Một trăm bài tập Hình học lớp 9

MỘT TRĂM 
BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9
Bài 1: 
Cho DABC cĩ các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. 
Chứng minh:BEDC nội tiếp. 
Chứng minh:. 
Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường trịn ngoại tiếp tam giác. 
Hình 1
Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: OA là phân giác của gĩc. 
Chứng tỏ: AM2=AE. AB. 
 Gợi ý:
1.C/m BEDC nội tiếp:
C/m: = 1v. Hai điểm D và E 
cùng nhìn đoạn thẳng BC một gĩc vuơng.
2.C/m: . 
Do BECD nội tiếp Þ = 2v.Mà = 2v Þ 
3. Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thẳng xy (Hình 1)
Ta phải c/m xy//DE. 
 Do xy là tiếp tuyến,AB là dây cung nên sđ . 
Mà . Þ mà (cmt)
Þ hay xy // DE. 
4. C/m OA là phân giác của . 
Do xy//DE hay xy//MN mà OA^xyÞOA^MN. ^OA là đường trung trực của MN. (Đường kính vuơng gĩc với một dây) Þ DAMN cân ở A Þ AO là phân giác của . 
5. C/m :AM2=AE. AB. 
Do DAMN cân ở A ÞAM=AN Þ . Þ (Gĩc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau); chung
 Þ DMAE D BAM Þ Þ MA2 = AE. AB. 
Bài 2: 
 Cho(O) đường kính AC. trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường trịn tâm O’, đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuơng gĩc với AB;DC cắt đường trịn tâm O’ tại I. 
 1. Tứ giác ADBE là hình gì?
 2. C/m DMBI nội tiếp. 
 3. C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD. 
 4. C/m MC. DB=MI. DC
 5. C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
 Gợi ý:
1. Do MA=MB và AB^DE tại M nên ta cĩ 
DM=ME Þ ADBE là hình bình hành.
Mà BD=BE(AB là đường trung trực của DE) 
Vậy ADBE là hình thoi.
2. C/m DMBI nội tiếp.
BC là đường kính,IỴ(O’) nên =1v.
Mà =1v (gt) Þ =2v Þ đpcm
 3. C/m B;I;E thẳng hàng. 
 Do AEBD là hình thoi Þ BE//AD mà AD ^ DC (gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Þ BE ^ DC; CM ^ DE (gt). Do = 1v Þ BI ^ DC. Qua 1 điểm B cĩ hai đường thẳng BI và BE cùng vuơng gĩc với DC nªn BI BE hay B;I;E thẳng hàng. 
 * Chứng minh: MI = MD: Do M là trung điểm DE; DEID vuơng ở I Þ MI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuơng DEI Þ MI=MD. 
 4. C/m MC. DB=MI. DC. 
Hãy chứng minh DMCI DDCB (chung; cùng chắn cung MI do DMBI nội tiếp)
5. C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
 -Ta cĩ D O’IC cân ở O' Þ. 
 D BDI cân ở M Þ . 
Từ đĩ suy ra: = 1v
Vậy MI ^O’I tại I nằm trên đường trịn (O’) Þ MI là tiếp tuyến của (O’). 
Bài 3:
 Cho DABC cĩ =1v. Trên AC lấy điểm M sao cho AM < MC. Vẽ đường trịn tâm O đường kính CM cắt BC tại E;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S. 
C/m BADC nội tiếp. 
BC cắt (O) ở E. Cmr:MD là phân giác của . 
C/m CA là phân giác của gĩc BCS. 
Gợi ý:
Hình 3
1.C/m ABCD nội tiếp:
CM: A và D cùng nhìn đoạn thẳng BC một gĩc vuơng..
2.C/m ME là phân giác của gĩc.
- Hãy c/m: AMEB nội tiếp.
 = (cùng chắn cung AM)
 = (cùng chắn cung MD)
 = (cùng chắn cung MD)
Þ = đpcm. 
 4. C/m CA là phân giác của gĩc BCS. 
 = (cùng chắn cung AB)
 = (cùng bù với )
 Vậy = Þ đpcm. 
