Một số kỹ thuật giải Hệ phương trình

MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
(loại) 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP 
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Tham khảo Tạp chí THTT 2010 
Trong các đề thi đại học những năm gần đây, ta gặp rất nhiều bài toán về hệ 
phương tr ình. Nhằm giúp các bạn ôn thi tốt, bài viết này chúng tôi xin giới thiệu một số 
dạng bài và kĩ năng giải. 
I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. 
Đặc điểm chung của dạng hệ này là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc 
biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản ( có thể rút theo 
y hoặc ngược lại ) rồi thế vào PT còn lại trong hệ. 
*Loại thứ nhất: Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y khi đó ta tìm 
cách rút y theo x hoặc ngược lại. 
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
1 1 3 4 1 1
1 2
ì + + + = - +ï
í
+ + =ïî
x y x y x x
xy x x
Giải. Dễ thấy 0=x không thỏa mãn PT(2) nên từ (2) ta có : 
2 11 -+ = xy
x
 thay vào (1) ta 
được 
 ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 21 1x . 3 4 1 1 2 1 1 3 1
æ ö- -
+ = - + Û - - = - -ç ÷
è ø
x xx x x x x x x
x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2
1
1 2 2 1 1 3 1 1 2 2 4 0 0
2
=é
êÛ - + - - = - - Û - + - = Û =ê
ê = -ë
x
x x x x x x x x x x x
x
Từ đó, ta được các nghiệm của hệ là : (1;- 1) , (- 2; 5
2
- ) 
*Loại thứ hai: Một phương trình trong hệ có thể đưa về dạng tích của các phương trình 
bậc nhất hai ẩn. 
Ví dụ 2 . Giải hệ phương trình 
( )
( )
2 22 1
2 1 2 2 2
ì + + = -ï
í
- - = -ïî
xy x y x y
x y y x x y
Giải .Điều kiện: 1, 0³ ³x y 
 PT (1) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 0 2 0Û - - - + = Û + - - + =x xy y x y x y x y x y ( từ điều kiện 
ta có 0+ >x y ) 
 2 1 0 2 1Û - - = Û = +x y x y thay vào PT (2) ta được : 
 ( ) ( ) ( )2 2 2 2 1 2 2 0 y 0 2 5+ = + Û + - = ³ Û = Þ =y x y y y y do y x 
*Loại thứ ba: Đưa một phương trình trong hệ về dạng phương trình bậc hai của một ẩn, 
ẩn còn lại là tham số. 
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
5 4 4 1
5 4 16 8 16 0 2
ì = + -ï
í
- - + - + =ïî
y x x
y x xy x y
Giải .Biến đổi PT (2) về dạng ( )2 24 8 5 16 16 0- + - + + =y x y x x 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
 Coi PT (2) là phương trình ẩn y tham số x ta có 2' 9D = x từ đó ta được nghiệm 
( )
( )
5 4 3
4 4
é = +
ê
= -êë
y x
y x
 Thay (3) vào (1) ta được: ( ) ( ) ( )2
4 0
5 4 5 4 4 5
0 4
é = - Þ =ê+ = + - Û ê
= Þ =ë
x y
x x x
x y
 Thay (4) vào (1) ta được: ( ) ( ) ( )2
4 0
4 5 4 4
0 4
= Þ =é
- = + - Û ê = Þ =ë
x y
x x x
x y
 Vậy nghiệm của hệ là: (0;4) , (4;0) , 4 ;0
5
æ ö-ç ÷è ø
II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 
Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ ( ) ( ), ; ,= =a f x y b g x y có 
ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ 
bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0. 
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 4 1
1 2 2
ì + + + =ï
í
+ + - =ïî
x y y x y
x y x y
Giải . 
 Dễ thấy 1=y không thỏa mãn PT(1) nên HPT
( )
2
2
1 4
1 2 1
ì +
+ + =ï
ïÛ íæ ö+ï + - =ç ÷ïè øî
x y x
y
x y x
y
Đặt 
2 21, 2
1
+ =ì+
= = + - Þ í =î
a bxa b y x
aby
 giải hệ ta được 1= =a b từ đó ta có hệ 
2 1
3
ì + =
í
+ =î
x y
x y
 Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng. 
