Một vấn đề về đường tròn

A. Đề dẫn
Trong hình học phổ thông, học sinh được làm quen khái niệm đường tròn từ rất sớm. Nhưng trong chương trình Hình học lớp 12 THPT, vấn đề đó được giải quyết theo phương pháp toạ độ. Chính vì vậy, bài toán về đường tròn có thể được giải quyết bằng các kiến thức sơ cấp. Quá trình giảng dạy, với kiến thức sơ cấp, tôi thường sử dụng hoặc là minh hoạ cách giải, hoặc là tìm thêm cho phương pháp toạ độ một nhận thức khác. Từ đó bài toán có thêm ý nghĩa mới. Cũng như chúng ta có thể trên cơ sở của các kết luận của đường tròn, với khái niệm afin ( có thể là phép co theo hệ trục ) ta có thể giải được một số bài toàn về đường elip. Qua một bài tập trong sách giáo khoa ôn tập lớp 12 tôi đã đi sâu theo hướng đó và áp dụng trong giảng dạy nâng cao. Kết quả này đã được trình bày trong xêmine của tổ Toán Trường THPT Kim Thành.
 Bài viết của tôi theo hướng
Đưa ra bài toán đơn giản, trình bày một số cách giải
Chứng minh một số vấn đề thuộc lý luận không có trong sách giáo khoa hiện hành
Một số kết quả cần thiết
Tuyển bài tập tổng hợp.
 Do ý định đơn giản các vấn đề, tôi không trình bày kết quả đối ngẫu là đường elip, cũng như do hạn chế về kiến thức tôi không có thể nhìn tổng quát được bức tranh về các đường bậc hai và có thể sai sót nhiều. Rất mong được các đồng nghiệp góp ý.
Sau đây là nội dung bài viết. 
Một bài toán có nhiều cách giải
Bài toán
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A, B là hai điểm thuộc trục hoành có hoành độ là nghiệm của phương trình.
	 x2 - 2 (m + 1)x + m = 0	(*)
1/ Viết phương tình đường tròn đường kính AB
2/ Cho E (0; 1). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ờ AEB.
Bài giải:
Câu1: 
Cách 1. (Tìm tâm và bán kính đường tròn)
Gọi x1x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*) (chú ý phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt). Theo đính lý Viét ta có:
	x1 + x2 = 2(m + 1)	(1)
	 x1x2 = 2	(2)
Đường tròn đường kính AB có tâm I là trung điểm của đoạn AB , A (x1; 0) B (x2; 0)
ị I (; 0) hay I (m + 1; 0)
Bán kính của đường tròn là R = 
ị 2R = AB = x1 - x2
 4R2 = (x1 + x2) 2 - 4x1x2 	,theo (1) và (2)
	 = 4 (m + 1)2 - 4m
	 = 4 (m2 + m + 1)
ị R = 
Vậy đường tròn đường kính AB có phương trình
 (AB) [x - (m + 1)] 2 + y2 = m2 + m + 1
hay
 x2 + y2 - 2 (m + 1)x + m = 0
Cách 2: (Viết phương trình đường tròn theo dạng đường kính)
Bổ đề.
 Nếu A (x1, y1); B (x2, y2) thì phương trình đường tròn đường kính AB là:
 	 (x - x1)(x - x2) + (y - y1)(y - y2) = 0
Thật vậy: Giả sử M (x; y) trên mặt phẳng Oxy thuộc đường tròn đường kính AB . Nghĩa là ta có:
 (3)
 Thay vào (3) ta có
(x - x1) (x - x2) + (y - y1) (y - y2) = 0 (đpcm)
áp dung vào bài với 
A(x1; 0); B(x2; 0)
=> (x - x1) (x - x2) + y2 = 0
 x2 - (x1 + x2) x + x1x2  + y2 = 0
Theo (2) và (3)
 x2 + y2 - 2 (m + 1) x + m = 0
Cách 3: (Khôi phục từ vết của đường tròn trên Ox – Chùm eliptic)
	Đường tròn (AB) có phương trình:
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 a2 + b2 > c với tâm I(a;b).