Bài 4: 
 Cho DABC cĩ = 1v. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM > MC. Dựng đường trịn tâm O đường kính MC; đường trịn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. 
C/m ADCB nội tiếp. 
C/m ME là phân giác của gĩc AED. 
C/m: =. 
Chứng tỏ ME là phân giác của gĩc AED. 
C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy. 
Gợi ý:
1.C/m ADCB nội tiếp:
Hãy chứng minh: = = 1v
(gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O) 
= 1V (gt). Từ đĩ suy ra A và D
 cùng nhìn đoạn thẳng BC 
một gĩc vuơng) 
Nên hai điểm A và D 
cùng nằm trên đường 
trịn đường kính BC hay ABCD nội tiếp)
2.C/m EM là phân giác của gĩc AED.
Nên tứ giác AMEB nội tiếp nên (1) (cùng chắn cung AM)
Do tứ giác ABCD nội tiếp nên (2) (cùng chắn cung AD)
Do tứ giác MECD nội tiếp nên (3) (cùng chắn cung MD)
Từ (1); (2); (3) ta cĩ . Nên EM là phân giác của gĩc AED
 3. C/m: =. (Hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung MD
 4. C/m ME là phân giác của gĩc AED (Chứng minh như câu 2 bài 3)
 5. Chứng minh AB;ME;CD đồng quy. 
 Gọi giao điểm AB;CD là K. Ta cần chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng. 
Do CA ^ AB (gt)
BD ^ DC (cm trên) và AC cắt BD ở M Þ M là trực tâm của KBC nên KM là đường cao thứ 3 KM ^ BC.
Mà ME ^ BC (cmt) nên K;M;E thẳng hàng Þ đpcm. 
Bài 5:
 Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA’. Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuơng gĩc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’. 
C/m AEDB nội tiếp. 
C/m DB. A’A=AD. A’C
C/m:DE ^ AC. 
Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh MD = ME = MF. 
Gợi ý: 
1. C/m AEDB nội tiếp.
(Sử dụng hai điểm D;E cùng nhìn đoạn AB)
2. C/m: DB. A’A = AD.A’C . 
Chứng minh được DBA A’CA .
3. C/m: DE ^ AC. 
Ta cần chứng minh DE // CA'
Do ABDE nội tiếp nên gĩc = (Cùng bù với gĩc BDE). 
Mà = (cùng chắn cung BA’) suy ra = . Suy ra DE//A’C. Mà A'C ^ AC nên DE ^ AC. 
4. C/m: MD = ME = MF. 
 - Gọi N là trung điểm AB. Nên N là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là trung điểm BC và AB Þ MN // AC (Tính chất đường trung bình)
Do DE ^ AC Þ MN ^ DE (Đường kính đi qua trung điểm một dây khơng đi qua tâm) Þ MN là đường trung trực của DE Þ ME = MD. 
 - Gọi I là trung điểm EC nên I là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác EPCF
Þ MI // EB (Tính chất đường trung bình) Mà BE ^ AA' Þ MI ^ EF
Þ MI là đường trung trực của EF Þ ME = MF. 
Vậy MD = ME = MF. 
Bài 6: 
 Cho DABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O. Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuơng gĩc kẻ từ M đến BC và AC. P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. 
 1 . C/m MFEC nội tiếp. 
 2 . C/m BM. EF=BA. EM
 3. C/M DAMP DFMQ. 
 4 . C/m = 90o. 
Gợi ý
1. C/m MFEC nội tiếp:
(Sử dụng hai điểm E;F cung nhìn đoạn thẳng CM)
2. C/m BM.EF = BA.EM
 ·C/m:DEFM DABM:
Ta cĩ gĩc = (Vì cùng chắn cung AM)
 Do MFEC nội tiếp nên = (Cùng chắn cung FM). 
	Þ = (1)
Ta lại cĩ gĩc = (Cùng chắn cung AB). 
Do MFEC nội tiếp nên gĩc (Cùng chắn cung FE) Þ (2)
Từ (1) và (2) suy ra :DEFM DABM (g - g) Þ đpcm. 
