Phương pháp giải các bài toán diện tích tam giác

Phương pháp giải các bài toán diện tích tam giác
I. - Các dạng bài toán liên quan diện tích tam giác
1/ Dạng thứ nhất, Giải trực tiêp không cần kẻ thêm đường phụ
 Đây là những bài toán thuộc kiến thức cơ bản trong Chương trình của HS tiểu học về diện tích hình tam giác S∆ = 1/2 x Chiều cao x đáy
 Do đó khi chiêù cao không đổi, nếu đáy tăng/giảm bao nhiêu lần thì diện tích tăng/ giảm bấy nhiêu lần; Ngược lại: Đáy không đổi mà chiều cao tăng/ giảm thì diện tich tam giác tăng/giảm tỷ lệ thuận. Thí dụ 2 bài dưới đây
Bài 1a: 
So sánh SABC với SAMC
 Biết MC = MB?
 ĐA: SABC = 2SAMC
 Bài 1b:
So sánh SA’B’C’ với SA’NC’
Biết 2 đường cao AH = 2NI
 ĐA: SA’B’C’ = 2SA’N’C’
Bài 2
Cho tam giác ABC. Trên AB lấy E sao cho AE = 2EB. Trên AC lấy D sao cho AD = 1/2DC. DB và CE cắt nhau tại G.
a) so sánh diện tích hai tam giác BCD và ACE.
b) so sánh diện tích tam giác BGC va diện tích tứ giác AEGD
Giải:
a/ Vì D và E đều chia 2 cạnh tương ứng của ∆ABC theo tỉ lệ 1/3 nên: 
 S ∆BCD = 2/3S∆ABC 
 S ∆ACE = 2/3S∆ABC
 è Do đó S∆BCD = S∆ACE
b/ Vì ∆BCD và ∆AEC có phần chồng lên nhau là ∆DCG nên phần còn lại của 2 tam giác DT bằng nhau là è Stứ giácAEGD = S∆BGC
Bài 3
Cho hình tam giác ABC. Trên BC lấy điểm D sao cho BD = 1/3 BC. Nối A với D, trên AD lấy điểm K sao cho AK = 1/3 AD. Tính diện tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác BDK là 12,3cm2.
Giải
Xét tam giác KBD và ABD có chung đỉnh B mà AK = 1/3 AD => KD = 2/3 AB 
 => S∆KBD = 2/3 S∆ABD => S∆ABD = 12,3 : 2 x 3 = 18,45 (cm2)
Vì ∆ABD và ∆ABC có chung đỉnh A, đáy BD = 1/3 đáy BC 
=> S∆ABD = 1/3 S∆ABC è Vậy S∆ABC = 18,45 x 3 = 55,35 (cm2) ĐS
Bài 4: 
Cho tam giác ABC có góc A là góc vuông,AB = 30cm,AC=45cm.M là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM=20cm.từ M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại điểm N.
 Tính diện tích tam giác AMN
HD Giải
S(ABC) = 30 x 45 : 2 = 675 (cm2)
S(ABN) = 2/3 x S(ABC) = 2/3 x 675 = 450 (cm2)
S(AMN) = 2/3 x S(ABN) = 2/3 x 450 = 300 (cm2) è ĐS 300 cm2
Lưu ý: Thực ra với 1 số bài như bài 3, bài 4 khi cần nhìn rõ thì phải kẻ đường cao; khi đã quen mà bài không phức tạp lắm thì không cần kẻ đường cao cũng nhìn ra. (Những bài cần kẻ đường cao, xem phần dưới)
2/- Dạng 2: Nối 1 đoạn thẳng để làm rõ tương quan giữa các tam giác
Bài 5: 
Cho tam giác ABC có diện tích bằng 18 cm2,
Lấy DA = 2.DB; EC = 3,EA;
 MB = MC (như hình vẽ). à
Tính tổng diện tích hai tam giác MDB và MCE.
