Phân dạng đề thi Đại học môn Toán từ năm 2002 đến năm 2015

HOÀNG NGỌC THẾ 
PHÂN DẠNG 
ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
MÔN TOÁN 
 (2002 - 2015)
PHÂN DẠNG
ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Từ năm 2002 đến năm 2015
Hoàng Ngọc Thế
Ngày 20 tháng 7 năm 2015
2
Lời nói đầu
Tài liệu nhỏ này giới thiệu Đề thi ĐH môn toán từ năm 2002 (năm đầu
tiên toàn quốc thi đề chung) đến năm 2015. Các đề thi được phân dạng và
sắp xếp theo các chủ đề lớn:
1. Khảo sát hàm số
2. Lượng giác
3. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
4. Tích phân và ứng dụng
5. Hình học tổng hợp trong không gian
6. Bất đẳng thức
7. Phương pháp tọa độ trong không gian
8. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
9. Số phức
10. Tổ hợp - xác suất
Ở mỗi chủ đề, đề bài được sắp xếp theo năm thi và có đáp án hoặc hướng
dẫn đi kèm giúp bạn đọc dễ theo dõi và kiểm tra kết quả của mình. Bạn
đọc nên tự làm các đề thi sau đó so sánh với đáp án. Để làm được các đề
thi này, đòi hỏi bạn đọc cần có một quá trình ôn tập kiên trì và có hiệu quả.
Trong quá trình tổng hợp vội vàng, hẳn là sẽ có nhiều thiếu sót. Rất
mong nhận được sự đóng góp của các bạn.
Hoàng Ngọc Thế
3
1 Khảo sát hàm số
1. (A-2002) Cho hàm số
y = −x3 + 3mx2 + 3(1−m2)x+m3 −m2 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm k để phương trình: −x3 + 3x2 + k3 − 3k2 = 0 có 3 nghiệm
phân biệt.
c) Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của hàm số (1).
ĐA: b)− 1 < k < 3, k 6= 0; k 6= 2; c)y = 2x−m2 +m
2. (B-2002) Cho hàm số
y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 (2)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2) khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số (2) có ba cực trị.
ĐA: 0 < m < 3;m < −3
3. (D-2002) Cho hàm số
y =
(2m− 1)x−m2
x− 1 (3)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (3) khim = −1.
b) Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị (C) và 2 trục toạ độ.
c) Tìm điều kiện của tham số m đề đồ thị hàm số (3) tiếp xúc với
đường thẳng y = x
ĐA: b)S = 4 ln
4
3
− 1; c)m 6= 1
4. (A-2003) Cho hàm số
y =
mx2 + x+m
x− 1 (4)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (4) khi m = −1.
b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số (4) cắt Ox tại hai
điểm phân biệt có hoành độ dương
4
ĐA: −1
2
< m < 0
5. (B-2003) Cho hàm số
y = x3 − 3x2 +m (5)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (5) khi m = 2.
b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số (5) có hai điểm
phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
ĐA: m > 0
6. (B-2003) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x+
√
4− x2
ĐA: max y = 2
√
2; min y = −2
7. (D-2003) Cho hàm số
y =
x2 − 2x+ 4
x− 2 (6)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (6).
b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số (6) và đường thẳng
dm : y = mx+ 2− 2m cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
ĐA: m > 1
8. (D-2003) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =
x+ 1√
x2 + 1
trên [−1; 2]
ĐA: max
[−1;2]
y =
√
2; min
[−1;2]
y = 0
5
9. (A-2004) Cho hàm số
y =
−x2 + 3x− 3
2(x− 1) (7)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (7).
b) Tìm m để đồ thị hàm số (7) và đường thẳng y = m cắt nhau tại
hai điểm phân biệt A,B sao cho AB = 1
ĐA: m =
1±√5
2
10. (B-2004) Cho hàm số
y =
1
3
x3 − 2x2 + 3x (8)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (8).
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (8) tại điểm
uốn. Chứng minh d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
ĐA: y = −x+ 8
3
11. (B-2004) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =
ln2 x
x
trên đoạn [1; e3]
ĐA: max
[1;e3]
y =
4
e2
; min
[1;e3]
y = 0
12. (B-2004) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có
nghiệm:
m
(√
1 + x2 −
√
1− x2 + 2
)
= 2
√
1− x4 +
√
1 + x2 −
√
1− x2
ĐA:
√
2− 1 ≤ m ≤ 1
6
13. (D-2004) Cho hàm số
y = x3 − 3mx2 + 9x+ 1 (9)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (9) khi m = 2.
b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị (9) thuộc đường thẳng y = x+ 1.
