Ôn tập Hình học 10 - Chương III: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng (Phần E)

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
Cho ba điểm A(2; 1), B(–2; 2), M(x; y).
	a) Tìm hệ thức giữa x và y sao cho tam giác AMB vuông tại M.
	b) Tìm phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường trung trực đoạn AB.
	c) Tìm phương trình của đường thẳng d đi qua A và tạo với AB một góc .
	HD: a) 	b) 
	c) 
Cho ba đường thẳng , , .
	a) Chứng tỏ rằng d1 và d2 song song. Tính khoảng cách giữa d1 và d2.
	b) Tìm phương trình đường thẳng d song song và cách đều d1 và d2 .
	c) Tìm điểm M trên d3 cách d1 một đoạn bằng 1.
	HD: a) 2	b) 	c) M(3; 2) hoặc M(1; 1)
Cho điểm A(2; –3) và hai đường thẳng , .
	a) Viết phương trình tham số của đường thẳng D đi qua A và cắt d, d¢ tại B, B¢ sao cho AB = AB¢.
	b) Gọi M là giao điểm của d và d¢ . Tính diện tích của tam giác MBB¢.
	HD: a) 	b) S = 5
Cho đường thẳng dm: .
	a) Chứng minh rằng dm luôn đi qua một điểm cố định A.
	b) Tìm m để dm cắt đoạn BC với B(2; 3), C(4; 0).
	c) Tìm phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với BC một góc .
	d) Tìm m để đường thẳng dm tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = .
	HD: a) A(1; –3)	b) 	c) 
	d) 
Cho hai đường thẳng: 
	 và 
	 a) Chứng minh rằng d và d¢ lần lượt đi qua 2 điểm cố định A, A¢ và d ^ d¢.
	b) Tìm phương trình tập hợp giao điểm M của d và d¢ . Viết phương trình tiếp tuyến của tập hợp đó vẽ từ điểm B(5; 0).
	HD: a) A(3; 2), A¢(–1; 4)	b) (C): 
Cho ba điểm M(6; 1), N(7; 3), P(3; 5) lần lượt là trung điểm của ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
	a) Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
	b) Tìm phương trình các trung tuyến AM, BN, CP.
	c) Tính diện tích của tam giác ABC.
	HD: a) A(4; 7), B(2; 3), C(10; –1)
	 b) 	c) S = 20
Cho tam giác ABC có A(8; 0), B(0; 6), C(9; 3). Gọi H là chân đường cao vẽ từ C xuống cạnh AB.
	a) Tìm phương trình cạnh AB và đường cao CH.
	b) Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của C trên Ox và Oy. Chứng minh I, H, K thẳng hàng.
Cho ba điểm A(0; –1), B(4; 1), C(4; 2). Viết phương trình đường thẳng d khi biết:
	a) d đi qua A và khoảng cách từ B đến d bằng hai lần khoảng cách từ C đến d.
	b) d đi qua C và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại E và F sao cho: .
	c) d đi qua B, cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N với và sao cho:
	i) OM + ON nhỏ nhất	ii) nhỏ nhất.
	HD: a) 	b) 
	c) i) 	ii) 
Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết:
	a) Đỉnh B(2; 6), phương trình một đường cao và một phân giác vẽ từ một đỉnh là:
	b) Đỉnh A(3; –1), phương trình một phân giác và một trung tuyến vẽ từ hai đỉnh khác nhau là:	.
	HD: a) 
	 b) 
Cho hai điểm A(3; 4), B(–1; –4) và đường thẳng .
	a) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và có tâm I Î d. 
	b) Viết phương tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm . Tính độ dài của tiếp tuyến đó và tìm toạ độ tiếp điểm.
	c) Trên (C), lấy điểm F có . Viết phương trình đường tròn (C¢) đối xứng với (C) qua đường thẳng AF.
	HD: a) 	
	b) , d = , tiếp điểm (3; 4), (–1; 2)
	c) (C¢): 
Cho đường cong (Cm): .
	a) Chứng minh rằng với mọi m, (Cm) luôn là đường tròn và (Cm) luôn đi qua 2 điểm cố định A, B.
	b) Tìm m để (Cm) đi qua gốc toạ độ O. Gọi (C) là đường tròn ứng với giá trị m vừa tìm được. Viết phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng và chắn trên (C) một dây cung có độ dài bằng 4.
	c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có vectơ chỉ phương là .
	d) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục tung. Viết phương trình đường tròn ứng với m đó.
	HD: a) A(1; 1), B(1; 3)	
	b) m = 2, (C): , 
	c) 	d) m = –2, 
 Cho đường cong (Ct): (0 < t < p).
	a) Chứng tỏ (Ct) là đường tròn với mọi t.
	b) Tìm tập hợp tâm I của (Ct) khi t thay đổi.
	c) Gọi (C) là đường tròn trong họ (Ct) có bán kính lớn nhất. Viết phương trình của (C).
	d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục Ox một góc .
	HD: b)	c) 
	d) 
Cho hai đường thẳng .
	a) Viết phương trình hai đường tròn (C1), (C2) qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với d1, d2. Xác định tâm và bán kính của 2 đường tròn đó. Gọi (C1) là đường tròn có bán kính lớn hơn.
	b) Gọi A và B là tiếp điểm của (C1) với d1 và d2. Tính toạ độ của A và B. Tính góc .
	c) Viết phương trình đường thẳng D cắt (C1) tạo ra 1 dây cung nhận điểm E(4; –2) làm trung điểm.
	d) Trên đường thẳng , tìm những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến của (C1) vuông góc với nhau.
