Ôn thi tốt nghiệp công thức cơ bản môn Toán lớp 12

1 
THPT .. 
ƠN THI TỐT NGHIỆP 
CƠNG THỨC CƠ BẢN 
MƠN TỐN LỚP 12 
 (lƣu hành nội bộ) 
2 
PHẦN 1: HÀM SỐ 
Đạo hàm Hàm số hợp Các quy tắc tính 
 
'
0C  ( C là hằng số )  
 
 
' '
' ' '
' ' '
' ' '
2
. . ,
. . .
. .
k u k u k R
u v u v
u v u v u v
u u v u v
v v
 
  
 
 
 
 
  
'
1x  
 
'
1x x    
'
' 1. .u u u   
 
' 1
2
x
x
  
''
2
u
u
u
 
 
'
2
ax b ad bc
cx d cx d
  
 
  
'
2
1 1
x x
 
  
 
' '
2
1 u
u u
 
  
 
 
'
sin cosx x 
 
'
os sinc x x  
 
'
sin '.cosu u u 
 
' 'cos .sinu u u  
 
'
2
1
tan
os
x
c x
 
 
'
2
1
cot
sin
x
x
  
 
'
'
2
tan
os
u
u
c u
 
 
'
'
2
cot
sin
u
u
u
  
 
 
'
'
.lnx x
x x
a a a
e e


 
 
'
'
'
'
. .ln
.
u u
u u
a u a a
e u e


 
 
'
'
1
log
ln
1
ln
a x
x a
x
x


 
 
'
'
'
'
log
ln
ln
a
u
u
u a
u
u
u


3 
 I. ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN - CỰC TRỊ: 
Dạng 1: Tìm m để hàm số luơn đb hoặc nb trên D. 
Phƣơng pháp: 
- Hàm số 
ax b
y
cx d



 đồng biến trên D ' 0y x D    
- Hàm số 
ax b
y
cx d



 đồng biến trên D ' 0y x D    
- Hàm số 3 2ay x bx cx d    đồng biến trên R 
'
0
0
0
a
y x

     
 
- Hàm số 3 2ay x bx cx d    nghịch biến trên R 
'
0
0
0
a
y x

     
 
Chú ý: 3 2ay x bx cx d    nếu a cĩ chứa tham số ta xét thêm 
trƣờng hợp 0a  khảo sát sự biến thiên xem cĩ thỏa bài tốn khơng. 
Dạng 2: Tìm m để hàm số  y f x đạt cực trị tại 0x 
Phƣơng pháp: 
- Tìm TXĐ 
- Tìm đạo hàm 'y 
- Hàm số đạt cực trị tại 0x thì:  
'
0 0f x  giải tìm tham số m 
Chú ý: Muốn kiểm tra xem hàm số đạt CĐ hay CT ta thế giá trị m vào 
hàm số sau đĩ khảo sát tính tăng giảm của hàm số, rồi kết luận. 
Dạng 3: : Tìm m để hàm số cĩ cực đại cực tiểu: 
- 3 2ay x bx cx d    cĩ cực đại cực tiểu ' 0y  cĩ 2 nghiệm phân biệt 
- 4 2ay x bx c   cĩ cực đại cực tiểu ' 0y  cĩ 3 nghiệm phân biệt 
4 
II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
Dạng : Tìm GTLN_GTNN của hàm số  y f x trên đoạn  ;a b 
Phƣơng pháp: 
- Tìm đạo hàm 'y 
- Giải phương trình 
1
2' 0
.........
i
x x
x x
y
x x


 



(chỉ nhận  ;x a b ) 
- Tính          1 2, , , ..., iy a y b y x y x y x so sánh chúng và kết 
luận giá trị LN và NN. 
Nhận xét: 
- Nếu hàm số khơng chỉ rõ đoạn  ;a b ta tìm giá trị LN và NN 
trên tập xác định của nĩ. 
- Dùng bảng biến thiên để tìm giá trị LN và NN trong các 
trường hợp khơng phải xét trên  ;a b 
- Nếu đặt ẩn phụ t phải tìm điều kiện của ẩn phụ đĩ (cĩ thể dùng bbt) 
2
2
1 sin 1 0 sin 1
1 os 1 0 os 1
2 sin o 2
x x
c x c x
x c x
     
     
   
