Phương pháp Giải nhanh bài toán mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Hình học lớp 12 - Hoàng Trọng Tấn

GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Tel : 0909520755 , 
Face : Hoàng Trọng Tấn Page : Trắc Nghiệm Toán 
PP GIẢI NHANH BÀI 
TOÁN MẶT CẦU NGOẠI 
TIẾP HÌNH CHÓP 
HOÀNG TRỌNG TẤN 
0909520755,TÂN PHÚ,TPHCM 
GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Tel : 0909520755 , 
Face : Hoàng Trọng Tấn Page : Trắc Nghiệm Toán 
PP tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp các loại
Loại 1 : Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông. 
Gọi d là độ dài đoạn thẳng trên thì ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: 
2
d
R
Ví dụ : Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông tại B , SA vuông góc với mặt 
phẳng (ABC) và SC=2a . Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoài tiếp hình chóp trên 
Giải : 
Dễ thấy tam giác SAC vuông tại A , tam giác SBC vuông tại B từ đó hình chóp này loại 
1 nên 
2
2 2
SC a
R a
Ví dụ : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông , SA vuông góc với mặt 
phẳng (ABCD) và SC=2a . Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoài tiếp hình chóp trên 
Giải : 
Dễ thấy tam giác SAC vuông tại A , tam giác SBC vuông tại B và giác SDC vuông tại D 
từ đó hình chóp này loại 1 nên : 
2
2 2
SC a
R a
Loại 2 : Hình chóp đều 
GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Tel : 0909520755 , 
Face : Hoàng Trọng Tấn Page : Trắc Nghiệm Toán 
Gọi h là độ cao hình chóp và k là chiều dài cạnh bên thì ta có bán kính mặt cầu là : 
2
2
k
R
h
Ví dụ : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC , có AB=a và cạnh bên SA=2a , tính diện tích 
và thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên 
Giải : gọi G là trọng tâm tam giác thì ta có SG vuông góc với mặt phẳng (ABC) 
Thế thì ,SG hSA k nên R mặt cầu : 
2
2
SA
R
SG
2
2 22
SA
R
S AGA
2
2
2
2 33
11
3
2
3
SA
R a
SA AB
Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , có AB=a và cạnh bên SA=2a , tính diện tích 
và thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên 
Giải : gọi O là tâm hình vuông ABCD thì ta có SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) 
Thế thì ,SO hSA k nên R mặt cầu : 
2
2
SA
R
SO
2
2 22
SA
R
S AOA
2
2
2
2 14
7
2
2
2
SA
R a
AB
SA
Loại 3 : Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy 
GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Tel : 0909520755 , 
Face : Hoàng Trọng Tấn Page : Trắc Nghiệm Toán 
Gọi h là chiều cao hình chóp và 
dR là bán kính của đáy thì bán kính mặt cầu : 
2
2
2
d
h
R R
Ví dụ : cho hình chóp SABCD có cạnh SA vuông góc với đáy , ABCD là hình chữ nhật 
có đường chéo dài 5a , SA=2a . Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp SABCD 
Giải : Ta có : 
2
day
AC
R và SA=hÁp dụng công thức ta có : 
2 2
22
SAAC
R
2 2
5 21
2 2
2aa a
R
a
Ví dụ : cho hình chóp SABC có cạnh SA vuông góc với đáy , ABC là tam giác đều cạnh = 
a , SA dài 2a . Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp SABCD 
Giải : Ta có 
2 2 3 3
.
3 3 2 3
dayR AM AB AB và SA=h 
Áp dụng công thức ta có : 
2 2
2 3
26
SA
R AB
3
3
a
R
Ví dụ : cho hình chóp SABC có cạnh SA vuông góc với đáy , ABC là tam giác vuông tại 
A và BC=2a , SA dài 2a . Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp SABCD 
Giải : Ta có 
2
day
BC
R và SA=h .Áp dụng công thức ta có : 
2 2
2
2
2
SABC
R R a
Ví dụ : cho hình chóp SABC có cạnh SA vuông góc với đáy , ABC là tam giác cân tại A 
và AB=a và góc A =120 độ , SA dài 2a . Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp 
SABC 
GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Tel : 0909520755 , 
Face : Hoàng Trọng Tấn Page : Trắc Nghiệm Toán 
Giải : Ta có : 
. . . 3.