Vì tâm thuộc Ox nên b = 0
=> x2 + y2 - 2ax + c = 0 (4) đk a2 > c
Cho giao với Ox (y = 0)
=> x2 - 2ax + c = 0 ta được 2 nghiệm phân biệt x1, x2. Mà x1, x2 cũng là nghiệm của phương trình x2 - 2(m + 1)x + m = 0 nên
 x2 - 2ax + c º x2 - 2(m+1)x + m (đồng nhất)
	=> a = m + 1, c = m thoả mãn a2 > c
=> từ (4), đường tròn (AB) có phương trình:
	x2 + y2 - 2(m + 1+x + m = 0
Câu 2.
Cách 1. (Dạng phương trình đường tròn qua 3 điểmkhông thẳng hàng).
Gọi x1, x2 là nghiệm của pt (*), x1 ạ x2. Vì đường tròn qua 3 điểm A(x1; 0) B(x2; 0); E(0; 1) nên đường tròn (ABE) có phương trình:
 x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0; a2 + b2 > c
vì qua 3 điểm E; A; B nên ta cóhệ
 	 1 - 2b + c = 0 (5)
 	 x12 - 2ax1 + c = 0 (6)
	 x22 - 2ax2 + c = 0 (7)
Lấy (6) trừ (7)
	--> x12 - x22 - 2a(x1 - x2) = 0
	 (x1 - x2) (x1 + x2 - 2a) = 0
do x1 ạ x2 
 x1 + x2 - 2a = 0
 x1 + x2 = 2a mà x1 + x2 = 2(m + 1)
-> a = m + 1
Lấy (6) cộng (7)
--> (x12 + x22) - 2a(x1 + x2) + 2c = 0
 Do x1 + x2 = 2a
 (x1 + x2)2 - 2x1x2 - (x1 + x2)2 + 2c = 0
 c = x1x2	 mà x1x2 = m
 --> c = m
Thay vào (5)
2b = c + 1, c = m
--> 2b = m + 1
Vậy đường tròn (EAB) có phương trình
 x2 + y2 - 2 (m + 1)x - (m + 1)y + m = 0
Cách 2: (Kiểu chùm elíptíc)
Bổ đề: Cho đường tròn (C1) x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 , a2 + b2 > c
và đường thẳng (ờ) kx + ly + m = 0, k2 + l2 0
cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B, thì đường tròn (C) qua A, B có phương trình
 (x2 + y2 - 2by + c) + n (kx + ly + m) = 0, (8) n - tuỳ ý	
Thật vậy. Ta sẽ chứng minh (6) là phương trình đường tròn, đường tròn đó đi qua 2 điểm A, B và mọi đường tròn đi qua hai điểm A, B đều có dạng (6).
Từ điều kiện bài toán. Vì đường tròn (C1) cắt (ờ) tại hai điểm phân biệt nên khoảng cách từ tâm I (a; b) của (C1) tới (ờ) nhỏ hơn bán kính R đường tròn (C1);
vì nên 
 (ak + bl + m)2 < (k2 + l2)(a2 + b2 - c) 	(9).
(6) x2 + y2 - 2 ( (10)
Để (8) là phương trình đường tròn ta phải có:
theo định lý về dấu của tam thức bậc hai do nên ta phải có
 hay (ak + bl + m)2 < (k2 + l2)(a2 + b2 - c). 
Theo (7) điều đó luôn đúng.
Gọi A (x1, y1) B (x2, y2) là giao điểm của và (C1) ta chứng minh toạ độ của A, B thoả mãn phương trình (8)
Thay ( x1; y1 ) vào (8) ta có
 (x12 + y12 – 2ax1 - 2by1 + c) + n (kx1 + ly1 + m) = 0 (*)
do A (C1); A nên
x12 + y12 - 2 – 2ax1 - 2by1 + c = 0
kx1 + ly1 + m = 0 từ đó thoả mãn (*)
Vậy toạ độ điểm A thảo mãn phương trình (8)
Tương tự với điểm B
Vậy đường tròn có phương trình dạng (8) đi qua hai điểm A, B. 
Ngược lại, giả sử có một đường tròn (C / ) nào đó đi qua hai điểm A, B. ta sẽ tìm được một tham số n để phương trình (8) là phương trình đường tròn (C / ).
Thật vậy. 