3. C/m DAMP DFMQ. 
 Ta cĩ DEFM DABM (theo c/m trên) Þ mà AM=2AP;FE=2FQ (gt) Þ và (suy ra từ DEFM DABM)
Vậy: DAMP DFMQ (c - g - c)
4. C/m = 90o. 
 	Do Þ Þ DPQM DAFM Þ 
	Mà gĩc = 1v Þ =1v (đpcm). 
Bài 7:
 Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD. Dựng hình vuơng ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. 
C/m BGDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường trịn này. 
C/m DBFC vuơng cân và F là tâm đường trịn ngoại tiếp DBCD. 
C/m GEFB nội tiếp. 
Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường trịn ngoại tiếp DBCD. Cĩ nhận xét gì về I và F
Gợi ý
1. C/m BGDC nội tiếp:
Sử dụng tổng hai gĩc đối bằng 1800
I là trung điểm GC.
2. C/m: DBFC vuơng cân:
 (Cùng chắn cung BF) 
mà = 45o (T/C đường chéo hình vuơng)
Þ = 45o. = 1v
(gĩc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Þ đpcm.
* C/m: F là tâm đường trịn ngoại tiếp DBDC.
Ta C/m F cách đều các đỉnh B;C;D
Do DBFC vuơng cân nên BC = FC.
Xét hai tam giác FEB và FED cĩ:E F chung;
Gĩc = = 45o; BE=ED (hai cạnh của hình vuơng ABED)
Þ DBFE = DE FD (c - g - c) Þ BF = FD Þ BF = FC = FD Þ đpcm. 
3. C/m: GEFB nội tiếp:
Do DBFC vuơng cân ở F Þ = sđ = 90o Þ sđ =sđ =.90o = 450 
	(Gĩc giữa tiếp tuyến BG và dây BF)
Mà = 45o (tính chất hình vuơng) Þ = 45o. Ta lại cĩ = 2v Þ = 2v Þ GEFB nội tiếp. 
4 . C/m: C;F;G thẳng hàng:
	Do GEFB nội tiếp Þ mà = 1v Þ = 1v. 
	Do DBFG vuơng cân ở Þ = 1v Þ = 2v Þ G;F;C thẳng hàng.
 C/m: G cùng nằm trên đường trịn trịn ngoại tiếp DBCD. Do = 1v
Þ tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác BGDC là F Þ G nằm trên đường trịn ngoại tiếp DBCD. 
 * Dễ dàng c/m được I º F. 
Bài 8:
	Cho DABC cĩ 3 gĩc nhọn nội tiếp trong (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường trịn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường trịn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC). 
C/m: BDCO nội tiếp. 
C/m: DC2 = DE. DF. 
C/m: DOIC nội tiếp. 
Chứng tỏ I là trung điểm FE. 
Gợi ý
1. C/m: BDCO nội tiếp (Dùng tổng hai gĩc đối)
2. C/m: DC2 = DE.DF.
Xét hai tam giác:DEC và DCF cĩ chung.
 (Gĩc nội tiếp và gĩc tạo bởi tia tiếp tuyến 
và dây cung cùng chắn một cung) Þ DDCE DDFC Þ đpcm.
3. C/m: DOIC nội tiếp:
 (T\C hai tiếp tuyến cắt nhau)
 (Gĩc nội tiếp và gĩc ở tâm cùng chắn một cung).Nên .
 (So le trong vì DF//AB). Do đĩ 
Þ Hai điểm O và I cùng nhìn đoạn thẳng DC những gĩc bằng nhau Þ đpcm
4. Chứng tỏ I là trung điểm EF:
Do DOIC nội tiếp Þ (cùng chắn cung OD)
Mà Gĩc = 1v (tính chất tiếp tuyến)Þ = 1v hay OI ^ ID Þ OI ^ FE. Bán kính OI vuơng gĩc với dây cung EF Þ I là trung điểm EF. 
Bài 9:
 Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M¹A và M¹B),kẻ dây cung MN vuơng gĩc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN. 
C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường trịn. 
C/m:NQ. NA=NH. NM
C/m MN là phân giác của gĩc BMQ. 