5 
III. MỘT SỐ BÀI TỐN THƢỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ: 
1. Giao điểm của hai đồ thị : 
Dạng: Giả sử hai hàm số y = f(x), y = g(x) lần lượt có hai đồ thị (C1) và (C2). 
Hãy tìm các giao điểm của (C1) và (C2). 
 2. Biện luận số nghiệm của phƣơng trình bằng đồ thị: 
Dạng: Cho hàm số  y f x cĩ đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C) hãy biện 
luận số nghiệm của phƣơng trình    1, 0F x m  theo tham số m. 
Phƣơng pháp: 
- Chuyển pt      , 0F x m f x g m   
- Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của hai đường (C) và 
đường thẳng  y g m 
- Dựa vào đồ thị (C) đã vẽ biện luận số nghiệm pt (1) theo m. 
Lƣu ý :  y g m cĩ đồ thị song song ox. Cắt oy tại g(m) 
Phƣơng pháp: 
 - Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ta có 
nghiệm x0 
 - Thay x0 vào một trong hai hàm số ta có y0. 
 - Tọa độ giao điểm là M(x0,y0). 
 Nhận xét: 
- Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm phương trình 
f(x) = g(x) 
- 
6 
3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến: 
Dạng 1: Tiếp tại điểm thuộc đồ thị của hàm số. 
Dạng 2: Phƣơng trình tiếp tuyến biết trƣớc hệ số gĩc của nĩ: 
Dạng 3: Phƣơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm: 
Cho hàm số  y f x cĩ đồ thị là (C).    0 0;M x y C phương 
trình tiếp tuyến tại M là: 
 - Tìm 'y 
- Tính  ' 0y x 
- Tìm  0 0;M x y 
- Pttt tại  0 0;M x y là   
'
0 0 0: y y x x x y    
Cho hàm số  y f x cĩ đồ thị là (C). Tìm phương trình tiếp 
tuyến  với (C) biết  cĩ hệ số gĩc là k. 
Phƣơng pháp: 
- Gọi  0 0;M x y là tọa độ tiếp điểm 
- Giải pt  ' 0y x k tìm  0 0 0x y f x  
- Phương trình  0 0: y k x x y    
Nhận xét: a a . 1y x b k a y x b k a            
Cho hàm số  y f x cĩ đồ thị là (C). Tìm phương trình tiếp 
tuyến  với (C) biết  đi qua  ;A AA x y 
- Gọi  0 0;M x y là tọa độ tiếp điểm  0 0y f x  
-  ' 0y x k 
- Phương trình 0 0: ( )y k x x y    
-    0 0 0 0;A A A AA x y y k x x y x y       
7 
PHẦN 2: MŨ-LƠGARIT 
1. Cơng thức mũ hay sử dụng : 
Giả sử các điều kiện đƣợc thỏa mãn. 
1
11 1 11
n n n
na b a a a
b a a a a
 
                     
       
1
2
m
n m nn na a a a   
 3 . .
m m
m m m
m
a a
a b a b
b b
 
   
 
4 .
m
m n m n m n
n
a
a a a a
a
    
   m.n5
n m
m na a a  
2. Cơng thức logarit hay sử dụng: 
Giả sử các điều kiện đƣợc thỏa mãn. 
1 log , lg 10 , lnm m mb m a b b m b b m e ba          
log
2
b
aa b 
 3 log . log log log log log
A
A B A B A Ba a a a a a
B
 
     
 
1
1
4 log .log log log .logm m mA m A A A Aa a a a a
m
    
1
5 log log
m
A Aa
ma
 
1
6 log
l g
ba
o ab
 
log
7 log log .log log
log
cac b c ca ab bba
   
8 
3. Hàm số lũy thừa – hàm số mũ – hàm số logarit: 
Định nghĩa TXĐ Đạo hàm 
Hàm số lũy thừa 
y x 
Phụ thuộc 
  
'
1.x x    
'
1.u'.uu   
Hàm số mũ 
xy a  0; 1a a  
D  
 
 
'
'
.ln
x xe e
x xa a a


 
 
'
'.
'
' .ln
u ue u e
u ua u a a


Hàm số logarit 
logy xa  0; 1a a  
 0;D   
 
 
1'
ln
1'
log
.ln
x
x
xa
x a


 
 
''
lnu
''
log
u.ln
u
u
u
ua
a


4. Phƣơng trình mũ – logarit hay gặp: 
PT Mũ PT Logarit 
Dạng cơ bản: 0; 1a a  
: 0 logx aTH b a b x b    
: 0 xTH b a b x    
Dạng cơ bản: 0; 1a a  
 
