Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng tích phân- 12 (Phần 2: Tích phân)

CHỦ ĐỀ 2
TÍCH PHÂN
1. Khaùi nieäm tích phaân
	· Cho haøm soá f lieân tuïc treân K vaø a, b Î K. Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f treân K thì:
	F(b) – F(a) ñược gọi là tích phaân cuûa f töø a ñeán b vaø kí hieäu laø : 
	· Ñoái vôùi bieán soá laáy tích phaân, ta coù theå choïn baát kì moät chöõ khaùc thay cho x, töùc laø:
	· YÙ nghóa hình hoïc: Neáu haøm soá y = f(x) lieân tuïc vaø khoâng aâm treân ñoaïn [a; b] thì dieän tích S cuûa hình thang cong giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa y = f(x), truïc Ox vaø hai ñöôøng thaúng x = a, x = b laø: 
2. Tính chaát cuûa tích phaân
	· 	· 	
· (k: hằng số)
	· 	
· 
	· Neáu f(x) ³ 0 treân [a; b] thì 	
· Neáu f(x) ³ g(x) treân [a; b] thì 
3. Phöông phaùp tính tích phaân
	a) Phöông phaùp ñoåi bieán soá: 
	trong ñoù: u = u(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K, y = f(u) lieân tuïc vaø haøm hôïp f[u(x)] xaùc ñònh treân K, a, b Î K.
	b) Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn
	Neáu u, v laø hai haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân K, a, b Î K thì: 
	Chuù yù:	– Caàn xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm.
	– Trong phöông phaùp tích phaân töøng phaàn, ta caàn choïn sao cho deã tính hôn .
 – Khi tính cần chú ý xem hàm số y = f(x) có liên tục trên không ? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
VẤN ĐỀ 1
 Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
+ Bieán ñoåi bieåu thöùc haøm soá ñeå söû duïng ñöôïc baûng caùc nguyeân haøm cô baûn.
+ Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x), roài söû duïng tröïc tieáp ñònh nghóa tích phaân: 
	Chuù yù: Ñeå söû duïng phöông phaùp naøy caàn phaûi:
	– Biến đổi biểu thức để có nguyên hàm.
– Naém vöõng baûng caùc nguyeân haøm.
	– Naém vöõng pheùp tính vi phaân.
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c)	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d)	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 	
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	 c) 	d) 	e) 	f) 1
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 0 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau:
a) 	b) 	c) 	
d)	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
VẤN ĐỀ 2
 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
Dạng 1: Giả sử cần tính tích phân: . 
 	Nếu thì : 
Dạng 2: Giả sử cần tính tích phân: . Nhưng tính theo dạng 1 không được, lúc này ta chuyển về hàm lượng giác. Ta thường gặp các dạng sau:
 Đặt hoặc đặt : 
 Đặt hoặc đặt : 
 Đặt hoặc đặt 
ĐỔI BIẾN DẠNG 1
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	 	e) 	 	f) 	
Tính các tích phân sau
	a)	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 1	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau:
	a)	b)	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 	
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 	 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 	 
Tính các tích phân sau :
	a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f)
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	d) 	
	e) 	f) 	g) 	h) 
ĐỔI BIẾN DẠNG 2
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
VẤN ĐỀ 3
 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
	Vôùi P(x) laø ña thöùc cuûa x, ta thöôøng gaëp caùc daïng sau:
Đặt 
P(x)
P(x)
P(x)
lnx
Đặt 
P(x)
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	 d) 	e) 	f)
Tính các tích phân sau
	a)	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 2	c) 	 d) 	e) 	f) 
VẤN ĐỀ 4
 Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Dạng 1: Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện các bước sau:
	+ Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:
	+ Bước 2. Tính .
Dạng 2: Giả sử cần tính tích phân , ta thực hiện:
Cách 1. Tách rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
Cách 2.
	Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
	Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
Dạng 3: Để tính các tích phân và , ta thực hiện các bước sau:
	Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn [a; b]. 
	Bước 2. 
+ Nếu thì và .
+ Nếu thì và .
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d)	e) 	f) 	
ĐS: a) 2 	b) 	c) 5 	d) 	e) 44	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c)	
	d) (a là tham số)	e) 	f) 
ĐS: a) b) c) 0 d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
	g)	h) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 2 	d) 	e) 	f) 	g) 	h) 0
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f)
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
VẤN ĐỀ 5
 Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
- Loại 1: Neáu baäc cuûa P(x) ³ baäc cuûa Q(x) thì ta thöïc hieän pheùp chia ña thöùc.
