Phương pháp chinh phục khoảng cách không gian Lớp 12

CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM 
TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 
KINH NGHIỆM HỌC TỐT BÀI “KHOẢNG CÁCH” 
Các em thân mến, khoảng cách thường là câu 7đ, nhiều bạn lúng túng 
trong việc tính khoảng cách không gian, đặc biệt là khoảng cách 2 
đường chéo nhau, dưới đây là kinh nghiệm học (rút gọn lại). 
CÁC EM CÓ THỂ KẾT HỢP VỚI BỘ GIÁO ÁN CHUẨN CHÉP 
TAY MÀ THẦY ĐÃ GỬI DẠNG HÌNH ẢNH NHÉ. 
1- Khoảng cách từ 1 điểm đến môṭ măṭ phẳng và đến môṭ đường thẳng. 
1.1- Khoảng cách từ 1 điểm đến môṭ đường thẳng. 
Phần này chỉ lưu ý : muốn tính đươc̣ đô ̣dài của đoaṇ MH, người ta thường xem nó là 
chiều cao của tam giác MAB (với A, B thuôc̣ đường  ). 
Nếu tam giác MAB vuông taị M thì tính độ dài MH như thế nào? nhớ laị hê ̣ thức 
trong tam giác vuông: 2 2 2
1 1 1
MH MA MB
  . 
Nếu tam giác cân taị M? thì H là trung điểm của AB. 
Nếu tam giác thường? thì tính diêṇ tích tam giác và đô ̣dài AB, từ đó suy ra đô ̣dài 
MH. 
BBHH AA
MM
HB A
M
Ví du ̣ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có caṇh đáy a, caṇh bên 2a. Tính 
khoảng cách từ A đến SC. 
 Với ví du ̣này không khó khăn trong viêc̣ kẻ AH vuông góc với SC ( H thuôc̣ 
SC) và nêu hướng tính AH: 
 SO.AC = AH. SC. 
CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM 
TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 
H
O
D
C
BA
S
1.2 - Khoảng cách từ 1 điểm đến môṭ măṭ phẳng. 
( trọng tâm nhất, cuối cùng khoảng cách 2 đường chéo nhau cũng quy về dạng 
này). 
Việc tính khoảng cách , tìm mặt phẳng vuông góc hãy chú ý bám sát vào 
các điểm của 1 cạnh vuông góc với 1 mặt nào đó ( thường là vuông với đáy) 
"Các bước xác điṇh khoảng cách từ 1 điểm M đến 1 măṭ phẳng (P)" như sau: 
 + Tìm măṭ phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P). 
 + Tìm giao tuyến a của (P) và (Q). 
 + Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a. Khi đó d(M;(P)) = MH. 
Ví du ̣ : Cho hình hôp̣ chữ nhâṭ ABCD.A'B'C'D' có AB =a, AD = b, AA' = c. Tính 
khoảng cách từ B đến (ACC'A'). 
H
D'
C'B'
A'
D
C
A
B
CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM 
TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 
 + Tìm măṭ phẳng qua B và vuông góc với (ACC'A'): đó là măṭ phẳng (ABCD) 
vì mp (ABCD) vuông góc với AA' nên vuông góc với (ACC'A')) 
 + Giao tuyến của (ABCD) và (ACC'A'): là AC. 
 + Trong măṭ (ABCD), kẻ BH vuông góc với AC (H thuôc̣ AC), thế thì BH 
vuông góc với (ACC'A'). Vâỵ d(B; (ACC'A')) = BH. 
 + BH là đường cao của tam giác nào? HB là đường cao của tam giác vuông 
ABC nên: 
2 2 2 2 2
1 1 1 ab
BH
BH BA BC a b
   

Ví du ̣2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có caṇh bên bằng 2a, caṇh đáy bằng a. 
Goị M là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ M đến (SCD). 