ĐA: m = 0;±2
14. (A-2005) Cho hàm số
y = mx+
1
x
(10)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (10) khi m =
1
4
.
b) Tìm m để hàm số (10) có cực trị và khoảng cách từ cực tiểu đến
tiệm cận xiên bằng
1√
2
.
ĐA: m = 1
15. (B-2005) Cho hàm số
y =
x2 + (m+ 1)x+m+ 1
x+ 1
(11)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (11) khi m = 1.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số (11) luôn có cực
đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
√
20.
16. (D-2005) Cho hàm số
y =
1
3
x3 − m
2
x2 +
1
3
(12)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (12) khi m = 2.
b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị của hàm số (12) có hoành độ bằng
−1. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (12) tại M song song
với đường thẳng 5x− y = 0.
ĐA: m = 4
7
17. (A-2006) Cho hàm số
y = 2x3 − 9x2 + 12x− 4 (13)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (13).
b) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có 6 nghiệm
phâm biệt:
2|x|3 − 9x2 + 12|x| = m
ĐA: 4 < m < 5
18. (B-2006) Cho hàm số
y =
x2 + x− 1
x+ 2
(14)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (14).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến
vuông góc với tiệm cận xiên.
ĐA: y = −x− 5± 2
√
2
19. (B-2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt√
x2 +mx+ 2 = 2x+ 1
ĐA: m ≥ 9
2
20. (D-2006) Cho hàm số
y = x3 − 3x+ 2 (15)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (15).
b) Gọi d là đường thẳng qua A(3; 20) có hệ số góc là m. Tìm m để
d cắt đồ thị hàm số (15) tại 3 điểm phân biệt.
ĐA: m >
15
4
,m 6= 24
8
21. (A-2007) Cho hàm số
y =
x2 + 2(m+ 1)x+m2 + 4m
x+ 2
(16)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (16) khi m = 1.
b) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (16) có điểm cực đại,
cực tiểu và hai điểm đó tạo với gốc tọa độ O một tam giác vuông tại
O.
ĐA: m = −4± 2
√
6
22. (A-2007) Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có
nghiệm:
3
√
x− 1 +m√x+ 1 = 2 4
√
x2 − 1
ĐA: −1 < m ≤ 1
3
23. (B-2007) Cho hàm số
y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x− 3m2 − 1 (17)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (17) khi m = 1.
b) Tìm giá trị của tham số m để các điểm cực đại và cực tiểu của
hàm số cách đều gốc tọa độ O.
ĐA: m = ±1
2
24. (D-2007) Cho hàm số
y =
2x
x+ 1
(18)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (18).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị
tại M cắt hai trục toạ độ tại A,B sao cho diên tích tam giác OAB
bằng
1
4
.
9
ĐA: M1
(
−1
2
;−2
)
,M2(1; 1)
25. (A-2008) Cho hàm số
y =
mx2 + (3m2 − 2)x− 2
x+ 3m
(19)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (19) khi m = 1.
b) Tìm giá trị của tham số m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị
bằng 450
ĐA: m = ±1
26. (A-2008) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có
đúng hai nghiệm thực:
4
√
2x+
√
2x+ 2 4
√
6− x+ 2√6− x = m
ĐA: 2
√
6 + 2
4
√
6 ≤ m < 3
√
2 + 6
27. (B-2008) Cho hàm số
y = 4x3 − 6x2 + 1 (20)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (20).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi
qua điểm M(−1;−9).
ĐA: y = 24x+ 15; y =
15
4
x− 21
24
28. (D-2008) Cho hàm số
y = x3 − 3x2 + 4 (21)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (21).
b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số
góc k(k > −3) đều cắt đồ thị hàm số (21) tại ba điểm phân biệt
I, A,B đồng thời I là trung điểm AB.
10
29. (A-2009) Cho hàm số
y =
x+ 2
2x+ 3
(22)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (22).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến
cắt Ox,Oy tại A,B và tam giác OAB cân tại O.
