Phương pháp phần bù tính thể tích khối đa diện phức tạp

PHƢƠNG PHÁP PHẦN BÙ 
TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHỨC TẠP 
Tác giả: Vương Thanh Bình 
Bản Full đáp án tại Facebook: https://www.facebook.com/ThanhBinhKami 
Link video full miễn phí tại :  
Mọi góp ý và bài tập liên quan đến phương pháp vui lòng Inbox Facebook 
A-LÝ THUYẾT CHUNG 
1) Khái niệm khối đa diện phức tạp : Là khối đa diện không cơ bản ( không phải chóp tam 
giác, chóp tứ giác, hình lăng trụ, hình hộp, hình lập phương ... ) Hoặc cơ bản nhưng khó tính 
chiều cao và diện tích đáy. 
2) Ý tƣởng : Ta sẽ xây dựng khối đa diện phức tạp  H nằm trong khối chóp cơ bản  A . Ví 
dụ dụ khối chóp  A gồm khối đa diện phức tạp  H và khối chóp cơ bản  B khi đó 
H A BV V V  
3) Các dạng thƣờng gặp : +) Dạng 1: (Cơ bản) H A BA H B V V V     
 +) Dạng 2: (Nâng cao) H A B CA H B C V V V B       
 +) Dạng 3: (Sao) H A B C DA H B C D V V V V V         
4) Kiến thức liên quan : 
4.1. Định lý Talet: Cho tam giác ABC , đường thẳng d song song với BC đồng thời cắt các 
cạnh ,AB AC hoặc các đường kéo dài của 2 cạnh này tại ,M N thì ta có tỉ lệ : 
AM AN
AB AC
 
4.2. Định lý 3 đƣờng giao tuyến: Cho 3 mặt phẳng      , ,P Q R giao nhau theo 3 giao tuyến 
1 2 3, ,d d d thì 3 giao tuyến này một là đôi một song song hai là đồng quy. 
DẠNG 1:      H A BV V V  
Ví dụ minh họa: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn 3AB a , 
đáy nhỏ CD a , cạnh bên 
4
2 ,
3
a
AD a BC  . Chiều cao 3SA a . Tính thể tích của khối chóp 
.S ABCD 
A. 
38 2
3
a
 B. 
316 2
9
a
 C. 
311 3
9
a
 D. 
37 5
9
a
 Phân tích ý tƣởng 
+) Để tính thể tích khối chóp .S ABCD ta phải tính được diện tích đáy ABCD là một 
hình thang rất khó tính diện tích ( Vì không phải hình thang cân, không phải hình thang 
vuông và chiều cao trong hình thang khó tính được ) 
+) Trong trường hợp này ta sẽ sử dụng phƣơng pháp phần bù tính thể tích 
Ta xây dựng khối chóp .S ABCD nằm trong khối chóp .S IAB khi đó 
     . . .S ABCD S IAB S ICDV V V  
Đương nhiên ta phải chọn sao cho khối chóp .S IAB và khối chóp .S ICD đều dễ dàng 
tính được thể tích. 
 Giải 
+) Kéo dài AD và BC cắt nhau tại I. Khi đó 
       . . .
1
.
3
IAB ICDS ABCD S IAB S ICD
V V V SA S S    
+) Theo định lý Talet ta có: 
1
3
ID IC CD
IA IB AB
  