- Loại 2: Neáu baäc cuûa P(x) < baäc cuûa Q(x) vaø Q(x) coù daïng tích nhieàu nhaân töû thì ta phaân tích f(x) thaønh toång cuûa nhieàu phaân thöùc (baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh).
Các dạng dùng phöông phaùp heä soá baát ñònh thường gặp:
 	Dạng 1: Mẫu số có nghiệm đơn:
Dạng 2: Mẫu số có nghiệm đơn và bậc 2 vô nghiệm:
Dạng 3: Mẫu số có nghiệm bội:
- Loại 3: Một số nguyên hàm ta dùng phương pháp đổi biến hoặc từng phần 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) ) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	 c) 	d) 	 e) 	 f) 	
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a)	b) 	c)	 	
	d) 	e)	f)
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e)	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	 b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau 
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau 
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f)	
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	 f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c)	 d) 	e) 	 f) 
Tính các tích phân sau
	a)	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a)	b)	c) 	 d) 	e) 	 f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	 	c) 	
	d) .	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	 d) 	e) 	 f) 
Vấn đề 6
 Tính tích phân các hàm số vô tỉ
+ Dạng 1: ® đặt:	
+ Dạng 2: ® đặt:
+ Dạng 3: ® đặt: 
+ Dạng 4: Đặt hoaëc: 
+ Dạng 5: Đặt hoaëc: 
+ Dạng 6: 	Đặt 
+ Dạng 7: 	Đặt 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 1 	
	d) 	e) 	f) 	
Tính các tích phân sau 
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	 f) 
Tính các tích phân sau 
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) b) c) d) e) f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) b) c) d) e) f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 6 	 b) c) 
	d) e) 	 f)
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) b) c) d) e) f) 
Tính các tích phân sau
 	a) 	b)	c) 	
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) b) c) d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	d) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
VẤN ĐỀ 7
 Tính tích phân các hàm số lượng giác
Dạng 1: Các dạng: 
Phương pháp giải: Dùng công thức biến đổi thành tổng: 
Dạng 2: 
+ Với n lẻ : 
 . Đặt :
 . Phân tích như trên sau đó đặt:
+ Với n chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc: ; 
Dạng 3: (n, m Î N)
+ Với n lẻ hay m lẻ : n lẻ Đặt u = cosax ; m lẻ Đặt u = sinax
+ Với n và m chẵn: Sử dụng công thức hạ bậc: 
 ; ; 
Dạng 4: 
Sử dụng công thức: và 
Cần nhớ: 
Dạng 5: 
Phương pháp: . Đặt 
 . Đặt 
Dạng 6: 
Phương pháp: ; Đặt 
 ; Đặt 
Dạng 7: 
Phương pháp: + Biến đổi sao cho làm thừa số chung
 	 + Thay : 
Dạng 8: . Phương pháp: đặt hoặc 
Dạng 9: 
	Cách 1: Phương pháp chung: 	Đặt : 	
	Cách 2: Phương pháp riêng: Nếu .
	Ta có: 
	Trong đó : 
	Khi đó : 
Dạng 10: 	
	Phương pháp: Phân tích 	
	Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B.
Dạng 11: 	
	Phương pháp: 
	Phân tích 
	Sau đó dùng đồng nhất thức tìm A, B, C.
Dạng 12: 
Ta thực hiện theo các bước sau :
	+ Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức : 
	+ Bước 2: Ta được :
* Chú ý: phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau :
	sử dụng đồng nhất thức : 
	 	sử dụng đồng nhất thức : .
Dạng 13: 
	* Dùng công thức tổng thành tích biến đổi về dạng 12 rồi giải bình thường. 
	* Chú ý : Phương pháp trên cũng áp dụng cho các dạng tích phân sau :
	;	 .
Dạng 14: .
+ Biến đổi : 
+ Khi đó:
Trong đó : .
Dạng 15: 
	+ Biến đổi về dạng : 
	+ Đặt: 
	+ Khi đó.
Dạng 1
 Tính tích phân lượng giác bằng cách biến đổi lượng giác
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	 
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 0	d) 	e) 	f) 	
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) . 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 0	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
ĐS: a) 	b) 	c) 2
Dạng 2
 Tính tích phân lượng giác bằng phương pháp đổi biến 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 4	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Dạng 3
 Tính tích phân lượng giác bằng phương pháp từng phần
Kết hợp với đổi biến 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	d) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	d) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 
BÀI TẬP TỔNG HỢP
TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Tính các tích phân sau
	a)	b)	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
	g) 	h) 	i) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 
	f) 	g) 	h) 	i) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c)	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a)1	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	
d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) .
