Ôn tập Đại số 10 - Chương 1: Mệnh đề-Tập hợp

Chương 1: Mệnh đề-Tập hợp
—–
§1. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến
1. Mệnh đề -mệnh đề chứa biến
a) Mệnh đề
Mệnh đề lơgic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai. 
Một mệnh đề khơng thể vừa đúng vừa sai.
Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. 
	Ví dụ 1: 
a) Gĩc vuơng cĩ số đo 800 (là mệnh đề sai)
b) Số 7 là một số nguyên tố (là mệnh đúng)
c) Hơm nay trời đẹp quá ! (khơng là mệnh đề)
d) Bạn cĩ khỏe khơng ? (khơng là mệnh đề)
	Ví dụ 2: Trong các câu sau đậy câu nào là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy xác định xem mệnh đề đĩ đúng hay sai.
	a) Khơng được đi lối này!
	b) Bây giờ là mấy giờ?
	c) Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946.
	d) 16 chia 3 dư 1.
	f) 2003 khơng là số nguyên tố.
	e) là số vơ tỉ.
p Chú ý:
	+ Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh khơng phải là mệnh đề.
	+ Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa.
	Ví dụ: Q: “ 36 chia hết cho 12”	
	+ Một câu mà chưa thể nĩi đúng hay sai nhưng chắc chắn nĩ chỉ đúng hoặc sai, khơng thể vừa đúng vừa sai cũng là mệnh đề.
	Ví dụ: “Cĩ sự sống ngồi Trái Đất” là mệnh đề.
b) Mệnh đề chứa biến
Những câu khẳng định mà tính đúng-sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến được gọi là những mệnh đề chứa biến.
	Ví dụ: Cho P(x): “x > x2 “ với x là số thực. Khi đĩ:
	P(2) là mệnh đề sai, P(1/2) là mệnh đề đúng.
2. Mệnh đề phủ định
	Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Khơng phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là . 	Mệnh đề đúng nếu P sai và sai nếu P đúng.
p Chú ý: Mệnh đề phủ định của P cĩ thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau
Ví dụ: P: “là số vơ tỉ”. Khi đĩ mệnh đề
cĩ thể phát biểu : “khơng phải là số vơ tỉ” hoặc “là số hữu tỉ”.
3. Mệnh đề kéo theo 
	+Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được là mệnh đề kéo theo
+Kí hiệu là PÞQ. 
+ Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai.
	* PÞQ cịn được phát biểu là “P kéo theo Q”,
“P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề
P : “ Tứ giác ABCD là một hình chữ nhật “
Q : “ Tứ giác ABCD là một hình bình hành “
 	PÞQ: “ Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD là hình bình hành “.
	QÞP “ Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật “.
* Trong tốn học, định lí là một mệnh đề đúng, thường cĩ dạng : PÞQ
 P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc
	P(x) là điều kiện đủ để cĩ Q(x)
	Q(x) là điều kiện cần để cĩ P(x)
	Hoặc	điều kiện đủ để cĩ Q(x) là P(x)
	điều kiện cần để cĩ P(x) là Q(x)
4. Mệnh đề đảo-Mệnh đề tương đương
a) Mệnh đề đảo:
 Cho mệnh đề PÞQ. Mệnh đề QÞP được gọi là mệnh đề đảo của PÞQ
b) Mệnh đề tương đương
+ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” (P khi và chỉ khi Q) được gọi là mệnh đề tương đương,
+ Kí hiệu PÛQ 
P
Q
Đúng
Đúng
Đúng
Sai
Sai
Đúng
Đúng
Sai
Sai
Sai
Đúng
Sai
+Mệnh đề PÛQ đúng khi PÞQ đúng và QÞP đúng và sai trong các trường hợp cịn lại.
 ( hay PÛQ đúng nếu cả hai P và Q cùng đúng hoặc cùng sai)
Các cách đọc khác:
	P tương đương Q
P là điều kiện cần và đủ để cĩ Q
	Điều kiện cần và đủ để cĩ P(x) là cĩ Q(x) 
	Ví dụ 1: Xét các mệnh đề 
A: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”;
	B: “36 chia hết 12”
	Khi đĩ: A đúng; B đúng
	ẢB: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu 36 chia hết 12”. đúng
Ví dụ 2: Mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác cĩ ba gĩc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam giác cĩ ba cạnh bằng nhau” là mệnh đề gì? Mệnh đề đúng hay sai? Giải thích.