	HD: a) 
	b) A(2; 2), B(0; –2), 	c) D: 	d) (5; 3), (7; –3)
Cho đường tròn (C) đi qua điểm A(1; –1) và tiếp xúc với đường thẳng D: tại điểm B có .
	a) Viết phương trình đường tròn (C).
	b) Một đường thẳng d đi qua M(4; 0) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của d và (C).
	HD: a) 
	b) : 2 điểm chung, : 1 điểm chung, : không điểm chung
Cho 4 số thực a, b, c, d thoả điều kiện: . Bằng phương pháp hình học, chứng minh rằng:	.
	HD: Xét đường tròn (C): và đường thẳng . Gọi M(a; b) Î (C), 	N(c; d) Î d.Gọi A, B là các giao điểm của (C) và d với đường thẳng y = x .
	Þ , . Tính , .
	Từ MN ³ AB ta suy ra đpcm. 
Cho elip (E): .
	a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (E).
	b) Tính diện tích hình vuông có các đỉnh là giao điểm của (E) với 2 đường phân giác các góc toạ độ.
	HD: b) S = .
Cho elip (E): .
	a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (E).
	b) Viết phương trình các đường phân giác của góc với và F1, F2 là các tiêu điểm của (E).
	HD: b) 
Cho elip (E): và điểm A(0; 5).
	a) Biện luận số giao điểm của (E) với đường thẳng d đi qua A và có hệ số góc k.
	b) Khi d cắt (E) tại M, N, tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn MN.
	HD: a) : 2 giao điểm,	: không giao điểm, : 1 giao điểm
	b) 
Cho họ đường cong (Cm): (*).
	a) Tìm các giá trị của m để (Cm) là đường tròn.
	b) Tìm phương trình tập hợp (E) các điểm M trong mặt phẳng Oxy sao cho ứng với mỗi điểm M ta có duy nhất 1 đường tròn thuộc họ (Cm) đi qua điểm M đó.
	HD: a) –1 £ m £ 1	b) (E): (Đưa PT (*) về PT với ẩn m. Tìm điều kiện 	để PT có nghiệm m duy nhất).
Cho elip (E): .
	a) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có 2 đỉnh là 2 tiêu điểm của (E) và 2 tiêu điểm là 2 đỉnh của (E).
	b) Tìm điểm M trên (H) sao cho 2 bán kính qua tiêu điểm của M vuông góc với nhau.
	c) Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm N bất kì trên (H) đến hai đường tiệm cận của (H) bằng một hằng số.
	HD: a) 	b) 4 điểm 	c) .
Cho hypebol (H): .
	a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tâm sai, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của (H).
	b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1; 4) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của d và (H).
Cho các điểm và điểm M(x; y). Gọi M¢ là điểm đối xứng của M qua trục tung.
	a) Tìm toạ độ của điểm M¢ theo x, y . Tìm phương trình tập hợp (H) các điểm M thoả . Chứng tỏ (H) là một hypebol. Xác định toạ độ các tiêu điểm và phương trình các đường tiệm cận của (H).
	b) Viết phương trình của elip (E) có 2 đỉnh trên trục lớn của (E) trùng với 2 đỉnh của (H) và (E) đi qua điểm .
	c) Tìm toạ độ giao điểm của (H) với 2 đường chuẩn của (E).
	HD: a) 	b) (E): 	c) 4 điểm 
Cho hypebol (H): .
	a) Tìm tiêu điểm, tâm sai, tiệm cận của (H).
	b) Gọi (C) là đường tròn có tâm trùng với tiêu điểm F1 (có hoành độ âm) của (H) và bán kính R bằng độ dài trục thực của (H). M là tâm đường tròn đi qua tiêu điểm F2 và tiếp xúc ngoài với (C). Chứng minh rằng M ở trên (H).
	HD: b) (C): . Kiểm chứng Þ M Î (H).
Cho hypebol (H): .
	a) Viết phương trình của elip (E) có cùng tiêu điểm với (H) và đi qua điểm .
	b) Đường thẳng d đi qua đỉnh A2 của (E) (có hoành độ dương) và song song với đường thẳng D: . Viết phương trình của d. Tìm toạ độ giao điểm B (khác A2) của d với (E). Xác định điểm C Î (E) sao cho tam giác A2BC có diện tích lớn nhất.
	HD: a) 	b) d: , , 
Cho hypebol (H): . Gọi F1, F2 là 2 tiêu điểm và A1, A2 là 2 đỉnh của (H). Trên (H), lấy điểm M tuỳ ý, kẻ MP ^ Ox. Chứng minh:
	a) 	b) .
	HD: a) Viết .
	b) Tính theo toạ độ điểm M.
Cho parabol (P): .
	a) Tìm toạ độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn D của (P).
	b) Tìm điểm M trên (P) mà khoảng cách từ M đến F bằng 5.
	HD: b) N(4; 4); N(4; –4)
Cho parabol (P): có tiêu điểm F và điểm (với t ¹ 0).
	a) Chứng tỏ rằng M nằm trên (P).
	b) Đường thẳng FM cắt (P) tại N (khác M). Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo t.
	c) Tìm tập hợp (P¢) các điểm I khi t thay đổi.
	HD: b) 	c) (P¢): 
Cho parabol (P): (p > 0). Một đường thẳng d đi qua tiêu điểm F cắt (P) tại M và N. Gọi t là góc của trục Ox và .
	a) Chứng minh rằng khi d di động quay quanh F thì tổng không đổi.
	b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích FM.FN. Suy ra vị trí của d.
	HD: a) Þ 
	b) Áp dụng BĐT Cô–si: ³ 
	Û Û 
	Dấu "=" xảy ra Û Û Û Û d ^ Ox.
	a)