ĐA: y = −x− 2
30. (B-2009) Cho hàm số
y = 2x4 − 4x2 (23)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (23).
b) Tìm điều kiện của tham số m sao cho phương trình sau có đúng
6 nghiệm thực:
x2|x2 − 2| = m
ĐA: 0 < m < 1
31. (B-2009NC) Cho
(C) : y =
x2 − 1
x
; d : y = −x+m
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số
(C) tại hai điểm A,B sao cho AB = 4.
ĐA: m = ±2
√
6
32. (D-2009) Cho hàm số
y = x4 − (3m+ 2)x2 + 3m (24)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (24) khi m = 0.
b) Tìm điều kiện của tham số m sao cho đường thẳng y = −1 cắt đồ
thị hàm số (24) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2.
11
ĐA: −1
3
< m < 0, 0 < m < 1
33. (D-2009) Cho
d : y = −2x+m; (C) : y = x
2 + x− 1
x
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại
hai điểm phân biệt A,B sao cho trung điểm AB thuộc trục tung.
ĐA: m = 1
34. (A-2010) Cho hàm số
y = x3 − 2x2 + (1−m)x+m (25)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (25) khi m = 1.
b) Tìm điều kiện của tham sốm để đồ thị hàm số (25) cắt trục hoành
tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 sao cho
x21 + x
2
2 + x
2
3 < 4.
ĐA: −1
4
< m < 0 và 0 < m < 1.
35. (B-2010) Cho hàm số
y =
2x+ 1
x+ 1
(26)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (26).
b) Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng y = −2x + m
cắt đồ thị hàm số (26) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác
OAB có diện tích bằng
√
3.
ĐA: m = ±2
36. (D-2010) Cho hàm số
y = −x4 − x2 + 6 (27)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (27).
b) Viêt phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y =
1
6
x− 1.
12
ĐA: y = −6x+ 10
37. (A-2011) Cho hàm số
y =
−x+ 1
2x− 1 (28)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (28).
b) Đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số tại A,B. Tiếp tuyến
tại A,B có hệ số góc lần lượt là k1, k2. Tìm m để k1 + k2 lớn nhất.
ĐA: m = −1
38. (B-2011) Cho hàm số
y = x4 − 2(m+ 1)x2 +m. (29)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (29) khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (29) có 3 điểm cực trị A,B,C sao cho
OA = OB, A thuộc trục tung còn B,C là hai cực trị còn lại.
ĐA: m = 2± 2
√
2
39. (D-2011) Cho hàm số
y =
2x+ 1
x+ 1
(30)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (30).
b) Tìm điều kiện của tham số k để đường thẳng y = kx+ 2k+ 1 cắt
đồ thị hàm số trên tại hai điểm phân biệt A,B sao cho khoảng cách
từ A,B đến trục hoành bằng nhau.
ĐA: k = −3
40. (D-2011) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =
2x2 + 3x+ 3
x+ 1
trên [0; 2].
13
ĐA: min y = 3; max y =
17
3
41. (A-2012) Cho hàm số
y = x4 − 2(m+ 1)x2 +m2 (31)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (31) khi m = 0.
b) Tìm điều kiện của tham số m để hàm số (31) có 3 cực trị là ba
đỉnh của tam giác vuông.
ĐA: m = 0
42. (B-2012) Cho hàm số
y = x3 − 3mx2 + 3m3 (32)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (32) khi m = 1.
b) Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có hai cực tri A,B sao
cho diện tích tam giác OAB bằng 48.
ĐA: m = ±2
43. (D-2012) Cho hàm số
y =
2
3
x3 −mx2 − 2(3m2 − 1)x+ 2
3
(33)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (33) khi m = 1.
b) Tìm điều kiện của tham số m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2
sao cho x1x2 + 2(x1 + x2) = 1.
ĐA: m =
2
3
44. (A-2013) Cho hàm số
y = −x3 + 3x2 + 3mx− 1 (34)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (34) khi m = 0.
b) Tìm điều kiện của tham số m để hàm số (34) nghịch biến trong
(0; +∞).
14
ĐA: m ≤ −1
45. (B-2013) Cho hàm số
y = 2x3˘3(m+ 1)x2 + 6mx (35)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (35) khi m = −1.
b) Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số (35) có hai điểm
cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng
y = x+ 2.
ĐA: m = 0,m = 2
46. (D-2013) Cho hàm số
y = 2x3 − 3mx2 + (m− 1)x+ 1 (36)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (36) khi m = 1.
b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y = −x+ 1 cắt đồ
thị hàm số (36) tại ba điểm phân biệt.