Giải: Kẻ nối AM ta có:
S.MDB = 1/3 S.ABM = 1/3 x 1/2S.ABC = 3 cm2
S.MCE = 3/4S.ACM = ¾ x 1/2S.ABC = 6,75 cm2
Do đó: S.MDB + S.MCE = 3 + 6,75 = 9,75 cm2 è Đ/S: 9,75 cm2
Bài 6:
Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho AB=2AE; trên cạnh AC ta lấy điểm D sao cho CD = 2 AD. Nối E với D ta được hình tam giác AED có diện tích 5 cm2. 
Hãy tính diện tích hình tứ giác BCDE.
Giải: Nối C với E
Theo đề DC = 2.AD 
Nên SDCE = 2.SAED = 5 x 2 = 10 (cm2) 
 (đáy DC=2AD và chung đường cao kẻ từ A).
SACE = SDCE +SAED = 10 + 5 = 15 (cm2)
Theo đề lại có EB = 2EA 
 à Nên SECB = SACE x 2 = 15 x 2 = 30 (cm2)
 è Vậy SBCDE = SDEC+ SECB = 10 + 30 = 40 (cm2) 
Bài 7
Cho tam giác ABC, Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 3/4 AB; trên AC lấy điểm E sao cho AE = 2/3 AC. Nối B E v à CD cho CD và BE cắt nhau tại G. 
Tính diện tích tam giác GBC theo ∆ABC
Giải 
*Cách thứ nhất, Nối DE; 
Theo cách dựng ta có SADC = 3/4SABC 
và SEDC = 1/3SADC  ÞSEDC = 1/3 x 3/4=1/4SABC
mà SBDC = 1/4SABC  Þ SEDC = SBDC 
Hai tam giác EDC và BDC có DC chung nên 2 đường cao ứng với đáy DC bằng nhau.  
SBDG = SEDG = 1/2SBDE  [1 ]
Vì ED = 1/4AD nên SBDE = 1/4SABE
Vì CE = 1/3 AC nên SABE = 2/3SABC
Do đó: SBDE = 2/3 x ¼ = 1/6SABC [2 ]
T ừ [1 ] v à [2 ] Þ SBDG = 1/6 x ½ = 1/12 SABC
SGBC = SBDC – SBDG = ¼ – 1/12 = 1/6 SABC
*Cách thứ hai, Nối AG
Từ các đỉnh A, C, D lần lượt kẻ các đường vuông góc với BE là h1, h2, h3. ta thấy:
 h1 = 2h3 (Vì SEBA = 2SEBC)
 h1 = 4h2 (Vì SBGA = 4SBGD)
 nên có h3 = 2 h2 
∆BGD và ∆BGC có chung đáy BG mà h3 = 2h2 nên
 SBGC = 2 SBGD = 2/3 SBCD
Mà SBCD = ¼ SABC Þ SBGC = 1/6 SABC
3/- Dạng 3: Nối các đường cao
Bài 8
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC ;N là trung điểm của AC , Kẻ AM và BN cắt nhau tại O . Chứng minh rằng S∆AOB = 2. SOBM 
Giải: Hạ các đường cao từ A, C tới BN
S∆ABN = S∆CBN  
(có AN=NC, chung đường cao kẻ từ B)
Nếu xem NB là cạnh đáy thì 2 đường cao từ A và C xuống NB bằng nhau. Hai đường cao này chính là 2 đường cao của 2 tam giác AOB và COB có chung đáy OB. à Suy ra: S∆AOB = S∆COB. Mà SOBM = SOMC = ½ SOBC = ½ S∆AOB  
 (CM=MB, chung đường cao từ O). è Suy ra: S∆AOB = S∆OBM x 2.
Bài 9
Cho tam giác ABC, điểm M trên BC sao cho BM=2 MC, điểm N trên CA sao cho CN=3 NA. Gọi D là giao điểm của AM và BN. 
 Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam 
 giác ADN=10 cm²
Giải
Từ các đỉnh N,C, B lần lượt kẻ các đường h1, h2, h3 vuông góc với AM, ta có:
 h1 = ¼ h2 (Vì AN = ¼ AC)
 h3 = 2 h2 (Vì S∆ABM = 2S∆AMC)
Þ h3 = 8h1 Þ S∆ADB = 8S∆AND = 80 cm2 Vì h1 và h3 là 2 đường cao củ 2 tam giác có chung đáy AD.
 Do đó: S∆BN = S∆ADB + S∆AND = 80 + 10 = 90 (cm2)
 è S∆ABC = 4S∆ABN = 4 x 90 = 360 (cm2)
Bài 10
Cho tam giác ABC. Trên AB lấy E sao cho AE = 2EB. Trên AC lấy D sao cho AD = 1/2DC. DB và CE cắt nhau tại G..
Tính diện tích của tam giác BGC biết diện tích tam giác CGD = 400cm2
Giải:
Từ các đỉnh D, A, B kẻ các đường h1, h2, h3 vuông góc với CE. Ta có:
 h1 = 2/3 h3 ( vì DC = 2/3AC)
 h2 = 1/2 h3 ( vì EB = 1/2AB )
h2 = ¾ h1
theo tỉ lệ chiều cao thi 
S∆4 = 3/4 S∆3 vì 2 tam giác có chung đáy CG è S∆BGC = 300 cm2
 Bài 11 
 Cho ΔABC với M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho BM = MC, N nằm trên AC sao cho AN = 1/2 NC; MN cắt AB tại E. 
 Biết diện tích ΔAEN = 25 cm2. 
 Tính diện tích ΔABC.
Gợi ý
 Bài này tương tự bài 9, kẻ các đường vuông góc như hình bên để tính.
 Đáp số 225 cm2
4/ Phối hợp Dạng 3 và 4:
Bài 12
Cho tam giác ABC có D là điểm chính giữa của BC, E là điểm chính giữa của CA, AD cắt BE ở G. Hãy chứng tỏ AG gấp đôi GD.
Giải:
* Nối CG; Kéo dài BE, kẻ các đường vuông góc:
 AH ^ BE; và CK ^ BE
 Để dễ theo dõi gọi tắt các tam giác :
 ∆IBA à∆1; ∆IBD à∆2; ∆IDC à∆3; ∆IEC à∆4; ∆IAEà ∆5; nhu hình bên
* Vì D và E là điểm giữa của BC và AC nên :
 S ∆1 + S ∆5 = S ∆2 + S ∆3 + S ∆4
 Þ AH = CK Þ S∆1 = S∆2 + S∆3
 ( 2 tam giác chung đáy và chièu cao bằng nhau)
 Mà S∆2 = S∆3 (Vì cùng đỉnh và đáy bằng nhau) Þ S∆1 = 2.S∆2
 Do ∆1 và ∆2 chung 1 đỉnh mà diện tich gấp đôi nhau nên AG gấp đôi GD
Bài 13:
    Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm chính giữa cạnh AC, kéo dài cạnh AB một đoạn BE = AB. Nối D với E, đoạn DE cắt đoạn BC tại G
a-So sánh diện tích các tam giác GBE, GBA, GAD, GDC
b. Nếu BC = 9 cm thì đoạn BG = ?
Giải
Nối CE.
SGBE=SGBA. Vì có AB=BE chung đường cao kẻ từ G.
SGAD=SGDC.   Vì có CD=DA chung đường cao kẻ từ G.
Ta cũng có:
SABC=SEBC  =>  SGAC=SGEC     (1)
SDAE=SDCE  =>  SGAE=SGEC     (2)
Từ (1) và (2) ta được:   SGAE=SGCA
è Vậy:  SGBE=SGBA= SGAD=SGDC
b) Hai tam giác ABC và ABG có chung đường có kẻ từ A nên 2 cạnh đáy CB và GB sẽ tỉ lệ với diện tích.