4 1 3
4. . .
2 2
day
ABC
AB BC CA a a a
R a
S
a a
 và SA=2a 
Áp dụng công thức ta có :
2
2
2 2
2
2dayR R R aa
A
a
S
Diện tích : 2 2( 2)4 8S a a , thể tích 3 3( 2)
4 8 2
3 3
V a a
Loại 4: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy 
Đối với loại này thì mặt bên vuông góc thường là tam giác vuông , tam giác cân hoặc 
đều 
Gọi h là chiều cao hình chóp và , dbR R là bán kính của mặt bên , mặt đáy , GT là độ dài 
giao tuyến của mặt bên và đáy thì bán kính mặt cầu : 
2
2 2
4
b dR
GT
RR
Ví dụ : cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và 
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 
GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Tel : 0909520755 , 
Face : Hoàng Trọng Tấn Page : Trắc Nghiệm Toán 
Giải : Giao tuyến của mặt bên và đáy là : GT AB , bán kính đáy 
2
2 2
d
AC a
R , bán 
kính mặt bên (SAB) là 
3
3
b
a
R SG , Áp dung công thức ta có : 
2
2 2
4
b dR
GT
RR
2 2
23 2 21
3 2 4 6
a a a a
R
Ví dụ : cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAB cân tại S 
và có cạnh SA=2a, Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp 
Giải : Giao tuyến của mặt bên và đáy là : GT AB , bán kính đáy 
3 3
3 3
d
AB a
R , bán 
kính mặt bên (SAB) là 
. . 4 15
4 15SAB
b
SASB AB
R a
S
, Áp dung công thức ta có : 
2
2 2
4
b dR
GT
RR
2 2
24 15 3 115
15 3 4 10
a a a a
R
Các loại mặt cầu khác thì ta nên sử dụng hệ trục cho dễ xử lý hơn là làm thuần túy 
Bài Tập vận dụng 
Câu 1: Hình cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đều tam giác có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 
2a là 
A. 
34 3
27
a
 B. 
332 3
9
a
 C. 
332 2
27
a
 D. 
332 3
27
a
Câu 2: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, ;AB a 3BC a
; 5SA a và ( )SA ABC . Thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC là 
A. 
327
2
a
 B. 
33
2
a
 C. 
39
2
a
D. 336 a
Câu 3: Thể tích của hình cầu nội tiếp hình lập phương cạnh bằng a là 
GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Tel : 0909520755 , 
Face : Hoàng Trọng Tấn Page : Trắc Nghiệm Toán 
A. 
33
3
a
B. 
32
3
a
C. 
3
3
a
D. 
3
6
a
Câu 4: Thể tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là 
A. 
32
12
a
B. 
34
3
a
C. 
32
3
a
D. 
3
6
a
Câu 5: Thể tích hình cầu ngoại tiếp hình tứ diện đều có cạnh bằng a là 
A. 
33
12
a
B. 
32
12
a
C. 
32
4
a
D. 
33
4
a
Câu 6: Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có AB a , góc giữa hai mặt phẳng 
( ' )A BC và ( )ABC bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác 'A BC . Thể tích của hình cầu 
ngoại tiếp tứ diện GABC là 
A. 
349
108
a
B. 
3343
432
a
C. 
3343
5184
a
D. 
3343
1296
a
Câu 7: Thể tích của hình cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh bằng a là 
A. 34 3a B. 
33
2
a
C. 
34
3
a
D. 3a
Câu 8. Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a (mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của 
hình lập phương) có thể tích bằng: 
A. 
3
6
a
B. 
34
3
a
C. 