 Lấy một điểm M (x3, y3) khác với A và B nằm trên (C /). Rõ ràng M không thể thuộc đường tròn (C ) và đường thẳng () nên một trong hai biểu thức
 x33 + y32 - 2ax3 + c - 2by3 và kx3 + ly3 + m phải có một biểu thức có giá trị khác 0.
Giả sử 
kx3 + ly3 + m 0. đặt n = 
(còn nếu x33 + y32 - 2ax3 + c - 2by3 ạ 0 thì ta sẽ đặt nghịch đảo lại)
lúc đó đường tròn có phương trình 
(x2 + y2 - 2ax - 2by + c) + (kx + ly + m) = 0 (11)
thoả mãn toạ độ điểm M (x3, y3) .
Vậy phương trình (11) là phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A, B, M và là đường tròn (C / ).
áp dụng vào bài:
Đường tròn (EAB) đi qua 2 điểm A, B là giao của đường tròn.
 (AB) x2 + y2 - 2 (m + 1) x + m = 0
và (Ox) y = 0
Nên (EAB) có phương trình
x2 + y2 - 2 (m + 1) x + m + ny = 0 với n nào đó
Vì qua E (0; 1) ta có
1 + m + n = 0 n = - (m + 1)
Vậy (EAB) có pt
x2 + y2 - 2(m + 1)x - (m + 1)y + m = 0
Cách 3: (Sử dụng khái niệm trục đẳng phương của hai đường tròn)
Rõ ràng đường tròn đường kính (AB) và đường tròn (EAB) nhận đường thẳng AB là trục đẳng phương.
 mà (AB) x2 + y2 - 2(m + 1)x + m = 0 
Giả sử 
 (EAB) x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 ,	a2 + b2 > c
Thì trục đẳng phương trình của chúng có phương trình 
 x2 + y2 - 2 (m+1)x + m = x2 + y2 - 2ax - 2by + c
 2(a – m - 1)x + 2by + m - c = 0 (12)
mà trục đẳng phương là AB y = 0 (13)
đồng nhất (10 ) và (11) sai khác hệ số k
	 a - m - 1 = 0	 a = m + 1
	 2b = k	 2b = k với k nào đó
	 m - c = 0	 c = m
Vậy đường tròn (EAB) có phương trình dạng 	
 x2 + y2 - 2 (m + 1)x - ky + m = 0
Nhưng (EAB) chứa E(0;1) nên
 1 - k + m = 0 k = m + 1
 (EAB) x2 + y2 - 2(m + 1)x - (m+1)y + m = 0.
B. Những vấn đề có được khi giải bài toán 
I) Một số phương pháp lập phương trình tròn khi biết các điều kiện.
a/ Tâm I (x0 - y0), bán kính R
(x - x0)2 + (y - y0)2 = R2
	(dạng chính tắc)
b/ Biết đường kính AB; A(x1;y1) B (x2,y2)
(x - x1)(x - x2) + (y-y1)(y - y2) = 0
 (dạng tích vô hướng)
c/ Biết toạ độ ba điểm A(x1y1); B(x2y2); C(x3 ;y3)
Xuất phát từ phương trình tổng quát
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0	a2 + b2 > c
Giải hệ 3 pt bậc nhất, 3 ẩn a, b, c
x12 + y12 - 2ax1 - 2by1 + c = 0
x22 + y22 - 2ax2 - 2by2 + c = 0
x32 + y32 - 2ax3 - 2by3 + c = 0
d/ Đi qua giao điểm của hai đường tròn hoặc đường tròn và đường thẳng.
	(chùm eliptic)
 Dạng tổng quát : (x2 + y2 - 2ax - 2by + c) + n (kx + ly + m) = 0
Riêng trường hợp đường tròn đi qua hai điểm là giao điểm của đường thẳng và đường tròn ta có thể làm theo quan điểm trục đẳng phương).
e/ Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì điều kiện cần và đủ là chúng tiếp xúc với trục đẳng phương (chùm farabolic).
VD . Tìm các giá trị của m để đường tròn
(Cm) x2 + y2 - 2mx + 2 (1 - m)y - 5 = 0
tiếp xúc với đường tròn
x2 + y2 = 1. 