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
VẤN ĐỀ 8
 Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Dạng 1
 Tính tích phân các hàm số mũ và logarit bằng phương pháp đổi biến
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	 b) 	c) 	d) 	 e) f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 10	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Dạng 2
 Tính tích phân các hàm số mũ và logarit phương pháp từng phần
Kết hợp phương pháp đổi biến
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 	d)	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 	
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 2	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
a) 	b) 	c) 	d) 
e) 	f) 	g) 	h) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
VẤN ĐỀ 9
 Một số tích phân các hàm số đặc biệt
Dạng 1
 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ trên đoạn [-a; a]
Bài toán 1: Nếu là hàm lẻ và liên tục trên đoạn thì : 
Chứng minh
	+ Xét . Đặt: 
	Đổi cận : 	 
	+ Thế vào (1) ta được : (đpcm)
Bài toán 2: Nếu là hàm chẵn và liên tục trên đoạn thì 
Chứng minh
	+ Xét . Đặt: 
	Đổi cận : 
	+ Thế vào (1) ta được : (đpcm)
Bài toán: Cho và là hàm chẵn , liên tục và xác định trên .
	Chứng minh rằng : 
Bài giải
	+ Xét . Đặt 
	Đổi cận : 
	+ Vậy : 
Thế vào (1) ta được : (đpcm)
Tóm lại:
	+ Nếu là hàm lẻ và liên tục trên đoạn thì : 
	+ Nếu là hàm chẵn và liên tục trên đoạn thì: 
	+ Nếu là hàm chẵn và liên tục và xác định trên thì: 
Chú ý: Các tính chất này không có trong sách giáo khoa nên phải chứng minh mới được vận dụng giải toán.
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 0 	b) 0	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 0	c) 0	d) 0 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
ĐS: a) 	b) 	 c) 	 d) 	e) 	 f) 	g) 	 h) i) 
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và với mọi xR. Tính: .
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và , với mọi xR. Tính: .
Dạng 2
Bài toán 1: Cho hàm số liên tục trên . Chứng minh rằng : 
Bài giải
	+ Xét . 
	 Đặt 
	 Đổi cận : 
	Vậy : 
Từ bài toán trên , ta có thể mở rộng bài toán sau: Nếu hàm số liên tục trên và . Thì ta luôn có : 
Do đó ta cần nhớ: + Neáu f(x) lieân tuïc treân thì 
	 Ñeå chöùng minh tính chaát naøy ta ñaët: 
	 + Nếu liên tục trên thì 
Bài toán 2: Cho hàm số liên tục,xác định , tuần hoàn trên và có chu kì .
	Chứng minh rằng : 
Bài giải
Vậy ta cần chứng minh 
	+ Xét . Đặt 
	Đổi cận : 
	Vậy : Hay : (đpcm)
	Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau : Nếu hàm số liên tục,xác định , tuần hoàn trên và có chu kì , thì ta luôn có: .
Chú ý:
	+ Neáu f(x) lieân tuïc vaø hoaëc thì ñaët: t = a + b – x
	 Ñaëc bieät:	neáu a + b = p	thì ñaët	t = p – x
	neáu a + b = 2p	thì ñaët	t = 2p – x
 	+ Các tính chất này không có trong sách giáo khoa nên phải chứng minh mới được vận dụng giải toán.
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 0	d) 	e) 0	f) 
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 0	c) 	d) 	e) 0 	f) 
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	 	e) 	 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f)
Dạng 3
Tính tích phaân baèng caùch söû duïng nguyeân haøm phuï
Tính tích phaân baèng caùch söû duïng nguyeân haøm phuï
	Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) ta caàn tìm moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi f(x). Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa f(x). 
Ta thöïc hieän caùc böôùc nhö sau:
	+ Böôùc 1: Tìm haøm g(x).
	+ Böôùc 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x), töùc laø: 
	Böôùc 3: Töø heä (*), ta suy ra laø nguyeân haøm cuûa f(x).
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 1	d) 	e) 	f)
ÔN TẬP 
TÍCH PHÂN
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	 c) 	 d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 15	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 1 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 1
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	
	d) 	e) 	f)
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Tính các tích phân sau
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f)0