Ôn tập Hình học 11 - Chương III: vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc trong không gian

CHÖÔNG III: 
VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN
QUAN HEÄ VUOÂNG GOÙC TRONG KHOÂNG GIAN
I. VECTÔ TRONG KHOÂNG GIAN
1. Ñònh nghóa vaø caùc pheùp toaùn 
	· Ñònh nghóa, tính chaát, caùc pheùp toaùn veà vectô trong khoâng gian ñöôïc xaây döïng hoaøn toaøn töông töï nhö trong maët phaúng.
	· Löu yù:
	+ Qui taéc ba ñieåm: Cho ba ñieåm A, B, C baát kyø, ta coù: 
	+ Qui taéc hình bình haønh: Cho hình bình haønh ABCD, ta coù: 
	+ Qui taéc hình hoäp: Cho hình hoäp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta coù: 
	+ Heâï thöùc trung ñieåm ñoaïn thaúng: Cho I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB, O tuyø yù. 
	Ta coù:	;	
	+ Heä thöùc troïng taâm tam giaùc: Cho G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC, O tuyø yù. Ta coù:
	+ Heä thöùc troïng taâm töù dieän: Cho G laø troïng taâm cuûa töù dieän ABCD, O tuyø yù. Ta coù:
	+ Ñieàu kieän hai vectô cuøng phöông: 
	+ Ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k (k ¹ 1), O tuyø yù. Ta coù:
2. Söï ñoàng phaúng cuûa ba vectô
	· Ba vectô ñöôïc goïi laø ñoàng phaúng neáu caùc giaù cuûa chuùng cuøng song song vôùi moät maët phaúng.
	· Ñieàu kieän ñeå ba vectô ñoàng phaúng: Cho ba vectô , trong ñoù khoâng cuøng phöông. Khi ñoù: ñoàng phaúng Û $! m, n Î R: 
	· Cho ba vectô khoâng ñoàng phaúng, tuyø yù. 
	Khi ñoù: 	$! m, n, p Î R: 
3. Tích voâ höôùng cuûa hai vectô
	· Goùc giöõa hai vectô trong khoâng gian: 
	· Tích voâ höôùng cuûa hai vectô trong khoâng gian: 
	+ Cho . Khi ñoù: 	
	+ Vôùi . Qui öôùc: 	
	+ 
VAÁN ÑEÀ 1: Chöùng minh moät ñaúng thöùc vectô. 
	Döïa vaøo qui taéc caùc pheùp toaùn veà vectô vaø caùc heä thöùc vectô.
Cho töù dieän ABCD. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD, I laø trung ñieåm cuûa EF.
	a) Chöùng minh: .
	b) Chöùng minh: , vôùi M tuyø yù.
	c) Tìm ñieåm M thuoäc maët phaúng coá ñònh (P) sao cho: nhoû nhaát.
Chöùng minh raèng trong moät töù dieän baát kì, caùc ñoaïn thaúng noái trung ñieåm cuûa caùc caïnh ñoái ñoàng qui taïi trung ñieåm cuûa chuùng. (Ñieåm ñoàng qui ñoù ñöôïc goïi laø troïng taâm cuûa töù dieän)
Cho töù dieän ABCD. Goïi A¢, B¢, C¢, D¢ laàn löôït laø caùc ñieåm chia caùc caïnh AB, BC, CD, DA theo tæ soá k (k ¹ 1). Chöùng minh raèng hai töù dieän ABCD vaø A¢B¢C¢D¢ coù cuøng troïng taâm.
VAÁN ÑEÀ 2: Chöùng minh ba vectô ñoàng phaúng.
Phaân tích moät vectô theo ba vectô khoâng ñoàng phaúng
	· Ñeå chöùng minh ba vectô ñoàng phaúng, ta coù theå chöùng minh baèng moät trong caùc caùch:
	+ Chöùng minh caùc giaù cuûa ba vectô cuøng song song vôùi moät maët phaúng.