Hạ đoạn thẳng MP vuơng gĩc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để MQ. AN+MP. BN cĩ giác trị lớn nhấ
Gợi ý
Cĩ 2 hình vẽ,cách c/m tương tự. Sau đây chỉ C/m trên hình 9-a.
1. C/m: A,Q,H,M cùng nằm trên một đường trịn.
 (Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng một trong các phương pháp sau:
	-Cùng nhìn đoạn thẳng một gĩc vuơng. 
 	-Tổng hai gĩc đối. 
2. C/m: NQ. NA = NH. NM. 
Chứng minh: DNQM DNAH. 
3. C/m MN là phân giác của gĩc BMQ. 
Cĩ hai cách:
Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I. C/m tam giác MIB cân ở M
Cách 2: (Cùng phụ với gĩc)
 (Cùng chắn cung NB) Þ đpcm
4. xác định vị trí của M trên cung AB để MQ. AN+MP. BN cĩ giác trị lớn nhất. 
 Ta cĩ 2SDMAN=MQ. AN
 2SDMBN=MP. BN. 
 2SDMAN + 2SDMBN = MQ. AN+MP. BN
 Ta lại cĩ: 2SDMAN + 2SDMBN =2(SDMAN + SDMBN)=2SAMBN=2. =AB. MN
Vậy: MQ. AN+MP. BN=AB. MN
Mà AB khơng đổi nên tích AB. MN lớn nhất Û MN lớn nhất Û MN là đường kính Û M là điểm chính giữa cung AB. 
Bài 10:
 Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngồi tại A (R> r) . Dựng tiếp tuyến chung ngồi BC (B nằm trên đường trịn tâm O và C nằm trên trên đường trịn tâm (I). Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường trịn ở E. 	
1 . Chứng minh tam giác ABC vuơng ở A. 	
2 . O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F . Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên một đường trịn . 
3. Chứng tỏ : BC2= 4 Rr
4 . Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r 
Gợi ý 
1. C/m DABC vuơng: Do BE và AE 
là hai tiếp tuyến cắt nhau nên AE=BE;
Tương tự AE=ECÞAE=EB=EC=BC.
Þ DABC vuơng ở A.
2. CM: N;E;F;A cùng nằm trên một đường trịn . 
Chứng minh tứ giác ANEF là hình chữ nhật Þ đpcm
3. C/m: BC2 = 4R.r
	Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuơng cĩ:
	AH2 = OA. AI (Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiêu)
	Mà AH=và OA = R; AI = r Þ Rr Þ BC2= 4R.r
4. SBCIO = ? 
Ta cĩ BCIO là hình thang vuơng Þ SBCIO = 
Þ S = 
Bài 11:
 Trên hai cạnh gĩc vuơng xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một đường thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn OB). Từ B hạ đường vuơng gĩc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I. 
C/m OMHI nội tiếp. 
Tính gĩc OMI. 
Từ O vẽ đường vuơng gĩc với BI tại K. C/m OK=KH
Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB. 
Gợi ý 
1. C/m OMHI nội tiếp: 
(Sử dụng tổng hai gĩc đối)
2. Tính gĩc OMI
Do OB ^ AI; AH ^ AB (gt) và OB Ç AH = M
Nên M là trực tâm của tam giác ABIÞ IM là đường
 cao thứ 3 Þ IM ^ AB nên tam giác MEB vuơng tại E
Mà OAB vuơng cân t ại O nên = 450Þ = 450;
 = (Đối đỉnh) = 450
3. C/m: OK = KH
 = (hai gĩc nội tiếp cùng chắn cung OI)
Mà = 450 (Chứng minh câu 2) 
nên OKH vuơng cân tại K Þ KO = KH
4. Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB. 
Do OK ^ KB Þ OKB = 1v; OB khơng đổi khi M di động Þ K nằm trên đường trịn đường kính OB. 
Khi M ≡ O thì K ≡ O Khi M ≡ B thì K là điểm chính giữa cung AB. Vậy quỹ tích điểm K là đường trịn đường kính OB. 
Bài 12:
 Cho (O) đường kính AB và dây CD vuơng gĩc với AB tại F. Trên cung BC lấy điểm M. Nối A với M cắt CD tại E. 
