bài toán sau: 
1. Biết tọa độ đỉnh A, phương trình đường cao BH và phân giác CE. 
Cho d1, d2 lần lượt là đường cao BH và phân giác trong CE. 
a) Viết phương trình đường thẳng AC 
b) Xác định tọa độ C là giao điểm của đt CD và đt AC. 
c) Tìm điểm A’ đối xứng của A qua CD 
d) Viết phương trình đường thẳng BC đi qua A’ và C. 
2. Biết tọa độ đỉnh A, đường cao BH và trung tuyến CM 
Cho d1, d2 lần lượt là đường cao BH và trung tuyến CM. 
a) Viết phương trình đường thẳng AC. 
b) Gọi B(xB, yB) tìm tọa độ M theo tọa độ của B. 
c) Tìm tọa độ của B. 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
7
II. Đường tròn 
1. Phương trình đường tròn 
a) Phương trình đường tròn 
Phương trình đường tròn ( )C có tâm ( );I a b có bán kính R là: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2: 1C x a y b R− + − = 
Phương trình đường tròn có dạng: 
2 2 2 2 0x y ax by c+ + + + = ( )2 với điều kiện 2 2 0a b c+ − > . Khi đó tâm ( ),I a b− − và bán kính 
2 2R a b c= + − 
b) Cách viết phương trình tiếp tuyến 
Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2 2:C x a y b R− + − = 
• Tiếp tuyến tại một điểm ( )0 0;A x y là phương trình đường thẳng qua A có vectơ pháp 
tuyến là: ( )0 0;IA x a y b= − −JJG nên có phương trình: ( )( ) ( )( )0 0 0 0 0x a x x y b y y− − + − − = 
• Tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm ( )0 0;P x y nằm ngoài đường tròn là đường thẳng 
qua P và cách ( );I a b một khoảng bằng bán kính R . (đã biết cách viết) 
c) Một vài tính chất của đường tròn. 
Điều kiện tiếp xúc 
Điều kiện tiếp xúc của đường tròn ( ) ( ) ( )2 2 2:C x a y b R− + − = với đường thẳng 
( ) : 0Ax By CΔ + + = là : 
/ 2 2I
aA bB C
d R R
A B
Δ
+ += ⇔ =+ 
 Đặt biệt: 
 + Khi OxΔ ≡ thì b R= 
 + Khi OyΔ ≡ thì a R= 
 Điều kiện để đường tròn ( )1 1;I R và đường tròn ( )2 2;I R tiếp xúc ngoài là 1 2 1 2I I R R= + 
 Điều kiện để đường tròn ( )1 1;I R và đường tròn ( )2 2;I R tiếp xúc trong là 1 2 1 2I I R R= − 
 Tính chất tiếp tuyến, cát tuyến 
 Nếu PA, PB là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm I bán kính R (A, B là hai tiếp điểm) thì
 + PA PB= 
 + IP là đường trung trực của AB 
 Cho AB là dây cung của đường tròn và M là trung điểm của AB thì IM AB⊥ và 
2
2
4
ABIM R= − 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
8
2. Bài tập về đường tròn 
a) Viết phương trình đường tròn khi biết một số yếu tố. 
Trong phần này để viết phương trình đường tròn ta cần xác định tọa độ tâm và độ dài 
bán kính của đường tròn. Ta thường gọi ( ),I a b là tâm, bán kính R . Từ những điều kiện đã 
cho thiết lập phương trình, hệ phương trình có ẩn là , ,a b R . Chú ý đến các điều kiện tiếp 
xúc. 
Bài 1. 
 a) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(0;1), B(2;-2) và có tâm nằm trên đường thẳng 
( ) : 2 0d x y− − = 
 b) Viết phương trình đường tròn đi qua A(0;1) và B(2;-3) và có bán kính R = 5. 
c) Viết phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ, có bán kính 5R = và có tâm nằm trên 
đường thẳng ( ) : 1 0d x y+ − = 
Bài 2. 
a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng ( )1 : 3 4 1 0d x y− + = , 
( )2 : 4 3 7 0d x y+ + = và đi qua điểm A(2;3). 
b) Viết phương trình đường tròn bán kính 5R = , đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với đường thẳng 
( ) : 2 5 0d x y− + = . 
c) Viết phương trình đường tròn đi qua A(3;2), B(1;4) và tiếp xúc với trụcOx . 
Bài 3 Trong mặt với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho đường tròn: 
( ) ( ) ( )2 2: 1 2 4C x y− + − = và đường thẳng ( ) : 1 0d x y− − = . 
Viết phương trình đường tròn ( )C′ đối xứng với ( )C qua đường thẳng ( )d . Tìm tọa độ giao điểm 
của hai đường tròn. 
Bài 4 (B – 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm ( )2;0A và ( )6;4B . Viết 
phương trình đường tròn ( )C tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của ( )C 
đến điểm B bằng 5. 
