Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số

Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 1
Bài 2. Giới hạn của hàm số
Phương pháp giải bài tập:
Bài tập mẫu:
Bài 1. Cho hàm số
2 2
1
x xy
x
   . Dùng định nghĩa chứng minh rằng 1lim ( ) 3x f x  .
Giải:
Hàm số y=f(x) xác định trên  \ 1 .R Giả sử (xn) là dãy số bất kì 1nx  và 1nx 
    2 2 12lim ( ) lim lim lim 2 31 1n nn nn nn n n nn n
x xx x
f x x
x x   
       
Bài 2. Cho hàm số neáu 0( ) .
2 neáu 0
x x
y f x
x x
     
 Dùng định nghĩa chứng minh hàm số
y=f(x) không có giới hạn khi 0x 
Giải :
 
 
1 1Xeùt daõy 0 0
1lim ( ) lim 0 (1)
1Xeùt daõy khi ; 0
1lim ( ) lim 2 2 (2)
Vaäy vôùi (1) vaø (2) haøm soá khoâng coù giôùi haïn khi 0
n
nn n
n n
nn n
x
n n
f x
n
x n x
n
f x
n
x
 
 
           
 
       
     

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn:
Phương pháp:
1.  
0
0 0lim ( ) ( ), \ , lim lim ( )n n n nx x n nf x L x x K x x x f x L        
2. Để chứng minh hàm số f(x) không có giới hạn khi 0x x ta thực hiện:
 Chọn hai dãy số khác nhau (xn) và (yn) thoã mãn: xn, yn thuộc tập xác
định của hàm số và khác x0
 0 0lim , limn nn nx x y x  
    Chöùng minh lim lim hoaëc moät trong hain nn nf x f y  giới
hạn đó không tồn tại
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 2
Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau :
2
3 3 2
3
25
9 1) lim 6 ) lim
3 1
3 1) lim 4 ) lim
3 1
x x
x x
xa b
x x
x xc d
x x
 
 
     
     
Bài 2.
1. Cho hàm số
2
2
 neáu 0
( )
1 neáu 0
x x
f x
x x
    
.
a. Vẽ đồ thị hàm số f(x). Từ đó dự đoán về giới hạn của f(x) khi 0x  .
b. Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.
2. Cho hàm số 2
1( ) sinf x
x
 . Chứng minh hàm số không có giới hạn khi 0x  .
Bài 3.
a) Chứng minh rằng hàm số y=sinx không có giới hạn khi x
b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a)
Bài 4. Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cùng xác định trên khoảng  ;a . Dùng
định nghĩa chứng minh rằng, nếu
lim ( ) vaø lim ( ) thì lim ( ) ( ) .
x x x
f x L g x M f x g x L M    
Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau:
 
2
1 3
2
2
4 1
2
2
1)lim 2 1 ) lim
3
3 1) lim ) lim
14
4)lim
2 2
x x
x x
x
xa x b
x
x xc d
xx
xe
x
 
 

  
 



Giải:
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức
Phương pháp: Đề tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực
hiện:
1. Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì  
0
0lim ( )x x f x f x 
2. Áp dụng định lý 1 và các quy tắc về giới hạn 
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 3
     
2
1
3
2
24 4 4
2
1
) lim 2 1 2 1 1 3 1
1 3 1 1) lim
3 3 3 3
3)Ta coù: lim 3 1 0 vaø lim 4 0 neân lim
4
1) lim
1
x
x
x x x
x
a x
xb
x
xc x x
x
xd
x


  

      
   
       

  
2
2
4 0)lim 0
2 2 4x
xe
x
  
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm giới hạn hàm số sau:
 
 
2 2
2
2 3
3 23 3
) lim 2 4 ) lim 4 1
2 2 15)lim )lim
2 2
x x
x x
a x x b x x
x xc d
x x x
 
 
   
 
  
Đáp số:
2
2
2
) 14
4 1) lim 4 1 lim
4 1
11) )
4
x x
a
x xb x x
x x
c d
 
     
 

Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau:
2
2
2
3 6) ( ) khi x 3
1
) ( ) 4 2 5 khi x
) ( ) 3 6 1 khi x
15) ( ) khi x 2
2
15) ( ) khi x 2
2
x xa y f x
x
b y f x x x
c y f x x x
xd y f x
x
xd y f x
x


   
     
     
   
   
Đáp số:
) 3 ) ) ) )a b c d e   
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 4
Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính giới hạn sau:
2
1
lim
1x
x x
x


Giải : 2
1 1 1
1
lim lim lim 1
1 1x x x
x xx x x
x x  
    
Bài 2. Tính giới hạn sau:
2
2
4lim
7 3x
x
x

 
Giải:
   
 
  
2
2 2
2
2 2 7 34lim lim
27 3
lim 2 7 3 4.6 24
x x
x
x x xx
xx
x x
 

      
           
Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tìm các giới hạn của hàm số sau:
 32 3 2
21 0 1
3 2 3
4 2 21 1
1 12 3 1) lim ) lim ) lim
12 1
5 3 1 2 4) lim )lim
8 9 2
x x x
x x
xx x x x xa b c
x xx x
x x x x xd e
x x x x
  
 
     
 
    
  
Đáp số:
4 1) ) 3 )2 ) ) 5
3 5
a b c d e 
Bài 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau:
Dạng 3. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0
0
Phương pháp:
1. Nhận dạng vô định 0
0
:
0 0 0
( )lim khi lim ( ) lim ( ) 0
( )x x x x x x
u x u x u x
v x  
 
2. Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước
0
0
( ) ( )( ) ( ) ( )lim lim lim vaø tính lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( )o o o ox x x x x x x x
x x A xu x A x A x
v x x x B x B x B x   
 
3. Nếu u(x) và v(x) có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu
với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để
giản ước.
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 5
2
2 5 2
2 3
35 2 5
4 5 4 4 2) lim ) lim )lim
57 3 5
2 4 1 1)lim ) lim )lim
4 1 3 3 2 2
x x x
x x x
x x x xa b c
xx x
x x x x xd e f
xx x
  
  
     
  
     
   
Đáp số:
1 9 1) 24 ) 2 5 ) ) ) 16 )
3 8 6
a b c d e f 
Bài 3. Tính giới hạn của hàm số sau:
30 1
2 2
20 0
23 3
1 0
3 2
2 30 1
3 3 1) lim ) lim
1
1 1 9 16 7) lim ) lim
7 5 2 1 8) lim )lim
1
5 7 1 2)lim ) lim
1 1
x x
x x
x x
x x
x xa b
x x
x x x x x xc d
xx x
x x x xe f
x x
x x xg h
x x
 
 
 
 
  

        

     

    
 
Đáp số:
1 7 7 11 5 3) ) 3 ) 1 ) ) ) ) )
24 12 12 122 3 2 2
a b c d e f g h  
Bài 1. Tính các giới hạn của hàm số sau:
2
30 0 0
20 0 0
tan sin 1 sin2 cos2 1 cos 2)lim ) lim ) lim
1 sin2 cos2 sin
sin3 1 cos5 cos7 cos12 cos10)lim )lim )lim
1 2cos cos8 cos6sin 11
x x x
x x x
x x x x xa b c
x x x xx
x x x x xd e f
x x xx
  
  
   
 
 
 
Đáp số:
1 37 11) ) 1 )4 ) 3 ) )
2 121 7
a b c d e f  
Bài 2. Tính các giới hạn sau:
Dạng 4: Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác ( dạng vô định 0
0
)
Phương pháp: Vận dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số
lượng giác thành dạng có thể sử dụng định lí:
0 0 ( ) 0 ( ) 0
sin sin ( ) ( )lim 1 hoaëc lim ( ) 0 lim 1; lim 1
( ) sin ( )x x u x u x
x u x u xu x
x u x u x   
    