ĐA: m 
8
9
47. (D-2013NC) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y =
2x2 − 3x+ 3
x+ 1
trên đoạn [0; 2]
ĐA: min y = 1; max y = 3
48. (A-2014) Cho hàm số
y =
x+ 2
x− 1 (37)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (37).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ
M đến đường thẳng y = −x bằng
√
2
ĐA: M(0;−2),M(−2; 0)
15
49. (B-2014) Cho hàm số
y = x3 − 3mx+ 1 (38)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (38) khi m = 1.
b) Cho điểm A(2; 3). Tìm m để đồ thị hàm số (38) có hai điẻm cực
trị B và C sao cho tam giác ABC cân tại A.
ĐA: m =
1
2
50. (D-2014) Cho hàm số
y = x3 − 3x− 2 (39)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (39).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị
tại M có hệ số góc bằng 9.
ĐA: M(2; 0),M(−2;−4)
51. (2015) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 − 3x.
52. (2015) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x+
4
x
trên [1; 3].
ĐA: max y = 5; min y = 4
16
2 Lượng giác
1. (A-2002) Giải phương trình:
5
(
sinx+
cos 3x+ sin 3x
1 + 2 sin 2x
)
= cos 2x+ 3
ĐA: x = ±pi
3
+ 2kpi
2. (B-2002) Giải phương trình:
sin2 3x− cos2 4x = sin2 5x− cos2 6x
ĐA: x =
kpi
9
;x =
kpi
2
3. (D-2002) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình:
cos 3x− 4 cos 2x+ 3 cosx− 4 = 0
ĐA:
pi
2
;
3pi
2
;
5pi
2
;
7pi
2
4. (A-2003) Giải phương trình:
cotx− 1 = cos 2x
1 + tanx
+ sin2 x− 1
2
sin 2x
ĐA: x =
pi
4
+ kpi
5. (B-2003) Giải phương trình:
cotx− tanx+ 4 sin 2x = 2
sin 2x
ĐA: x = ±pi
3
+ kpi
17
6. (D-2003) Giải phương trình:
sin2
(x
2
− pi
4
)
tan2 x− cos2 x
2
= 0
ĐA: x = pi + k2pi;x = −pi
4
+ kpi
7. (A-2004) Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn điều kiện:
cos 2A+ 2
√
2 cosB + 2
√
2 cosC = 3
Tính ba góc của tam giác.
ĐA: A = 90o, B = C = 45o
8. (B-2004) Giải phương trình:
5 sinx− 2 = 3(1− sinx) tan2 x
ĐA: x =
pi
6
+ k2pi;x =
5pi
6
+ k2pi
9. (D-2004) Giải phương trình:
(2 cosx− 1)(2 sinx+ cosx) = sin 2x− sinx
ĐA: x = ±pi
3
+ k2pi;x = −pi
4
+ kpi
10. (A-2005) Giải phương trình:
cos2 3x cos 2x− cos2 x = 0
ĐA: x = k
pi
2
11. (B-2005) Giải phương trình:
1 + sinx+ cosx+ sin 2x+ cos 2x = 0
18
ĐA: x = −pi
4
+ kpi;x = ±2pi
3
+ k2pi
12. (D-2005) Giải phương trình:
cos4 x+ sin4 x+ cos
(
x− pi
4
)
sin
(
3x− pi
4
)
− 3
2
= 0
ĐA: x =
pi
4
+ kpi
13. (A-2006) Giải phương trình:
2
(
cos6 x+ sin6 x
)− sinx cosx√
2− 2 sinx = 0
ĐA: x =
5pi
4
+ 2kpi
14. (B-2006) Giải phương trình:
cotx+ sinx
(
1 + tanx tan
x
2
)
= 4
ĐA: x =
pi
12
+ kpi;x =
5pi
12
+ kpi
15. (D-2006) Giải phương trình:
cos 3x+ cos 2x− cosx− 1 = 0
ĐA: x = kpi;x = ±2pi
3
+ k2pi
16. (A-2007) Giải phương trình:(
1 + sin2 x
)
cosx+
