Phương pháp tính giới hạn dãy số, hàm số bằng máy tính cầm tay và một số dạng bài tập hạn chế máy tính cầm tay

 1 
Giáo Viên: Thân Văn Dự ĐT: 0984 214 648 
PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ, HÀM SỐ BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY VÀ 
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HẠN CHẾ MÁY TÍNH CẦM TAY 
 Ngày này khi hình thức thi mơn tốn thay đổi từ tự luận chuyển sang trắc nghiệm đã làm thay 
đổi ít nhiều phương pháp dạy và học mơn tốn. Phần giới hạn dãy số, giới hạn hàm số là một phần 
khơng khĩ nhưng nhiều bài tốn cũng phải làm nhiều học sinh lúng túng khi tìm lời giải tự luận của 
bài tốn. Tuy nhiên khi sử dụng máy tính cầm tay thì ta lại cĩ thể giải một cách nhanh chĩng bài tốn 
mà khơng cần phải suy nghĩ nhiều. Điều này làm cho nhiều học sinh chủ quan khơng học một cách 
bài bản kiến thức cơ sở mà chỉ chú trọng việc bấm máy tính. Trong bài viết này, tác giả sẽ trình bầy 
một số dạng bài tốn giới hạn dãy số, giới hạn hàm số cĩ thể sử dụng máy tính cầm tay để giải và 
một số dạng bài tập hạn chế việc sủ dụng máy tính cầm tay của học sinh. 
I. PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ, HÀM SỐ BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
 Trong bài viết này, tác giả sử dụng trên máy tính casio fx 570vn plus. Đối với các dịng máy 
tính khác cũng được thực hiện các thao tác tương tự. 
* Phương pháp tính: 
* Cách tính giới hạn dãy số 
 Để tính giới hạn dãy số ( )lim f n 
Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức ( )f X 
Bước 2: Bấm phím CALC máy tính hỏi X = ?. Ta nhập giá trị đủ lớn, ví dụ 810 (vì n → +∞ ) 
* Cách tính giới hạn hàm số 
 Để tính ( )lim
ox x
f x
→
Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức ( )f X 
Bưới 2: Bấm phím CALC. máy tính hỏi X = ?. Ta nhập vào giá trị xấp xỉ bằng ox 
* Chú ý 
- Nếu ox là một số hữu hạn ta nhập X = 
810
o
x −+ hoặc 810
o
x −− 
- Nếu 
o
x x +→ ta nhập X = 810
o
x −+ 
- Nếu 
o
x x −→ ta nhập X = 810
o
x −− 
- Nếu ox là +∞ ta nhập một giá trị đủ lớn, ví dụ X = 
810 
- Nếu ox là −∞ ta nhập một giá trị âm đủ nhỏ, ví dụ 
810X = − 
Bây giờ ta cùng làm các bài tập sau: Chọn đáp án đúng trong các câu hỏi sau 
 2 
Giáo Viên: Thân Văn Dự ĐT: 0984 214 648 
Câu hỏi 1 Tính 
2 2
2
3 2lim
3
n n n
n n
+ − +
+
A. 2 B. 1
2
 C. 3 D. 1 
Giải : 
Nhập vào máy tín biểu thức 
2 2
2
3 2
3
X X X
X X
+ − +
+
Bấm CALC máy hỏi X = ? ta nhập 810 , ta được kết quả 0,99999998. Ta chọn đáp án D. 
Câu hỏi 2 Tính 
3 2
3
2 1lim
2 1x
x xI
x x→+∞
− +
=
+ −
 , ta được I bằng 
A. 1
2
 B. 1− C. +∞ D. −∞ 
Giải: Nhập vào máy tính biểu thức 
3 2
3
2 1
2 1
X X
X X
− +
+ −
Bấm CALC máy hỏi X = ? ta nhập 810 , ta được kết quả 0,4999999 . Suy ra đáp án đúng là A. 
Câu hỏi 3 Tính 
22 2lim
2 1x
x x xI
x→−∞
− − +
=
−
A. −∞ B. +∞ C. 1
2
 D. 3
2
Giải : Nhập vào máy tính biểu thức 
22 2
2 1
X X X
X
− − +
−
Bấm CALC máy hỏi X = ? ta nhập 810− , ta được kết quả 1,499999995, suy ra đáp án đúng là D. 
Câu hỏi 4 Biết 
2
2
2017 2018lim
3 6x
x x a
x b→+∞
− +
=
+
 ( ,a b là hai số nguyên và ( ), 1a b = ). Tính S a b= + 
A. 4 B. 2014− C. 5 D. 1
3
Giải : Nhập vào máy tính biểu thức 
2
2
2017 2018
3 6
X X
X
− +
+
Bấm CALC máy hỏi X = ? ta nhập 810 , ta được kết quả 0,33332661. Suy ra 
2
2
2017 2018 1lim
3 6 3x
x x
x→+∞
− +
=
+
. Suy ra chọn đáp án A 
 3 
Giáo Viên: Thân Văn Dự ĐT: 0984 214 648 
Câu hỏi 5 Biết ( )2lim 1 3 2
x
I x x x
→−∞
= + + + + . Tính I 
A. 1
2
 B. 1
2
−
 C. +∞ D. −∞ 
Giải : Nhập vào máy tính biểu thức 21 3 2X X X+ + + + 
Bấm CALC máy tính hỏi X = ? ta nhập vào 810− , ta được kết quả 1
2
− . Suy ra chọn đáp án B. 
Câu hỏi 6 Tính
2
2
2 3lim
2 4x
x xI
x+→
− +
=
−
A. 1
2
 B. 1
2
−
 C. +∞ D. −∞ 
Giải : Nhập vào máy tính biểu thức 
2 2 3
2 4
X X
X
− +
−
Bấm CALC máy hỏi X = ? ta nhập 82 10−+ , ta được kết quả 150000001, Suy ra chọn đáp án C. 
II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ HẠN CHẾ MÁY 
TÍNH CẦM TAY 
1. Dạng 1 
Câu hỏi 1 Biết 2017 6.2018I lim
2015 2018
n n
n n
+
=
−
. Khi đĩ I bằng 
A. 1 B. 6− C. +∞ D. −∞ 
Giải: 
2017 6.2018lim
2015 2018
n n
n n
+
−
2017 20172018 6 62018 2018lim lim 6
2015 20152018 1 1
2018 2018
nn
n
n
nn
n
n
   + +   
   