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 6
 
 
0 1
20 0
4 4
0 02
3 2
1 0
2 3 2)lim cot )lim
sin2 tan 1
98 1 cos3 cos5 cos7)lim tan2 tan )lim
4 83 sin 7
sin sincos sin 1) lim )lim
1 1
2 1 1 cos)lim )lim
sin
x x
x x
x x
x x
x xa x b
x x
x x xc x x d
x
xx xe f
xx
x xg h
x

 
 
 
 
      
                  
 
 
   3
2
cos
sin
x x
x

Đáp số:
7 1 1)0 ) ) )1 ) 4 )1 )1 )
12 2 12
a b c d e f g h 
Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính giới hạn sau:
3
3 2
3 5lim
6x
x x
x x


Giải:
3 2
3 2
533 5 1lim lim
1 26 6
x x
x x x
x x
x
 
   
Bài 2. Tính giới hạn sau:
Dạng 5: Dạng vô định 
Phương Pháp:
1. Nhận biết dạng vô định 
0 0 0
0 0
( )lim khi lim ( ) , lim ( )
( )
( )lim khi lim ( ) , lim ( )
( )
x x x x x x
x x x x x
u x u x v x
v x
u x u x v x
v x
  
  
   
   
2. Chia tử và mẫu cho nx với n là số mũ cao nhất của biến x ( Hoặc
phân tích thành tích chứa nhân tử nx rồi giản ước)
3. Nếu u(x) hoặc v(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài
dấu căn ( Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó
chia tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 7
     
2 2
2
2 2
4 2 4 2
lim 4 2 lim lim
4 2 4 2
1 1lim
414 2
x x x
x
x x x x x x xx x x
x x x x x x
x
  

   
   
   
  
  
Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm các giới hạn của các hàm số sau:  
  
23
3 2 3
4 2 2 2
2
12
2
3 1 5 32 3 4) lim ) lim
1 2 1 1
7 5 1 4 1) lim ) lim
2 33 13
1 32 3 1) lim ) lim
2 34 1 1
3 2
x x
x x
x x
x xx xa b
x x x x
x x x x xc d
xx
x x x xe f
xx x
x x
 
 
 
  
    
     

             
Đáp số:
2
2
2
2
1) 2 ) 0 ) )
2
2 3khi : lim = 4
4 1 1)
2 3 2khi : lim =-
34 1 1
1)
5
x
x
a b c d
x x xx
x xe
x x xx
x x
f


 
                

Bài 2. Tính các giới hạn sau:
  523
3 7
2 2
2
4 2 2
3 3
1 1 21 2 3) lim ) lim
9 3
2 3 4 1 9 1 4 2 1) lim ) lim
14 1 2
7 5 2 3) lim ) lim
3 13 1
x x
x x
x x
x xx xa b
x x x
x x x x x x xc d
xx x
x x x x xe f
x x x
 
 
 
  
  
        
  
    
  
Đáp số:
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 8
)3 ) 32 )5 khi ; 1 khi
)1 khi ; 1 khi
1 1) khi ; khi
3 3
)1 khi ; 1 khi
a b c x x
d x x
e x x
f x x
     
    
    
    
Bài tập 1: Tìm các giớí hạn của hàm số sau:
 
   
   
2
0
2 3
21
32 2 2 3
1 1) lim 1 ) lim 4 2
1
) lim 2 3 4 4 3 ) lim 1
1
) lim 2 1 7 3 ) lim 1 1
x x
x x
x x
a b x x x
x x
xc x x x d x
x
e x x x x f x x

 
 
 
     
         
       
Đáp số:
1) 1 ) )khi : : 4 ;khi : : )0
4
5 5)khi : : ;khi : : ) 0
2 2
a b c x ÑS x ÑS d
e x ÑS x ÑS f
     
    
Bài tập 2. Tìm các giớí hạn của hàm số sau:   
 
2 2 2 2
3 3 2 2
) lim 1 ) lim 8 3 4 3
) lim ) lim
x x
x x
a x x x b x x x x
c x x x x d x x x x
 
 
       
        
Đáp số:
Dạng 6. Dạng vô định ;0.  
Phương pháp:
1. Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với
biểu thức liên hợp
2. Nếu biều thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa
về cùng một biểu thức.
3. Thông thường, các phép biến đổi này có thể cho ta khử ngay
dạng vô định ;0.   hoặc chuyển về dạng vô định 0;
0


Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 9
   
 
3 33 2 2 3 2 2
2
2 233 2 3 2 23
1 1) khi ; khi ; )2 khi ; 2 khi
2 2
) lim lim
1 1 5lim
3 2 6
11
) lim lim lim
x x
x
x x x
a x x b x x
c x x x x x x x x x x
x x
x x xx x x x x x
x x xd x x x x
x x x x
 

  
         
        
             
            1 11 1
1 1
1 1 2
x x x
  
 
Bài tập mẫu:
Bài 1. Tính giới hạn :
2
2
sin2 3 cos2lim
3 6x
x x x
x
 

Giài:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
2
Ta nhaän thaáy: -2 sin2 3 cos2 2
2 sin2 3 cos2 2Vaäy
3 6 3 6 3 6
212 2 1Maø lim lim lim
6 33 6 3 6 3
sin2 3 cos2 1Vaäy lim
33 6
x x x
x
x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x
x x x
x
  

  
      
     
  
Bài 2. Tìm 2
0
1lim sin
x
x
x
Giải:
Dạng 7: Giới hạn kẹp
Phương pháp:  0 0( ) ( ) ( ), \ ,h x f x g x x K x x K    
 và
0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
h x g x L f x L     
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 10
 
2 2 2
2 2
0 0
2
0
1Ta nhaän thaáy : sin
lim lim 0
1Vaäy lim sin 0
x x
x
x x x
x
x x
x
x
 

  
  

Bài tập áp dụng:
Bài tập1. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
 
2
2
2 0
2 sin 5 os2 1) lim )lim os
3
1) lim os 1
x x
x
x x c xa b x c
xx
x xc c x x
x
 

 

   
Đáp số:
) 0 ) 0 ) 0a b c
Bài tập 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau:
2
3 2
2
5cos sin) lim ) lim
1 2 1
sin2 2 os2) lim
1
x x
x
x x x xa b
x x
x c xc
x x
 


 

 
Đáp số:
) 0 ) 0 )0a b c
Bài tập mẫu:
Bài 1.
a) Cho hàm số
2
2
2 3 neáu 3
( ) 1 neáu =3
3-2 neáu 3
x x x
f x x
x x
     
Tính
33 3
lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( )
xx x
f x f x f x
   
b) Cho hàm số
33 3
( ) 1 2 6 . Tính lim ( ); lim ( ); lim ( )
xx x
f x x f x f x f x
   
  
Giải:
Dạng 8: Giới hạn một bên
Phương pháp:  
0
0 0lim ( ) , , lim lim ( )n n n nn nx x
f x L x x x b x x f x L
  
       
 
0
00 0
0 0lim ( ) , , lim lim ( )
lim ( ) lim ( ) lim ( )
n n n nn nx x
x xx x x x
f x L x a x x x x f x L
f x f x L f x L

 
 
 
       
   
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 11
 
 
2 2
3 3
2 3
3 3
3 3
) * lim ( ) lim 3 2 3 2.3 15
* lim ( ) lim 2 3 3 2.3 3 6
* lim ( ) lim ( ) neân haøm soá khoâng coù giôùi haïn khi 3
2 6 neáu 3 2
) Ta coù: 2 6 neân ( )
2 6 neáu 3
x x
x x
x x
a f x x
f x x x
f x f x x
x x
b x f x
x x
 
 
 
 
 
 
     
      
 
       
 3 3
3 3
33 3
5 neáu 3
2 7 neáu 3
* lim ( ) lim 2 5 2.3 5 1
* lim ( ) lim 2 5 2.3 7 1
* lim ( ) lim ( ) 1 lim ( ) 1
x x
x x
xx x
x x
x x
f x x
f x x
f x f x f x
 