38
3
a
D. 2a3
Câu 9. Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích khối cầu 
ngoại tiếp ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho là: 
A. 
27
3
a
B. 
37
3
a
C. 
37 21
54
a
D. 
37 21
96
a
Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, tam giác SBC vuông tại S, 
AB=SC=a, AC=SB = a 3 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp là: 
A. 
34 3
3
a
B. 
34
3
a
C. 
34 2
3
a
D. 2a3
Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Diện tích mặt cầu ngoại 
tiếp hình chóp bằng: 
A. 
24
3
a
B. 24 2a C. a2 D. 2a2
Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = a 2 , SA(ABC),
SC tạo với đáy một góc 450. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng: 
GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Tel : 0909520755 , 
Face : Hoàng Trọng Tấn Page : Trắc Nghiệm Toán 
A. a 2 B. 
2
2
a
C. a D. 2a 2
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA(ABCD), SA 
=AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng: 
A. 2a B. a 2 C. a D. 2a 2
Câu 14. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên 
bằng 2a. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng: 
A. 
38 2
3
a
B. 
34 2
3
a
C. 
34 3
3
a
D. 
34
3
a
Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3 , 
090SAB SCB và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 . Tính diện 
tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a. 
A. 22 a B. 28 a C. 216 a D. 212 a
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB là tam 
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp 
hình chóp bằng: 
A. 
21
6
a
B. 
5
2
a
C. 
30
6
a
D. 
30
3
a
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ABCD . Tâm mặt cầu 
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: 
A. Trung điểm cạnh SD. B. Trung điểm cạnh SC.
C. Giao điểm của hai đường chéo AC và BD. D. Trọng tâm tam giác SAC.
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, 1 , 3AB cm BC cm , 
( )SA ABC , SA 4cm . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng: 
A. 2 5cm B. 5cm C. 2cm D. 
19
2
cm
Câu 19: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Diện tích mặt 
cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: 
GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Tel : 0909520755 , 
Face : Hoàng Trọng Tấn Page : Trắc Nghiệm Toán 
A. 22 a B. 
22
3
a
C. 28 a D. 24 a
Câu 20: Bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và 
cạnh bên cùng bằng a là: 
A.
2
2 1 3
a B.
2
4 1 3
a C.
3
2 1 3
a D. 
3
4 1 3
a
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông với đường cao AB = a, BC 
= a, AD = 2a, SA ABCD và 2SA a . Gọi E là trung điểm của AD. Kẻ EK SD tại 
K. Bán kính mặt cầu đi qua sáu điểm S, A, B, C, E, K theo a bằng:
A.a B.
3
2
a C.
1
2
a D. 
6
2
a
Câu 22: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng 
(A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Diện tích khối cầu ngoại 
tiếp tứ diện GABC theo a bằng: 
A. 2
7
6
a B. 2
49
36
a C. 2
49
144
a D. 2
49
108
a
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc giữa mặt bên và 
đáy bằng 045 . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: 
A. 
23
4
a
B. 
24
3
a
C. 
23
2
a
D. 
22
3
a
Câu 24: Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có
, ,AB BC BC CD CD AB và AB = a, BC = b, CD = c là: 
A. 2 2 2a b c B. 2 2 2
1
2
a b c C.abc D.
2 2 21
2
a b c
Câu 25: Cho tứ diện DABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt 
đáy. Biết AB = 3a, BC = 4a, DA = 5a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp DABC có bán 
kính bằng: 
A. 
5 2
2
a
B. 
5 2
3
a
C. 
5 3
2
a
D. 
5 3
3
a
GV : Hoàng Trọng Tấn , Tân Phú , TPHCM Tel : 0909520755 , 
Face : Hoàng Trọng Tấn Page : Trắc Nghiệm Toán 
Câu 26: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a. 
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: 
A. 22 a B. 24 a C. 2a D. 26 a
Câu 27: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 
bằng: 
A. 
3 6
8
a
B. 
3 6
6
a
C. 
3 6
4
a
D. 
3 6
6
a