Một số phương pháp giải bài toán cực trị ở THCS

Một số phương pháp giải bài toán cực trị ở THCS
I . kiến thức cơ bản
1. Các định nghĩa
1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y,...) xác định trên miền D :
M. được gọi là GTLN của f(x,y,...) trên miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
1. f(x,y,...) Ê M 	"(x,y,..) ẻ |D
2. $ (x0, y0,...) ẻ |D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Max f(x,y,..) = fmax với (x,y,...) ẻ |D
1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y,...) xác định trên miền |D :
M. được gọi là GTNN của f(x,y,...) trên miền |D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :
1. f(x,y,...) ³ M 	"(x,y,..) ẻ |D
2. $ (x0, y0,...) ẻ |D sao cho f(x0, y0...) = M.
Ký hiệu : M = Min f(x,y,..) = fmin với (x,y,...) ẻ |D
2. Các kiến thức thường dùng
2.1. Luỹ thừa :
a) x2 ³ 0 "x ẻ |R ị x2k ³ 0 "x ẻ |R, k ẻ z ị - x2k Ê 0
Tổng quát : [f (x)]2k ³ 0 "x ẻ |R, k ẻ z ị - [f (x)]2k Ê 0
Từ đó suy ra : 	[f (x)]2k + m ³ m 	"x ẻ |R, k ẻ z
M - [f (x)]2k Ê M 
b) ³ 0 	"x ³ 0 	ị ()2k ³ 0 	"x³0	; k ẻz
Tổng quát : ()2k ³ 0	" A ³0	(A là 1 biểu thức)
2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối :
a) |x| ³ 0	" xẻ|R
b) |x+y| Ê |x| + |y| 	; nếu "=" xảy ra Û x.y ³ 0
c) |x-y| ³ |x| - |y|	; nếu "=" xảy ra Û x.y ³ 0 và |x| ³ |y|
2.3. Bất đẳng thức côsi :
 "ai ³ 0 	; i = : "nẻN, n ³2.
dấu "=" xảy ra Û a1 = a2 = ... = an
2.4. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
Với n cặp số bất kỳ a1,a2,...,an ; b1, b2, ...,bn ta có :
(a1b1+ a2b2 +...+anbn)2 Ê (
Dấu "=" xảy ra Û = Const (i = )
2.5. Bất đẳng thức Bernonlly : 
Với a ³ 0 	:	(1+a)n ³ 1+na	"n ẻN.
Dấu "=" xảy ra Û a = 0.
Một số Bất đẳng thức đơn giản thường gặp được suy ra từ bất đẳng thức (A+B)2 ³ 0.
a2 + b2 ³ 2ab
(a + b)2 ³ 4ab
2( a2 + b2 ) ³ (a + b)2
e. 
II. Một số phương pháp cơ bản 
giải bài toán cực trị đại số 
 Phương pháp 01 
( Sử dụng phép biến đổi đồng nhất )
Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số. Từ đó :
1.Để tìm Max f(x,y,...) trên miền |D ta chỉ ra :
	sao cho f(x0,y0,...) = M 
2. Để tìm Min f(x,y,...) trên miền |D ta chỉ ra :
	sao cho f(x0,y0,...) = m 
I. Các vi dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A1 = x2 + 4x + 7
Giải :Ta có : A1 = x2 + 4x + 7 = x2 + 4x + 4x + 3 = (x + 2)2 + 3 ³ 3 vì (x + 2)2 ³0.
ị A1 min = 3 Û x + 2 = 0 Û x = -2
Vậy A1 min = 3 Û x = -2
2. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của A2 = -x2 + 6x - 15
Giải :Ta có : A2 = -x2 + 6x - 15 = - (x2- 6x + 9) - 6
A2 = - (x - 3)2 - 6 Ê - 6 	do -(x - 3)2 Ê 0 	"x ẻ|R
ị A2 max = - 6 Û x - 3 = 0 Û x = 3
Vậy A2 max = - 6 Û x = 3
3. Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002
Giải : Ta có :	A3= (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002
= (x2-9x + 8) (x2 - 9x + 20) + 2002= {(x2-9x + 14) - 6}.{(x2-9x + 14) + 6} + 2002