	Xét 	P:” Tam giác ABC là tam giác cĩ ba gĩc bằng nhau”
	Q:” Tam giác cĩ ba cạnh bằng nhau”
	Khi đĩ PÞ Q đúng; QÞP đúng. Vậy PÛQ
6. Các kí hiệu " và $ 
Kí hiệu " (với mọi): ” hoặc “”
	Kí hiệu $ (tồn tại) :“” hoặc “ ”
	Phủ định của mệnh đề “ "xỴ X, P(x) ” là mệnh đề “$xỴX, ”
Phủ định của mệnh đề “ $xỴ X, P(x) ” là mệnh đề “"xỴX, ”
	Ví dụ: Các biết tính đúng/sai của các mệnh đề sau? Nêu mệnh đề phủ định.
a) "n Ỵ *, n2-1 là bội của 3
b) "x Ỵ, x2-x+1>0
c) $x Ỵ , x2=3
d) $ n Ỵ , 2n + 1 là số nguyên tố
e) "n Ỵ , 2n ≥ n+2.
* Trong tốn học, định lí là một mệnh đề đúng, thường cĩ dạng : PÞQ
 P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận. Hoặc
	P(x) là điều kiện đủ để cĩ Q(x)
	Q(x) là điều kiện cần để cĩ P(x)
	Hoặc	điều kiện đủ để cĩ Q(x) là P(x)
	điều kiện cần để cĩ P(x) là Q(x)
* Mệnh đề tương đương
+ Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” (P khi và chỉ khi Q) được gọi là mệnh đề tương đương. Kí hiệu PÛQ 
+Mệnh đề PÛQ đúng khi PÞQ đúng và QÞP đúng và sai trong các trường hợp cịn lại. ( hay PÛQ đúng nếu cả hai P và Q cùng đúng hoặc cùng sai)
Các cách đọc khác:
	P tương đương Q
P là điều kiện cần và đủ để cĩ Q
	Điều kiện cần và đủ để cĩ P(x) là cĩ Q(x).
Bổ sung:
1. Số vơ tỉ
Trong tốn học, số vơ tỉ là số thực khơng phải là số hữu tỷ, nghĩa là khơng thể biểu diễn được dưới dạng tỉ số a/b , với a, b là các số nguyên.
Ví dụ: Số thập phân vơ hạn cĩ chu kỳ thay đổi: 0.1010010001000010000010000001...
Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7...
Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679...
Số lơgarít tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536...
Nếu như mọi số hữu tỉ đều cĩ biểu diễn thập phân hoặc hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví dụ: 1/2=0,5) hoặc vơ hạn tuần hồn (số thập phân vơ hạn tuần hồn, ví dụ:1/11= 0.090909...) thì số vơ tỉ cĩ biểu biễn thập phân vơ hạn nhưng khơng tuần hồn.
Căn bậc hai của tất cả các số nguyên
	Ta cĩ thể chứng minh rằng căn bậc hai của bất kỳ số nguyên nào cũng phải hoặc là số nguyên hoặc là số vơ tỉ.
2. Số chính phương
Số chính phương hay cịn gọi là số hình vuơng là số nguyên cĩ căn bậc 2 là một số nguyên, hay nĩi cách khác, số chính phương là bình phương (lũy thừa bậc 2) của một số nguyên khác.
Ví dụ:4 = 2²; 9 = 3²; 1.000.000 = 1.000²
Số chính phương hiển thị diện tích của một hình vuơng cĩ chiều dài cạnh bằng số nguyên kia.
--------------------------------------------------------------------------------
§1 MỆNH ĐỀ
1.1 Xét xem các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
	a) 7+x=3	b) 7+5=6	c) 4+x<3
	d) cĩ phải là số nguyên khơng?	e) +4 là số vơ tỉ.