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 
( )
( )
2 2
2
34 4 7
12 3
ì + + + =ï +ï
í
ï + =ï +î
xy x y
x y
x
x y
Giải . Điều kiện : 0+ ¹x y 
 HPT 
( ) ( )
( )
2 2
2
33 7
1 3
ì + + - + =ï +ïÛ í
ï + + + - =ï +î
x y x y
x y
x y x y
x y
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Đặt ( )1 2 ; = + + ³ = -
+
a x y a b x y
x y
 ta được hệ 
( )
( )
2 23 13 1
3 2
ì + =ï
í
+ =ïî
a b
a b
Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do 2³a ) từ đó ta có hệ 
1 2 1 1
1 0
1
ì + + = + = =ì ìï + Û Ûí í í- = =î îï - =î
x y x y x
x y
x y y
x y
III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng ( ) 0=f x (1)và ( ) ( )=f x f y (2) với f là hàm đơn 
điệu trên tập D và , x y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn , x y để , x y thuộc tập 
mà hàm f đơn điệu 
* Loại thứ nhất: Một phương trình trong hệ có dạng ( ) ( )=f x f y , phương trình còn lại 
giúp ta giới hạn , x y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu. 
Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình 
( )
( )
3 3
8 4
5 5 1
1 2
ì - = -ï
í
+ =ïî
x x y y
x y
Giải . Từ PT (2) ta có 8 41; 1 1; 1£ £ Û £ £x y x y 
 Xét hàm số ( ) [ ]3 5 ; 1;1= - Î -f t t t t có ( ) [ ]2' 3 5 0; 1;1= - < " Î -f t t t do đó ( )f t 
nghịch biến trên 
khoảng ( - 1;1) hay PT (1)Û =x y thay vào PT (2) ta được PT: 8 4 1 0+ - =x x 
Đặt 4 0= ³a x và giải phương trình ta được 41 5 1 5
2 2
- + - +
= Þ = = ±a y x 
*Loại thứ hai:Là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường 
hợp (1) và (2) 
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình 
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
-
-
ì + - + = +ï
í
+ - + = +ïî
y
x
x x x
y y y
Giải . 
 Đặt 1; 1= - = -a x b y ta được hệ 
( )
( )
2
2
1 3 1
1 3 2
ì + + =ï
í
+ + =ïî
b
a
a a
b b
Trừ vế với vế 2 PT ta được : 2 21 3 1 3+ + + = + + +a ba a b b (3) 
Xét hàm số ( ) ( )
2
2
2
11 3 ; ' 3 ln 3
1
+ +
= + + + = +
+
t tt tf t t t f t
t
Vì ( )2 2 2 /1 1 0 0, + > ³ - Þ + + > Þ > "t t t t t f t t do đó hàm số ( )f t đồng 
biến trên R 
Nên PT (3)Û =a b thay vào PT (1) ta được 2 1 3+ + = aa a (4) 
Theo nhận xét trên thì 2 1 0+ + >a a nên PT (4) ( )2ln 1 ln 3 0Û + + - =a a a 
( lấy ln hai vế ) 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Xét hàm số ( ) ( ) ( )2 21ln 1 ln 3; g' ln 3 1 ln 3 0,1= + + - = - < - < " Î+g a a a a a a Ra 
hay hàm ( )g a nghịch biến trên  và do PT (4) có nghiệm 0=a nên PT (4) có 
nghiệm duy nhất 0=a 
Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : 1= =x y . 
IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 
Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận 
dụng các bất đẳng thức cơ bản. 
Ví dụ 8 . Giải hệ phương trình 
2
23
2
23
2
2 9
2
2 9
ì + = +ï - +ï
í
ï + = +
ï - +î
xyx x y
x x
xyy y x
y y
Giải. 