   
   
log ( )
lg 10
ln
b
a
b
b
f x b f x a
f x b f x
f x b f x e
  
  
  
Đƣa về cùng cơ số: 
0; 1a a  
       f x g xa a f x g x   
Đƣa về cùng cơ số: 0; 1a a  
log ( ) log ( )a af x g x 
- Điều kiện: ( ) 0f x  hoặc ( ) 0g x  
- PT trở thành: ( ) ( )f x g x 
9 
Đặt ẩn phụ: 0; 1a a  
- Đƣa về dạng: 
    
2
. . 0
f x f x
A a B a C   
- Đặt  
f x
t a 
- Điều kiện: 0t  
- Giải pt so điều kiện 
t > 0 t x  
Đặt ẩn phụ: 0; 1a a  
- Điều kiện logrit  loga f x là 
  0f x  
- Đƣa về dạng: 
    
2
. log .log 0a aA f x B f x C   
- Đặt:  logat f x 
- Giải pt t  so điều kiện x x 
5. Bất phƣơng trình mũ và logarit: 
Bất PT mũ Bất PT logarit 
Đƣa về cùng cơ số: 
       
       
: 1
: 0 1
f x g x
f x g x
TH a
a a f x g x
TH a
a a f x g x

  
 
  
Chú ý : cách đƣa về số mũ cơ 
số a tùy ý 
 log bab a 
Đƣa về cùng cơ số: 
   log loga af x g x 
Đk ban đầu : 
 
 
0
0
f x
g x



       
: 1
log loga a
TH a
f x g x f x g x

  
       
: 0 1
log loga a
TH a
f x g x f x g x
 
  
Giải xong so với Đk ban đầu x 
Chú ý : cách đƣa về logarit cơ số a tùy ý 
log bb aa 
10 
Đặt ẩn phụ: 
- Đƣa bpt về dạng chỉ  
f x
a 
- Đặt  
f x
t a Đk: 0t  
- Giải BPT theo t 
- So đk 0t  
- Giải BPT tìm x 
Đặt ẩn phụ: 
- Tìm Đk ban đầu của logarit 
- Đƣa bpt dạng chỉ  loga f x 
- Đặt  logat f x 
- Giải BPT theo t 
- Giải BPT theo x 
- So Đk ban đầu tìm x 
11 
PHẦN 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
I. BẢNG NGUYÊN HÀM: 
ĐN:      
'
( ) ( )f x dx G x C G x C f x     
1
2
1 0 , 1
2
1
1 1
3
1
4 ln
dx C dx x C
x
x dx C
dx C
x x
dx x C
x




  
 

  
 
 



 
 
1
1
2 .
1
1 1
4 .ln
ax b
ax b dx C
a
dx ax b C
ax b a





  

  



5
ln
x
x x x ae dx e C a dx C
a
     
1
5 .ax b ax be dx e C
a
   
6 sin cos
7 cos sin
xdx x C
xdx x C
  
 


 
 
1
6 sin( ) .cos
1
7 cos( ) .sin
ax b dx ax b C
a
ax b dx ax b C
a
    
   


2
2
1
8 tan
os
1
9 cot
sin
dx x C
c x
dx x C
x
 
  


  
 
 
 
2
2
1 1
8 .tan
os
1 1
9 cot
sin
dx ax b C
c ax b a
dx ax b C
ax b a
  

   



II. TÍCH PHÂN- PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 
ĐN:     ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a   
1. Đổi biến số:   . '( ).
b
a
I f u x u x dx    
- Đặt:   '( )t u x dt u x dx   
- Đổi cận: 
 
 
x a t u a
x b t u b
  
  
12 
- Thế vào:    
 
 
. '( ).
u bb
a u a
I f u x u x dx f t dt     
2. Cơng thức từng phần: 
Chú ý: 
a/ a
2 2
( ).sin a
( ). osa
( ).
( ) ( )
sin cos
x
I P x xdx
I P x c xdx
I P x e dx
P x P x
I dx I dx
x x
 

 





  




 
 đặt ( )u P x 
b/ ( ).ln(a )I P x x b dx  đặt ln(a )u x b  
3/ Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối:  
b
a
I f x dx  
- Giải phương trình   0f x  tìm các nghiệm  1 2 3; ; ... ;x x x a b 
-      
1 2
1
...
n
x x b
a x x
I f x dx f x dx f x dx      
4/ Tích phân hàm số hữu tỉ: 
( )
( )
b
a
P x
I dx
Q x
  
