Phương pháp tính cực nhanh - Phương trình đường thẳng qua 2 cực trị - Hoàng Trọng Tấn

H
O
À
N
G
T
R
Ọ
N
G
TẤ
N
- T
ẤT
V
Ệ
TÂ
M
Phương phỏp tớnh nhanh
PHƯƠNG PHÁP TÍNH CỰC NHANH
PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG QUA 2 CỰC TRỊ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vớ dụ 1: Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số: y = x3 + 3x2 − 5x + 1.
Hướng dẫn giải
ọ Cỏch 1:
Ta cú: y = x3 + 3x2 − 5x + 1
⇒ y′ = 3x2 + 6x− 5 y′ = 0⇔
 x = −3 + 2
√
6
3
⇒ y = 72− 32
√
6
9
x =
−3− 2√6
3
⇒ y = 72 + 32
√
6
9
Gọi hai điểm cực trị lần lượt là A và B thỡ ta cú:
A
(
−3 + 2√6
3
;
72− 32√6
9
)
và B
(
−3− 2√6
3
;
72 + 32
√
6
9
)
Phương trỡnh đường thẳng AB cú dạng:
x− xA
xB − xA =
y − yA
yB − yA ⇒
x−
(
−3 + 2√6
3
)
−3− 2√6
3
−
(
−3 + 2√6
3
) = y −
(
72− 32√6
9
)
72 + 32
√
6
9
−
(
72− 32√6
9
)
⇒ AB : y = −16
3
x +
8
3
ọ Cỏch 2:
Ta cú: y = x3 + 3x2 − 5x + 1 và y′ = 3x2 + 6x− 5
Lập bảng y chia cho y′ ta được:
⇒ Phương trỡnh đường thẳng đi qua hai cực trị là:
y = −16
3
x +
8
3
ó Cỏch làm này khỏ phổ biến nhưng nhiều bạn sẽ gặp khú khăn trong quỏ trỡnh thực hiện
Hoàng Trọng Tấn: 0909520755 − Tất Vệ Tõm: 0931438453
Nhận luyện thi Toỏn theo nhúm ở TPHCM
1
H
O
À
N
G
T
R
Ọ
N
G
TẤ
N
- T
ẤT
V
Ệ
TÂ
M
Phương phỏp tớnh nhanh
phộp chia hoặc sẽ bị sai. Dũ lại sẽ tốn rất nhiều thời gian.
ọ Cỏch 3: (Siờu cụng thức)
Ta cú: y = x3 + 3x2 − 5x + 1
y′ = 3x2 + 6x− 5 và y
′′
2
= 3x + 3
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị, ta cú:
∆ =
1
9
(
9ay − y
′′
2
.y′
)
Hướng dẫn thực hiện: Đặt T (x) = 9(x3 + 3x2 − 5x + 1)− (3x2 + 6x− 5)(3x + 3)
Đầu tiờn CALC cho x = 0, ta cú T (0) = 24
Tiếp tục ta lấy T (x)− 24 và CALC cho x = 1, ta cú: T (1)− 24 = −48
Từ đú ta cú ∆ : y =
1
9
(−48x + 24) = −16
3
x +
8
3
Chứng minh:
ọ Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d:
Ta cú: y′ = 3ax2 + 2bx + c và y′′ = 6ax + 2b
Ta cú: y =
(
3ax + b
9a
)
(3ax2 + 2bx + c) +
(6ac− 2b2)
9a
x +
9ad− bc
9a
⇒ 9ay = y
′′
2
.y′ + Ax + B
Ta khụng cần quan tõm A và B cú dạng gỡ
Nhập T (x) = 9ay − 1
2
y′′.y′ thỡ ta cú:
B = T (0)A = T (1)− T (0)
BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Bài 1: Viết phương trỡnh đường thẳng di qua hai điểm cực trị của hàm số: y = x3 − 4x2 − x + 1.
A. y =
−38
9
x +
5
9
B. y =
38
9
x− 5
9
C. y = −5
9
x +
38
9
D. y =
5
9
x− 38
9
Hướng dẫn giải
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc 3.
Áp dụng cụng thức: ∆ =
1
9
(
9ay − y
′′
2
.y′
)
Trong đú y′ = 3x2 − 8x− 1 và y
′′
2
= 3x− 4
Đặt T (x) = 9(x3 − 4x2 − x + 1)− (3x2 − 8x− 1)(3x− 4)
solve cho x = 0 ta được T (0) = 5
Tiếp tục ta lấy T (x)− 5 và CALC cho x = 1 ta được T (1)− 5 = −38
Vậy phương trỡnh ∆ : y = −38
9
x +
5
9
⇒ Chọn đỏp ỏn A
Hoàng Trọng Tấn: 0909520755 − Tất Vệ Tõm: 0931438453
Nhận luyện thi Toỏn theo nhúm ở TPHCM
2
H
O
À
N
G
T
R
Ọ
N
G
TẤ
N
- T
ẤT
V
Ệ
TÂ
M
Phương phỏp tớnh nhanh
Bài 2: Tỡm m để đường thẳng d qua O(0;0) vuụng gúc với đường thẳng di qua hai điểm cực trị của
hàm số: y = x3 − 2x2 − 5x + 1.