Bài 5 (A – 2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ( ) ( )0;2 , 2; 2A B − − và 
( )4; 2C − . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC. 
Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. 
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng 
( ) ( )1 2: 2 3 0 : 4 3 5 0d x y d x y− + = + − = 
Lập phương trình đường tròn có tâm I trên ( )1d tiếp xúc với ( )2d và có bán kính 2R = 
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: 
( ) ( )2 2 2 21 2: 16 : 2 0C x y C x y x+ = + − = 
Lập phương trình đường tròn ( )C có tâm ( )2,I a tiếp xúc trong với ( )1C và tiếp xúc ngoài với 
( )2C 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
9
Bài 8 . Cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 1 2 5C x y− + − = . 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết tiếp tuyến đi qua điểm ( )2;1B − 
b) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc trục tung có bán kính bằng hai lần bán kính của 
( )C và tiếp xúc ngoài với ( )C 
Bài 9 Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm ( )4;2A 
Bài 10 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc trục tung và tiếp xúc với hai đường thăng 
( )1 : 2 4 0d x y− + = và ( )2 : 2 4 0d x y− − = 
b) Viết phương trình tiếp tuyến, cát tuyến 
Bài 1. Cho đường tròn có phương trình ( ) ( )2 22 3 4x y− + − = . 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm thuộc đường tròn và có hoành độ x = 1. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua gốc tọa độ. Tìm phương trình đường 
thẳng đi qua hai tiếp điểm. 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng ( ) : 1 0d x y+ − = . 
Bài 2. Cho đường tròn ( ) ( )2 21 3 25x y− + + = . ( C) 
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cắt đường tròn theo một dây có độ dài 
bằng 8. 
b) Viết phương trình đường thẳng qua qua điểm A(-4;0) cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao 
cho tam giác IAB có diện tích là 25
4
. 
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 1 2 9C x y− + + = và đường 
thẳng ( ) : 3 4 1 0d x y− + = . Tìm điểm P trên đường thẳng ( )d sao cho có thể vẽ được hai tiếp 
tuyến đến đường tròn là ,PA PB (A, B là hai tiếp điểm) mà tam giác PAB : 
1. Tam giác đều 
2. Tam giác vuông tại P 
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa Oxy, cho đường tròn ( ) ( )2 2: 3 5C x y− + = và hai điểm 
( ) 51;1 , 2;
2
A M
⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
. 
a) Tìm trên đường tròn hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều. 
b) Viết phương trình đường thẳng ( )Δ qua M sao cho cắt đường tròn tại hai điểm 
,E F màn 60oEAF = 
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2: 2 2 10 0C x y y y+ − + − = và điểm 
( )1;1M . Lập phương trình đường thẳng qua M cắt ( )C tại ,A B sao cho 2MA MB= . 
MATHVN.COM - www.mathvn.com
10
Bài 6 (D – 2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 1 2 9C x y− + + = 
và đường thẳng ( ) : 3 4 0d x y m− + = . Tìm m để trên ( )d có duy nhất một điểm P mà từ đó vẽ được 
hai tiếp tuyến PA, PB tới ( )C (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. 
Bài 7 (B – 2006) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2: 2 6 6 0C x y x y+ − − + = và 
điểm ( )3;1M − . Gọi 1 2,T T lần lượt là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến ( )C . Viết 
phương trình đường thẳng 1 2TT . 
c) Các bài toán khác. 
Bài 1 . Cho đường tròn có phương trình ( ) ( )2 2 22 1 5x y− + − = và đường thẳng 
( ) ( ): 4 3d y k x= + + . 
a) Chứng minh rằng đường thẳng ( )d luôn đi qua một điểm cố định 
b) Tìm k để đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt ,A B . 
c) Khi đường thẳng cắt đường tròn tại ,A B . Chứng minh trung điểm I của AB thuộc 1 đường cố 
định, viết phương trình đường cố định đó. 
Bài 2 Cho đường tròn ( )C có phương trình ( ) ( )2 25 4 25x y− + − = . ( );0P m là một điểm thay đổi 
trên trục hoành 
a) Tìm m để từ P kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn ( )C 
b) Với điều kiện của câu a, giả sử hai tiếp tuyến đó là ,PA PB (A,B là hai tiếp điểm). Chứng 
minh rằng AB luôn đi qua một điểm cố định khi P di chuyển trên trục hoành, tìm tọa độ 
điểm cố định đó. 
Bài 3. Cho ba điểm ( ) ( ) ( )2; 4 , 1;5 , 6;4A B C− − − . 
a) Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm , ,A B C . Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của 
đường tròn vừa tìm được. 
b) Viết phương trình đường tròn đi qua I và O cắt ( C) tại hai điểm D, E sao cho tam giác IDE 
có diện tích lớn nhất. 
MATHVN.COM - www.mathvn.com