= (x2-9x + 14)2 - 36 + 2002 = (x2-9x + 14)2 + 1966 ³ 1966 vì (x2-9x + 14)2 ³0 "x
ị A3 min = 1966 Û x2-9x + 14 = 0 	Û . Vậy A3 min = 1966 Û 
4. Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A4 = 
Giải :Ta có: A4 = 
 = - vì - 
ị A4 Max = 3 Û Û x = -2
Vậy : A4 Max = 3 Û x = -2
5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất của A5 = với x,y>0
Giải :Ta có:A5== 
A5 = = ³0	"x,y > 0
ị A5 min = 0 Û Û x = y
Vậy : A5 min = 0 Û x = y > 0
6. Ví dụ 6 : Cho x,y ³ 0 và x + y = 1 . 
Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A6 = x2 + y2.
Giải :Do x; y ³ 0 và x + y = 1 ị 0 Ê x;y Ê1 ị x2 Êx, y2 Êy
ị A6 = x2 + y2 Ê x + y = 1 ị A6 max = 1 Û hoặc 
Mặt khác : x + y = 1 ị (x + y)2 = 1 ị 1 = x2 + 2xy + y2 ị (x2+y2)-(x-y)2
ị A6 = x2+y2 = do (x - y)2 ³ 0
ị A6 min = Û x - y = 0 Û x = y = 
Vậy : 	A6 max = 1	Û 	
	A6 min = Û x = y = 
7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2
Giải :Ta có : A7 = xy + yz + zx - x2-y2-z2 = -(2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2xz)
	A7 = -{(x-y)2 + (y-z)2 + (z-x)2} Ê 0	"x,y,z ị A7 Max = 0 Û x=y = z
Vậy : A7 Max = 0 Û x = y = z
8. Ví dụ 8 : Tìm GTLN của biểu thức: .
Giải: Ta có thể viết: 	
Vì . Do đó ta có: . Dấu “=” xảy ra .
Vậy: GTLN của tại 
II. Nhận xét: 
Phương pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất được áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau. Song đôi khi học sinh thường gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt được mục đích. Vậy còn những phương pháp nào; để cùng phương pháp vừa nêu trên giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải. Trước hết ta giải một số bài toán sau để cùng suy ngẫm.
III. Các bài tập đề nghị :
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a. A =	x2 - 10x + 20
b. B = (x-1)2 + (x-3)2
c.	
D = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6)
e. E = 	(x ạ1)
f. F = x3 + y3 + xy 	biết x + y = 1
g. G = 	với x,y > 0
2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức :
a.	A = - x4 + 2x3 - 3x2 + 4x + 2002
b.	B = 	;	C = 
3. Tìm GTLN, GTNN 	của A = 
	Phương pháp 02 : 
( Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ) 
Ta biết rằng : Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đưa về 1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương mà một vế là hằng số. Vì vậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tương đương ta có thể tìm được cực trị của 1 biểu thức nào đó.
I. Các ví dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1 : Cho a > b > 0. Tìm GTNN của B1 = a + 
Giải :Ta có : B1 = a + = b + (a-b) + ³ 3. (theo Côsi).
B1 ³ 3 ị B1 min = 3 Û b = a-b = Û 
Vậy : B1 min = 3 Û 
2. Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B2 = + 
Giải :Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)() ³ 2. 2 = 4 (với x,y > 0)
ị ³ 	(1)
Ta có : ab Ê ()2 = ị ³ 4	(2) do a+b = 1 ; a,b > 0
áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có :
B2 = 
B2 ³ 2 + do a + b = 1 ị B2min = 6 Û a = b = 
Vậy : B2min = 6 Û a = b = 
3. Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của B3 = x4 + y4 + z4
Giải :
Do xy + xz + yz = 4 ị 16 = (xy + xz + yz)2 Ê (x2+y2+z2) (x2+y2+z2)
(Theo Bunhiacôpxki) Û 16 Ê (x2+y2+z2)2 Ê (x4 + y4 + z4) (12+12+12)
ị B3 = x4 + y4 + z4 ³ ị B3min = Û x = y = z = ± 
Vậy : B3min = Û x = y = z = ± 
4. Ví dụ 4 : Cho |a| Ê1; |b| Ê1 và | a+ b| = 
Tìm GTLN của B4 = 
Giải :Ta có : (a-b)2 ³ 0	"a;b ị (1)
áp dụng (1) ta có :
Do 	(do | a + b| = )
ị Ê 1 - = ị ()
ị B4 = ị B4Max = 1 Û a = b = 
Vậy : B4Max = 1 Û a = b = 
5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B6 = | x + 7| + | x - 1995|
Giải :
Ta có : |x| + |y| ³ | x + y| dấu "=" xảy ra Û x,y ³ 0
Do vậy : B6 = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | ³ |x+7 + 1995 - x| = 2002
ị B6Min = 2002 Û (x + 7). (1995 - x) ³ 0 Û -7 Ê x Ê 1995
Vậy : B6Min = 2002 Û -7 Ê x Ê 1995
6. Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6|
Giải : Ta có : 	B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6|
	B7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - (2x + y)| 
	B7 ³ | x + 2000 + x + y + 4 + 6 - 2x - y| = 2010
ị B7min = 2010 Û (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - 2x + y) cùng dấu.