C/m: MA là phân giác của gĩc CMD. 
C/m: EFBM nội tiếp. 
Chứng tỏ: AC2 = AE. AM
Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I. C/m NI//CD
Chứng minh N là tâm đường trịn nội tiếp DCIM
Gợi ý 
1. C/m AM là phân giác của gĩc CMD
Do AB ^ CD Þ BA là phân giác của tam giác CBD
Cân tại B Þ.
Do đĩ . 
V ậy MA là phân giác của gĩc CMD
2 . C/m EFBM nội tiếp.
(Sử dụng tổng hai gĩc đối bằng 1800)
3. C/m: AC2=AE. AM
(Ch ứng minh: (g - g))
4. C/m: NI // CD. 
 Þ MNIB nội tiếp Þ = 2v. Mà =1v (cmt)Þ =1v hay NI ^ AB. Mà CD ^ AB (gt) Þ NI // CD. 
5. Chứng tỏ N là tâm đường trịn nội tiếp DICM. 
	Ta phải C/m N là giao điểm 3 đường phân giác của DCIM. 
Bài 13:
 Cho (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn. Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE. 
C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường trịn. 
C/m HA là phân giác của gĩc BHC. 
Gọi I là giao điểm của BC và DE. C/m AB2=AI. AH. 
BH cắt (O) ở P. C/m AE//CP. 
Gợi ý 
1 . C/m:A;B;O;C;H cùng nằm trên 
 một đường trịn: 
Gọi K là trung điểm của AO. 
Dẽ dàng chứng minh được 
KO = KH = KB = KA = KC
Þ A;B;O;H;C cùng nằm trên đường trịn
tâm K đường kính OA. 
2. C/m: HA là phân giác của gĩc BHC. 
Do AB;AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau Þ AB = AC mà A;B;O;C;H cùng nằm trên
 một đường trịn tâm K (chứng minh trên) nên Þ đpcm. 
3.C/m AB2=AI. AH 
 Ta cần chứng minh: DABH DAIB Þ đpcm. 
4. C/m: AE // CP. 
;
 Þ Þ CP//AE
Bài 14:
 Cho (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC; AD với xy theo thứ tự là M;N. 
CMR: MCDN nội tiếp. 
Chứng tỏ: AC. AM = AD. AN
Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN. 
CMR: AOIH là hình bình hành. 
Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào?
Gợi ý 
1 . C/m MCDN nội tiếp:
Cần chứng minh: 
Þ Tổng hai gĩc đối bằng 1800 
Þ DCMB nội tiếp.
2. C/m: AC.AM=AD.AN
Hãy c/m DACD DANM (g - g)
Þ đpcm
3. C/m AOIH là hình bình hành.
 * Xác định I: I là tâm đường trịn ngoại tiếp 
tứ giác MCDN Þ I là giao điểm đường trung
trực của CD và MN Þ IH ^ MN là IO ^ CD. 
Do AB ^ MN; IH ^ MN Þ AO // IH. Vậy cách dựng I: Từ O dựng đường vuơng gĩc với CD. Từ trung điểm H của MN dựng đường vuơng gĩc với MN. Hai đường này cách nhau ở I. 
 Do H là trung điểm MN Þ AH là trung tuyến của D vuơng AMN Þ . 
vì tứ giác CDNM nội tiếp (I) nên mà = 900
 Þ AH ^ CD mà OI ^ CD Þ OI //AH Vậy AHIO là hình bình hành. 
4. Quỹ tích điểm I:
Do AOIH là hình bình hành Þ IH = AO = R khơng đổi Þ CD quay xung quanh O thì I nằm trên đường thẳng song song với xy và cách xy một khoảng bằng R
 	Bài 15:
 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC. Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuơng gĩc với các cạnh AB;BC;AC. Gọi H là hình chiêu của D lên tiếp tuyến Ax của (O). 