(
1 + cos2 x
)
sinx = 1 + sin 2x
ĐA: x = −pi
4
+ kpi;x =
pi
2
+ k2pi;x = k2pi
19
17. (B-2007) Giải phương trình:
2 sin2 2x+ sin 7x− 1 = sinx
ĐA: x =
pi
8
+ k
pi
4
;x =
pi
18
+ k
2pi
3
;x =
5pi
18
+ k
2pi
3
18. (D-2007) Giải phương trình:(
sin
x
2
+ cos
x
2
)2
+
√
3 cosx = 2
ĐA: x =
pi
2
+ k2pi;x = −pi
6
+ k2pi
19. (A-2008) Giải phương trình:
1
sinx
+
1
sin
(
x− 3pi
2
) = 4 sin(7pi
4
− x
)
ĐA: x = −pi
4
+ kpi;x = −pi
8
+ kpi;x =
5pi
8
+ kpi
20. (B-2008) Giải phương trình:
sin3 x−
√
3 cos3 x = sinx cos2 x−
√
3 sin2 x cosx
ĐA: x =
pi
4
+ k
pi
2
;x = −pi
3
+ kpi
21. (D-2008) Giải phương trình:
2 sinx(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cosx
ĐA: x = ±2pi
3
+ k2pi;x =
pi
4
+ kpi
22. (A-2009) Giải phương trình:
(1− 2 sinx) cosx
(1 + 2 sinx)(1− sinx) =
√
3
20
ĐA: x = − pi
18
+ k
2pi
3
23. (B-2009) Giải phương trình:
sinx+ cosx sin 2x+
√
3 cos 3x = 2(cos 4x+ sin3 x)
ĐA: x = −pi
6
+ k2pi;x =
pi
42
+ k
2pi
7
24. (D-2009) Giải phương trình:
√
3 cos 5x− 2 sin 3x cos 2x− sinx = 0
ĐA: x =
pi
18
+ k
pi
3
;x = −pi
6
+ k
pi
2
25. (A-2010) Giải phương trình:
(1 + sinx+ cos 2x) sin
(
x+
pi
4
)
1 + tanx
=
1√
2
cosx
ĐA: x = −pi
6
+ k2pi;x =
7pi
6
+ k2pi
26. (B-2010) Giải phương trình:
(sin 2x+ cos 2x) cosx+ 2 cos 2x− sinx = 0
ĐA: x =
pi
4
+ k
pi
2
27. (D-2010) Giải phương trình:
sin 2x− cos 2x+ 3 sinx− cosx− 1 = 0
ĐA: x =
pi
6
+ k2pi;x =
5pi
6
+ k2pi;
21
28. (A-2011) Giải phương trình:
1 + sin 2x+ cos 2x
1 + cot2 x
=
√
2 sinx sin 2x
ĐA: x =
pi
2
+ kpi;x =
pi
4
+ k2pi
29. (B-2011) Giải phương trình:
sin 2x cosx+ sinx cosx = cos 2x+ sinx+ cosx
ĐA: x =
pi
2
+ k2pi;x =
pi
3
+ k
2pi
3
30. (D-2011) Giải phương trình:
sin 2x+ 2 cosx− sinx− 1
tanx+
√
3
= 0
ĐA: x =
pi
3
+ k2pi
31. (A-2012) Giải phương trình:
√
3 sin 2x+ cos 2x = 2 cosx− 1
ĐA: x =
pi
2
+ kpi;x = k2pi;x =
2pi
3
+ k2pi
32. (B-2012) Giải phương trình:
2
(
cosx+
√
3 sinx
)
cosx = cosx−
√
3 sinx+ 1
ĐA: x =
2pi
3
+ k2pi;x =
2pi
3
33. (D-2012) Giải phương trình:
sin 3x+ cos 3x− sinx+ cosx =
√
2 cos 2x
22
ĐA: x =
pi
4
+ k
pi
2
;x =
7pi
12
+ k2pi;x = − pi
12
+ k2pi
34. (A-2013) Giải phương trình:
1 + tanx = 2
√
2 sin
(
x+
pi
4
)
ĐA: x = −pi
4
+ kpi;x = ±pi
3
+ k2pi
35. (B-2013) Giải phương trình:
sin 5x+ 2 cos2 x = 1
ĐA: x = −pi
6
+ k
2pi
3
;x = − pi
14
+ k
2pi
7
36. (D-2013) Giải phương trình:
sin 3x+ cos 2x− sinx = 0
ĐA: x =
pi
4
+ k
pi
2
;x = −pi
6
+ k2pi;x =
7pi
6
+ k2pi
37. (A-2014) Giải phương trình:
sinx+ 4 cosx = 2 + sin 2x
ĐA: x = ±pi
3
+ k2pi
38. (B-2014) Giải phương trình:
√
2 (sinx− 2 cosx) = 2− sin 2x
ĐA: x = ±3pi
4
+ k2pi
39. (2015) Tính giá trị của biểu thức P = (1 − 3 cos 2α)(2 + 3 cos 2α)
biết sinα =
2
3
.