= = = −
   
−
−   
  
 . Ta chọn đáp án B. 
Câu hỏi 2 Biết 
2018 2017
2018
3 2lim
4 1x
x xI
x x→+∞
− +
=
+ −
. Khi đĩ I bằng 
A. 1
4
 B. +∞ C. −∞ D. 2− 
Giải: 
 4 
Giáo Viên: Thân Văn Dự ĐT: 0984 214 648 
2018
2018 2017 2018
2018
2018
2017 2018
3 2(1 )3 2lim lim
1 14 1 4
x x
x
x x x xI
x x
x
x x
→+∞ →+∞
− +
− +
= =
+ −  + − 
 
2018
2017 2018
3 21 1lim 1 1 44x
x x
x x
→+∞
− +
= =
+ −
Ta chọn đáp án A. 
2. Dạng 2 : Sử dụng tham số 
Câu hỏi 1: Biết 
2
21
1lim
1 2x
x ax bI
x→
+ +
= = −
−
 ( ,a b∈ℝ ). Tính 2 2S a b= + 
A. 1 B. 13 C. 9 D. 4 
Giải: 
21 1 0x x→ ⇒ − → mà 
2
21
1lim
1 2x
x ax b
x→
+ +
= −
−
 là một giá trị hữu hạn. Suy ra đây là giới hạn dạng 0
0
1 0 1a b b a⇒ + + = ⇒ = − − 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 21 1 1
1 11lim lim lim
1 1 1 1x x x
x x ax ax b x ax aI
x x x x→ → →
− + ++ + + − −
= = =
− − − + 1
1 2lim
1 2x
x a a
x→
+ + +
= =
+
Mà 1 2 1 3 2
2 2 2
aI a b+= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = . Vậy 2 2 13S a b= + = . Ta chọn đáp án B. 
Câu hỏi 2 Biết ( )2 2lim 1 2 2
x
I ax x x bx
→+∞
= + + − + − = ( ,a b∈ℝ ). Tính P ab= 
A. 3− B. 3 C. 2 D. 2− 
Giải : 
Ta thấy khi x → +∞ ta cĩ 2 21 ; 2ax x x bx+ + → +∞ + − → +∞ 
mà ( )2 2lim 1 2 2
x
I ax x x bx
→+∞
= + + − + − = là một số hữu hạn nên ta suy ra 1a = 
( )2 2lim 1 2
x
I x x x bx
→+∞
⇒ = + + − + − 
( ) ( )2 2
2 2
1 2
lim
1 2x
x x x bx
x x x bx→+∞
+ + − + −
=
+ + + + −
( ) ( )
2 2
2 2
311 3 1lim lim
21 1 21 2 1 1
x x
bb x bx
bx x x bx
x x x x
→+∞ →+∞
− +
− +
−
= = =
+ + + + − + + + + −
Mà 12 2 3
2
bI b−= ⇒ = ⇒ = − . Suy ra 3P = − . Ta chọn đáp án A. 
 5 
Giáo Viên: Thân Văn Dự ĐT: 0984 214 648 
Câu hỏi 3 Biết 
2 1lim 2.
2 1x
ax x x
x→+∞
+ + +
=
−
 Khi đĩ 
A. 1a < − B. 1 1a− ≤ < C. 1 2a≤ < D. 2a ≥ 
Giải : 
2 2
1 111 1lim lim 12 1 22x x
a
ax x x ax x
x
x
→+∞ →+∞
+ + +
+ + + +
= =
−
−
Mà 