C/m AHED nội tiếp
Gọi giao điểm của AB với HD và với (O) là P và Q; ED cắt (O) tại M
 C/m: HA. DP=PA. DE
C/m: QM = AB
C/m: DE. DG = DF. DH
C/m: E;F;G thẳng hàng. (đường thẳng Sim Sơn)
Gợi ý 
1. C/m AHED nội tiếp
(Sử dụng hai điểm H;E cùng nhìn đoạn thẳng AD dưới một gĩc vuơng
2. HA.DP=PA.DE
Xét hai tam giác vuơng đồng dạng:
HAP và EPD (Cĩ đối đỉnh)
3. C/m: QM = AB
Vì tứ giác AHED nội tiếp nên 
mà (gĩc tạo bởi .)
 (gĩc nội tiếp .)
Nên 
4. C/m: DE. DG = DF. DH
 Xét hai tam giác DEH và DFG cĩ:
Dễ dàng chứng minh được ngũ giác AHEDG nội tiếp nên (Vì )
Chứng minh được tứ giác DFGC nội tiếp nên (Vì )
Mà (Vì ) Nên 
Þ DEDH DFDG Þ Þ đpcm. 
5. C/m: E;F;G thẳng hàng:
 Ta cĩ (cmt) và (cmt)
Do ABCD nội tiếp Þ = 2v; do GDEA nội tiếp Þ = 2v. 
Þ mà và 
Þ Þ E;F;G thẳng hàng. 
Bài 16:
 Cho tam giác ABC cĩ =1v; AB < AC. Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IK^BC (K nằm trên AC). Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA = AK. 
Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường trịn tâm O. 
C/m: 
Chứng tỏ: BC2= 2. AC. KC
AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh AC = BN
C/m: NMIC nội tiếp. 
Gợi ý 
Hình 16
1. C/m ABIK nội tiếp 
 (Quá dễ)
2. C/m 
Do AB ^ MK và MA = AK (gt) Þ DBMK cân ở B 
Þ Mà 
(Gĩc ngồi tam giac KBC).
Do I là trung điểm BC và KI ^ BC (gt) Þ DKBC cân ở K
Þ Vậy 
3. C/m: BC2 = 2AC . KC
Xét 2 D vuơng ACB và ICK cĩ gĩc C chung Þ DACB DICK
Þ Þ IC= Þ Þ đpcm
4. C/m: AC = BN
Do (gĩc ngồi DIAC) và DIAC Cân ở I
Þ (1). 
Ta lại cĩ và (cùng chắn cung AB - tứ giác AKIB nội tiếp)
Þ (2) mà (gĩc ngồi tam giác MNA) 
Do DMNA cân ở M (gt) Þ Þ (3)
Từ (1);(2);(3)Þ và (đối đỉnh) Þ 
5. C/m NMIC nội tiếp:
Do hay Þ hai điểm N;C cùng nhìn đoạn MI)
Bài 17:
 Cho (O) đường kính AB cố định, điểm C di động trên nửa đường trịn. Tia phân giác của gĩc ACB cắt (O) tai M. Gọi H;K là hình chiêu của M lên AC và CB. 
C/m: MOBK nội tiếp. 
Tứ giác CKMH là hình vuơng. 
C/m: H;O;K thẳng hàng. 
Gọi giao điểm HK và CM là I. Khi C di động trên nửa đường trịn thì I chạy trên đường nào?
Gợi ý 
1. C/m: BOMK nội tiếp
(Sử dụng tổng hai gĩc đối bằng 1800)
2. C/m CHMK là hình vuơng:
(Hình chữ nhật c ĩ một đường chéo
là phân giác nên là hình vuơng)
3. C/m: H,O,K thẳng hàng:
Gọi I là giao điểm HK và MC;do MHCK là hình vuơng
Þ HK ^ MC tại trung điểm I của MC.
Do I là trung điểm MC Þ OI ^ MC (đường kính đi qua trung điểm một dây)
Vậy HI ^ MC;OI ^ MC và KI ^ MC Þ H;O;I thẳng hàng. 
4 . Do gĩc = 1v; OM cố định Þ I nằm trên đường trịn đường kính OM. 
- Giới hạn:Khi C º B thì I º F;Khi C º A thì I º E. 
Vậy khi C di động trên nửa đường trịn (O) thì I chạy trên cung trịn EOF của đường trịn đường kính OM. 