Cộng vế với vế hai PT ta được 2 2
2 23 3
2 2
2 9 2 9
+ = +
- + - +
xy xy x y
x x y y
 (1) 
Ta có : ( )223 3
2 23 3
2 222 9 1 8 2
22 9 2 9
- + = - + ³ Þ £ £ =
- + - +
xy xyxyx x x xy
x x x x
Tương tự 
23
2
2 9
£
- +
xy xy
x x
 mà theo bất đẳng thức Côsi 2 2 2+ ³x y xy 
Nên VT(1)£VP(1) 
 Dấu bằng xảy ra khi 
x y 1 
0
= =é
ê = =ëx y
thử lại ta được nghiệm của hệ là: (0;0) , (1;1) 
Ví dụ 9 . Giải hệ phương trình 
3
3
3 4
2 6 2
ì = - + +ï
í
= - -ïî
y x x
x y y
Giải. HPT 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
23
23
2 3 2 2 1 2 1
2 2 3 2 2 2 1 2 2
ì ì- = - - - - = - + -ï ïÛ Ûí í
- = - - - = + -ï ïîî
y x x y x x
x y y x y y
 Nếu 2>x từ (1) suy ra 2 0- <y diều này mâu thuẫn với PT(2) có ( )2-x và 
( )2-y cùng dấu. 
Tương tự với 2<x ta cũng suy ra điều vô lí. Vậy nghiệm của hệ là 2= =x y . 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ. Để kết thúc bài 
viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3
2 2 3
3 22
4 2 3 2
2 3 83 2 16
1) 2)
2 4 33 2 6
2 2 1 13 9
3) 4)
4 2 3 48 48 155 0 4 1 ln 2
ì + =- - =ì ï
í í
+ - - = - =î ïî
+ - - = +ì + =ï
í
+ - - - + = + + + + =ïî
x yxy x y
x y x y x y
x x y x yx y
y x y y x y x y x 0
ìï
í
ïî
3 2
2 22 2
2 2 22
3 2
2
22 4 1 3 5
5) 6)
044
2007
2 01
7) 8)
2 3 6 12 13 02007
1
ì ì + =+ + + + = - + - + -ï ï
í í
+ + - =+ + + = ïï îî
ì = -ï ì - + =-ï
í í
+ + - + =ï = -ï -î
x
y
x yx x x y y y
x xy y yx y x y
ye
x y x yy
x x x y xe
x
ï
ïî
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
MỘT SỐ CHÚ Ý 
KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
 Tham khảo Tạp chí THTT 400- 2010 
Bài toán 1: (A- 2008) Giải hệ phương trình: 
( )
2 3 2
4 2
5
4
51 2
4
x y x y xy xy
x y xy x
ì + + + + = -ïï
í
ï + + + = -ïî
Lời giải: Hệ đã cho tương đương với 
( )
2 3 2
22
5
4
5
4
x y x y xy xy
x y xy
ì + + + + = -ïï
í
ï + + = -ïî
Suy ra ( ) ( )22 2 2x y xy x y x y+ + + = + 
( ) ( )2 2 1 0x y x y xyÛ + + - - = 
a) 
2
2
0
0 5
4
x y
x y
xy
ì + =
ï+ = Þ í
= -ïî
(I) 
Hệ (I) có nghiệm ( ) 3 35 25; ;
4 16
x y
æ ö
= -ç ÷
è ø
b) 
2
2
1
21 0
3
2
x y
x y xy
xy
ì + = -ïï+ - - = Þ í
ï = -ïî
(II) 
Hệ (II) có nghiệm ( ) 3; 1;
2
x y æ ö= -ç ÷è ø
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ( );x y là 3 35 25;
4 16
æ ö
-ç ÷
è ø
; 31;
2
æ ö-ç ÷è ø
. 
Bài toán 2: (B- 2009) Giải hệ phương trình: 2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =ì
í
+ + =î
Lời giải: Dễ thấy 0y ¹ nên hệ đã cho tương đương với 
 2
2
2
11 77
1 113 13
xx xx y yy y
x xx xy y y y
ìì + + =+ + = ïïï ïÛí í
æ öï ï+ + = + - =ç ÷ï ïî è øî
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Suy ra 
2
1 1 20 0x x
y y
æ ö æ ö
+ + + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
a) 
1 51 5
12
x
yx
y
x y
ì + = -ï+ = - Þ í
ï =î
 (Hệ vô nghiệm) 
b) 
1 41 4
3
x
yx
y
x y
ì + =ï+ = Þ í
ï =î
. Trường hợp này hệ có hai nghiệm ( ) 1; 1;
3
x y æ ö= ç ÷è ø
 và 
( ) ( ); 3;1x y = . 
Nhận xét: Qua hai ví dụ đề thi tuyển sinh nêu trên, chúng ta thấy rằng đôi khi chỉ cần 
biến đổi cơ bản, dựa vào các hằng đẳng thức là có thể được kết quả. Ta xét tiếp các ví dụ 
đòi hỏi các phép biến đổi phức tạp hơn. 
Bài toán 3: Giải hệ phương trình: 
121 2
3
121 6
3
x
y x
y
y x
ìæ ö
- =ïç ÷+ïè ø
í
æ öï + =ç ÷ï +è øî
Lời giải: Điều kiện 0, 0, 3 0x y y x> > + ¹ . Hệ đã cho tương đương với 
1 312 2 11
3
12 6 1 3 121
3 3
x yy x x
y x y y xx y
ìì + =- = ïï +ï ïÛí í -ï ï- = - =
ï ï+ +î î
Suy ra 
2
2 21 9 12 6 27 0 6 27 0.
3
y yy xy x
x y y x x x
- æ ö æ ö- = Þ + - = Þ + - =ç ÷ ç ÷+ è ø è ø
Tìm được 3y
x
= và 9y
x
= - (loại). Với 3y
x
= ta được ( ) ( )2 21 3 ; 3 1 3x y= + = + . 
Bài toán 4: Giải hệ phương trình: 
log log (1)
2 2 3 (2)
y x
x y
xy yì =ï
í
+ =ïî
Lời giải: Điều kiện 0, 0, 1, 1x y x y> > ¹ ¹ . 
Từ (1) có 2 2 0t t+ - = với logyt x= . 
a) Với log 1y x = , ta được 2
3log
2
x y æ ö= = ç ÷è ø
. 
b) Với log 2y x = - , ta được 2
1x
y
= . Thế vào (2) được 
2
1
2 2 3 (3)y y+ = 
Trường hợp này PT (3) vô nghiệm. Thật vậy: 
 + Nếu 1y > thì 
2 2
1 1
2 2; 2 1 2 2 3y yy y> > Þ + > . 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
 + Nếu 0 1y< < thì 2
1 1
y
> suy ra: 
2 2
1 1
2 1; 2 2 2 2 3y yy y> > Þ + > . 
Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm ( ) 2 2
3 3; log ;log
2 2
x y æ öæ ö æ ö= ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
. 
Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
2 2
36 60 25 0
36 60 25 0
36 60 25 0
x y x y
y z y z
z x z x
ì - + =
ï
- + =í
ï - + =î
Lời giải: Hệ đã cho tương đương với 
2
2
2
2
2
2
60
36 25
60
36 25
60
36 25
xy
x
yz
y
zx
z
ì
=ï +ï
ï
=í +ï
ï
=ï
+î
Hiển nhiên hệ này có nghiệm ( ) ( ); ; 0;0;0 .x y z = Dưới đây ta xét , , 0x y z ¹ . 
Từ hệ trên ta thấy , , 0x y z > . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 
2 2 2
2 2
60 60 60
36 25 602 36 .25
x x xy x
x xx
= £ = =
+
. 
Tương tự ta thu được y x z y£ £ £ . Suy ra x y z= = . Từ đó suy ra hệ có một nghiệm nữa 
5 .
6
x y z= = = 
Bài toán 6: Giải hệ phương trình: 
( )
3
4
1 8
1
x y x
x y
ì - - = -ï
í
- =ïî
Lời giải: Đk 1, 0.x y³ ³ Thế y từ PT(2) vào PT(1) ta được 
( )2 31 1 8 (3)x x x- - - = - 
Từ (3) có 3 21 2 9 (4)x x x x- = - + - + 
Xét hàm số ( )3 2( ) 2 9 1f x x x x x= - + - + ³ . Ta có ( )/ 2( ) 3 2 2 0 1f x x x x= - + - < " ³ . 
Suy ra hàm số ( )f x luôn luôn nghịch biến khi 1x ³ . 
Mặt khác, hàm số ( ) 1g x x= - luôn nghịch biến khi 1x ³ nên 2x = là nghiệm duy 
nhất của PT(4). 
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất ( ) ( ); 2;1x y = . 
Nhận xét: Đối với bài toán trên, dung công cụ đạo hàm để giải quyết là rất hay, tuy 
nhiên, ta cũng có thể tránh được đạo hàm bằng cách biến đổi khéo léo như sau: 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3
2
2
PT(3) 1 1 1 1 8 0
2 2 2 2 4 0
1 1
1 2 Do 2 4 0, 1
1 1
x x x
x x x x x x
x
x x x x
x
é ùÛ - - - - - + - =ë û
-Û - - + - + + =
- +
æ öÛ = + + + > " ³ç ÷- +è ø
Dưới đây, xin nêu một bài toán trong Đề thi tuyển sinh Đại học gần nhất mà nếu không 
dùng đến công cụ đạo hàm thì khó có thể giải quyết được. 
Bài toán 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình: 
( ) ( )2
2 2
4 1 3 5 2 0 (1)
4 2 3 4 7 (2)
x x y y
x y x
ì + + - - =ï
í
+ + - =ïî
Lời giải: Đk 3 5; 
4 2
x y£ £ . 
( ) ( )2PT(1) 4 1 2 5 2 1 5 2x x y yÛ + = - + - 
Đặt ( ) ( )2 2
2
1 1
5 2
x u
u u v v
y v
=ìï Þ + = +í
- =ïî
. 
Hàm ( )2( ) 1f t t t= + có / 2( ) 3 1 0f t t= + > nên ( )f t luôn đồng biến trên  , suy ra: 
2
0
2 5 2 5 4
2
x
u v x y xy
³ì
ï= Û = - Û í -
=ïî
Thế y vào PT (2) ta được: 
2
2 254 2 2 3 4 0 (3)
2
x x xæ ö+ - + - =ç ÷è ø
Nhận thấy 0x = và 3
4
x = không phải là nghiệm của PT (3). Xét hàm số: 
2
2 25( ) 4 2 2 3 4
2
g x x x xæ ö= + - + -ç ÷è ø
 trên 30;
4
æ ö
ç ÷è ø
. 
Ta có ( )/ 2 25 4 4( ) 8 8 2 4 4 3 02 3 4 3 4g x x x x x xx x
æ ö= - - - = - - <ç ÷ - -è ø
 trên 30;
4
æ ö
ç ÷è ø
. 
Suy ra ( )g x nghịch biến trên 30;
4
æ ö
ç ÷è ø
. Nhận thấy 1 0
2
gæ ö =ç ÷è ø
, nên PT(3) có nghiệm duy 
nhất 1
2
x = . Với 1
2
x = thì 2y = . Vậy hệ đã cho có một nghiệm ( ) 1; ;2
2
x y æ ö= ç ÷è ø
. 
Bài toán 8: Giải hệ phương trình: 
5 4 10 6
2
 (1)
4 5 8 6 (2)
x xy y y
x y
ì + = +ï
í
+ + + =ïî
Lời giải: Hiển nhiên 0y ¹ . Chia hai vế của PT(1) cho 5 0y ¹ ta được 
5
5x x y y
y y
æ ö æ ö
+ = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Hàm số 5( )f t t t= + có / 4( ) 5 1 0, f t t t= + > " nên hàm số ( )f t luôn đồng biến nên 
2.x y x y
y
= Û = Thế 2x y= vào PT(2) ta được 4 5 8 6x x+ + + = . Tìm được 1x = . 