2 1 1lim 2 2 3
2 1 2x
ax x x a
a
x→+∞
+ + + +
= ⇒ = ⇒ =
−
. Ta chon đáp án D. 
* LUYỆN TẬP 
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1 
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT 
MƠN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 
Thời gian làm bài: 45 phút; 
(25 câu trắc nghiệm) 
 Mã đề thi 111 
Họ, tên thí sinh:.......................................................................... 
Số báo danh:............................................................................... 
Câu 1: Biết 
2
2
2 4 4lim 2
2x
x ax a
x→
− + −
= −
−
, khi đĩ 
A. 1a < − B. 2 4a≤ < C. 1 2a− ≤ < D. 4a ≥ 
Câu 2: Tìm 2 1lim
3 2
n
n
−
+
A. 2
3
 B. 2 C. 1
2
−
 D. 1
3
Câu 3: Cho tổng ( )
111 1 11
2 4 8 2
n
n
S
+
−
= − + − + + +⋯ ⋯ , khi đĩ giá trị S xấp xỉ bằng 
A. 1
2
 B. 2
3
 C. 3
4
 D. 1
3
Câu 4: Tìm ( )2 2lim 2 2 3 1n n n n− − + − 
 6 
Giáo Viên: Thân Văn Dự ĐT: 0984 214 648 
A. 0 B. 2 C. 2− D. -2 
Câu 5: Biết ( )
2 1 1lim
2 2 2x a
x a x a
x a→
− + +
=
−
, khi đĩ 
A. 0a ≤ B. 0 1a< ≤ C. 1 3a< < D. 3a ≥ 
Câu 6: Biết ( )2lim 2 1
x
x ax bx
→+∞
+ + − = , khi đĩ 
A. 2 2 5a b+ = B. 2 2 9a b+ = C. 2 2 2a b+ = D. 2 2 10a b+ = 
Câu 7: Tìm 
3
1
2 4 3lim
3 3x
x x
x→−
+ − +
+
A. 0 B. 1 C. 1
6
−
 D. 1
6
Câu 8: Tìm 
3 3
2
2lim
2x
x x x
x→
− + −
−
A. 1
12
−
 B. 1
12
 C. 0 D. 1 
Câu 9: Tìm 
2
1
3 2 1lim
1x
x x
x→
+ −
+
A. 2 B. -1 C. 1 D. 0 
Câu 10: Tìm ( )3 2lim 3 2n n− + 
A. −∞ B. 0 C. 1 D. +∞ 
Câu 11: Biết 
1
2 2 1lim
1 2 5x
x a ax
x→
+ − +
=
−
 , khi đĩ 
A. 0 1a≤ < B. 1a ≥ C. 1a < − D. 1 0a− ≤ < 
Câu 12: Tìm 
2
1
3 2lim
2 2x
x x
x→
− +
−
A. 1
2
−
 B. 1
2
 C. 1 D. -1 
Câu 13: Tìm 2
1 2 3lim
2 1
n
n n
+ + + +
+ +
⋯
A. 0 B. 1 C. 1
2
 D. 1
4
Câu 14: Tìm ( )3 2lim 3 5
x
x x
→−∞
− + 
A. 5 B. - 3 C. +∞ D. −∞ 
 7 
Giáo Viên: Thân Văn Dự ĐT: 0984 214 648 
Câu 15: Hàm số 
2 2
2
2
x x khi xy x
mx khi x