 
 
 
 
 
    
    
     
   
Bài 2. Cho hàm số:
3
1 3 neáu 13
( ) 1 1
2 neáu 3
x
f x x x
mx x
      
Tìm giá trị của m để hàm số f(x) có giới hạn khi 1. Tính giôùi haïn ñoùx 
Giải:
  
  
 
2
3 31 1 1
221 1
1 1
1 1
1 3 2*lim ( ) lim lim
1 1 1
1 2 2lim lim 1
11 1
*lim ( ) lim 2 2
Haøm soá f(x) coù giôùi haïn thì lim ( ) lim ( ) 1 2 1
* khi ñoù
x x x
x x
x x
x x
x xf x
x x x
x x x
x xx x x
f x mx m
f x f x m m
  
 
 
 
  
 
 
 
         
       
   
      
1
 lim ( ) 1
x
f x 
Bài tập áp dụng:
Bài tập 1.
a) Cho hàm số
2
2
2 neáu 1( ) 1
1 neáu 1
x x x
f x x
x x x
       
Tính
11 1
lim ( ); lim ( ); lim ( )
xx x
f x f x f x
   
b) Cho hàm số
55 5
5( ) . Tính lim ( ); lim ( ); lim ( )
5 xx x
xf x f x f x f x
x    
 
Đáp số:
a) 3
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 12
b)

 
5
lim ( ) 1
x
f x ;


5
lim ( ) 1
x
f x
Bài tập 2. Cho hàm số
3 1 neáu 1( ) .1
2 neáu x 1
x xf x x
mx
      
 Với giá trị nào của m thì hàm số
f(x) có giới hạn 1x 
Đáp số: m=1
Bài tập 3. Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn tại x=1
2
1 2 vôùi 1
( ) 1 1
5 vôùi 1
x
f x x x
mx x
      
Đáp số: m = -3
Bài tập 4. Tìm giá trị của a để hàm số sau có giới hạn tại x=0
sin vôùi 0
( )
3 vôùi 0
x x
f x
x a x
    
Đáp số: a = 0
Bài tập 5. Cho khoảng K, 0x K và hàm số f(x) xác định trên  0\K x
Chứng minh rằng nếu
0
lim ( )
x x
f x   thì luôn tồn tại ít nhât một số c thuộc  0\K x
sao cho f(c)>0.
Hướng dẫn:    

   
 
0
0 0Vì lim ( ) neân vôùi daõy soá baát lyø, \ vaø ta
luoân coù lim ( ) .
Tö ñònh nghóa suy ra ( ) coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø moät
 soá haïng naøo ñoù tr
n n nx x
nn
n
f x x x K x x x
f x
ø f x
 

 
 
0
ôû ñi.
Neáu soá döông naøy laø 1 thì ( ) 1 keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Noùi caùch khaùc, luoân toøn taïi ít nhaát moät soá \ sao cho ( ) 1.
Ñaët , ta coù ( ) 0
n
k k
k
f x
x K x f x
c x f c
Bài tập 6. Cho hàm số y=f(x) xác định trên  ;a  . Chứng minh rằng nếu
lim ( )
x
f x   thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc  ;a  sao cho f(c)<0.
Hướng dẫn:  Vì lim ( ) neân vôùi daõy soá baát lyø, vaø ta
luoân coù lim ( ) .
Doñoù lim ( )
Tö ñònh nghóa suy ra ( ) coù theå lôùn hôn moät soá döông tuøy yù, keå töø mo
n n nx
nn
nn
n
f x x x a x
f x
f x
ø f x



    
 
    
 ät
 soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số
Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 13
 
Neáu soá döông naøy laø 2 thì - ( ) 2 keå töø moät soá haïng naøo ñoù trôû ñi.
Noùi caùch khaùc, luoân toàn taïi ít nhaát moät soá ; sao cho - ( ) 2 hay
( ) 2 0
Ñaët , ta coù ( ) 0
n
k k
k
k
f x
x a f x
f x
c x f c

  
  
 