 HD : Lập phương trình trục đẳng phương của (Cm) và (C) 
 Cho (C) tiếp xúc với trục đẳng phương đó.
Chú ý.
 Trong quá trình đồng nhất các phương trình chú ý các hệ số tỷ lệ (hay sai khác nhau hệ số k nào đó).
II) Lập phương trình đường tròn theo phương pháp tìm tập hợp điểm.
VD: Tìm quý tích điểm M sao cho MA2 + MB2 = 25. Biết A(-1; 4) B(2; 8).
C. một số bài toán tổng hợp về đường tròn.
1) Lập phương trình đường tròn qua A(1; -2) và các giao điểm của đường thẳng x - 7y + 10 = 0 với đường tròn x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0
 HD: Kiểu Trục đẳng phương.
2) Cho A(a; 0) B (0; a) (a > 0)
 a/ Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc tại Ox tại A , tâm C có tung độ yc = (m - tham số). Xác định giao điểm P thứ hai của đường tròn (C) và đường thẳng AB.
 b/ Viết phương trình đường tròn (C / ) tiếp xúc với Oy tại B và đi qua P.
 c/ hai đường tròn (C) và ( C' ) cắt nhau tai P, Q.
Chứng minh đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
3)Cho 3 điểm 
 A (0; a) B(b; 0) C (-b; 0)	với a>0, b>0
a/ Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với AB tại B; AC tại C.
b/ Gọi M là điểm nằm trên đường tròn trên, d1, d2, d3 lần lượt là khoảng cách từ M tới AB, AC, BC, BC. Chứng minh:
	d1.d2 = d32
4/ Cho họ đường cong phụ thuộc tham số m có phương trình :
	F (x, y): = x2 + y2 - 2m ( x - a) = 0 (với a>0 không đổi cho trước ).
 a/ Với giá trị nào của m thì phương trình trên là phương trình đường tròn. Ký hiệu (Cm) là đường tròn ứng với giá trị của m.
 b/ Chứng tỏ đoạn thẳng nối O (gốc toạ độ) với A (2a; 0) luôn cắt đường tròn (Cm).
 c/ Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng là trục đẳng phương của tất cả các đường tròn (Cm).
5/ Cho (Cm) x2 + y2 + 2my - 1 = 0
 a/ Tìm quỹ tích tâm của (Cm).
 b/ Chứng minh (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định.
 c/ Chứng minh rằng họ (Cm) luôn nhận một đường thẳng cố định làm trục đẳng phương.
 d/ Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C- 2 , biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A (0; -1).
6/ Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm:
a) A (-1; 3)	B (1; 1)	C (2; 4)
b) M (1; 2)	N (5; 2)	P ( 1; -3)
7/ Cho F (3; 0) và đường thẳng (d) có phương trình 3x - 4y + 16 = 0
Viết phương trình đường tròn tâm F, tiếp xúc với (d).
8/ Cho 3 đường thẳng:
(d1): 3x + 4y - 6 = 0
(d2): 4x + 3y - 1 = 0
(d3): y = 0 (d1) cắt (d2), (d2) cắt (d3), (d3) cắt (d1) theo thứ tự	A, B, C.
 a/ Viết phương trình đường phân giác trong của góc A của ABC. Tính diện tích tam giác. 
 b/ Viết phương trình đường tròn nội tiếp ABC.
9/ Cho đường tròn (C1) x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 có tâm I 
 và đường tròn (C2) x2 + y2 - 10x - 6y + 30 = 0 có tâm J.
 a/ Chứng minh (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài, tìm toạ độ tiếp điểm H.
 b/ Gọi (d ) là tiếp tuyến chung của (C1) ,( C2); (d) không qua H. Tìm toạ độ giao điểm K của (d) và đường thẳng IJ. Viết phương trình đường tròn (C) qua K và tiếp xúc với (C1), ( C2).
10/ Cho 2 họ đường tròn có pt:
(Cm) x2 + y2 - 2mx - 2 (m + 1)y - 1 = 0
(Cm) x2 + y2 - x - 2 (m - 1)y + 3 = 0
Tìm trục đẳng phương của 2 đường tròn. Chứng minh rằng trục đẳng phương luôn đi qua một điểm cố định.