Vậy hệ có hai nghiệm ( ) ( ); 1;1x y = và ( ) ( ); 1; 1x y = - . 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
Giải các hệ phương trình sau: 
4 3 2 2 4 3 2 2
3 2 2
1 2 2 9
1) 2) 
1 2 6 6
2 6 2 11 1
3) 4) 
7 6 26 32 3 2
x x y x y x x y x y x
x y x xy x xy x
xy x y x y y xy
y x y xx x y x y
ì ì- + = + + = +ï ï
í í
- + = - + = +ï ïî î
ì + = - - ì - - - =ï ï
í í
- + - =ïï î+ - = + -î
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 22 2
1
1
2 3 4 6
22 2
12 20 0
5) 6) 
ln 1 ln 12 2
3 2 22 2
27) 8) 
2 1
2 2 4 1 0
x y x
x
yx
x xy yx y y x
x y x yx y
x y y x xxy
x y x
x y x x y x
+ -
-
ìì - + =+ = +ï ï
í í
+ - + = -- = -ï ïî î
ì
+ = ++ + =ïï
í
+ + = +ï + - - + =ïî
( )
( )
2
3 2 3
3
1
3 3 2
9) 2 1log log 3
1 2y x
x x y y
x y x
y x
ìï
í
ïî
ì - = - -
ï
í æ ö- -æ ö+ = -ç ÷ç ÷ï - -è øè øî
www.VNMATH.com
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
-------------------- 
Dạng1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 
 Dạng tổng quát: 1 1 1
2 2 2
 (*)
a X b Y c
a X b Y c
+ =ì
í + =î
Phương pháp: Thông thường có 3 phương pháp để giải hệ phương trình dạng (*). 
 Cách 1: Phương pháp thế. 
 Cách 2: Phương pháp cộng đại số. 
 Cách 3: Phương pháp dùng định thức. 
Kí hiệu: 1 1 1 1 1 11 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
, , X Y
a b c b a c
D a b a b D c b c b D a c a c
a b c b a c
= = - = = - = = - 
 TH1: 0 :D ¹ Hệ có nghiệm duy nhất 
X
Y
D
X
D
D
Y
D
ì =ïï
í
ï =ïî
 TH2: 0 : Vµ 0X YD D D= = = : Hệ có vô số nghiệm dạng ( ){ }0 0 1 0 1 0 1;X Y a X b Y c+ = 
 TH3: 0 : HoÆc , hoÆc 0. HÖ v« nghiÖm.X YD D D= ¹ 
Bài tập : Giải các hệ phương trình sau: 
1) 
6 5
3
9 10
1
x y
x y
ì + =ïï
í
ï - =
ïî
 2) 
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y
ì + =ï - +ï
í
ï + = -
ï - +î
 3) 
6 3 2
5
1 1
4 2 4
2
1 1
x y
y x
x y
y x
-ì - =ï - +ï
í -ï - =
ï - +î
4) 
2
2
2 2 1 3
2 1 4
x x y
x x y
ì + - - =ï
í
+ + - =ïî
 5) 
3 6
1
1 2
2 3
7
1 2
x x
y y
x x
y y
-ì - =ï + -ï
í -ï + =
ï + -î
 6) 
2 3 7
5
2 3
1 3 1
5
2 3
x y
x y
x y
x y
- +ì + =ï - +ï
í + +ï + =
ï - +î
7) 
( )
( )
1 1
3 2 6
1 1
3 2 4
x y
x y
x y
x y
ì æ ö
+ + - =ï ç ÷
ï è ø
í
æ öï - + + =ç ÷ï è øî
 8) 
4 1
3
1
2 2
4
1
x y
x y
ì + =ï -ï
í
ï - =
ï -î
 9) 
3( )
7
5 5
3
x y
x y
x y
y x
+ì = -ï -ï
í -ï =
ï -î
10) 
8 1
17
7 3
x y
x y xy
ì + =ï
í
ï - =î
 11) 
2
2
3 1
2 7 15
x y
x y
ì + =ï
í
- =ïî
 12) 
2
2
5
2(4 ) 2
2
4 4
x
y
x
y
ì - + =ïï
í
ï - + =
ïî
13) 
1 0
2 1
x y
x y
ì - + =ï
í
- =ïî
 14) 
1 2 1
1 3
x y
x y
ì - + - =ï
í
- + =ïî
 15) 
2 2
2 3 1
x y
x y
+ =ìï
í - =ïî
www.VNMATH.com
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Dạng 2: Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất 
 Dạng tổng quát: 
2 2 0
0
ax by cxy dx fy e
Ax By C
ì + + + + + =
í
+ + =î
Phương pháp: Từ phương trình bậc nhất, rút một ẩn theo ẩn còn lại và thay vào phương 
trình bậc hai. 