	+ Döïa vaøo ñieàu kieän ñeå ba vectô ñoàng phaúng: 
	Neáu coù m, n Î R: thì ñoàng phaúng
	· Ñeå phaân tích moät vectô theo ba vectô khoâng ñoàng phaúng, ta tìm caùc soá m, n, p sao cho: 
Cho tam giaùc ABC. Laáy ñieåm S naèm ngoaøi maët phaúng (ABC). Treân ñoaïn SA laáy ñieåm M sao cho vaø treân ñoaïn BC laáy ñieåm N sao cho . Chöùng minh raèng ba vectô ñoàng phaúng.
HD: Chöùng minh .
Cho hình hoäp ABCD.EFGH. Goïi M, N, I, J, K, L laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P vaø Q laàn löôït laø trung ñieåm cuûa NG vaø JH.
a) Chöùng minh ba vectô ñoàng phaúng.
b) Chöùng minh ba vectô ñoàng phaúng.
HD: a) coù giaù cuøng song song vôùi (ABCD).
b) coù giaù cuøng song song vôùi (BDG).
 Cho hình laêng truï ABC.DEF. Goïi G, H, I, J, K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AE, EC, CD, BC, BE.
	a) Chöùng minh ba vectô ñoàng phaúng.
	b) Goïi M, N laàn löôït laø hai ñieåm treân AF vaø CE sao cho . Caùc ñöôøng thaúng veõ töø M vaø N song song vôùi CF laàn löôït caét DF vaø EF taïi P vaø Q. Chöùng minh ba vectô ñoàng phaúng.
Cho hình hoäp ABCD.A¢B¢C¢D¢. Goïi M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa CD vaø DD¢; G vaø G¢ laàn löôït laø troïng taâm cuûa caùc töù dieän A¢D¢MN vaø BCC¢D¢. Chöùng minh raèng ñöôøng thaúng GG¢ vaø maët phaúng (ABB¢A¢) song song vôùi nhau.
HD: Chöùng minh Þ ñoàng phaúng.
Cho ba vectô khoâng ñoàng phaúng vaø vectô .
a) Cho vôùi m vaø n ¹ 0. Chöùng minh caùc boä ba vectô sau khoâng ñoàng phaúng:
	i) 	ii) 
b) Cho vôùi m, n vaø p ¹ 0. Chöùng minh caùc boä ba vectô sau khoâng ñoàng phaúng:	i) 	ii) 	iii) 
HD: Söû duïng phöông phaùp phaûn chöùng.
Cho ba vectô khaùc vaø ba soá thöïc m, n, p ¹ 0. Chöùng minh raèng ba vectô ñoàng phaúng.
HD: Chöùng minh .
Cho hình laêng truï tam giaùc ABC.A¢B¢C¢ coù . Haõy phaân tích caùc vectô theo caùc vectô .
HD: a) 	b) .
Cho töù dieän OABC. Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC.
	a) Phaân tích vectô theo caùc ba .
	b) Goïi D laø troïng taâm cuûa töù dieän OABC. Phaân tích vectô theo ba vectô . 
HD: a) 	b) .
Cho hình hoäp OABC.DEFG. Goïi I laø taâm cuûa hình hoäp.
a) Phaân tích hai vectô theo ba vectô .
b) Phaân tích vectô theo ba vectô .
HD: a) , .	b) .
Cho hình laäp phöông ABCD.EFGH.
a) Phaân tích vectô theo ba vectô .
b) Phaân tích vectô theo ba vectô .
HD: a) 	b) .
VAÁN ÑEÀ 3: Tích voâ höôùng cuûa hai vectô trong khoâng gian 
Cho hình laäp phöông ABCD.A¢B¢C¢D¢.
	a) Xaùc ñònh goùc giöõa caùc caëp vectô: , , .
	b) Tính caùc tích voâ höôùng cuûa caùc caëp vectô: , , .
Cho hình töù dieän ABCD, trong ñoù AB ^ BD. Goïi P vaø Q laø caùc ñieåm laàn löôït thuoäc caùc ñöôøng thaúng AB vaø CD sao cho (k ¹ 1). Chöùng minh .
II. HAI ÑÖÔØNG THAÚNG VUOÂNG GOÙC
1. Vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng: laø VTCP cuûa d neáu giaù cuûa song song hoaëc truøng vôùi d.
2. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng: 
	· a¢//a, b¢//b Þ 
	· Giaû söû laø VTCP cuûa a, laø VTCP cuûa b, . 
	Khi ñoù: 	
	· Neáu a//b hoaëc a º b thì 
	Chuù yù: 	
3. Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc:
	· a ^ b Û 
	· Giaû söû laø VTCP cuûa a, laø VTCP cuûa b. Khi ñoù . 
	· Löu yù: Hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi nhau coù theå caét nhau hoaëc cheùo nhau.
VAÁN ÑEÀ 1: Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc
Phöông phaùp: Coù theå söû duïng 1 trong caùc caùch sau:
	1. Chöùng minh goùc giöõa hai ñöôøng thaúng ñoù baèng 900.
	2. Chöùng minh 2 vectô chæ phöông cuûa 2 ñöôøng thaúng ñoù vuoâng goùc vôùi nhau.
	3. Söû duïng caùc tính chaát cuûa hình hoïc phaúng (nhö ñònh lí Pi–ta–go, ).
Cho hình choùp tam giaùc S.ABC coù SA = SB = SC vaø . Chöùng minh raèng SA ^ BC, SB ^ AC, SC ^ AB.
HD: Chöùng minh = 0
Cho töù dieän ñeàu ABCD, caïnh baèng a. Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DBCD.
	a) Chöùng minh AO vuoâng goùc vôùi CD.
	b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa CD. Tính goùc giöõa AC vaø BM.
	HD:	b) .
Cho töù dieän ABCD coù AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
	a) CMR ñoaïn noái trung ñieåm caùc caëp caïnh ñoái dieän thì vuoâng goùc vôùi 2 caïnh ñoù.
	b) Tính goùc hôïp bôûi caùc caïnh ñoái cuûa töù dieän.
	HD:	b) .
Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình bình haønh vôùi AB = a, AD = 2a, SAB laø tam giaùc vuoâng caân taïi A, M laø ñieåm treân caïnh AD (M ¹ A vaø D). Maët phaúng (P) qua M song song vôùi mp(SAB) caét BC, SC, SD laàn löôït taïi N, P, Q.
	a) Chöùng minh MNPQ laø hình thang vuoâng.
	b) Ñaët AM = x. Tính dieän tích cuûa MNPQ theo a vaø x.
Cho hình hoäp ABCD.A¢B¢C¢D¢ coù taát caû caùc caïnh ñeàu baèng nhau. Chöùng minh raèng AC ^ B¢D¢, AB¢ ^ CD¢, AD¢ ^ CB¢.
III. ÑÖÔØNG THAÚNG VUOÂNG GOÙC VÔÙI MAËT PHAÚNG
1. Ñònh nghóa
	d ^ (P) Û d ^ a, "a Ì (P)
2. Ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng 
3. Tính chaát
	· Maët phaúng trung tröïc cuûa moät ñoaïn thaúng laø maët phaúng vuoâng goùc vôùi ñoaïn thaúng taïi trung ñieåm cuûa noù.
	Maët phaúng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng laø taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu hai ñaàu muùt cuûa ñoaïn thaúng ñoù.
	· 	· 
	· 	· 
	· 	· 
4. Ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc
	Cho , a¢ laø hình chieáu cuûa a treân (P). Khi ñoù b ^ a Û b ^ a¢
5. Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng 
	· Neáu d ^ (P) thì = 900.
	· Neáu thì = vôùi d¢ laø hình chieáu cuûa d treân (P).
	Chuù yù: 00 £ £ 900.
VAÁN ÑEÀ 1: Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng
Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc 
* Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng
 Ñeå chöùng minh d ^ (P), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau:
	· Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi hai ñöôøng thaúng a, b caét nhau naèm trong (P).
	· Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi (Q) vaø (Q) // (P).
	· Chöùng minh d // a vaø a ^ (P).
* Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc
Ñeå chöùng minh d ^ a, ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau:
	· Chöùng minh d vuoâng goùc vôùi (P) vaø (P) chöùa a.
	· Söû duïng ñònh lí ba ñöôøng vuoâng goùc.