11/ Cho đường tròn x2 + y2 = R2 và một điểm M (x0, y0) ở ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1, MT2 tới đường tròn; T1, T2 là tiếp điểm. 
 a/ Viết phương trình đường thẳng T1T2.
 b/ Giả sử M chạy trên đường thẳng (d) , không cắt đường tròn đã cho. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định.
12/ Cho (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = 9
Viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1), cắt (C) tại E, F sao cho A là trung điểm của EF.
13/ Cho (C): x2 + y2 - 6x - 8y + 21 = 0 và hai điểm A(4; 5) B(5; 1)
	 a/ Chứng minh rằng đường thẳng AB cắt đường tròn.
	 b/ Giả sử đường thẳng AB cắt đ tròn tại E, F. Tính độ dài đoạn EF.
14/ Cho đường tròn x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0 và M(2; 4)
 a) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn tròn tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB.
 b/ Viết phgương trình các tiếp tuyến của đường tròn có hệ số góc k=1
15/ Xét họ đường tròn
(Cm) x2 + y2 - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0 (m - tham số)
 a/ Tìm quỹ tích tâm của họ (Cm)
 b/ Xác định tâm của các đường tròn đã cho tiếp xúc với Oy.
16/ Cho (C) x2 + y2 = 1 và họ đường tròn
 (Cm) x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4my - 5 = 0
 a/ Tìm quỹ tích tâm của họ (Cm)
 b/ Chứng minh rằng có 2 đường tròn của họ (Cm) tiếp xúc với (C). Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó:
Cách 1: R1 - R2 = OI
Cách 2: Cho (C) tiếp xúc với trục đẳng phương.
Lúc đó hai đường tròn tìm được cắt nhau nên chỉ có hai tiếp tuyến chung ngoài
17/ Cho họ đường tròn
(Cm) x2 + y2 - 2mx - 2(m + 1)y + 2m - 1 = 0
 a/ Chứng minh rằng họ (Cm) luôn đi qua 2 điểm cố định
 b/ Chứng minh rằng họ (Cm) luôn cắt trục trung tại hai điểm phân biệt.
18/ Trong mặt phẳng toạ độ Đêcác vuông góc với Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
 (C): (x - 1)2 +(y-)2 = 1 và điểm A (1; 0); B (0; 2)
Đường tròn đường kính (AB) cắt đường tròn (C) tại hai điểm P, Q
Lập đường thẳng PQ (đề thi ĐH 2002)
19/ Cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số:
(Da ) (x - 1) cosa + (y - 1) sina - 4 = 0
a/ Tìm các điểm của mặt phẳng không thuộc bất kỳ đường thẳng nào.
b/ Chứng minh rằng các đường thẳng trên đều tiếp xúc với một đường tròn cố định.
20/ Cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số:
 (Da ): x cosa + y sina + 2 cosa + 1 = 0
 a/ Chứng minh họ (Dx) luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.
 b/ Cho I (-2; 1) kẻ IH (Dx). Trên tia IH lấy N sao cho HN = 2IH. Tìm toạ độ điểm N.
21/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
	x2 + y2 - 10x + 24y = 56
	x2 + y2 - 2x + 4y = 20
22/ Viết phương trìng tiếp tuyến của đường tròn
	x2 + y2 + 8x - 4y + 5 = 0
Biết rằng tiếp tuyến đi qua A (0; -1).
23/ Qua điểm A (1; 0), hãy viết các phương trình tiếp tuyến với đường tròn 
 x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0. Tính góc giữa hai tiếp tuyến ấy.
24/ Cho họ đường tròn (Ca ). x2 + y2 - 2(a + 1)x - 4 (a - 1)y + 5 - a = 0
 a/ Tìm đk của a để đ tròn (Ca) là đ tròn.
 b/ Tìm a để (Ca ) tiếp xúc với đt y = x.
25/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn
( C1 ) x2 + y2 - 1 = 0
( C2 ) (x - 8) 2 + (y - 6) 2 = 16
26) Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 = 9 và đường thẳng (D ) có phương trình y = m ( m là tham số ). Tìm các giá trị của m để trên đường thẳng (D ) có 4 điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến tới đường tròn tạo với nhau góc 45 0.
 Kim Thành, ngày 28/08/ 2002
 Người viết