1.2. Tìm giá trị của x để được một mệnh đúng, mệnh đề sai
	a) P(x):”3x2+2x-1=0”	b) Q(x):” 4x+3<2x-1”.
1.3. Cho tam giác ABC. Lập mệnh đề PÞQ và mệnh đề đảo của nĩ, rồi xét tính đúng sai, với:
	a) P: “ Gĩc A bằng 900”	Q: “ BC2=AB2+AC2”
	b) P: “”	Q: “ Tam giác ABC cân”.
1.4. Phát biểu bằng lới các mệnh đề sau. Xét tính đúng/sai và lập mệnh đề phủ định của chúng
	a) $ x Ỵ : x2=-1	b) " x Ỵ :x2+x+2≠0
1.5. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nĩ
	a) 	b) 
	c) là số hữu tỉ	
d) x=2 là nghiệm của phương trình 
1.6. Tìm giá trị của m để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai.
	a) P(m): “ m< -m”	b) Q(m): “m<”	c) R(m): “ m=7m”.
1.7. Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng
	a) P: “ 15 khơng chia hết cho 3”
	b) Q: “”
1.8. Lập mệnh đề PÞQ và xét tính đúng sai của nĩ, với:
	a) P: “2<3”	Q: “-4<-6”
	b) P: “10=1”	Q: “100=0”.
1.9. Cho số thực . Xét mệnh đề P: “ là số hữu tỉ”,	Q: “2 là một số hữu tỉ”
	a) Phát biểu mệnh đề PÞQ và xét tính đúng sai
	b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên
	c) Chỉ ra một giá trị mà mệnh đề đảo sai.
1.10. Cho số thực . Xét mệnh đề P: “2=1”, Q: “=1”
	a) Phát biểu mệnh đề PÞQ 
	b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng sai
	c) Chỉ ra một giá trị mà mệnh đề PÞQ sai.
1.11. Cho số thực . Xét mệnh đề P: “ là số nguyên”, Q: “+2 là một số nguyên”
	a) Phát biểu mệnh đề PÞQ 
	b) Phát biểu mệnh đề QÞP
	c) Xét tính đúng sai của PÞQ, QÞP.
1.12. Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề P: “AB=AC”, Q: “Tam giác ABC cân”
	a) Phát biểu PÞQ, cho biết tính đúng sai
	b) Phát biểu mệnh đề đảo QÞP.
1.13. Cho tam giác ABC. Phát biểu mệnh đề đảo của các mệnh đề sau:
	a) Nếu AB=BC=CA thì tam giác ABC đều;
	b) Nếu AB>BC thì ;
	c) Nếu =900 thì ABC là tam giác vuơng.
1.14. Dùng kí hiệu " hoặc $ để viết các mệnh đề sau:
	a) Cĩ một số nguyên khơng chia hết cho chính nĩ;
	b) Mọi số thức cộng với 0 đều bằng chính nĩ;
	c) Cĩ một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nĩ;
	d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của nĩ.
1.15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng
	a) " Ỵ : x2≤ 0	b) $ Ỵ : x2≤0
	c) " Ỵ : 	d) $ Ỵ : 	
	e) " Ỵ : 2++1>0	f) $ Ỵ : 2++1>0
1.16.Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nĩ
	a) " Ỵ : .1= 
	b) " Ỵ : . =1
	c) " n Ỵ : n<n2
1.17. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và chĩ biết tính đúng saicủa chúng
	a) Mọi hình vuơng là hình thoi;
	b) Cĩ một tam giác cân khơng phải là tam giác đều;
1.18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề:
x , 4x2-1= 0.
x , n2+1 chia hết cho 4.
x , (x-1)2 x-1.
1.19. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:
x , x > x2.
x , |x| < 3 ĩ x< 3.
x N, n2+1 khơng chia hết cho 3.
a , a2=2.
1.20. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:
	A: ” 15 là số nguyên tố”
	B: ”$ a Ỵ , 3a=7”
	C: “" a Ỵ , a2≠3”
1.21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":
Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuơng gĩc một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song nhau.
Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng cĩ diện tích bằng nhau.
Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 thì chia hết cho 5.
Nếu a+b > 5 thì một trong hai số a và b phải dương.