- Nếu bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x) thì lấy P(x) chia Q(x). 
- Đặt  t Q x 
- 
1 1
.ln a
a
I dx x b C
x b a
   

. .
b b
b
a
a a
I u dv u v vdu    
13 
- 
2
1 2 1 2
1 1 1 1
a ( )
I dx dx
x bx c a x x x x x x
 
   
     
  
Cơng thức phân tích đa thức: 
 
       
1 2 1 2
2 2
... ...
( ) ( )
n m
n m n m
P x A BA A B B
x a x a x a x ax a x b x a x a
       
      
III. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN: 
1/ Tính điện tích hình phẳng: 
 
 
0 ( )
:
b
a
y f x
y Ox
H S f x dx
x a
x b



 

 
 
 
 
( )
: ( ) ( )
b
a
y f x
y g x
H S f x g x dx
x a
x b



  

 
 
Chú ý: giải pthđgđ:   ( )f x g x tìm a và b (nếu chưa cĩ) 
2/ Thể tích vật thể trịn xoay quay quanh trục Ox: 
 
 
2
0 ( )
:
b
a
y f x
y Ox
H V f x dx
x a
x b




     

 
 
Chú ý: giải pthđgđ:   0f x  tìm a và b (nếu chưa cĩ) 
14 
PHẦN 4: SỐ PHỨC 
2 1i   
1 , ( )
0
0
z a bi a b z x yi
z la thuan ao a
z la thuanthuc b
    
  
  
22 2 2 2z a b z a b
z a bi
     
  
 ;z x yi M x y Oxy     
2
2
4 : 0
4
0
2
2
0
2
Pt Az Bz C
B AC
B
z
A
B i
z
A
B i
z
A
  
  
     
   

   
   


1 2
1 2
1 2
1 2
2
1 2 0; à : 0
B
S z z
A
Viet
C
P z z
A
z z S
z z P
z z l n pt Z SZ P

  
 
  

 


   
 
  
2 2
2 ' ' '
' 0
' 0
' 0
' ' '
. ' ' '
. ' . '
' ' '. '
z a bi and z a b i
a a a
z z z
b b b
z z a a b b i
z z a bi a b i
z z z z z
z a bz z
   
  
      
  
     
   
  

3 0
B
pt Az B z
A

    
5. Tìm số phức thỏa điều kiện cho trƣớc 
Cách giải (chú ý bài tốn thƣờng cĩ giả thiết ; ;z z z ) 
B1: Đặt  ,z a bi a b   hay z x yi   ,x y 
B2: Thế vào biến đổi giả thiết thường đưa về dạng hai số phức bằng nhau 
B3: Biến đổi điều kiện hai số phức bằng nhau đưa về hệ phương trình 
giải hệ  kq 
15 
PHẦN 5 : KHỐI ĐA DIỆN-MẶT CẦU-MẶT TRỤ-MẶT NĨN 
Hình Chĩp 
1
.
3
V B h - B diện tích đáy 
- h chiều cao 
Lăng trụ .V B h 
Hình nĩn 
21 1. .
3 3
xq
V B h r h
S rl


 

- B diện tích đáy 
- h chiều cao 
- r bán kính 
- l đường sinh 
Hình trụ 
2.
2xq
V B h r h
S rl


 

- B diện tích đáy 
- h chiều cao 
- r bán kính 
- l đường sinh 
Hình cầu 
3
2
4
3
4
V r
S r




- r bán kính mặt cầu 
16 
PHẦN 6: PP TỌA TRONG KHƠNG GIAN 
I. CƠNG THỨC TỌA ĐỘ: 
   1 2 3 1 2 3; ; ; ;a a a a b b b b  
 
 
1 2 2
1 1 2 2 3 3
1 1
2 2
3 3
1 . ; ;
2 ; ;
3
k a ka ka ka
a b a b a b a b
a b
a b a b
a b

    


  
 
1 1 2 2 3 34 . . . .a b a b a b a b   
3 32 1 1 2
2 3 3 1 1 2
5 ; , ,
a aa a a a
b b b b b b
a b
        
  1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
6 cos ,
.
a b a b a ba b
a b
a b a a a b b b
 
 
   
- Hai vectơ ;a b vuơng gĩc . 0a b  
- Hai vectơ ;a b cùng phương 31 2
1 2 3
; 0
aa a
a b
b b b
       