	· Söû duïng caùc caùch chöùng minh ñaõ bieát ôû phaàn tröôùc.
Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng taâm O. SA ^ (ABCD). Goïi H, I, K laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân SB, SC, SD.
a) CMR: BC ^ (SAB), CD ^ (SAD), BD ^ (SAC).
b) CMR: AH, AK cuøng vuoâng goùc vôùi SC. Töø ñoù suy ra 3 ñöôøng thaúng AH, AI, AK cuøng naèm trong moät maët phaúng.
c) CMR: HK ^ (SAC). Töø ñoù suy ra HK ^ AI.
Cho töù dieän SABC coù tam giaùc ABC vuoâng taïi B; SA ^ (ABC).
a) Chöùng minh: BC ^ (SAB).	
b) Goïi AH laø ñöôøng cao cuûa DSAB. Chöùng minh: AH ^ SC.
Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình thoi taâm O. Bieát: SA = SC, SB = SD.
a) Chöùng minh: SO ^ (ABCD).
b) Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh BA, BC. CMR: IJ ^ (SBD).
Cho töù dieän ABCD coù ABC vaø DBC laø 2 tam giaùc ñeàu. Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC.
a) Chöùng minh: BC ^ (AID).
b) Veõ ñöôøng cao AH cuûa DAID. Chöùng minh: AH ^ (BCD).
Cho töù dieän OABC coù OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm O treân mp(ABC). Chöùng minh raèng:
a) BC ^ (OAH).
b) H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC.
c) .
d) Caùc goùc cuûa tam giaùc ABC ñeàu nhoïn.
Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a. Maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu; SAD laø tam giaùc vuoâng caân ñænh S. Goïi I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD.
a) Tính caùc caïnh cuûa DSIJ vaø chöùng minh raèng SI ^ (SCD), SJ ^ (SAB).
b) Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân IJ. CMR: SH ^ AC.
c) Goïi M laø moät ñieåm thuoäc ñöôøng thaúng CD sao cho: BM ^ SA. Tính AM theo a.
HD:	a) a, 	c) 
Cho hình choùp SABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu vaø SC = a. Goïi H vaø K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AD.
a) CMR: SH ^ (ABCD).
b) Chöùng minh: AC ^ SK vaø CK ^ SD.
Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình chöõ nhaät coù AB = a, BC = a, maët beân SBC vuoâng taïi B, maët beân SCD vuoâng taïi D coù SD = a.
a) Chöùng minh: SA ^ (ABCD) vaø tính SA.
b) Ñöôøng thaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi AC, caét caùc ñöôøng thaúng CB, CD laàn löôït taïi I, J. Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân SC. Haõy xaùc ñònh caùc giao ñieåm K, L cuûa SB, SD vôùi mp(HIJ). CMR: AK ^ (SBC), AL ^ (SCD).
c) Tính dieän tích töù giaùc AKHL.
HD:	a) a.	c) .
Goïi I laø 1 ñieåm baát kì ôû trong ñöôøng troøn (O;R). CD laø daây cung cuûa (O) qua I. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng chöùa ñöôøng troøn (O) taïi I ta laáy ñieåm S vôùi OS = R. Goïi E laø ñieåm ñoái taâm cuûa D treân ñöôøng troøn (O). Chöùng minh raèng:
a) Tam giaùc SDE vuoâng taïi S.
b) SD ^ CE.
c) Tam giaùc SCD vuoâng.
Cho DMAB vuoâng taïi M ôû trong maët phaúng (P). Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi (P) taïi A ta laáy 2 ñieåm C, D ôû hai beân ñieåm A. Goïi C¢ laø hình chieáu cuûa C treân MD, H laø giao ñieåm cuûa AM vaø CC¢.
a) Chöùng minh: CC¢ ^ (MBD).
b) Goïi K laø hình chieáu cuûa H treân AB. CMR: K laø tröïc taâm cuûa DBCD.
Cho hình töù dieän ABCD.
a) Chöùng minh raèng: AB ^ CD Û AC2 – AD2 = BC2 – BD2.
b) Töø ñoù suy ra neáu moät töù dieän coù 2 caëp caïnh ñoái vuoâng goùc vôùi nhau thì caëp caïnh ñoái coøn laïi cuõng vuoâng goùc vôùi nhau.