1.22. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":
Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúngcĩ các gĩc tươmg ứmg bằng nhau.
Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nĩ cĩ hai đường chéo vuơng gĩc nhau.
Nếu một số tự nhiên chia hết cho thì nĩ chia hết cho 3.
Nếu a=b thì a2=b2 .
1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần và đủ”
	“Tam giác ABC là một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác cân và cĩ một gĩc bằng 600”
1.24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau đây để được mệnh đề đúng:
Để tứ giác T là một hình vuơng, điều kiện cần và đủ là nĩ cĩ bốn cạnh bằng nhau.
Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đĩ chia hết cho 7.
Để ab>0, điều kiện cần là cả hai số a và b điều dương.
Đề một số nguyên dương chia hết cho 3, điều kiện đủ là nĩ chia hết cho 9.
1.25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích.
a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng cĩ diện tích bằng nhau.
b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng.
c) Một tam giác là tam giác vuơng khi và chỉ khi cĩ một gĩc(trong) bằng tổng hai gĩc cịn lại.
d) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nĩ cĩ hai trung tuyến bằng nhau và cĩ một gĩc bằng 600.
BÀI TẬP THÊM
1. Xét đúng (sai)của mệnh đề sau :
a/ Hình thoi là hình bình hành
b/ Số 4 khơng là nghiệm của phương trình : x2 - 5x + 4 = 0
c/ ( > ) Ù (3 ) Ú (42 < 0)
e/ (5.12 > 4.6) Þ (p2 < 10)	f) (1< 2 ) Þ 7 là số nguyên tố
2. Phủ định các mệnh đề sau :
a/ 1 < x < 3	b/ x £ -2 hay x ³ 4
c/ Cĩ một DABC vuơng hoặc cân
d/ Mọi số tự nhiên đều khơng chia hết cho 2 và 3
e/ Cĩ ít nhất một học sinh lớp 10A học yếu hay kém.
f/ x< 2 hay x=3.
g/ x £ 0 hay x>1.
h/ Pt x2 + 1 = 0 vơ nghiệm và pt x+3 =0 cĩ nghiệm	
3. Xét đúng (sai)mênh đề và phủ định các mệnh đề sau :
a/ "x Ỵ R , x2 + 1 > 0	b/ "x Ỵ R , x2 - 3x + 2 = 0
c/ $n Ỵ N , n2 + 2 chia hết cho 4	d/ $n Ỵ Q, 2n + 1 ¹ 0
e/ "a Ỵ Q , a2 > a	f) "x Ỵ R , x2 +x chia hết cho 2.	 
B. SUY LUẬN TỐN HỌC
5. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện đủ"
a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng.
b/ Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
c/ Nếu a + b > 2 thì a > 1 hay b > 1
d/ Nếu một số tự nhiên cĩ chữ số tận cùng là số 0 thì nĩ chia hết cho 5.
e/ Nếu a + b < 0 thì ít nhất một trong hai số phải âm.
6. Phát biểu định lý sau dưới dạng "điều kiện cần"
a/ Hình chữ nhật cĩ hai đường chéo bằng nhau.
b/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì nĩ cĩ các gĩc tương ứng bằng nhau.
c/ Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nĩ chia hết cho 3.
d/ Nếu a = b thì a3 = b3.
e/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.
7.Dùng phương pháp phản chứng, CMR :
a/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.
b/ Nếu n2 là số chẵn thì n là số chẵn.
c/ Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0
d/ Nếu x = 1 hay y = thì x + 2y - 2xy - 1 = 0
d/ Nếu x ¹ - và y ¹ - thì x + y + 2xy ¹ -
e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2.
f) Nếu d1// d2 và d1// d3 thì d2 // d3.
§2 TẬP HỢP
1. Tập hợp là khái niệm cơ bản của tốn học, khơng định nghĩa . 
	- Tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa như: A, B, C, D, .... các phần tử của tập hợp đặt trong cặp dấu { }.
	- Để chỉ phần tử a thuộc tập hợp A ta viết aỴ A, ngược lại ta viết a Ï A.