Từ kết quả câu a.-->Suy ra:  SABC = SAGB x 3
 èVậy:  CB = 3.GB x 3 è GB = 9 : 3 = 3 (cm) 
Bài 14:
        Cho tam giác ABC trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 2/3 AB, trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD= 1/3 AC
a. Nối B với D . Tính tỷ số diện tích hai tam giác ABD và ABC
b. Nối E với D .Biết diện tích tam giác AED là 8 cm2 . Tính diện tích ∆ABC
c. Nối C với E cắt BD tại G. Tính tỷ số độ dài hai đoạn thẳng EG và CG.
  Giải                                                    
 a/ .Do AD = 1/3 AC nên SABD = 1/3SABC.
 b/ Tương tự ta có SAED= 1/3SAEC à Nên SAEC = 8 x 3 = 24 (cm2)
Mà AE = 2/3AB và 2 tam giác AEC và EBC có chung đường cao kẻ từ C.
Nên SAEC = 2/3SABC èDiện tích tam giác ABC:  24 : 2 x 3 = 36 (cm2)
c).Ta có:
SEBD= 1/3 SABD = 1/3.1/3SABC = 4 (cm2)
SEBC = 12 (cm2)  (1/3 của SABC); SDEC = 2/3.24 =  16 (cm2) (2/3 của SAEC)
2 tam giác BCE và DCE có chung cạnh đáy CE nên 2 đường cao tỉ lệ với diện tích. à Tỉ số:      BH/DK = 12/16 = 3/4
Tương tự ta có: SEBG / SDEG = ¾ à Suy ra  SDEG = [4 : (4+3) ] x 4 = 16/7 (cm2)
SDCG = SDEC – SDEG = 16 – 16/7 = 96/7 (cm2)
Tỉ số của EG và CG là tỉ số của SDEG và SDCG=(16/7) / (96/7) =  16/96 = 1/6 
Bài 15 
Cho tam giác ABC. D là điểm trên cạnh BC sao cho BD = 2/3 DC.
M và E là hai điểm trên đoạn thẳng AD sao cho AM = ME = ED.
a) Hãy tìm trên hình vẽ những tam giác có diện tích bằng nhau ? Giải thích tại sao ?
b) Kéo dài BE cắt ở AC ở N. Cho biết diện tích tam giác BED = 4 cm2 .Hãy tính diện tích các tam giác DEC và ABC; rồi so sánh độ dài các đoạn thẳng AN và CN.
Giải
a)Các tam giác có diện tích bằng nhau:
BED, BME, BAM  (cạnh đáy ED=ME=AM, chung đường cao kẻ từ B)
BAE, BMD       (cạnh đáy AE=MC=2AM, chung đường cao kẻ từ B).
b)Hai tam giác EBD và DEC có BD=2/3DC chung đường cao kẻ từ E.
Nên SEBD = 2/3 SECD   
SDEC = 4 : 2 x 3 = 6 (cm2)
*.Theo đề bài ta có 
AD = ED x 3  (AM=ME=ED)
2 tam giác ABD và EBD có: 
AD = ED x 3, chung đường cao kẻ từ B.
Nên SABD = SEBD x 3 = 4 x 3 = 12 (cm2)
Mà BD= 2/3 DC hay BD = 2/5 BC
Vậy SABC = SABD : 2 x 5 = 12 : 2 x 5 = 30 (cm2)
*.SAEC = SABC – SABD – SEDC = 30 – 12 – 6 = 12 (cm2)
Xét 2 tam giác ABE (Dt=4+4=8 cm2)  và CBE (Dt= 4+6=10cm2). Có:
Chung đáy BE nên đường cao kẻ từ B và từ C xuống BE có tỉ lệ  8/10 (4/5).
