Những cách giải sáng tạo Bất đẳng thức Côsi

 NHỮNG CÁCH GIẢI SÁNG TẠO 
Bất đẳng thức CôSi : 
1. cho 2 số . Chứng minh rằng : 0, ≥ba abba 2≥+ 
 chứng minh : 
ta có : 
0)(
02
4)(
2
2
22
2
≥−⇔
≥+−⇔
≥+⇔
≥+
ba
baba
abba
abba
 hiển nhiên đúng ,nên bđt được chứng minh 
2. cho 3 số chứng minh rằng 0,, ≥cba 33 abccba ≥++ 
 chứng minh: 
Cách 1 : trước hết ta chứng minh bđt CôSi cho 4 số 0,,, ≥dcba
[ ]
[ ]
4
44
4
2
2
1
2
1)
22
(
2
1
4
abcddcba
abcdabcd
cdabdcbadcba
≥+++⇒
=≥
+≥ta có : ++=+++ +
3
4
4
3
)(4
3
)(4
3
)(4
3
cbaabccba
cbaabccbacba
++≥++⇔
++≥+++++
Đặt 
3
cbad ++= thì 
3 abccba ≥++⇔ Như vậy bđt được chứng minh xong 
nếu ta xem xét bài toán cần chứng minh ở một góc độ khác, thì ta sẽ có lời giải sáng 
tạo hơn. Các bạn hãy xem thử cách chứng minh sau : 
),(),,( 3 abccba Cách 2: ta sử dụng bđt CôSi cho 2 cặp số không âm , tacó : 
 33 .22 abccababccba +≥+++
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡≥ 3.22 abcabc 34 abc= 
33 abccba ≥++⇒ 
Chứng minh bất đẳng thức là một dạng toán khó . Mấy năm gần đây, hầu hết các đề 
toán mà Bộ Giáo Dục & Đào Tạo cho ra thi ở các khối A,B,D thường có một câu, rơi 
vào câu cuối cùng của đề thi. Dạng toán này hầu hết trên 90% học sinh phổ thông 
không giải được. Với cách cho đề như vậy, Bộ GD&ĐT đã tạo điều kiện cho các 
trường Đại Học chọn ra những học sinh khá giỏi cho trường mình. Để cũng cố kiến 
thức, các đọc giả hãy xem cách giải mang tính đột phá, thông qua những bài tập sau: 
Bài 1: cho tìm giá trị nhỏ nhất của 3≥a
a
aS
2
1+= 
Đa số học sinh sẽ có lời giải như sau: 
Vì nên 3≥a 2
2
1.2
2
1 =≥+
a
a
a
a 2=⇒ MinS 
3
2
2
2
1 <=⇒= a
a
aDấu = xảy ra khi và chỉ khi như vậy ,miền đã mâu thuẩn với 
giả thuyết nên 
a
3≥a 2=MinS là sai 
Ta thử đi tìm đáp án của bài này, bằng cách xét bảng sau 
a 3 4 5 6 
a 3 4 5 6 
a2
1 
6
1 
8
1 
10
1 
12
1 
S 
6
19 
8
33 
10
51 
12
73 
Nhìn bảng ta thấy MinS=
6
19 khi 3=a 
Như vậy, ta đã dự đoán được MinS=
6
19 khi 3=a . 
* lưu ý :như cách giải sai lầm của các bạn ở trên, là các bạn đã chọn cặp số )
2
1,(
a
a để 
sử dụng bđt CôSi là không chính xác; mà cặp số cần sử dụng lúc này phải 
là )
2
1,(
a
a
α trong đó α gọi là hệ số cân bằng của CôSi 
Do đó ta có cách giải như sau: 
Cách 1: Chọn điểm rơi tại 18
6
13
6
1
2
1
3
3 =⇒=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
⇒= αα
αα
a
a
a 
Khi đó 
18
17
2
1
182
1 a
a
a
a
aS ++=+= 
6
19
18
3.17
3
1
18
17
2
1.
18
2 =+≥+≥ a
a
a
Vậy MinS=
6
19 .dấu = xảy ra khi và chỉ khi 3
2
1
18
=⇒= a
a
a phù hợp 
Nếu ta nhìn bài toán này ở khía cạnh là một hàm số, thì ta lại có cách giải sau: 
a
aS
2
1+= với 3≥a
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−=
=
⇒=−⇔=
−=−=
2
2
2
2
0120'
2
12
2
11'
2
2
2
2
a
a
aS
a
a
a
S
Bảng biến thiên: 
a 
2
2− 
2
2 3 ∞ 
' S 0 0
S 
6
19 ∞
 19
6
Nhìn bảng ta thấy MinS= tại 3=a 
 Đổng Quang Anh giáo viên trung tâm luyện thi đại học ALPHA1(ĐHSP)