	- Tập hợp khơng chứa phần tử nào gọi là tập rỗng. Khí hiệu Ỉ
2. Cách xác định tập hợp: cĩ 2cách
	- Liệt kê các phần tử : mỗi phần tử liệt kê một lần, giữa các phần tử cĩ dấu phẩy hoặc dấu chấm phẩy ngăn cách. Nếu số lượng phần tử nhiều cĩ thể dùng dấu ba chấm
VD : 	A = {1; 3; 5; 7} 
 	B = { 0 ; 1; 2; . . . . ;100 }
	C={1;3;5;...;15;17}
	- Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp, tính chất này được viết sau dấu gạch đứng
	VD : A = {xỴ N | x lẻ và x <9} ; B= {x Ỵ| 2x2-5x+3=0}
3. Tập con : Nếu tập A là con của B, kí hiệu: AB hoặc BA. 
	Khi đĩ AÌ B Û" x( xỴA Þ xỴB)
	Ví dụ: A={1;3;5;7;9}, B={1;2;3;...;10}
	 Cho A ≠ Ỉ cĩ ít nhất 2 tập con là Ỉ và A.
	Tính chất: 	A Ì A ,Ỉ Ì A với mọi A
	Nếu A Ì B và B Ì C thì A Ì C
4. Tập hợp bằng nhau: 
	A=B Û A Ì B và B Ì A hay 	A=BÛ " x (x Ỵ A Û x Ỵ B)
	Ví dụ : C={xR | 2x2-5x+2=0}, D={,2 } Þ C=D
	- Biểu đồ Ven
	Ta cĩ * Ì ÌÌ Ì 
BÀI TẬP §2
2.1. Viết các tập sau bằng cách liệt kê các phần tử
A= { Ỵ | 2x2-5x+2=0}
B= {n Ỵ | n là bội của 12 khơng vượt quá 100}
C = {xR | (2x-x2)(2x2-3x-2) = 0}
D = {xZ | 2x3-3x2-5x = 0}
E = {xZ | |x| < 3 }
F = {x | x=3k với kZ và -4 < x < 12 }
G= {Các số chính phương khơng vượt quá 100}
H= {n Ỵ | n(n+1)≤ 20}.
I={ | là ước nguyên dương của 12}
J={ | là bội nguyên dương của 15}
K= {n Ỵ | n là ước chung của 6 và 14}
L= { n Ỵ | n là bội của 6 và 8}
2.2. Viết các tập sau theo cách chỉ ra tính chất đặc trưng
A={2;3;5;7}	B= {1;2}
C={2;4;6;8;...;88;90}	D={4;9;16;25}
2.3. Trong các tập sau tập nào là tập rỗng?
 A = {x | x2-x+1=0 }
 B = {x | x2-4x+2= 0}
 C = {x | 6x2-7x+1= 0}
 D = {x | | x| < 1} .
2.4. Trong các tập sau, tập nào là con của tập nào?
 A = {1,2,3} 	B = { xN | x<4 } 
 C = (0;+) 	D = { xR | 2x2-7x+3= 0} .
2.5. Tìm tất cả các tập con của các tập sau: 
 	a) A = {1;2} 	b) B= {1;2;3;4}.
	c) C= Ỉ	d) D= {Ỉ}
2.6. Tìm tất cả các tập X sao cho:
 {1,2} X {1,2,3,4,5} .
2.7. Tập A = {1,2,3,4,5,6} cĩ bao nhiêu tập con gồm hai phần tử ? Để giải bài tốn , hãy liệt kê tất cả các tập con của A gồm hai phần tử rồi đếm số tập con này. Hãy thử tìm một cách giải khác. 
