Ôn tập Đại số 11 - Chương 5: Đạo hàm

§1: ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 
A. LÝ THUYẾT:
Định nghĩa: 
	· Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Î (a; b):
 	(Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0))
	( ta có thể tính )
	· Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại diểm đó.
Đạo hàm của hàm số trên khoảng
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên J. Kí hiệu f’(x) hoặc y’
Định lí: ( Đạo hàm một số hàm số thường gặp):
Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
f¢ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại . 
Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại là: 
	y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
Ý nghĩa vật lí của đạo hàm: 
Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) tại thời điểm t0 là v(t0) = s¢(t0).
Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q(t) tại thời điểm t0 là I(t0) = Q¢(t0).
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tính số gia của hàm số y=f(x) tại điểm x0
Ví dụ 1: Tính số gia của hàm số tại điểm x0=1, biết 
	a) 	b) 
Ví dụ 2: Tính số gia của hàm số tương ứng với sự biến thiên của đối số 
Từ x0=1 đến 
Từ x0=1 đến 
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm y=f(x) tại điểm x0 bằng định nghĩa
Phương pháp:
	+ B1:
	+ B2:
Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra 
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Ví dụ 2: Dùng định nghĩa, tính đaoh hàm của hàm số tại điểm x=0
Ví dụ 3: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên R
	a) 	b) 
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau trên khoảng đã chỉ ra
	a) trên khoảng 	b) trên các khoảng và 
Dạng 3: Quan hệ giữa đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Ví dụ 1: Cho hàm số . Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục tại x0=2 nhưng không có đạo hàm tại đó ( Minh họa bằng đồ thị).
Dạng 4: Ý nghĩa hình học của Đạo hàm
Ví dụ 1: Cho dồ thị (C) 
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ 
Tìm điểm trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc là 3, 27
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị là đường cong (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong những trường hợp sau:
Tiếp tuyến tại điểm (2;-16)
Tiếp tuyến có hệ số góc là -3/2
Tiếp tuyến song song với đường thẳng 6x+y-1=0
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
Ví dụ 3: Cho hàm số 
Tìm m và n biết đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y=-x+2 tại điểm x=1
Viết PTTT với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cắt tia Ox tại A, cắt tia Oy tại B sao cho OB=3OA
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Tính số gia của hàm số
Bài 1: Tính số gia của hàm số tại điểm x0=-2 biết 
	a) 	b) 
Bài 2: Tính số gia của hàm số tại điểm x0=1 chính xác đến hàng phần nghìn biết
	a) 	b) 
Bài 3: Tính số gia của hàm số tại điểm x0=1 biết 
	a) 	b) 
Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa
Bài 4: Bằng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra
	a) tại x0=-1	b) 
	c) 	d) 
Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số sau trên R
	a) 	b) 
Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau
	a) 	b) 
Bài 7: Cho hàm số 
Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x bất kì
Tính 
Tìm điều kiện để hàm số có đạo hàm tại điểm chỉ ra
Bài 8: Chứng minh rằng các hàm số sau đây không có đạo hàm tại điểm chỉ ra
	a) , tại x0=-3
	b) tại x0=1
Bài 9: Cho hàm số 
Tìm điều kiện của a và b để f(x) liên tục tại x=1
Xác định a và b để f(x) có đạo hàm tại x=1
Bài 10: Cho hàm số 
Tính đạo hàm của hàm số tại các điểm x0=-1, x0=1
Hàm số có đạo hàm tại điểm x0=0 hay không?
Bài 11: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x=0
Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Bài 12: Cho hàm số 
Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x0=-2
Điểm nào trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc là 4;-3;
Một tiếp tuyến của đồ thị tiếp xúc với đồ thị tại điểm có tung độ là 8. Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Bài 13: Cho hàm số 
Tính hệ số góc của tiếp tuyến với ĐTHS tại các điểm có hoành độ x=-3,x=2,x=4
Tìm điểm trên đồ thị hàm số mà hệ số góc của tiếp tuyến tại đó là -2;4
Bài 14: Cho đồ thị (C) có phương trình . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong những trường hợp sau:
Tiếp tuyến tại điểm 
Tiếp tuyến có hệ số góc là 
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=-7x+4
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 9x-7+3=0
Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành góc mà 
Bài 15: Cho hàm số 
Tìm điểm trên ĐTHS mà tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc lớn nhất
Điểm nào trên đồ thị hàm số mà tiếp tuyến chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích 
§2: CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
A. LÝ THUYẾT
1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích thương các hàm số:
	(u ± v)¢ = u¢ ± v¢	(uv)¢ = u¢v + v¢u	 (v ¹ 0)
	 (ku)¢ = ku¢	
2. Đạo hàm của hàm số hợp
Khái niệm hàm số hợp: Nếu y=f(u) và u=u(x) thì hàm số y=f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của biến số x qua hàm trung gian u.