 + Măṭ phẳng (Q) qua M và vuông góc với (SCD): Lưu ý chọn mp (Q) chỉ cần 
vuông góc với 1 đường của (SCD). Trong các đường của (SCD) hiện nay thấy DC có 
liên quan nhiều đến quan hệ vuông góc hơn. Tìm những đường vuông góc với CD. 
Từ đó phát hiện ra mp (SNM) vuông 
góc với CD (N là trung điểm của CD), 
hay (SNM) vuông góc với (SCD). 
 + Giao tuyến của (SCD) và 
(SMN) là: SN 
 + Trong (SMN): kẻ MH vuông 
góc với SN (H thuôc̣ SN) thì MH 
vuông góc với (SCD). Từ đó suy ra 
d(M; (SCD)) = MH. 
 + MH là chiều cao của tam giác 
nào? Dưạ vào tam giác SMN hướng tính: SO.MN = MH. SN 
2- Khoảng cách giữa môṭ đường thẳng và môṭ măṭ phẳng song song, giữa hai măṭ 
phẳng song song. 
2.1- Khoảng cách giữa 1 đường thẳng và môṭ măṭ phẳng song song. 
"các bước làm để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và măṭ phẳng (P) song 
song" như sau: 
N
H
M
O
D
C
B
A
S
CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM 
TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 
 + Tìm măṭ phẳng (Q) vuông góc với (P) 
 + Tìm điểm chung M của (Q) và a (nếu a song song với (Q) thì đổi (Q) thành 
(Q') chứa a và song song với (Q)) 
 + Tìm giao tuyến ( ) của (P) và (Q). 
 + Trong (Q): kẻ MH   (H  ) . Khi đó MH  (P) và d(a; (P)) = d(M;(P)) = 
MH 
 Ví du ̣3: Cho hình lâp̣ phương ABCD.A'B'C'D' caṇh a. Tính khoảng cách giữa 
AB’ và mp (A'C'D). 
H
I
O
D'
C'B'
A'
D
C
A
B
+ Tìm mp vuông góc với (A’DC’): Ta tìm mp vuông góc với A’C’. Đó là mp 
(BDD’B’). 
Hai mp (A’DC’) và (BDD’B’) có giao tuyến DO ( O là tâm A’B’C’D’) 
Trong mp (DBB’) kẻ B’H vuông góc với DO thi B’H vuông góc với (DA’C’). 
khoảng cách phải tìm là B’H 
Để tính độ dài B’H : 2.dt tam giác DB’O = B’H.OD = DD’.B’O 
2.2 - Khoảng cách giữa hai măṭ phẳng song song. 
 Các bước làm đươc̣ tiến hành tương tư ̣khoảng cách giữa đường thẳng và măṭ 
phẳng song song. 
Ví du ̣4: Cho hình lâp̣ phương ABCD.A'B'C'D' caṇh a. Tính khoảng cách giữa hai 
măṭ phẳng (ACB') và (A'C'D). 
CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM 
TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 
+ Tìm măṭ phẳng vuông góc với (A'C'D): đó là măṭ phẳng (BDD'B') (vì (BDD'B')  
A'C') 
+ Giao tuyến của (A'C'D) và (BDD'B'): là DO 
+ Điểm chung của (BDD'B') và (ACB') thuôc̣ đường B'I. 
+ Trong (BDD'B'), kẻ B'H DO thì khoảng cách phải tìm là B'H. 
+ B'H là đường cao của tam giác B'OD. Từ đó có hướng tính: B’H.OD = DD’.B’O 
3- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 
Ví du ̣ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông caṇh a. 
SA (ABCD), SA =a. Xác định đoạn vuông góc chung của SA và BC; SA và DB; 
SA và d (trong đó d là đường thẳng nằm trong mp (ABC) và không đi qua A. 
O
d
D
C
A
B
S
Dễ dàng tìm được đoạn vuông góc chung của SA và BC, đó là AB. 