ĐA:
14
9
23
3 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
1. (A-2002) Cho phương trình:
log23 x+
√
log23 x+ 1− 2m− 1 = 0 (40)
a) Giải phương trình với m = 2
b) Tìm m để phương trình (40) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn[
1; 3
√
3
]
ĐA: a) x = 3±
√
3; b)0 ≤ m ≤ 2
2. (B-2002) Giải hệ phương trình:{
3
√
x− y = √x− y
x+ y =
√
x+ y + 2
ĐA: (1; 1),
(
3
2
;
1
2
)
3. (B-2002) Giải bất phương trình: logx (log3(9
x − 72)) ≤ 1
ĐA: (log9 73; 2]
4. (D-2002) Giải hệ phương trình:2
3x = 5y2 − 4y
4x + 2x+1
2x + 2
= y
.
ĐA: (0; 1), (2; 4)
5. (D-2002) Giải bất phương trình: (x2 − 3x)
√
2x2 − 3x− 2 ≥ 0
ĐA:
(
−∞;−1
2
]
∪ {2} ∪ [3; +∞)
24
6. (A-2003) Giải hệ phương trình:x−
1
x
= y − 1
y
2y = x3 + 1
ĐA: (1; 1),
(
−1 +√5
2
;
−1 +√5
2
)
,
(
−1−√5
2
;
−1−√5
2
)
7. (B-2003) Giải hệ phương trình:
3y =
y2 + 2
x2
3x =
x2 + 2
y2
ĐA: (1; 1)
8. (D-2003) Giải phương trình: 2x
2−x − 22+x−x2 = 3
ĐA: x = −1, x = 2
9. (A-2004) Giải bất phương trình:√
2(x2 − 16)√
x− 3 +
√
x− 3 > 7− x√
x− 3
ĐA: x > 10−
√
34
10. (A-2004) Giải hệ phương trình:
log1
4
(y − x)− log4
1
y
= 1
x2 + y2 = 25
ĐA: (3; 4)
25
11. (D-2004) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:{√
x+
√
y = 1
x
√
x+ y
√
y = 1− 3m
ĐA: 0 ≤ m ≤ 1
4
12. (D-2004) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một nghiệm:
x5 − x2 − 2x− 1 = 0
13. (A-2005) Giải bất phương trình:
√
5x− 1−√x− 1 > √2x− 4
ĐA: [2; 10]
14. (B-2005) Giải hệ phương trình:{√
x− 1 +
√
2− y = 1
3 log9(9x
2)− log3 y3 = 3
ĐA: (1; 1), (2; 2)
15. (D-2005) Giải phương trình: 2
√
x+ 2 + 2
√
x+ 1−√x+ 1 = 4
ĐA: x = 3
16. (A-2006) Giải hệ phương trình:{
x+ y −√xy = 3√
x+ 1 +
√
y + 1 = 4
ĐA: (3; 3)
26
17. (A-2006PB) Giải phương trình:
3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0
ĐA: x = 1
18. (B-2006PB) Giải bất phương trình:
log5 (4
x + 144)− 4 log5 2 < 1 + log5
(
2x−2 + 1
)
ĐA: m ≥ 9
2
19. (D-2006) Giải phương trình:
√
2x− 1 + x2 − 3x+ 1 = 0
ĐA: x = 1;x = 2−
√
2
20. (D-2006) Chứng minh rằng với mọi giá trị a > 0, hệ phương trình
sau có nghiệm duy nhất:{
ex − ey = ln(1 + x)− ln(1 + y)
y − x = a
21. (D-2006PB) Giải phương trình:
2x
2+x − 4.2x2−x − 22x + 4 = 0
ĐA: x = 0;x = 1
22. (A-2007PB)Giải phương trình:
2 log3(4x− 3) + log1
3
(2x+ 3) ≤ 2
ĐA:
(
3
4
; 3
]
27
23. (B-2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m,
phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
x2 + 2x− 8 =
√
m(x− 2)
24. (B-2007PB) Giải phương trình:(√
2− 1
)x
+
(√
2 + 1
)x − 2√2 = 0
ĐA: x = ±1
25. (D-2007)