VAÁN ÑEÀ 2: Tìm thieát dieän qua moät ñieåm vaø vuoâng goùc vôùi moät ñöôøng thaúng 
Phöông phaùp: Tìm 2 ñöôøng thaúng caét nhau cuøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng ñaõ cho, khi ñoù maët phaúng caét seõ song song (hoaëc chöùa) vôùi 2 ñöôøng thaúng aáy.
Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình thang vuoâng taïi A vaø B vôùi AB = BC = a, AD = 2a; SA ^ (ABCD) vaø SA = 2a. Goïi M laø 1 ñieåm treân caïnh AB. Maët phaúng (P) qua M vaø vuoâng goùc vôùi AB. Ñaët AM = x (0 < x < a).
	a) Tìm thieát dieän cuûa hình choùp vôùi (P). Thieát dieän laø hình gì?
	b) Tính dieän tích thieát dieän theo a vaø x.
	HD:	a) Hình thang vuoâng	b) S = 2a(a – x).
Cho töù dieän SABC, coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a; SA ^ (ABC) vaø SA = 2a. Maët phaúng (P) qua B vaø vuoâng goùc vôùi SC. Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi (P) vaø tính dieän tích cuûa thieát dieän naøy.
	HD:	S = .
Cho töù dieän SABC vôùi ABC laø tam giaùc vuoâng caân ñænh B, AB = a. SA ^ (ABC) vaø SA = a. M laø 1 ñieåm tuyø yù treân caïnh AB, ñaët AM = x (0 < x < a). Goïi (P) laø maët phaúng qua M vaø vuoâng goùc vôùi AB.
	a) Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi (P).
	b) Tính dieän tích cuûa thieát dieän ñoù theo a vaø x. Tìm x ñeå dieän tích thieát dieän coù giaù trò lôùn nhaát.
	HD:	b) S = x(a – x); S lôùn nhaát khi x = .
Cho hình töù dieän SABC vôùi ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a, SA ^ (ABC) vaø SA = a. Tìm thieát dieän cuûa töù dieän vôùi maët phaúng (P) vaø tính dieän tích thieát dieän trong caùc tröôøng hôïp sau:
	a) (P) qua S vaø vuoâng goùc vôùi BC.
	b) (P) qua A vaø vuoâng goùc vôùi trung tuyeán SI cuûa tam giaùc SBC.
	c) (P) qua trung ñieåm M cuûa SC vaø vuoâng goùc vôùi AB.
	HD:	a) .	b) .	c) .
Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, SA ^ (ABCD) vaø SA = a. Veõ ñöôøng cao AH cuûa tam giaùc SAB.
	a) CMR: .
	b) Goïi (P) laø maët phaúng qua A vaø vuoâng goùc vôùi SB. (P) caét hình choùp theo thieát dieän laø hình gì? Tính dieän tích thieát dieän.	HD:	b) S = 
VAÁN ÑEÀ 3: Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng
Phöông phaùp: Xaùc ñònh goùc giöõa ñöôøng thaúng a vaø maët phaúng (P). 
	· Tìm giao ñieåm O cuûa a vôùi (P).
	· Chon ñieåm A Î a vaø döïng AH ^ (P). Khi ñoù 
Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, taâm O; SO ^ (ABCD). Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh SA vaø BC. Bieát .
	a) Tính MN vaø SO.
	b) Tính goùc giöõa MN vaø (SBD).
	HD:	a) MN = ; SO = 	b) sin.
Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a; SA ^ (ABCD) vaø SA = a. Tính goùc giöõa:
	a) SC vaø (ABCD)	b) SC vaø (SAB) c) SB vaø (SAC)	d) AC vaø (SBC)
	HD:	a) 6000000008776540	b) arctan	c) arcsin	d) arcsin.
Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø hình chöõ nhaät; SA ^ (ABCD). Caïnh SC = a hôïp vôùi ñaùy goùc a vaø hôïp vôùi maët beân SAB goùc b.
	a) Tính SA.
	b) CMR: AB = a.