2.8. Liệt kê tất cả các phần tử của mỗi tập sau:
	R={3k-1| k Ỵ , -5≤ k ≤5}
	S={x Ỵ | 3<|x|≤ }
T= { Ỵ | 2x2-5x+2=0}
BÀI TẬP THÊM
Liệt kê các phần tử của tập hợp sau :
a/ A = {x Ỵ N / x < 6}	
b/ B = {x Ỵ N / 1 < x £ 5}
c/ C = {x Ỵ Z , /x / £ 3}	
d/ D = {x Ỵ Z / x2 - 9 = 0} 
e/ E = {x Ỵ R / (x - 1)(x2 + 6x + 5) = 0}
f/ F = {x Ỵ R / x2 - x + 2 = 0}
g/ G = {x Ỵ N / (2x - 1)(x2 - 5x + 6) = 0}	
h/ H = {x / x = 2k với k Ỵ Z và -3 < x < 13}
i/ I = {x Ỵ Z / x2 > 4 và /x/ < 10}
j/ J = {x / x = 3k với k Ỵ Z và -1 < k < 5}
k/ K = {x Ỵ R / x2 - 1 = 0 và x2 - 4x + 3 = 0}
l/ L = {x Ỵ Q / 2x - 1 = 0 hay x2 - 4 = 0}
Xác định tập hợp bằng cách nêu tính chất :
a/ A = {1, 3, 5, 7, 9}	 	b/ B = {0, 2, 4}
c/ C = {0, 3, 9, 27, 81}	 	d/ D = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
e/ E ={2, 4, 9, 16, 25, 36} 	 f/ F = {, , , }
Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau :
a/ A = {a, b}	b/ B = {a, b, c}
c/ C = {a, b, c, d}	d) A = {1, 2, 3, 4}
Cho A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 3} ; C = {2, 3} ; D = {2, 3, 5}
a/ Liệt kê tất cả các tập cĩ quan hệ Ì 
b/ Tìm tất cả các tập X sao cho C Ì X Ì B
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C Ì Y Ì A
Cho 	A = {x / x là ước nguyên dương của 12} ; 
B = {x Ỵ N / x < 5} ; C = {1, 2, 3} ; 
D = {x Ỵ N / (x + 1)(x - 2)(x - 4) = 0}
a/ Liệt kê tất cả các tập cĩ quan hệ Ì 
b/ Tìm tất cả các tập X sao cho D Ì X Ì A
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C Ì Y Ì B
--------------------------------------------------------------------------------------------------
§3 CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP
	1.Phép giao
2. Phép hợp
3. Hiệu của 2 tập hợp
AÇB = {x|xỴA và xỴB}
xAB ĩ
Tính chất
A Ç A=A
A Ç Ỉ = Ỉ 
A Ç B=B Ç A
ẰB = {x| xỴA hoặc xỴB}
xAB ĩ
Tính chất
A È A=A
A È Ỉ=A
A È B= B È A
A\ B = {x| xỴA và xÏB}
xA\B ĩ
Tính chất
A\ Ỉ =A
A\A= Ỉ 	
A\B≠B\A
4. Phép lấy phần bù: Nếu A Ì E thì CEA = E\A = {x ,xỴE và xÏA} 
	Ví dụ 1: Cho A= {1;2;3;4}, B= {1;3;5;7;9} , C= {4;5;6;7}. 
	Tính AB, (AB) C, AC, (AB) C, A\ B, A\ C 
BÀI TẬP §3
3.1. Cho các tập A = {0 ; 1; 2; 3}, B = {0 ; 2; 4; 6}, C = {0 ; 3; 4; 5}. Tính
	A Ç B, B È C, C\A, (A È B)\ (B È C)
3.2. Cho A = {xỴN | x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xác định A È B ; AÇB ; A\B ; B\ A
b) CMR : (A È B)\ (AÇB) = (A\B)È (B\ A)
3.3. Cho R={3k-1| k Ỵ , -5≤ k ≤5}, S={x Ỵ | 3<|x|≤ }, 
	T= { Ỵ | 2x2-4x+2=0}. Tính R Ç S, S È T, R\S
3.4. Cho A={0;2;4;6;8}, B={0;1;2;3;4}, C={0;3;6;9}. Tính
	a) (A È B) È C và A È (B È C). Cĩ n hận xét gì về hai kết quả?