H
I
O
D'
C'B'
A'
D
C
A
B
CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM 
TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 
Của SA và BD đó là AO. 
Vậy muốn dựng được đoạn vuông góc chung của SA và d thì làm thế nào? 
Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d, nó cắt d tại H. Khi đó đoạn AH là đoạn 
vuông góc chung của SA và d. 
Một cách tổng quát, muốn dựng được đoạn vuông góc chung của hai đường chéo 
nhau và vuông góc với nhau thì làm thế nào? 
3.1- Nếu hai đường chéo nhau a và b mà vuông góc với nhau: 
N
M
b
a
P)
 + Tìm mp (P) chứa b và vuông góc với a 
 + (P) cắt a taị M 
 + Kẻ MN  b (N thuôc̣ b), MN chính là đường vuông góc chung của a và b. 
Ví du ̣ 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông caṇh a. 
SA (ABCD), SA =a. Tính khoảng cách giữa SB và AD; giữa DB và SC. 
*) Khoảng cách giữa SB và AD 
- Hai đường này có vuông góc không? taị sao? 
 + AD vuông góc với SB (vì AD vuông góc với (SAB) ). 
Từ đó suy ra có măṭ phẳng chứa SB và vuông góc với SD, đó là (SAB). 
CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM 
TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 
N
H
M
O
D
C
B
A
S
 + AD cắt (SAB) tai A. 
 + Kẻ AM vuông góc với SB.Khi đó AM là đoaṇ vuông góc chung của AD và 
SB. 
 + dê ̃dàng tính đươc̣ AM vì nó là đường cao của tam giác vuông SAB. 
*) Khoảng cách giữa DB và SC. 
 + Có mp chứa SC và vuông góc với BD, đó là (SAC). 
 + (SAC) cắt BD taị O là trung điểm của BD. 
 + Kẻ OK vuông góc với SC. Khi đó OK là đoaṇ vuông góc chung của SC và 
BD. 
 + OK là đường cao của tam giác SOC nên: OK. SC = SA. OC 
3.2- Nếu hai đường chéo nhau a và b mà không vuông góc 
với nhau: 
 Viêc̣ xác điṇh đường vuông góc chung không cần thiết cho bài toán tính 
khoảng cách này. 
Ta đổi khoảng cách phải tìm thành khoảng cách giữa a và mp(P) ( trong đó (P) chứa 
b và vuông góc với a).(sgk trang 115 -hình học 11 nâng cao) 
Ví du ̣7 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có caṇh bên bằng 2a, caṇh đáy bằng a. 
Tính khoảng cách giữa AB đến SC. 
CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM 
TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 
N
H
M
O
D
C
B
A
S
Trước tiên kiểm tra xem hai đường có vuông góc không? 
Đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường và mặt song song. 
Đó là k/c giữa đường AB và (SCD) 
Bài toán này đã làm trong ví dụ 2. 
Ví du ̣8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính k/c giữa AA’ và DB; 
giữa AC’ và BD; giữa AI và D’C’ ( với I là tâm mặt DCC’D’) 
- kiểm tra xem hai đường có vuông góc không. 
Dễ thấy AA’ và BD vuông góc vì AA’ vg với (ABCD). 
Kết quả k/c thứ nhất là AO bằng 
2
2
a
- AC’ và BD có vuông góc vì BD vg với (ACC’) tại O. Trong (ACC’) kẻ ON 
vuông góc với AC’ thì ON là đoạn vgc của AC’ và BD. 
- dựa vào diện tích tam giác AOC’ suy ra: ON.AC’ = AO. CC’. 
Từ đó tính được k/c cần tìm là 
2
.
62
63
a
a
a
a
 
CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM 
TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 
P
M
H
I
O
A
B
C
D
A'
B' C'
D'
N
- kiểm tra hai đường AI và C’D’ không vuông góc. Cần đổi k/c này thành k/c 
giữa đường và mặt nào? Có thể kẻ đường song song với C’D’ hoặc kẻ đường // 
với AI để tạo ra mp. 