1
9
ICD IABS S  hay 
8
9
ABCD IABS S 
+) Từ 
4
2 ,
3
a
AD a BC  dễ tính được 3 , 2IA a IB a  . 
+) Theo định lý Herong ta có:     22 2IABS p p IA p IB p IC a     
Vậy 
3
21 8 1 8 16 2. .3 . .2 2
3 9 3 9 9
ABCD IAB
a
V SA S a a   
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích là 3a đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng 
  qua AM và song song với BD cắt SB, SD tại E và F. Tính thể tích của khối đa diện AEMCB 
A. 
3
2 2
a
 B. 
3
3
a
 C. 
3 2
2 3
a
 D. 
35
14
a
Bài 2: Cho lăng đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB BC a  cạnh bên 
' 2AA a . Gọi M và N là 2 điểm thỏa mãn sao cho 
' ' 1
' ' ' 3
B M B N
BA B C
  . Tính thể tích khối đa điện 
'B MNCBA 
A. 
3
2
a
 B. 
34 3
15
a
 C. 
39 2
28
a
 D. 
313
27
a
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D có 3 , 4 , ' 3AB a AD a AA a   . Gọi G là 
trọng tâm tam giác 'CC D . Măt phẳng chứa 'B G và song song với 'C D chia khối hộp thành 2 
phần. Gọi  H là khối đa diện chứa C . Tính tỉ số  
H
V
V
 với V là thể tích khối hộp đã cho. 
A. 
325
2
a
 B. 
357
5
a
 C. 
338
3
a
 D. 
323 3
4
a
Bản Full đáp án tại Facebook: https://www.facebook.com/ThanhBinhKami 
Link video full miễn phí tại :  
DẠNG 2:        H A B CV V V V   
Ví dụ minh họa: [THPT THĂNG LONG 2016] Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D cạnh a 
có M và N lần lượt là trung điểm ' ',A B BC . Mặt phẳng  DMN chia hình lập phương thành 2 
phần. Khối đa diện đỉnh A kí hiệu là  1H , phần còn lại kí hiệu là  2H . Tính tỉ số 
 
 
1
2
H
H
V
V
A. 
37
48
 B. 
55
89
 C. 
2
3
 D. 
1
2
 Phân tích tƣ duy 
+) Nhìn vào hình vẽ ta thấy mặt phẳng  DMN chia khối lập phương thành 2 khối đa 
diện trong đó khối đa diện  1H là ABNDENF và phần còn lại 
+) Khối đa diện  1H cực kì phức tạp (không phải chóp, không phải lăng trụ, không phải 
hộp...) nên việc tính toán là rất phức tạp 
+) Để dễ tính ta sẽ sử dụng phƣơng pháp phần bù tính thể tích khối đa diện phức tạp 
Ta sẽ đi xây dựng khối đa diện  1H nằm trong khối đa diện dễ tính .I ADJ 
Khi đó  1 .I ADJ IANE FBNJHV V V V   
 Giải 
+) Theo định lý Talet ta có: 
1
2
JB JN JF
JA JD JI
   và 
' ' 1
4
IA IN IE A N
IA IJ ID AJ
    
Từ đó ta có thể tích được hết các đoạn thẳng ví dụ như: 
2
; , ...
2 3 4
a a a
JB BF IA   
+) Tính 3
1 1 1 1 4 1 4
. . . . . . .2 .
3 3 2 3 3 2 9
IADJ ADJ
a
V IA S IA AD AJ a a a    
+) Tính 
31 1 1 1
. . . . . .
3 2 3 3 2 4 2 144
IANE
a a a a
V IA AE AN   
+) Tính 
31 1 1 2 1
. . . . . . .
3 2 3 3 2 2 18
FBNJ
a a a
V FB BN BJ a   
Vậy  1
3
.
55
144
I ADJ IANE FBNJH
V V V V a       2 1
3 389
144
H H
V a V a    
Vậy 
 