A. m=1 B. m=2 C. m=−1 D. m=0
Hướng dẫn giải
Đầu tiờn ỏp dụng cụng thức nhanh ta tỡm được đường thẳng di qua hai điểm cực trị là:
∆ : y = −38x
9
− 1
9
Do d⊥ ∆ nờn d : y = 9
38
x + m
Do d qua O(0;0) thay vào ta tỡm được m=0
⇒ Chọn đỏp ỏn D
Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3mx2 − 5mx + m2 −m − 1. Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai
điểm cực trị.
A. y = −(18m
2 + 30m)
9
x +
24m2 − 9m− 9
9
B. y =
(18m2 + 30m)
9
x− 24m
2 − 9m− 9
9
C. y =
24m2 − 9m− 9
9
x− (18m
2 + 30m)
9
D. −24m
2 − 9m− 9
9
x +
(18m2 + 30m)
9
Hướng dẫn giải
Ta cú: y = x3 + 3mx2 − 5mx + m2 −m− 1
y′ = 3x2 + 6mx− 5m và y
′′
2
= 3x + 3m
Đặt T (x) = 9(x3 + 3mx2 − 5mx + m2 −m− 1)− (3x2 + 6mx− 5m)(3x + 3m)
• Thay m = 100 ta được:
T (x) = 9(x3 + 300x2 − 500x + 1002 − 100− 1)− (3x2 + 600x− 500)(3x + 300)
CALC cho x = 0 ta được T (0) = 239091 = 24m2 − 9m− 9
Tiếp tục ta CALC cho x = 1 được T (x)− T (0) = −1830000 = −18m2 − 30m
Vậy đường thẳng qua hai điểm cực trị cú phương trỡnh: ∆ : y = −18m
2 + 30m
9
x +
24m2 − 9m− 9
9
⇒ Chọn đỏp ỏn A
BÀI TẬP ÁP DỤNG
• VIẾT PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG THẲNG QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:
1) y = x3 − 5x2 + 4x + 1
2) y =
x3
2
− 2x2 + 1
3) y = x3 − 3x + 1
4) y =
x3
3
− 6x2 + 3x + 4
5) y = x3 − 3x2 + 4x + 4
6) y = x3 − 3mx2 + 4mx + m2
7) y =
x3
2
+ 3m2x2 + mx + m2 −m
8) y = x3 −m2x + 4m + 3m3 − 2m
9) y = x3 − 4mx2 − 3m2 + m3 − 1
10) y = x3 −mx− 3m3 + m2 − 1
Hoàng Trọng Tấn: 0909520755 − Tất Vệ Tõm: 0931438453
Nhận luyện thi Toỏn theo nhúm ở TPHCM
3
H
O
À
N
G
T
R
Ọ
N
G
TẤ
N
- T
ẤT
V
Ệ
TÂ
M
Phương phỏp tớnh nhanh
• Tỡm m để đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số y = x3 + 3mx2 − (3m2 + 1)x + m2 + 1 cú dạng
y = −14
3
x +
10
3
A. m=2 B. m=1 C. m=−1 D. m=0
• Tỡm m để đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm số y = x3 + 3mx2− (3m+ 1)x+m2 + 1 đi qua điểm
cú tọa độ là B(0;1)
A.
 m = 0
m = −1
6
B. m = 0 C. m = −1
6
D.
 m = 0
m =
1
6
DO THỜI GIAN Cể HẠN NấN 2,3 NGÀY CHÚNG TễI CHỈ Cể THỂ VIẾT MỘT CHUYấN ĐỀ
VÀ CềN RẤT NHIỀU THỦ THUẬT KHÁC
NẾU HỌC SINH NÀO CẦN Cể THỂ LIấN HỆ VỚI CHÚNG TễI Ở TPHCM
CÁC GIÁO VIấN Cể THAM KHẢO XIN VUI LềNG GHI Rế NGUỒN
XIN CÁM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU NÀY
HOÀNG TRỌN TẤN - TẤT VỆ TÂM
0909520755- 0931438453
Hoàng Trọng Tấn: 0909520755 − Tất Vệ Tõm: 0931438453
Nhận luyện thi Toỏn theo nhúm ở TPHCM
4