CHÚ Ý: 
Khi C chạy trên cả đường trịn thì quỹ tích
 điểm I là hai cung trịn đối xứng nhau 
qua AB như hình vẽ
Bài 18:
Cho hình chữ nhật ABCD cĩ chiều dài AB = 2a, chiều rộng BC = a. Kẻ tia phân giác của gĩc ACD, từ A hạ AH vuơng gĩc với đường phân giác nĩi trên. 
1. Chứng minh: AHDC nội tiếp trong đường trịn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a. 
	2 . HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N. Chứng tỏ HB = HC
	Và AB. AC = BH. BI
	3. Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O)
	4 . Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J. Chứng minh HOKD nội tiếp. 
Gợi ý 
1. Chứng minh: 
* AHDC nội tiếp trong đường trịn tâm O 
và phải định rõ tâm và bán kính theo a. 
Sử dụng hai điểm H và D cùng nhìn 
đoạn AC dưới một gĩc khơng đổi 900 
nên tứ giác AHDC nội tiếp đường trịn 
đường kính AC O là trung điểm của AC,
 bán kính R = .
Áp dụng định lí Py - ta - go ta tính được AC = aR = .
2 . HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N. 
+ Chứng tỏ HB = HC. 
+ Và AB. AC = BH. BI
* Vì CH là phân giác của BCA nên Nên OH AD Þ OH là đường trung trực của AD Þ OH cùng là đường trung trực của BC Þ HB = HC
* Xét hai DHCA và DABI cĩ = 1v và (cùng chắn cung AH) 
Þ DHCA DABI Þ mà HB = HC Þ đpcm
3. Gọi tiếp tuyến tại H của (O) là Hx. 
Ta chứng minh tứ giác MNBC nội tiếp (Vì ) mà Þ 
n ên MNBC là hình thang cân Þ MN // BC mà BC // Hx (cùng vuơng gĩc với OH) 
Þ MN // Hx
4 . C/m: HOKD nội tiếp
 Do DJ // BH Þ (so le) Þ 
mà Þ Þ H;O;J thẳng hàng tức HJ là đường kính Þ = 1v . 
Gĩc (cùng chắn 2 cung bằng nhau)Þ Þ C; J cùng nhìn đoạn OK những gĩc bằng nhau Þ OKCJ nội tiếp Þ (cùng chắn cung KC); (cùng chắn cung DC) Þ Þ OK // AD
mà AD ^ HJ Þ OK ^ HO Þ HDKC nội tiếp. 
Bài 19:
 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB,bán kính OC ^ AB. Gọi M là 1 điểm trên cung BC. Kẻ đường cao CH của tam giác ACM. 
Chứng minh AOHC nội tiếp. 
Chứng tỏ DCHM vuơng cân và OH là phân giác của gĩc COM. 
Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt (O) tại D. 
 Cmr: CDBM là hình thang cân. 
BM cắt OH tại N. Chứng minh DBNI và DAMC đồng dạng,từ đĩ suy ra:
 BN. MC=IN. MA. 
Gợi ý 
1 . C/m AOHC nội tiếp:
(Tự chứng minh)
2 . C/m: DCHM vuơng cân:
 (Gợi ý: = 450)
3. Cmr: CDBM là hình thang cân. 
Dễ dàng chứng minh được OH là đường
trung trực của đoạn MC và BD 
nên CM // BD Þ đpcm 
4 . C/m BNI và DAMC đồng dạng:
(Tự chứng minh)
Þ DINB DCMA (g -g) Þđpcm
Bài 20:
 Cho D đều ABC nội tiếp trong (O;R). Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M;N sao cho BM=AN. 
Chứng tỏ DOMN cân. 
C/m :OMAN nội tiếp. 
BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E. C/m BC2+DC2=3R2. 
Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I;AO kéo dài cắt BC tại J. C/m BI đi qua trung điểm của AJ. 
Gợi ý 
1. C/m OMN cân:
Do DABC là tam giác đều nội tiếp trong (O)
Þ AO và BO là phân giác của DABC 
Þ = 30o; OA = OB = R và BM = AN (gt)
ÞDO