	HD:	a) a.sina
Cho hình choùp SABC, coù ABC laø tam giaùc caân, AB = AC = a, . Bieát SA, SB, SC ñeàu hôïp vôùi maët phaúng (ABC) goùc a.
	a) CMR: hình chieáu cuûa S treân mp(ABC) laø taâm cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp DABC.
	b) Tính khoaûng caùch töø S ñeán mp(ABC).
	HD:	b) .
Cho laêng truï ABC.A¢B¢C¢, coù ñaùy laø tam giaùc ñeàu caïnh a, AA¢ ^ (ABC). Ñöôøng cheùo BC¢ cuûa maët beân BCC¢B¢ hôïp vôùi (ABB¢A¢) goùc 300.
	a) Tính AA¢.
	b) Tính khoaûng caùch töø trung ñieåm M cuûa AC ñeán (BA¢C¢).
	c) Goïi N laø trung ñieåm cuûa caïnh BB¢. Tính goùc giöõa MN vaø (BA¢C¢).
	HD:	a) a.	b) .	c) arcsin.
Cho laêng truï ABC.A¢B¢C¢, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân taïi A; AA¢ ^ (ABC). Ñoaïn noái trung ñieåm M cuûa AB vaø trung ñieåm N cuûa B¢C¢ coù ñoä daøi baèng a, MN hôïp vôùi ñaùy goùc a vaø maët beân BCC¢B¢ goùc b.
	a) Tính caùc caïnh ñaùy vaø caïnh beân cuûa laêng truï theo a vaø a.
	b) Chöùng minh raèng: cosa = sinb.
	HD:	a) AB = AC = 2a.cosa; BC = 2acosa;	AA¢ = a.sina.
IV. HAI MAËT PHAÚNG VUOÂNG GOÙC
1. Goùc giöõa hai maët phaúng 
	· 
	· Giaû söû (P) Ç (Q) = c. Töø I Î c, döïng Þ 
	Chuù yù: 	
2. Dieän tích hình chieáu cuûa moät ña giaùc
	Goïi S laø dieän tích cuûa ña giaùc (H) trong (P), S¢ laø dieän tích cuûa hình chieáu (H¢) cuûa (H) treân (Q), j = . Khi ñoù:	S¢ = S.cosj
3. Hai maët phaúng vuoâng goùc
	· (P) ^ (Q) Û 
	· Ñieàu kieän ñeå hai maët phaúng vuoâng goùc vôùi nhau: 
4. Tính chaát
	· 	· 
	· 
VAÁN ÑEÀ 1: Goùc giöõa hai maët phaúng 
Phöông phaùp: Muoán tìm goùc giöõa hai maët phaúng (P) vaø (Q) ta coù theå söû duïng moät trong caùc caùch sau:
	· Tìm hai ñöôøng thaúng a, b: a ^ (P), b ^ (Q). Khi ñoù: .
	· Giaû söû (P) Ç (Q) = c. Töø I Î c, döïng Þ 
Cho hình choùp SABC, coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng caân vôùi BA = BC = a; SA ^ (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AB vaø AC.
	a) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SAC) vaø (SBC).
	b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SEF) vaø (SBC).
	HD:	a) = 600	b) cos.
Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, taâm O; SA ^ (ABCD). Tính SA theo a ñeå soá ño cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (SCB) vaø (SCD) baèng 600.
	HD:	SA = a.
Cho hình choùp SABCD, coù ñaùy ABCD laø nöûa luïc giaùc ñeàu noäi tieáp ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 2a; SA ^ (ABCD) vaø SA = a.
	a) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SAD) vaø (SBC).
	b) Tính goùc giöõa 2 maët phaúng (SBC) vaø (SCD).
	HD:	a) tan	b) cos.
Cho hình vuoâng ABCD caïnh a, SA ^ (ABCD) vaø SA = a. Tính goùc giöõa caùc caëp maët phaúng sau:
	a) (SBC) vaø (ABC)	b) (SBD) vaø (ABD)	c) (SAB) vaø (SCD)
	HD:	a) 600	b) arctan	c) 300.