 Vậy : B7min = 2010
7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của 
B = (1 + x2y + xy2)2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 với x2y + xy2 ³ 0
Giải :Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x2y + xy2)2001 ³ 1 + 2001 (x2y + xy2)
ị B (1 + x2y + xy2)2001- 2001 xy (x+y) + 2001 ³ 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001.
Û B ³ 2002 Û B min = 2002 Û xy(x+y) = 0 Û 
Vậy : B min = 2002 Û 
8. Ví dụ 8 : Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. 
Tìm GTNN của B8 = x16 + y16 + z16
Giải : Cách 1 : Ta có : 	(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ³ 0 	"a,b,c
Û a2 + b2 + c2 ³ ab + ac + bc (1)
áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : 
B8 = x16 + y16 + z16 = (x8)2 + (y8)2 + (z8)2 ³ x8y8 + y8z8 + z8x8
Û B8 ³ x8y8 + y8z8 + z8x8
Û B8 ³ (x4y4)2 + (y4z4)2 + (z4x4)2 ³ x4y4. y4z4+ x4y4. z4x4 + y4z4. z4x4
Û B8 ³ x4y8z4 + x8y4z4 + x4y4z8
Û B8 ³ (x2y4z2)2 + (x4y2z2)2 + (x2y2z4)2 ³ x6y6z4 + x6y4z6 + x4y6z6
Û B8 ³ (x3y3z2)2 + (x2y3z3)2 + (x3y2z3)2 ³ x5y6z5 + x6y5z5 + x5y5z6
Û B8 ³ (xyz)5.x + (xyz)5.y + (xyz)5.z = x + y + z = 3
(do xyz = 1 và x + y + z = 3)
ị B8min = 3 Û x = y = z = 1
Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1)
áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có :
3 = x + y + z ị 9 = (x+ y + z)2 Ê (x2 + y2 + z2).3
Û 3 Ê (x2 + y2 + z2) Û 9 Ê (x2 + y2 + z2)2 Ê (x4 + y4 + z4).3
 Û 3 Ê x4 + y4 + z4 Û 9 Ê (x4 + y4 + z4)2 Ê (x8 + y8 + z8).3
 Û 3 Ê x8 + y8 + z8 Û 9 Ê (x8 + y8 + z8)2 Ê (x16 + y16 + z16).3
 Û B8 = x16 + y16 + z16 ³ 3 . ị B8min = 3 Û x = y = z = 1
 Vậy : B8min = 3 Û x = y = z = 1
9. Ví dụ 9: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3.
Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2	
Ngoài ra: x + y = 1 x2 + y2 + 2xy = 1 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do đó và 
Ta có: và 
Do đó và dấu “=” xảy ra 
Vậy GTNN của 
10. Ví dụ 10: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tìm GTLN và GTNN của x + y.
Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2 
2(x2 + y2) (x + y)2
Mà 	x2 + y2 = 1 (x + y)2 2 
- Xét . Dấu “=” xảy ra 
- Xét . Dấu “=” xảy ra 
	Vậy x + y đạt GTNN là .