Đạo hàm của hàm số hợp: Cho hàm số F(x)=f[u(x)]. Ta có hay 
3. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp: Với u=u(x), ta có: 
Chú ý:
Tìm TXĐ của hàm số trước khi tính đạo hàm 
Rút gọn hàm số trước khi tính đạo hàm
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số sau:
	a) 
	b) 
Dạng 2: Đạo hàm của hàm số hợp
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Ví dụ 3: Cho hàm số 
Tính đạo hàm của hàm số
Tìm giá trị nguyên của x thỏa mãn 
Ví dụ 4: Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm với mọi x. Chứng minh rằng
a) Nếu f(x) là hàm số chẵn thì f’(x) là hàm số lẻ; nếu f(x) là hàm số lẻ thì f’(x) là hàm số chẵn
b) Nếu f(x) là hàm số tuần hoàn thì f’(x) cũng là hàm số tuần hoàn
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích thương các hàm số
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại các điểm chỉ ra
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Đạo hàm của hàm số hợp
Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 6: Tính đạo hàm của các hàm số sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 7: Tính đạo hàm của các hàm số 
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 8: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 9: Cho hàm số . Giải các phương trình và bất phương trình sau:
	a) y’=0	b) y’<0
Bài 10: Cho hàm số 
Tính đạo hàm của hàm số trên mỗi khoảng 
Hàm số có đạo hàm tại x=2 không?
§3: ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. LÝ THUYẾT:
1. Giới hạn 
2. Đạo hàm của các hàm số lượng giác 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
Dạng 1: Tính giới hạn các hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Dạng 2: Tính đạo hàm các hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Tính đạo hàm các hàm số lượng giác
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Ví dụ 2: Tính đạo hàm các hàm số sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Ví dụ 3: Tính đạo hàm các hàm số
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Ví dụ 4: Tính đạo hàm các hàm số sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Ví dụ 5: Cho hàm số . Giải phương trình f’(x)=0
Ví dụ 6: Cho hàm số 
	a) Tính 	b) Giải phương trình 
Ví dụ 7: Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc vào x
	a) 	b) 
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 2: Tính các giới hạn sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau đây tại điểm chỉ ra
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 5: Tính đạo hàm các hàm số sau
	a) 	b) 
	c) 	d) 
§4. VI PHÂN
A. LÝ THUYẾT
1. Khái niệm vi phân: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b). Tại điểm cho số gia sao cho . Tích số được gọi là vi phân của hàm số y=f(x) tại x ứng với số gia , kí hiệu df(x) hay dy. 
Ta có 
Chú ý: Vì hay 
2. Áp dụng vi phân vào tính gần đúng: Xét tại điểm x0 và với khá nhỏ thì ta có: 
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tính vi phân của các hàm số
Ví dụ 1: Tính vi phân của các hàm số sau đây tại điểm x ứng với số gia đã cho
 tại điểm x=0 ứng với số gia 
 tại điểm ứng với số gia 
Ví dụ 2: Tính :
	a) 	b) 	c) 	d) 
Dạng 2: Tính gần đúng nhờ vi phân
Ví dụ 1: Tính gần đúng các giá trị sau:
	a) 	b) 
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Tính vi phân của hàm số tại một điểm
Bài 1: Tính vi phân của các hàm số sau đây tại điểm đã chỉ ra ứng với số gia 
 tại điểm x=1 ứng với 
 tại điểm x=2 ứng với 
 tại điểm ứng với 
 tại điểm ứng với 
Tính vi phân của hàm số
Bài 2: Tính vi phân của các hàm số sau đây:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 3: Tính vi phân của các hàm số sau đây
	b) 	
c) 	d) 
Bài 4: Tính
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 5: Tính:
	a) 	b) 	c) 
Tính gần đúng
Bài 6: Tính gần đúng
	a) 	b) 	c) 	
§5. ĐẠO HÀM CẤP CAO
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: 
	; ; (n Î N, n ³ 4)
2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai: 
	Gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t0 là a(t0) = f¢¢(t0).
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tính đạo hàm cấp cao tại điểm cho trước 
Ví dụ 1: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra:
	a) , tính 	b) , tính 
	c) , tính y’’(1)	d) , tính 
Ví dụ 2: Tính đạo hàm tại điểm x0 đến cấp đã chỉ ra
	a) , tính 	b) 
	c) 
Dạng2: Tính đạo hàm cấp n của hàm số
Chú ý: ta phải chứng minh kết quả bằng quy nạp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Ví dụ 2: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
	a) 	b) 	c) 	d) 
Dạng 3:Chứng minh các hệ thức liên quan đến đạo hàm các cấp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã chỉ ra
	a) thỏa mãn hệ thức 
	b) thỏa mãn hệ thức 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng các hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức đã chỉ ra 
 thỏa mãn 
 thỏa mãn 
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau
	a) , tính 	b) , tính y’’’(0)
	b) , tính y”(-4)	d) , tính y”(2)
Bài 2: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau
	a) , tính 	b) , tính 	
	c) , tính 	d) , tính 
Bài 3: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau đây
	a) tính y”	b) tính y”
	c) tính y”’	d) tính y”’
Bài 4: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
	a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 5: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
	a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 6: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
	a) 	b) 	d) 	e) 
Bài 7: Cho hàm số . Hãy giải các bất phương trình sau
	a) y”>0	b) 
Bài 8: Cho hàm số với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 
Bài 9: Cho đa thức . Chứng minh rằng 
Áp dụng: Tìm hệ số của x2 trong khai triển