	b) (A Ç B) Ç C
	d) (A È B) Ç C 
	e) (A \ B) È C 
3.5. Cho A={0;2;4;6;8;10}, B={0;1;2;3;4;5;6}, C={4;5;6;7;8;9;10}. Tính
	a) B È C, A Ç B, B Ç C, A\B, C\B	b) A Ç (B Ç C)	
	c) (A È B) Ç C	d) A Ç (B È C)	
e) (A Ç B) È C	f) (A\B) È (C\B)
3.6. Cho 	E = { xỴ | 1 £ x < 7}
	A= { xỴ | (x2-9)(x2 – 5x – 6) = 0 }
	B = { xỴ | x là số nguyên tố £ 5}
a) Chứng minh rằng B Ì E
b) Tìm CEB ; CE(AÇB)
c) Chứng minh rằng : 	E \ (A ÇB)= (E \A) È ( E \B)
E \ ( ẰB) = ( E \A) Ç ( E \ B)
-----------------------------------------------------------------------------
§4 CÁC TẬP HỢP SỐ
1. Các tập số đã học
	, *, , , 
2. Các tập con thường dùng của 
Tên gọi, ký hiệu
Tập hợp
0
Hình biểu diễn
Tập số thực (-¥;+¥)
//////////// [ 
Đoạn [a ; b]
////////////( ) /////////
{xỴR, a £ x £ b}
Khoảng (a ; b ) 
Khoảng (-¥ ; a)
Khoảng(a ; + ¥) 
{xỴR, a < x < b}
{xỴR, x < a}
{xỴR, a< x }
///////////////////( 
////////////[ ) /////////
 )/////////////////////
Nửa khoảng [a ; b)
Nửa khoảng (a ; b]
Nửa khoảng (-¥ ; a]
Nửa khoảng [a ; ¥ )
{xỴR, a £ x < b}
{xỴR, a < x £ b}
{xỴR, x £ a}
{xỴR, a £ x }
///////////////////[ 
 ]/////////////////////
	[a ; b]= {xỴR, a £ x £ b},.....R+=[0;+¥), R-=(-¥;0]
	Chú ý 1: Cĩ hai cách biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn trên trục số: Hoặc gạch bỏ phần khơng thuộc khoảng hay đoạn đĩ, hoặc tơ đậm phần trục số thuộc khoảng hay đoạn đĩ.
	Ví dụ: Biểu diễn các khoảng, nửa khoảng, đoạn sau trên trục số theo hai cách
	(-2;5), [-3;1], ([-1;4]
	Chú ý 2: 
	 -Tìm giao của các khoảng ta biểu diễn các khoảng đĩ trên cùng một trục số. Phần cịn lại sau khi đã gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp.
	 -Tìm hợp của các khoảng ta viết các khoảng đĩ trên cùng một trục số,sau đĩ tiến hành tơ đậm từng khoảng. Hợp của các khoảng là tất cả các tơ đậm trên trục số.
	 -Tìm hiệu của hai khoảng (a;b)\(c,d) ta tơ đậm khoảng (a;b) và gạch bỏ khoảng (c;d), phần tơ đậm cịn lại là kết quả cần tìm. 
	Ví dụ: Tính 
	a) (-1;2] Ç [1;3)	= [1;2]
	b) [-3;) Ç (-1;+ ¥)	=[-1; )
	c) (-;2) È (1;4)	=(- ;4)
	d) (-;2]\(1;4)	=(- ;1]
BÀI TẬP §4-C1
4.1. Viết lại các tập sau về kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng. Biểu diễn chúng trên trục số.
	A={ Ỵ | ≥ -3}
	B={ Ỵ | <8}
	C={ Ỵ | -1<< 10}
	D={ Ỵ | -6 < ≤ 8}
	E={ Ỵ | ≤≤ }
	F={ Ỵ | -1<0}
4.2. Viết các khoảng, đoạn sau về dạng kí tập hợp 
	E=(1;+¥)	F=(-¥;6]
	G=(-2;3]	H=[-;1]
4.3. Xác định AB, AB, A\B, B\A và biểu diễn kết quả tên trục số
A = { | 1 } 	B ={ | 3 }
A = { | 1 }	B ={ | 3 }
A = [1;3] 	B = (2;+)
A = (-1;5) 	B = [ 0;6) 
4.4. Cho A={ Ỵ | -2≥0 }, B={ Ỵ | -5>0}. 
	Tính A Ç B, A È B, A\B, B\A.
4.5. Xác