11. Ví dụ 11: Giả sử x và y là hai số thỏa mãn x > y và xy = 1. Tìm GTNN của biểu thức: .
Giải: Ta có thể viết: 
Do x > y và xy = 1 nên: 
Vì x > y x – y > 0 nên áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số không âm, ta có: 
Dấu “=” xảy ra (Do x – y > 0)
Từ đó: 
Vậy GTNN của A là 3 	
 hay Thỏa điều kiện xy = 1
12. Ví dụ 12: Tìm GTLN của hàm số: .
Giải: Điều kiện: 
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
Chọn với . Ta có: 
Vì y > 0 nên ta có: 
	Dấu “=” xảy ra (Thỏa mãn (*))
Vậy GTLN của y là 2 tại x = 3.
13. Ví dụ 13: Tìm GTNN của biểu thức: M = 
Giải: M = = 
áp dụng bất đẳng thức: ta có:
M = 	
=> M 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (x – 1994) . (1995 – x) 0
 1994 
Vậy GTNN của M = 1 ú 1994 
14. Ví dụ 14: Cho . Tìm GTLN của biểu thức y = x + 
Giải: Ta có: = x + 2 
Vì 0 nên 1 – x 
áp dụng bất đẳng thức Cô si đối với 2 số: và (1 – x) cho ta:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy GTLN của y là tại x = 
II. Nhận xét :
Rõ ràng khi áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản, bài toán được giải quyết
 nhanh hơn. Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và sự vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó. Một vấn đề đặt ra là : Hai phương pháp vừa nêu vẫn chưa đủ để giải quyết được hết các bài toán cực trị đại số THCS. Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có những phương pháp khác tối ưu hơn và thực hiện được yêu cầu bài toán. Trước khi đi nghiên cứu phương pháp 03. Chúng ta cùng nghiên cứu một số bài tập sau :
III. Một số bài tập đề nghị : 
1. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN của A = (1+) (1+) (1+)
2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1. Tìm GTNN của B = 
3. Cho a,b,c > 0 
a) Tìm GTNN của C = 
b) Tìm GTNN của D = 
4. Cho x,y,z ³ và x+y+z =1.Tìm GTLN của	E=
5. Cho a,b,c ³ 0 và a + b + c = 1.Tìm GTLN của F = 
6. Cho 0 Ê x Ê . Tìm GTLN của G = 4x2 - 3x3
7. Cho 0 Ê x Ê 3 ; Cho 0 Ê y Ê4. Tìm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y)
8. Cho x,y,z,t ³ 0 và 2x + xy + z + yzt = 1. Tìm GTLN của I = x2y2z2.t
9. Cho x,y,z,t ³ 0 và xt + xy + z + yzt = 1. Tìm GTLN của K = xyzt
10. Tìm GTNN của M = | x-2 | + | y-3 | + | x+y-2007 |
 Phương pháp 03 : 
( Sử dụng phương pháp đặt biến phụ )
Bằng cách đặt biến phụ và sử dụng các phép biến đối tương đương. Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giản hơn, dễ xác định cực trị hơn.
I. Các ví dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1: Tìm GTNN của C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12
Giải : C1 = x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 12
C1 = ( x4 + 6x3 + 19x2 + 30x + 25) - 6 (x2 + 3x + 5) + 17
C1 = (x2 + 3x + 5)2 - 6 (x2 + 3x + 5) + 17
Đặt : x2 + 3x + 5 = a
C1 = a2 - 6a + 17 = a2 + 6a + 9 + 8
C1 = (a-3)2 + 8³ 8 	do (a-3)2 ³ 0 	"a.
ị C1min = 8 Û a - 3 = 0 Û a = 3 Û x2 + 3x + 2 = 0 Û 
Vậy : C1min = 8 Û 
2. Ví dụ 2: Tìm GTNN của C2 = 2.- 5 với x,y > 0
Giải :Đặt : = a ³2 ị = a2 - 2
ị C2 = 2.( a2 - 2) - 5a + 6 = 2a2 - 5a + 2
Ta thấy : a ³ 2 ị C2 = 2a2 - 5a + 2 ³ 0
ị C2min = 0 Ûa = 2 Û x = y > 0
Vậy : C2min = 0 Û x = y > 0
3. Ví dụ 3: Tìm GTNN của C3 = - + 2004 với x,y>0
Giải : Đặt : = a ³ 2Û = a2 – 2. Khi đó : 	C3 = (a2 - 2) - 3a + 2004
	C3 = a2 - 3a + 2004 = a2 - 3a + 2 + 2002 = (a-1) (a-2) + 2000
Do ta có : a ³ 2 ị a - 1> 0 ; a - 2³0	ị (a-1) (a-2) ³0
ị C3 = (a-1) (a-2) + 2000 ³ 2000ị C3 min = 2000 Û a = 2 Û x = y ; xy > 0
Vậy C3 min = 2000 Û x = y và xy > 0
4. Ví dụ 4: Cho x,y,z > 0
Tìm GTNN của C4 = 
Giải : Đặt : a = 	;	b = 	; 	c = 
ị = 
ị 	; 	; 	
Khi đó : 	C4 = 
	C4 = 
Theo Côsi với a,b,c >0 ta có : 
ị C4 ³ 
ị C4min = Û a = b = c Û x = y = z > 0.