   ; ; ; ;A A A B B BA x y z B x y z 
 
     
2 2 2
1 ; ;
2
B A B A B A
B A B A B A
AB x x y y z z
AB x x y y z z
   
     
3 M là trung điểm của AB thì ; ;
2 2 2
A B A B A B
M M M
x x y y z z
x y z
  
   
 Nhận xét:  
 
( ,0,0)
0, ,0
0,0,
M
M
M
M Ox M x
M Oy M y
M Oz M z
 
 
 
17 
II. PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG: 
1. Phƣơng trình tổng quát của mp : 
 A 0 : ; ;x By Cz D VTPT n A B C      
2. PT mp đi qua điểm  0 0 0 0; ;M x y z và cĩ  ; ;VTPT n A B C là: 
     0 0 0A 0x x B y y C z z      
Nhận xét: nếu mp cĩ 2    1 2 3 1 2 3: ; ; , ; ;VTCP a a a a b b b b  
 Thì : ;VTPT n a b    
- Mp qua    A ;0;0 , (0; ;0), 0;0;a B b C c là: 
  : 1
x y z
ABC
a b c
   
3. Khoảng cách từ ( ; ; )M M MM x y z đến mp  :A 0x By Cz D     
là   
2 2 2
. . .
,
M M MA x B y C z D
d M
A B C

  

 
Chú ý: 
- Mp:      Ox : 0 Ox ; ;0M My z M y M x y    
- Mp:      Oxz : 0 Oxz ;0;M My M M x z    
- Mp:      O : 0 O 0; ;M Myz x M yz M y z    
III. PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG: 
Đường thẳng  đi qua 0 0 0 0( ; ; )M x y z cĩ VTCP  ; ;u a b c 
- Pt tham số
0
0
0
:
x x at
y y bt
z z ct
 

  
  
- 0abc  Pt chính tắt 0 0 0:
x x y y z z
a b c
  
   
Nhận xét:  0 0 0; ;M M x at y bt z ct    
18 
IV. PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU: 
- Mặt cầu (S) tâm ( ; ; )I a b c bán kính R cĩ phương trình là: 
      
2 2 2 2x a y b z c R      
- PT: 2 2 2 2a 2 2 0x y z x by cz d       
Là phương trình mặt cầu nếu: 2 2 2 0a b c d    
Tâm: ( ; ; )I a b c bán kính 
2 2 2R a b c d    
V. VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI: 
1. Vị trí tƣơng đối giữa hai đƣờng thẳng: 
 
0
0
0
: ; ;
x x at
y y bt u a b c
z z ct
 

    
  
 và  
0
0
0
' ' '
' : ' ' ' ' '; '; '
' ' '
x x a t
y y b t u a b c
z z c t
 

    
  
Xét hệ phƣơng trình: 
0 0
0 0
0 0
' ' '
' ' '
'
' ' '
x at x a t
y bt y b t
z ct z c t
  
 
    
    
TH1: nếu hệ cĩ nghiệm thì 2 đƣờng cắt nhau tại ( ; ; )I I II x y z là 
nghiệm của hệ. 
TH2: nếu hệ vơ nghiệm 
- , 'u u cùng phƣơng thì '  
- , 'u u khơng cùng phƣơng thì  chéo với ' 
Chú ý: ' . ' 0u u     
19 
2. Vị trí tƣơng đối giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng: 
0
0
0
:
x x at
y y bt
z z ct
 

  
  
 và   : 0Ax By Cz D     
Xét hệ phƣơng trình: 
 
 
0
0
0
: 0Ax By Cz D
x x at
y y bt
z z ct


   

   
 
  
  
TH1: hệ vơ nghiệm   
TH2: hệ cĩ nghiệm duy nhất   I  tọa độ là no của hệ 
 TH3: hệ vơ số nghiệm   
3. Vị trí tƣơng đối giữa mặt phẳng và mặt cầu: 
Cho mp   : 0Ax By Cz D     
Và mặt cầu (S) tâm  ; ;I a b c bán kính R 
Tính:  ;( )d I  
TH1:  d R   tiếp xúc với (S) 
TH2:  d R   cắt (S) theo đường trịn (C) cĩ bán kính 
2 2r R d  
TH3:  d R   và (S) khơng cĩ điểm chung. 
Thầy chúc các em học tốt ! 
y 
(C1)