− +
>
=  −
 ≤
 cĩ giới hạn tại 2x = khi 
A. 3
4
m =
 B. 3
4
m = −
 C. 3
8
m =
 D. 3
8
m = −
Câu 16: Tìm 
2 1lim
3 1
n n n
n
+ − +
+
A. 2 B. 1
3
 C. 3
2
 D. 2
3
Câu 17: Giả sử ( )2lim 1 an n n b+ − − = ( ab là phân số tối giảm), khi đĩ a b+ bằng 
A. 2 B. 3 C. 1 D. 5 
Câu 18: Tìm ( )3 3 2lim 2 1n n n− + − 
A. 2
3
 B. -1 C. 2
3
−
 D. 1 
Câu 19: Tìm 3 2.4lim
3 4
n n
n n
+
− +
A. 1 B. 2 C. 0 D. -1 
Câu 20: Tìm ( )3 2lim 3 1
x
x x
→+∞
− + 
A. – 3 B. +∞ C. 1 D. −∞ 
Câu 21: Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục tại 1x = 
A. 
2 3 2 1
1
2 1
x x khi xy x
khi x
 − +
>
=
−

− ≤
 B. 
2 2 3
1
x xy
x
− +
=
−
C. 
2 2 1
1
2 1 1
x khi xy x
x khi x
 +
>
=
−

− ≤
 D. 
2
2
2 1 1
1
1 1
x x khi x
y x
x khi x
 − +
>
=
−

− ≤
Câu 22: Hàm số 
2 3 2 1
3 3
2 1
x x khi xy x
mx khi x
 − +
>
=
−
 + ≤
 liên tục trên ℝ khi 
A. 7
3
m =
 B. 7
3
m = −
 C. 1
3
m =
 D. 1
3
m = −
 8 
Giáo Viên: Thân Văn Dự ĐT: 0984 214 648 
Câu 23: Biết ( )3 3 2lim 1 1
x
x ax bx
→+∞
+ + − = − , khi đĩ 
A. 2 5a b+ = − B. 0a b+ = C. 2 4a b+ = D. 2a b− = 
Câu 24: Tìm ( )2lim 2 4 1
x
x x x
→−∞
+ − + 
A. −∞ B. +∞ C. 1
4
 D. 0 
Câu 25: Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên ℝ 
A. tan 2y x= B. 
2
2
3 1
1
x xy
x
− +
=
+
 C. 
2
2
1
1
xy
x
+
=
−
 D. 
π
cot
3
y x = + 
 
----------------------------------------------- 
----------- HẾT ----------