Vậy C4min = Û x = y = z > 0.
5. Ví dụ 5: Tìm GTLN, GTNN của C5 = 
Giải :Ta có : ³ a.b (1)	"a,b	và (2)	"a,b
Đặt : và 
Khi đó : C5 =a.b
Theo (1) và (2) ta có : - Ê C5 = ab Ê 
Û - 
Û - 
Û - Ê C5 Ê 
Ta có : 0 Ê Ê 1	;	0 Ê Ê 1
Do đó : 	Ê C5 Ê 
ị 	C5min = Û (x2 - 1)2 = (x2 + 1)2 Û x = 0
	C5max = Û (1 - y2)2 = (1 + y2)2 Û y = 0
Vậy C5min = Û x = 0; C5max = Û y = 0
6. Ví dụ 6: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: .
Giải: Đặt 
Do đó: 
Tương tự: 	y + z = a(b + c);	z + x = b(c + a)
Ta có: (1)
Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z
Khi đó, 
Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có:
 GTNN của E là khi a = b = c = 1.
II. Các bài tập đề nghị :
1. Tìm GTNN của A = x2 + 4 - x + 
2. Tìm GTLN của B = với aẻ 
3. Cho a ³ -; b ³ -; c ³ - và a+ b + c = 1
Tìm GTLN của C = 
4. Cho x,y > 0. Tìm GTNN của D = 
	Phương pháp 04 :
( Sử dụng biểu thức phụ )
 Để tìm cực trị của 1 biểu thức nào đó, đôi khi người ta xét cực trị của 1 biểu thức khác có thể so sánh được với nó, nếu biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn.
Ví dụ : Để tìm cực trị của biểu thức A với A > 0, ta có thể xét cực trị của biểu thức : , -A, kA, k + A, |A| , A2 	(k là hằng số).
I. Các vị dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1: Tìm GTLN của A = 
Giải :
 a) Xét x = 0 ị A = 0 giá trị này không phải là GTLN của A vì với x ạ 0 ta có A > 0.
b) Xét x ạ 0 đặt P = khi đó Amax Û Pmin 
với cách đặt trên ta có : P = 
ta có : x2 + (theo côsi)
ị P ³ 2 + 1 = 3 ị Pmin = 3 Û x = 1
Do đó : Amax = Û x = 1
2. Ví dụ 2: Tìm GTNN của B = với x > 0
Giải :
Đặt P1 = - B như vậy P1max Û Mmin
Ta có : P1 = với x > 0 ị P > 0
Đặt P2 = > 0 với x > 0 khi đó P2 Min Û P1 Max
P2 = 
P2 = 
P2 = 
(do ³ 0 	"x > 0)
ị P2 Min = 8008 Û x = 2002
ị P1 Max = Û x = 2002
Û BMin = - Û x = 2002
Vậy BMin = - Û x = 2002
3. Ví dụ 3: Cho a,b,c dương và a + b + c = 3
Tìm GTLN của C = 
Giải :
Do a,b,c > 0 ị C > 0
Đặt : P = C2 khi đó Û CMax
Ta có : P = ()2
Û 	P Ê (12 + 12 + 12) (5a + 4b + 5b + 4c + 5c + 4a) theo Bunhiacôpxki
	P Ê 3.9(a + b + c) = 81 	do a + b + c = 3
ị PMax = 81 Û a = b = c = 1
Û = 81 Û a = b = c = 1
Û CMax = 9 Û Û a = b = c = 1
Vậy CMax = 9 Û Û a = b = c = 1
4. Ví dụ 4: Cho x, y, z, t > 0
Tìm GTNN của D = 
Giải : Đặt P = 2D ta có :
P = 
P= 
P=
P ³ 	2	+	 2	+	2	+ .6 	(theo côsi)
P ³ 15 ị PMin = 15 Û x = y = t > 0
ị DMin = Û x = y = t
Vậy DMin = Û x = y = t
5. Ví dụ 5: Cho x, y > 0 và 7x + 9y = 63	Tìm GTLN của E = x.y
Giải :Đặt : 	P = 63.E ta có :
	P = 63xy = 7x.9y Ê (theo côsi)
P Ê = ị PMax = 
Dấu "=" xảy ra Û 7x = 9y = Û 
ị EMax = : 63 = Û 
6. Ví dụ 6 : Cho x2 + y2 = 52 	Tìm GTLN của F = 2x + 3y
Giải : Xét : 	P1 = |F| khi đó P1 = |2x + 3y|
Đặt :	P2 = khi đó P2 = (2x + 3y)2
Theo Bunhiacôpxky : P2 Ê (4 + 9) (x2 + y2) = 13.13.4
ị P2 Max = 13.13.4 Û hoặc 
ị P1 Max = 26
Do F Ê |F| = P
ị FMax = 26 Û. Vậy FMax = 26 Û
7. Ví dụ 7: Cho x,y > 0. Tìm GTNN của G = 
Giải :
Đặt : P = G - 2 ta có : 
P = -2
P = 
P = 
ị PMin = 0 Û x = y > 0
Vậy GMin = 2 Û x = y > 0
II. Các bài tập đề nghị :
1. Cho x,y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = 1
Tìm GTNN của A 
2. Cho x ạ 0.
Tìm GTNN của B = 
3. Cho x ạ 0
Tìm GTLN của C = 
4. Cho a2 + b2 + c2 = 1
Tìm GTLN của D = a + 2b + 3c
5. Cho a,b > 0 và a + b = 2
Tìm GTNN của E = 
6. Cho a, b, c, d > 0
Tìm GTNN của F = 
7. Cho a,b ẻ |R
Tìm GTNN của G = 
 Phương pháp 05 : 
( Phương pháp miền giá trị )
Trong một số trường hợp đặc biệt, biểu thức đại số đã cho chỉ có thể có một hoặc hai biến số và đưa được về dạng tam thức bậc 2 thì ta có thể sử dụng kiến thức về miền già trị của hàm số để giải và thấy rất hiệu quả.
Đường lối chung là :
Giải sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D. Gọi y là một giá trị nào đó của f(x) với x ẻ D. Điều này có nghĩa là điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm. Sau đó giải điều kiện để phương trình f(x)=y có nghiệm (x là biến, coi y là tham số). 
Thường đưa đến biểu thức sau : m ÊyÊM
Từ đó ị Min f(x) = m 	với x ẻ D.
	ị Max f(x) = M 	với x ẻ D.
I. Các ví dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1: Tìm GTNN của f(x) = x2 + 4x + 5
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có :	y = x2 + 4x + 5
	Û	x2 + 4x + 5 - y = 0	(có nghiệm)
	Û	D' = 4 - 5 + y ³ 0
Û 	y ³ 1
Vậy f(x) Min = 1 Û x = -2
2. Ví dụ 2: Tìm GTLN của f(x) = - x2 + 2x - 7 
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x). Ta có :	y = - x2 + 2x - 7
	Û 	x2 - 2x + y + 7	(có nghiệm)
	Û	D' = 1 - y - 1 ³ 0
	Û 	y Ê - 6
Vậy f(x)Max = -6 Û x = 1
3. Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của f(x) = 
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) .
Ta có : y = Û yx2 + 2yx + 3y - x2 - 4x - 6 = 0
Û (y - 1)x2 + 2 (y - 2).x + 3y - 6 = 0 	(có nghiệm)
* Nếu y = 1 ị x = - 
* Nếu y ạ 1 ị D' = (y - 2)2 + (3y - 6)(1 - y) ³ 0
Û y2 - 4y + 4 - 3y2 + 3y + 6y - 6 ³ 0
Û - 2y2 + 5y + 2 ³ 0 Û Ê y Ê 2
Ta thấy : < 1 < 2
Do vậy : 	f(x) Min = Û x = -3; f(x) Max = 2 Û x = 0
4. Ví dụ 4 : Tìm GTNN của f(x) = 
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x) . Ta có :	y = 
Û yx2 + 2yx + y - x2 - 2x - 6 = 0
Û (y - 1)x2 - 2(y + 1)x + y - 6 = 0 	(có nghiệm)
* Nếu y = 1 ị x = - 
* Nếu y ạ 1 ị D' = (y + 1)2 - (y - 1)(y - 6) ³ 0
Û y2 + 2y + 1 - y2 + 6y + y - 6 ³ 0
Û 9y - 5 ³ 0
Û y ³ 
Do < 1 nên ta có YMin = Û x = -. Vậy f(x) Min = Û x = -
5. Ví dụ 5: Tìm GTLN của f(x) = 
Giải :
Gọi y là một giá trị của f(x). 
Ta có :	y = 	Û yx2 + y - x2 - 1 = 0
	Û (y - 1)x2 + y - 2 = 0
	Û (y - 1)x2 = 2 - y	(có nghiệm)	
* Nếu y = 1 ị Phương trình vô nghiệm 
* Nếu y ạ 1 ị x2 = (1)
(1) có nghiệm Û ³ 0 Û 1 < y < 2
ị YMin = 2 Û x = 0
Vậy f(x) Max = 2 Û x = 0
II. Các bài tập đề nghị :
1. Tìm GTNN của : 
a) A = 5x2 + x + 7	; b) B = ; c) C = 
2. Tìm GTLN của :
a) A = -x2 + x + 2 ; b) B = ; c) C = 
3. Tìm GTLN và GTNN của :
a) A = ; b) B = ; 	c) C = 
 Phương pháp 06 : 
( Phương pháp xét từng khoảng giá trị )
Có nhiều bài toán nếu ta chỉ sử dụng các phép biến đổi tương đương, các bất đẳng thức cơ bản phương pháp đổi biến hay biểu thức phụ, thậm chí ngay cả khi sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số, việc tìm cực trị vẫn gặp rất nhiều khó khăn có khi không thể tìm được. Những khi ta biết cách xét từng khoảng hợp lý (có sự dự đoán) thì việc tìm được cực trị trở nên đơn giản.
I. Các ví dụ minh hoạ :
1. Ví dụ 1: Cho m, n ẻ N*. Tìm GTNN của A = |36m - 5m|
Giải :
Do 	m ẻ N* ị36m có chữ số tận cùng là 6
	n ẻ N* ị 5m có chữ số tận cùng là 5
Vì vậy : 	Nếu 36m > 5m thì A có chữ số tận cùng là 1
	Nếu 5m > 36m thì A có chữ số tận cùng là 9
a) Xét A = 1 ta có : 36m - 5m = 1 (không xảy ra) vì 
	(36m - 1) : 7 còn 5m :7
b) Xét A = 9 ta có : 5m - 36m = 9 (không xảy ra) vì 
	(5m - 36m) : 9 còn 9 : 9
c) Xét A = 11 , xảy ra , chẳng hạn m = 1, n = 2
Vậy AMin = 11 Û m = 1; n = 2
2. Ví dụ 2: Cho m ẻ N* . Tìm giá trị lớn nhất của B = 
Giải :
Với n = 1	ta có : B = < 1
Với n = 2	ta có : B = 1
 Với n = 3 ta có : B = > 1
Với n = 4	ta có : B = 1
Với n = 5	ta có : B = < 1
Với n = 6	ta có : B = < 1
.................................................................................
Ta dự đoán rằng với n ³ 5, n ẻ N thì B < 1
Thật vậy : Ta chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp.
a) Giả sử n ³ 5, n ẻ N ta có B = < 1 (*)
Ta cần phải chứng minh công thức (*) đúng với (n+1) nghĩa là phải chứng minh : 	
 	Û (n + 1)2	< 2n+1	(1)
Từ (*) ta có : n2 < 2n Û 2n2 < 2n+1 	(2)
Để chứng minh (1) ta chứng minh (n + 1)2 < 2n2
Û n2 + 2n + 1 0 Û (n - 1)2 - 2 > 0 (đúng vì ³ 5)
b) Kết lu