- Thống nhất đổi k/c phải tìm thành k/c giữa đường C’D’ và mp(ABPM). 
- thực hiện các bước của bài toán này: 
+ Mp (BCC’) vuông góc với BA nên (BCC’) vuông góc với (BAPM) 
+giao tuyến của (BCC’) và (BAPM) là BM 
+Trong mp (BCC’) kẻ đường C’H vuông góc với BM thì nó vuông góc với 
(BAPM). Khoảng cách phải tìm là C’H. 
+Muốn tính độ dài của C’H, ta tính nhờ diện tích của tam giác BMC’: 
 BM. C’H= BC. MC’. Từ đó suy ra k/c phải tìm là: 
.
52
55
2
a
a
a
a

Ví dụ 9: Cho lăng trụ đều ABC. A’B’C’ có AA’ = a, AB’ tạo với (ABC) góc 
600 . Tính khoảng cách giữa AA’ và BC’. 
CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM 
TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 
H
C'
B'
A'
C
B
A
Do lăng trụ đều nên các cạnh bên vuông góc với đáy. AB’ có hình chiếu trên 
đáy là AB nên góc giữa AB’ và đáy là B’AB = 600. 
K/c giữa AA’ và BC’ bằng k/c giữa AA’ và mp(BCC’B’). Mp( ABC) vuông 
góc với (BCB’) theo giao tuyến BC nên từ A kẻ AH vuông góc với BC thì AH 
vuông góc với (BCC’). K/c phải tìm là AH bằng 
3
.
2 23
a a
 
4-Mở rộng bài toán khoảng cách: 
- Trong bài toán k/c giữa 1 đường và một mặt song song ta đã biết đổi k/c từ A 
đến mp(P) thành k/c từ B đến mp(P) khi AB song song với (P) và dễ dựng, dễ 
tính k/c từ B đến (P) hơn nhiều k/c từ A đến (P). 
- Trong trường hợp AB không song song với (P) thì có tìm được mối liên quan 
giữa hai k/c này không? Yêu cầu h/s so sánh trong các trường hợp đặc biệt sau: 
CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM 
TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 
KH
K
H
M
B
A
M
B
A
P)P)
Trường hợp thứ nhất M là trung điểm của AB. H/s có thể suy ra được hai k/c 
bằng nhau (hai tam giác AHM và BMK bằng nhau) 
Trường hợp thứ hai AB cắt (P) tại M và AB= 2MB Dựa vào định lí ta lét có 
thể suy ra k/c từ A đến (P) bằng 3 lần k/c từ B đến (P). 
Vậy từ đây ta có thể tính được k/c từ B đến (P) nếu biết k/c từ A đến (P). 
 Ví dụ 10: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với (ABC). Tam giác ABC 
đều cạnh a. SA =2a. Tính k/c từ A, Trọng tâm I của tam giác SAB đến mp ( 
SBC). 
-Bài toán k/c từ A đến (SBC) h/s hoàn toàn có thể tính được. Kết quả là độ dài 
của đoạn AH bằng 2
2
3
2 .
2 32
193
4
4
a
a
a
a
a


CHIA SẺ TÀI LIỆU CHO HS TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM 
TRẦN HOÀI THANH FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO 
I
N
K
H
G
M
S
A
B
C
Để dựng được k/c từ I đến mp( SBC) thì trông hình vẽ rất rối. Kiểm tra thử 
xem nó có liên quan gì đến k.c từ A đến (SBC) hay không? AI cắt SBC tại N 
là trung điểm của SB. Giả sử IE vuông góc với mp(SBC). Theo định lí talét ta 
suy ra: IE/ AH= NI/ NA = 1/3. Vậy k/c từ I đến (SBC ) là 
2 3
3 19
a
.