 
1
2
55
89
H
H
V
V
 
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ 
Bài 1: Cho hình lăng trụ đều . ' ' 'ABC A B C cạnh đáy là a, cạnh bên là 2a . Gọi M và N lần lượt 
là trung điểm của các cạnh ' ',C 'B C C . Mặt phẳng  AMN chia khối lăng trụ thành 2 khối đa 
diện. Gọi  H là khối đa diện chứa đỉnh B. Tính tỉ số  
H
V
V
 với V là thể tích của khối lăng trụ 
đều. 
A. 
3
3
a
 B. 
3 3
4 2
a
 C. 
37 2
15
a
 D. 
323 3
72
a
Bài 2: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm 
' ', ' 'A B A D và điểm P thỏa mãn 
1
'
4
CP CC . Mặt phẳng  MNP chia khối lập phương thành 2 
khối đa diện. Gọi  1H là khối đa diện chứa đỉnh C'. Gọi  2H là khối đa diện còn lại. Tính tỉ 
số 1
2
H
H
V
V
A. 
3
4
a
 B. 
34
25
a
 C. 
325
96
a
 D. 3
41
155
a 
Bản Full đáp án tại Facebook: https://www.facebook.com/ThanhBinhKami 
Link video full miễn phí tại :  
DẠNG 3:          H A B C DV V V V V    
Ví dụ minh họa: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D cạnh a, có M và N là trung điểm của 
' 'A B và CD . Mặt phẳng   qua MN và song song với ' 'B D chia khối đa điện thành 2 phần. 
Tính thể tích của khối đa diện chứa đỉnh A. 
A. 
3
2
a
 B. 
32
3
a
 C. 
33
5
a
 D. 
34
7
a
 Phân tích ý tƣởng 
+) Xác định thiết diện và ta xác định được khối đa diện chứa A là A'MJINFEBA (ta gọi 
đây là khối đa diện H ) 
+) Đến dạng 3 thì chắc chúng ta đã quen với ý tưởng: Nếu tính thể tích 1 khối đa diện 
phức tạp ta sẽ sử dụng phương pháp phần bù 
+) Vậy ta sẽ xây dựng khối đa diện H nằm trong khối chóp tam giác S.APQ (dễ tính thể 
tích) và   . . ' .S APQ S A MJ E BPF IDNQHV V V V V    
 Giải 
+) Ta có   . . ' .S APQ S A MJ E BPF IDNQHV V V V V    
+) Sử dụng tính chất của quan hệ song song và định lý Talet ta dễ dàng tính được độ dài 
các đoạn thẳng SA', A'J, ID.... 
+) Tính 
31 1 1 3 1 3 3 9
. . . . . .
3 2 3 2 2 2 2 16
SAPQ
a a a a
V SA AP AQ   
+) Tính 
3
. '
1 1 1 1
'. ' . ' . . . .
3 2 3 2 2 2 2 48
S A MJ
a a a a
V SA A M A J   
+) Tương tự 
3
.
48
E BPF IDNQ
a
V V  
+) Vậy  
3
. . ' .
2
S APQ S A MJ E BPF IDNQH
a
V V V V V     
 Bình luận 
+) Bài này còn 1 cách làm nhanh nữa là dựa và tính chất đối xứng của 2 khối đa diện tạo 
thành bởi mặt phẳng   ta thấy thể tích của 2 khối đa diện này đều bằng nhau và bằng 1 
nửa thể tích khối lập phương. 
+) Do dạng này khá phức tạp nên ví dụ minh họa tác giả đã cố tính cho các bạn tỉ số rất 
đẹp (toàn là trung điểm ) nên mới sinh ra cách đặc biệt kia. 
+) Nếu các bạn muốn bài toán mang tính chất tổng quát hơn. Tác giả sẽ sửa lại vị trí điểm 
thuộc cạnh A'D' như trong bài tập tự luyện số 2 thì bài toán sẽ căng thẳng hơn rất nhiều. 
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ 
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. M, N là trung điểm ' ',A B CD . H là điểm 
thuộc cạnh ' 'A D sao cho ' 3 'HA HD . Mặt phẳng  HMN chia khối chóp thành 2 đa diện. 
Tính thể tích khối đa diện chứa điểm C. 
A. 
3
2
a
 B. 
3
2
a
 C. 
3
3
a
 D. 
3 2
3
a
Bài 2: Cho hình lập phương . ' ' ' 'ABCD A B C D cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của 
' ', ' 'A B A D . E là điểm thỏa mãn 
' 5
12'
D E
D D
 . Mặt phẳng  MNE chia khối lập phương thành 2 
khối đa diện. Gọi  H là khối đa diện chứa đỉnh  'C . Tính thể tích khối đa điện  H 
A. 
3
3
a
 B. 
315
37
a
 C. 
3154
365
a
 D. 
31549
3600
a
Bản Full đáp án tại Facebook: https://www.facebook.com/ThanhBinhKami 
Link video full miễn phí tại :