Diện tích AEN = 12 : (4+5) x 4 =  16/3 (cm2)
Diện tích ACN = 12 : (4+5) x 5 =  20/3 (cm2)
2 tam giác này có chung đường cao kẻ từ E nên 2 đáy tỉ lệ với 2 diện tích
Tỉ lệ của AN và NC là  16/3 : 20/3 = 16/20 = 4/5 
II.-Tổng quát diện tích (S) các tam giác do chia 2 cạnh theo tỷ lệ
Bài toán tổng quát:
Cho 1 tam giác bất kì ABC có diện tích là So; Trên cạnh AB lấy D sao cho 
AD/AB = k1; trên AC lấy E sao cho 
AE/AC = k2 ( k1, k2 là các tỷ lệ hay phân số với tử và mẫu đều là số tự nhiên, thí dụ ½, 1/3, 2/3, ¼). Hình bên à
Nối BE, CD, ED; có BD cắt CE tại G. 
a/*Tính diện tich các tam giác, tứ giác do DE, BD,CE tạo ra theo So;
b/*Tính tỷ lệ các cặp tam giác tương ứng.
Bài giải: 
Để dễ theo dõi, ta kí hiệu tắt diện tích các tam giác là S1, S2. S3. S4. S5 như hình dưới đây
a/ Diện tich các tam giác theo So
Áp dụng cách tính phân số của 1 phân số ta có:
 S1 = k1 x k2 x So 
 (1*)
Từ (1*) suy ra :
SEDBC = ( 1 – k1.k2) So
 (2*) 
Hai tam giác ADC và ABC cùng chiều cao hạ từ C và 2 đáy tỷ lệ theo k1, nên:
S3 + S5 = (1 – k1).So
 (3*) 
Hai tam giác EBC và ABC cùng chiều cao hạ từ B và 2 đáy tỷ lệ theo k2, nên:
S3 + S4 = (1 – k2).So
 (4*) 
S2 + S4 là diện tich ∆EDC mà ∆EDC chiếm 1 phần trong ∆ADC, lấ phân ố của phân số ta có:
S2 + S4 = k1(1 – k2).So
 (5*) 
Tương tự, tính S2 + S5 cũng là phân số của phân số:
S2 + S5 = k2(1 – k1).So
 (6*) 
b/ Tỷ lệ diện tích các cặp tam giác tương ứng liên quan nhau
S2/S4 = [(1 –k1).k2] /( 1 – k2)
Từ ( 6*) và (4*) ta có tỷ lệ so sánh: [1]
S2 /S5 = [(1 –k2).k1] /( 1 – k1)
Từ ( 5*) và (3*) ta có tỷ lệ so sánh: [2] 
S4/S5 = [(1 – k2)2.k1] /[(1 – k1)2.k2]
Từ [1] và [2] ta có tỷ lệ: [3] 
S5 /S3 = S2 / S4
Từ [1] và hình vẽ các ∆ có chung đáy suy ra: [4] 
S4 /S3 = S2/ S5
Từ [2] và hình vẽ các ∆ có chung đáy suy ra: [5]
S2/S3 = k1.k2
 Từ [2] và [5] suy ra : [6]
Lưu ý : Các tỷ lệ [4], [5] và [6] rất hay sử dụng !
III.-Bài tập ứng dụng
1/ Cho tam giác ABC. M là điểm chính giữa của BC. Điểm N nằm trên AC sao cho AN=1/4 AC;MN kéo dài cắt BA kéo dài tại P. Biết diện tích tam giác APN=8cm2. Tính diện tích tam giác ABC.
2/ Cho tam giác vuông ABC . Độ dài BA=8cm ; AC=6cm.
a)Tính S tam giác ABC.
b)Biết BM=1/3 BC; AN=1/3 AC. Nối M với N.Tính S hình thang BANM.
3/ Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB=3cm,CA=4cm, BC=5cm, trên AB lấy M sao cho AM=2cm.Trên AC lấy N sao cho AN=1cm. Trên BC lấy điểm E sao cho BE=2,5cm. Tính diện tích tam giác MNE.
PHH Sưu tầm đề, minh hoạ & biên soạn bài giải 30/10/2015