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 
1) 
2 2
2 7 0
2 2 4 0
x y
y x x y
- - =ì
í
- + + + =î
 2) 
2
4 9 6
3 6 3 0
x y
x xy x y
+ =ì
í
+ - + =î
3) 
2
2
2 1 0
12 2 10 0
x x y
x x y
ì + + + =ï
í
+ + + =ïî
 4) 
( ) ( )
2
2 1 2 2 0
3 1 0
x y x y
xy y y
ì + + + + =ï
í
+ + + =ïî
5) 
2 22 3 7 12 1
1 0
x xy y y y
x y
ì - + = + -
í
- + =î
 6) 
( ) ( )2 3 2 5 3 0
3 1
x y x y
x y
ì + - - - =ï
í
- =ïî
7) 
2 211 5
2 3 12
x y
x y
ì + =
í
+ =î
 8) 
2 29 4 6 42 40 135 0
3 2 9 0
x y xy x y
x y
ì + + + - + =
í
- + =î
9) 
2 27 9 12 5 3 5 0
2 3 1
x y xy x y
x y
ì + - + + + =
í
- =î
 10) 
2 2 6 2 0
8 0
x y x y
x y
ì + + + =
í
+ + =î
11) 
2 22 6
2 3
x xy y x y
x y
ì + + - - =
í
- =î
 12) 
2 10
2 5
x xy x
x y
ì + + =
í
- = -î
13) 
3
2
1 2
4
x y x y
x y
x y
+ -ì - =ï -í
ï - =î
 14) 
2 2
1 1 1
3 2 3
1 1 1
9 4 4
x y
x y
ì - =ïï
í
ï - =
ïî
15) 
( )2 2
1 1 1
1 3
1 1 1
41
x y
yx
ì + =ï +ï
í
ï - =
ï +î
 16) ( ) ( )
4 2
4 117 0
25
x y x y
x y
ì + + + - =ï
í
- =ïî
17) 
3 3
1
7
x y
x y
- =ì
í
- =î
 18) ( ) ( )
2 218 18 18 17 12 12 1 0
3 4 0
x x y x xy
x y
ì + + - - - =ï
í
+ =ïî
19) 
( ) ( )2 2 45
5
x y x y
x y
ì - - =ï
í
+ =ïî
www.VNMATH.com
Chuyên đề HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại học 2011 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 
Dạng 3: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1 
 Dạng tổng quát: 
( )
( )
; 0
; 0
f X Y
g X Y
ì =ï
í
=ïî
 (*) 
 Trong đó hoán vị giữa , X Y thì biểu thức ( ) ( ); , ;f X Y g X Y không thay đổi. 
Phương pháp: 
 + Đặt 
.
S X Y
P X Y
= +ì
í =î
. Thay vào hệ (*), tìm ra , S P . 
 + Lúc đó, , X Y là nghiệm của phương trình 2 0t St P- + = (1) 
Các nhận xét: 
* Do tính đối xứng của , X Y nên nếu phương trình (1) có các nghiệm 
 1 2, t t thì hệ (*) có nghiệm ( ) ( )1 2 2 1; , ;t t t t . 
 * Cũng do tính đối xứng nên để hệ (*) có nghiệm duy nhất thì điều kiện 
cần là X Y= (thay vào hệ tìm tham số, sau đó thay vào hệ (*) để tìm điều kiện đủ) 
* Do , X Y là nghiệm của phương trình 2 0t St P- + = nên điều kiện cần và đủ để hệ 
(*) có nghiệm là: Phương trình (1) có nghiệm trên tập giá trị của , X Y . 
Bài tập: Giải các hệ phương trình sau: 
1) 
2 2 4
2
x xy y
x xy y
ì + + =
í
+ + =î
 2) 
2 2
5
13
x xy y
x y xy
+ - =ì
í
+ + =î
 3) 
2 2
4 2 2 4
7
21
x xy y
x x y y
ì + + =ï
í
+ + =ïî
4) 
2 2