Cho hình thoi ABCD caïnh a, taâm O, OB = ; SA ^ (ABCD) vaø SO = .
	a) Chöùng minh vuoâng.
	b) Chöùng minh hai maët phaúng (SAB) vaø (SAD) vuoâng goùc.
	c) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ABC).
	HD: 	c) 600.
Cho hình choùp SABCD coù SA ^ (ABCD) vaø SA = a, ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D vôùi AB = 2a, AD = DC = a. Tính goùc giöõa caùc caëp maët phaúng:
a) (SBC) vaø (ABC)	b) (SAB) vaø (SBC)	c) (SBC) vaø (SCD)	
	HD:	a) 450	b) 600	c) arccos.
VAÁN ÑEÀ 2: Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc.
Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng.
* Chöùng minh hai maët phaúng vuoâng goùc
 Ñeå chöùng minh (P) ^ (Q), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau:
	· Chöùng minh trong (P) coù moät ñöôøng thaúng a maø a ^ (Q).
	· Chöùng minh 
* Chöùng minh ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi maët phaúng 
Ñeå chöùng minh d ^ (P), ta coù theå chöùng minh bôûi moät trong caùc caùch sau:
	· Chöùng minh d Ì (Q) vôùi (Q) ^ (P) vaø d vuoâng goùc vôùi giao tuyeán c cuûa (P) vaø (Q).
	· Chöùng minh d = (Q) Ç (R) vôùi (Q) ^ (P) vaø (R) ^ (P).
	· Söû duïng caùc caùch chöùng minh ñaõ bieát ôû phaàn tröôùc.
Cho tam giaùc ñeàu ABC, caïnh a. Goïi D laø ñieåm ñoái xöùng vôùi A qua BC. Treân ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôi mp(ABC) taïi D laáy ñieåm S sao cho SD = a. Chöùng minh hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc vôùi nhau.
Cho hình töù dieän ABCD coù hai maët ABC vaø ABD cuøng vuoâng goùc vôùi ñaùy DBC. Veõ caùc ñöôøng cao BE, DF cuûa DBCD, ñöôøng cao DK cuûa DACD.
	a) Chöùng minh: AB ^ (BCD).
	b) Chöùng minh 2 maët phaúng (ABE) vaø (DFK) cuøng vuoâng goùc vôùi mp(ADC).
	c) Goïi O vaø H laàn löôït laø tröïc taâm cuûa 2 tam giaùc BCD vaø ADC. CMR: OH ^ (ADC).
Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng, SA ^ (ABCD).
	a) Chöùng minh (SAC) ^ (SBD).
	b) Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SAD) vaø (SCD).
	c) Goïi BE, DF laø hai ñöôøng cao cuûa DSBD. CMR: (ACF) ^ (SBC), (AEF) ^ (SAC).
	HD:	b) 900.
Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA ^ (ABCD). Goïi M, N laø 2 ñieåm laàn löôït ôû treân 2 caïnh BC, DC sao cho BM = , DN = . Chöùng minh 2 maët phaúng (SAM) vaø (SMN) vuoâng goùc vôùi nhau.
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. Veõ BB¢ vaø CC¢ cuøng vuoâng goùc vôùi mp(ABC).
	a) Chöùng minh (ABB¢) ^ (ACC¢).
	b) Goïi AH, AK laø caùc ñöôøng cao cuûa DABC vaø DAB¢C¢. Chöùng minh 2 maët phaúng (BCC¢B¢) vaø (AB¢C¢) cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (AHK).
Cho hình choùp SABCD, ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi I laø trung ñieåm cuûa AB.
	a) Chöùng minh raèng SI ^ (ABCD), AD ^ (SAB).
	b) Tính goùc giöõa BD vaø mp(SAD).
	c) Tính goùc giöõa SD vaø mp(SCI).
	HD:	b) arcsin	c) arcsin
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AB = c, AC = b. Goïi (P) laø maët phaúng qua BC vaø vuoâng goùc vôùi mp(ABC); S laø 1 ñieåm di ñoäng treân (P) sao cho SABC laø hình choùp coù 2 maët beân SAB, SAC hôïp vôùi ñaùy ABC hai goùc coù soá ño laàn löôït laø