Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
I. Một số dạng cơ bản của phương trình, bất phương trình chứa căn thức.
	1. Phương trình
	a) 
	b) 
Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 
Hướng dẫn: 
Nhận xét: Phương trình có dạng nên ta giải như sau 
Ta có 
	Vậy 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
Hướng dẫn: Ta có
	Vậy 
	2. Bất phương trình
	a) 
	b) 
Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: 
	a) 	 
	b) , 	
Hướng dẫn
Ta có :
Vậy tập nghiệm 
	b)Ta có 
	Giải (1) 
Giải (2) 
Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP
1. Phương pháp bình phương liên tiếp
Sử dụng phương pháp bình phương liên tiếp nhằm biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng không còn chứa căn thức. Tuy nhiên khi bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình nhớ sử đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu (đối với phương trình có thể giải bằng phương trình hệ quả sau đó thử lại kết quả, còn đối với bất phương trình bắt buộc phải đặt điều kiện cho hai vế cùng dấu)
Ví dụ 1. Giải phương trình 
Hướng dẫn:
Điều kiện 
Với điều kiện trên ta có 
Vậy 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình 
Hướng dẫn
Điều kiện 
Với điều kiện trên ta có 
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 
2. Phương pháp đặt ẩn phụ
Mục đích của phương pháp đặt ẩn phụ là đưa phương trình bất phương trình về dạng cơ bản hoặc là dạng đã biết cách giải. Từ nghiệm của phương trình, bất phương trình mới ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình ban đầu.
	Chú ý:
 Phương trình, bất phương trình mới không tương đương với phương trình bất phương trình cũ (vì khác tập hợp nghiệm) mà chỉ tương đương theo nghĩa từ phương trình ,bất phương trình này ta suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình kia và ngược lại.
Dạng 1. Đặt ẩn phụ khi thấy các biểu thức có dạng giống nhau. Đặt , đưa phương trình, bất phương trình theo biến về phương trình bất phương trình theo biến (Chú ý đặt điều kiện cho biến (nếu có)).
Ví dụ 1 Giải phương trình 
Nhận xét:
Ta thấy biểu thức dưới dấu căn đều có số hạng , và đây là biểu thức chung, chú ý rằng chúng ta quan tâm đến nhũng biểu thức chung chứa biến, còn nếu có thêm hằng số cũng không quan trọng, và ta có thể đặt ẩn , để đưa phương trình về dạng cơ bản, tuy nhiên để bài toán được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn, tức là đặt 
Ta giải bài toán này như sau: 
Đặt điều kiện . Khi đó . Phương trình trở thành
Với ta có
	Vậy 
Ví dụ 2 Giải bất phương trình 
Hướng dẫn: 
Ta có: 
Đặt điều kiện . Khi đó bất phương trình trở thành: 
Kết hợp với điều kiện ta có (1) 
Với ta có:
Với (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có nghiệm của bất phương trình là 
Ví dụ 3 Giải bất phương trình: 	
Hướng dẫn: 
Đặt , điều kiện , suy ra 
Bất phương trình trở thành: 
	 Với ta có 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Dạng 2. Các phương trình, bất phương trình có biểu thức trong đó là hằng số. Khi đó đặt , suy ra . Đưa phương trình bất phương trình về ẩn . 
Ví dụ 4 Giải phương trình: 	
Hướng dẫn: 
Điều kiện 
Đặt (điều kiện ). 
Suy ra 
Khi đó phương trình trở thành: 
Với ta có: 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Ví dụ 5 Giải bất phương trình: 
Hướng dẫn
Điều kiện 
Đặt (điều kiện ). Suy ra 
Bất phương trình trở thành 
Với ta có 
	Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là 
Dạng 3. Các phương trình có dạng . Khi đó đặt (xét )
Hoặc đặt . Tính theo . 
Ví dụ 6 Giải phương trình 
Hướng dẫn
Điều kiện 
Đặt điều kiện 
Khi đó phương trình trở thành 
Với ta có 
Với ta có 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 
Ví dụ 7 Giải bất phương trình 
Hướng dẫn
Điều kiện 
Ta thấy là nghiệm của bất phương trình. 
Xét , chia hai vế của bất phương trình cho ta có 
Đặt (Điều kiện ). Khi đó bất phương trình trở thành
 Với ta có 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 	
Dạng 4. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Ví dụ 8 Giải phương trình: 
Hướng dẫn
Đặt 
	Khi đó ta có hệ 
	Lấy (1) trừ (2) ta có:
	(Vì ) 
	Với ta có
	Vậy phương trình có 3 nghiệm 
Ví dụ 9Giải phương trình: 
Hướng dẫn
Đặt: 
Ta có hệ: 
, sau đó thay vào ta có:
Ví dụ 10 Giải phương trình: 
Hướng dẫn
Đặt: 
 trở thành 
Ta có hệ: 
Thay vào :
Thay các giá trị vào phương trình đầu ta nhận nghiệm: 
Vậy 
Chú ý: 
Từ phương trình ta suy ra hệ, nên khi giải ra nghiệm ta phải thử lại. 
Phương pháp này chỉ hiệu quả trong việc giải phương trình, còn bất phương trình thì rất khó sử dụng. 
3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
Ví dụ 11 Giải phương trình
Hướng dẫn
Đặt: 
Dấu xảy ra 
Mặt khác: , dấu xảy ra 
	Vậy 
4. Dùng khảo sát hàm số để biện luận phương trình, bất phương trình chứa tham số
Ví dụ 12. Tìm để phương trình sau có nghiệm: 
Hướng dẫn
Điều kiện: 
Đặt 
Ta có: 
 và 
Bảng biến thiên:
x
t’
 + 0 - 
t
3	 3
Xét 
Bảng biến thiên: 
3 
–
3
Vậy thì phương trình có nghiệm.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
I. Giải các phương trình sau:
1) 	
2) 	
3) 	
4) 	
5) 	
6) 	
7) 	
8) 	
9) 	
10) 	
II. Giải bất phương trình
1) 	
2) 	
3) 	
4) 	
5) 	
6) 	
7) 	
8) 	
9) 	
10) 	
11) 	
III. Tìm để:
1) có nghiệm..
2) có hai nghiệm.
3) có nghiệm chứa .
4) có nghiệm.
5) có 2 nghiệm phân biệt.
IV. Phương trình và bất phương trình chứa căn thức trong các đề thi đại học gần đây
1) (D – 2002) Giải bất phương trình 	
2) (A – 2004) Giải bất phương trình 11) 	
3) (B – 2004) Xác định để phương trình sau có nghiệm: 
	Đs: 
4) (A – 2005) Giải bất phương trình 	Đs: 
5) (D – 2005) Giải phương trình: 	Đs: 
6) (B – 2006) Tìm để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt Đs:
7) (D – 2006) Giải phương trình 	Đs: 
8) (A – 2007) Tìm để phương trình sau có nghiệm thực Đs: 
9) (B – 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số , phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 	Đs: 
10) Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt
	Đs: 
V. Các bài trong các đề thi dự bị đại học
1) Giải phương trình (Dự bị B – 2006)	Đs: 
2) Giải phương trình 	Đs: 
3) Tìm để bất phương trình có nghiệm (Dự bị A – 2007) 	Đs: 
4) Tìm để phương trình có nghiệm (Dự bị B – 2007)	
5) Tìm để phương trình có đúng hai nghiệm. (Dự bị D – 2007) 	Đs: 
6) Tìm để phương trình sau có đúng một nghiệm thực. (Dự bị A – 2007)
Đs: