Một số kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải Phương trình - Bất phương trình vô tỷ

pdf 7 trang Người đăng khoa-nguyen Lượt xem 1138Lượt tải 3 Download
Bạn đang xem tài liệu "Một số kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải Phương trình - Bất phương trình vô tỷ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Một số kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải Phương trình - Bất phương trình vô tỷ
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
GV: Nguyễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com 1 
MỘT SỐ KỸ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PT-BPT VÔ TỶ 
 Nguyễn Văn Cường Gv THPT Mỹ Đức A-Hà Nôi. Cuongvan12@gmail.com Đt 01272334598 
 ( Gửi tặng các em học sinh 12A4-THPT Mỹ Đức A –HN năm 2014- 2015) 
 NỘI DUNG BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN ĐẶC SAN THTT THÁNG 10 2014 
Khi giải các bài toán về phương trình,bất phương trình vô tỷ trong các kỳ thi đại học hay học sinh 
giỏi các tỉnh ,thành phố ,một trong các phương pháp hay được sử dụng là đưa phương trình về phương 
trình,bất phương trình tích .Để giúp học sinh vận dụng tốt phương pháp này ,tôi xin giới thiệu một số 
kỹ năng thường dùng khi vận dụng lượng liên hợp vào giải phương trình ,bất phương trình vô tỷ . 
Dạng 1: Biểu thức liên hợp xuất hịên ngay trong phương trình ,bất phương trình. 
Lưu ý: a ba b
a b
−± =
∓
 (a,b>0 a ≠ b); 3 3
3 32 23
a b
a b
a ab b
±± =
+∓
Ví dụ 1: Giải bất phương trình 10x 1 3x 5 9x 4 2x 2+ + − ≥ + + − (Đề dự bị khôi B năm 2008) 
Phân tích: 10x 1 (9x 4) 3x 5 (2x 2)− − + = − − − nên ta có lời giải sau: 
Lời giải : Điều kiện: x 5 / 3≥ Bpt 
( ) ( )
( )
x 3 x 310x 1 9x 4 3x 5 2x 2 0 0
10x 1 9x 4 3x 5 2x 2
1 1x 3 0 x 3 0 x 3
10x 1 9x 4 3x 5 2x 2
− −
⇔ + − + + − − − ≥ ⇔ + ≥
+ + + − + −
 
− + ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ 
+ + + − + − 
 So với điều kiện,bất phương trình có nghiệm x 3≥ .
Ví dụ 2: Giải phương trình : ( )9 4 1 3 2 3+ − − = +x x x (HSG K12 Hà Nội -2010) 
Lời giải: Đk 2 / 3≥x 
39 3 9 4 1 3 2
4 1 3 2
+ 
⇔ = + ⇔ = + + − 
+ + − 
xpt x x x
x x
 ,Bình phương 2 vế ta có nghiệm x=6 
Ví dụ 3 Giải phương 
2
6x 42x 4 2 2 x
x 4
−
+ = + −
+
Phân tích: Quan sát phương trình ta thấy 2x +4 –4(2-x)=6x-4.Đây là cơ sở tốt để ta nhóm 
Lời giải:Đk 
2 2
6x 4 6x 4 6x 42 x 2,Bpt 2x 4 2 2 x
2x 4 2 2 xx 4 x 4
− − −
− ≤ ≤ ⇔ + − − = ⇔ =
+ + −+ +
2
x 3 / 2
2x 4 2 2 x x 4(*)
 =

+ + − = +
Bình phương hai vế phương trình (*) và chuyển vế ta có 
( ) ( ) 24 2x 4 2 x x 2x 8+ − = + − Do 2x 2x 8 0 x 4;x 2+ − ≥ ⇔ ≤ − ≥ Kết hợp điều kiện ta có x=2 
 Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 23 2 1 2 3x x x x− − + = − − 
 Phân tích :Khi ghép các biểu thức trong căn ta thấy ( ) ( )3 2 1 2 3x x x − − + = −  và phân tích biểu thức còn 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
GV: Nguyễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com 2 
lại ( )( )22 3 2 3 1x x x x− − = − + xuất hiện nhân tử chung. 
Lời giải : Đk 2 / 3x ≥ .Pt ( ) ( ) ( ) ( )2 3 12 3 1 2 3 1 0
3 2 1 3 2 1
x
x x x x
x x x x
−  
⇔ = − + ⇔ − − + = 
− + + − + + 
3 / 2x⇔ = hoặc ( )1 1
3 2 1
x
x x
= +
− + +
 (Vô nghiệm vì VT1) 
Dạng 2: Tìm được 1 nghiệm ,thêm ,bớt để làm xuất hiện biểu thức liên hợp. 
Ví dụ 5 Giải phương trình 23 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − = (1) ( ĐHKB-2010) 
Phân tích: 
Dùng chức năng CALC của máy tính bỏ túi ta tìm được nghiệm x=5 hoặc 
Ta tìm một số x ( 1 6
3
x− ≤ ≤ ) sao cho 3x+1 và 6-x là một số chính phương thỏa mãn phương trình trên 
Dễ thấy x=5 thỏa (1).Vì vậy ta đưa phương trình trên về dạng (x-5)f(x)=0, ,vì vậy ta cần làm xuất nhân tử 
chung x-5 từ vế trái của phương trình bằng phương pháp liên hợp. Muốn vậy tìm hai số a , b > 0 sao cho 
hệ phương trình sau có nghiệm x=5. 
3 1 0 4
6 0 1
x a a
b x b
 + − = = 
⇒ 
− − = =  
Lời giải : Txđ 1 6
3
x− ≤ ≤ 
(1) ⇔ 2 3 5 5( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 ( 5)(3 1) 0
3 1 4 1 6
x x
x x x x x x
x x
− −
+ − + − − + − − = ⇔ + + − + =
+ + + −
 ⇔
5 0 5
1 1 (3 1) 0(*)
3 1 4 1 6
x x
x
x x
− = ⇔ =

 + + + =
 + + + −
Ta thấy phương trình (*) vô nghiệm với 1 6
3
x− ≤ ≤ .Vậy x=5 là nghiệm duy nhất . 
Ví dụ 6: Giải phương trình 235x 1 9 x 2x 3x 1− + − = + − (HSG K12 Hà Nội -2012) 
Phân tích :Tương tự ta thấy x=1 là nghiệm ,ngoài cách làm như trên chúng ta có thể làm nhanh 
 như sau:Thay x =1 vào 5 1x − ta được 2, vào 3 9 x− ta được 2 vì thế ta tách như sau. 
Lời giải :Đk x 1/ 5≥ Biến đổi phương trình 
( ) ( ) ( )23 2 335 x 1 1 x5x 1 2 9 x 2 2x 3x 5 (x 1)(2x 5)5x 1 2 (9 x) 2 9 x 4
−
−
⇔ − − + − − = + − ⇔ + = − +
− +
− + − +
2 33
1
5 1 (2 5)(*)
5 1 2 (9 ) 2 9 4
x
x
x x x
=

 = + +
 − +
− + − +
 Pt (*) vô nghiệm vì VP ≥ 5,VT < 5/2 
Ví dụ 7: Giải bất phương trinh ( ) 24 x 1 2 2x 3 x 1 (x 2)+ + + ≤ − − 
Lời giải :Đk x 1≥ − .x=-1 là một nghiệm. xét x khác 1.Bất phương trình tương đương 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
GV: Nguyễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com 3 
( )
( )
3 2 2
2
4(x 3) 4(x 3)4( x 1 2) 2( 2x 3 3) x x 2x 12 (x 3) x 2x 4
x 1 2 2x 3 3
4 4(x 3) x 1 3 0 x 3
x 1 2 2x 3 3
− −
⇔ + − + + − ≤ − − − ⇔ + ≤ − + +
+ + + +
 
⇔ − + − + − ≤ ⇔ ≥ 
+ + + + 
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm là x 1;x 3= − ≥ 
Ví du 8: Giải phương trình ( )( ) ( )2 2x 2 x 4x 7 1 x x 3 1 0+ + + + + + + = 
Phân tích :Từ phương trình ta thấy phương trình có nghiệm khi ( )x x 2 0 2 x 0+ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ,x=-1 thoả 
Lời giải :Phương trình ( ) 2 2x 2 ( x 4x 7 2) 3 x ( x 3 2) 3 0   ⇔ + + + − + + + − + =       
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
(x 2) x 3 x x 1x 4x 3 x 1x 2 x 6 x 1 0 x 1 6 0
x 4x 7 2 x 3 2 x 4x 7 2 x 3 2
x 5x 8 x 4x 7 x x 2 x 3x 1 4 0 x 1
x 4x 7 2 x 3 2
 + + −
− + −
⇔ + + + + = ⇔ + + + = 
 + + + + + + + + + + 
 + + + + + − + + +
+  + +  = ⇔ = −
 + + + + + 
Cách khác: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
pt x 1 1 x 4x 7 1 x 1 1 x 3 1 0
x 1 x 4x 7 1 x 3 1 x 4x 7 x 3 0
4x 1 x 4x 7 x 3 2 0 x 1
x 4x 7 x 3
   ⇔ + + + + + + + − + + =   
 ⇔ + + + + + + + + + + − + =
  
 
⇔ + + + + + + + = ⇔ = − 
 + + + + 
Bình Luận:Ta có thể giải bài toán này bằng phương pháp hàm số sau khi đã đưa về dạng 
 ( ) ( ) ( )2 2x 2 x 2 3 1 ( x) ( x) 3 1 + + + + = − − + + 
 
,xét hàm số f(t) = ( )2t t 3 1+ + 
Dạng 3: Tìm được nhiều hơn một nghiệm. 
Ví dụ 9: Giải phương trinh 2 22 3 21 17 0x x x x x− + − − + − = 
Phân tích :Dùng máy tính ta thấy phương trình có nghiệm x=1,x=2. suy ra phương trình sẽ có nhân 
tử là 2 3 2x x− + .Ta thấy ngay là không thể nhân và chia lượng liên hợp với hai căn đó ngay.Vậy thì làm thế 
nào để tách nhóm để tạo ra 2 3 2x x− + ?.Ta thực hiện nhóm giả định như sau. 
( ) ( )22 3 ; 21 17x x mx n px q x− + − + + − − sau đó thay x=1,x=2 vào hệ phương trình 
( )
( )
22 3 0
21 17 0
x x mx n
px q x

− + − + =

+ − − =
 ta được ( ) ( ) ( ) ( ), 1;1 ; ; 3; 1m n p q= = − từ đó ta có lời giải sau 
Lời giải: Đk 17 / 21x ≥ .Pt 2 2( 2 3 1) (3 1 21 17) 3 2 0x x x x x x x⇔ − + − − + − − − + − + = 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
GV: Nguyễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com 4 
( )2
2
1 93 2 0 1, 2
3 1 21 172 3 1
x x x x
x xx x x
 
⇔ − + + = ⇔ = = 
− + −
− + + + 
Ví dụ 10: Giải phương trinh 22x 4x 9 5x 6 7x 11 0− − + + + + = 
Phân tích: Phương trình có nghiệm x=-1,x=2 nên ta làm xuất hiện biểu thức 2x x 2− − làm nhân tử chung 
Lời giải :Đk x 6 / 5≥ − Phương trình 
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
2
2
2 x x 2 x 2 5x 6 x 3 7x 11 0
x x 2 x x 22 x x 2 0
x 2 5x 6 x 3 7x 11
x x 2 0 x 1,x 2
2(*)1 1
x 2 5x 6 x 3 7x 11
⇔ − − = + − + + + − + =
− − − −
⇔ − − = + =
+ + + + + +

− − = ⇔ = − =
⇔ = +
 + + + + + +
Với điều kiện x 6 / 5≥ − , 1 1 5 5 2
4 9x 2 5x 6 x 3 7x 11
+ < + <
+ + + + + +
 suy ra pt (*) vô nghiệm . 
Ví dụ 11: Giải phương trinh ( )2 2x x 1 x 2 x 2x 2+ − = + − + 
 Phân tích :Bài toán này ta không nhẩm được nghiệm của phương trình ngay.Tuy nhiên nếu dùng 
 máy tính bỏ túi ta dễ tìm được 2 nghiệm là x =3,828427125 ,x=-1,828427125 .ta thấy 
 các nghiệm không đẹp nhưng quan sát kỹ ta lại thấy hai nghiệm tổng là 2,tích là -7 từ đó 
 ta làm xuất hiện nhân tử chung là 2x 2x 7− − trong phương trình 
Lời giải :Phương trình tương đương : 
 ( )
2 2 2 2
2
2
2
x 2x 7 3(x 2) (x 2) x 2x 2 0 x 2x 7 (x 2)(3 x 2x 2) 0
x 1 8(x 1) 1 (x 1)x 2x 7 0
x 1 83 x 2x 2
− − + + − + − + = ⇔ − − + + − − + =
  
= +− + − −
 − − = ⇔ 
   = −+ − +  
Bình luận:Ngoài cách làm trên ta cũng biến đổi bất phương trình như sau . Do x=-2 không là nghiệm của 
phương trình 
2 2 2 2
2 2
2
x x 1 x x 1 x 2x 7 x 2x 7x 2x 2 3 x 2x 2 3
x 2 x 2 x 2 x 2x 2 3
− + − + − − − −
= − + ⇔ − = − + − ⇔ =
+ + +
− + +
( ) 22
22
x 2x 7 01 1x 2x 7 0
x 2 x 2x 2 x 1(VN)x 2x 2 3

− − = 
⇔ − − − = ⇔   +
− + = −− + +  
Tại sao thêm số -3 vào hai vế của phương trình ? ,dạng 4 sẽ giúp ta tìm ra điều đó 
Ví dụ 12 Giải bất phương trình
2 2
2
x x 1 x 1
x 4 2 x 1
+ +
+ ≤
+ +
Phân tích: Dùng chức năng SOLVE của máy tính ta có 2nghiệm của phương trình là 
x 1,732050808;x 1,732050808≈ ≈ − .mới quan sát ta thấy chúng không đẹp,nhưng ta thấy tổng của chúng là 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
GV: Nguyễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com 5 
0,tích của chúng là -3,vì vậy hai số đó là nghiệm của phương trình 2x 3 0− = .Từ đó ta làm xuất hiện 2x 3− 
trong phương trình . Với x 1,732050808= Biểu thức 
2x x 1
x 4
+ +
+
có giá trị 1,Biểu thức 
2
1
x 1+
 có giá trị 1
2
. 
Vì vậy ta cần thêm vào hai biểu thức này lần lượt hai số 1, 1/ 2 
Lời giải :Đk x>-4 Phương trình tương đương 
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 22
2 2
2 22
x x 1 x 3 1 1 x 3 x 3 x 31 0 0
x 4 2 2 2 2x 1 2 x 1 x 1 2x x 1 1 x 4
x 4
1 1 1x 3 0 x 3 0 3 x 3(tm)
2 2 x 1 x 1 2x x 1 1 x 4
x 4
+ + − − −
− + − + − ≤ ⇔ + + ≤
+  + + + ++ +
 − +
 +
 
 
 
 
⇔ − + + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ 
  + + ++ +
 − +   +
  
Ví dụ 13: Giải phương trinh 2 6 2 8x x x− − = + 
Phân tích :Phương trình trên có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc đưa về dạng 2 2a b= . 
 Tôi xin trình bày một cách khác là sử dụng lượng liên hợp 
Dùng máy tính ta thấy phương trình có 1 nghiệm là 7 3 5
2
+
 thay vào 46 6 5 1 3 58 (1)
4 2
x
+ +
+ = = 
Do đây là phương trình vô tỷ với hệ số nguyên,nên các nhân tử thông thường cũng có hệ số nguyên 
ta giả định 8x + =mx+n.Quan sát (1) ta thấy 7 3 5 1 3 53
2 2
+ +
− = nên 8 3x x+ = − vì lẽ đó 
trong phương trình sẽ có nhân tử là 3 8x x− − + 
Lời giải :Pt 2( 3 8) ( 7 1) 0 ( 3 8) ( 3 8)( 3 8) 0x x x x x x x x x x⇔ − − + + − + = ⇔ − − + + − − + − + + = 
7 3 5
3 8 0 2( 3 8)( 2 8) 0
2 8 0 5 41
2
x
x x
x x x x
x x
x
 +
=
− − + =
⇔ − − + − + + = ⇔ ⇔

− + + = −
=

Ví dụ 14: Giải phương trình 4 2 4 2x x 4 x 20x 4 7x− + + + + = ( Hsg Tỉnh Thái Bình k12/ 2010) 
Lời giải: Từ phương trình suy ra x>0 
Phương trình 
( )4 2 4 2 4 2
4 2 4 2
1 1x x 4 2x x 20x 4 5x 0 x 5x 4 0
x x 4 2x x 20x 4 5x
 
⇔ − + − + + + − = ⇔ − + + =  
− + + + + + 
4 2x 5x 4 0 x 1,x 2⇔ − + = ⇔ = = 
Bình luận :Để tách được 7x = 2x +5x như trên ta đi tìm hai số a,b thỏa mãn a+b =7 và 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
GV: Nguyễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com 6 
4 2 4 24-ax=0; 20 4 0x x x x bx− + + + − = có nghiệm x=1 ta tìm được a=2,b=5 
Dạng 4: Xây dựng biểu thức liên hợp trong phương trình ,bất phương trình 
Ý tưởng xuất phát từ việc nhiều phương trình ,bất phương trình nghiệm quá xấu,không phù 
hợp để sử dụng dạng 2,3 để tạo được nhân tử chung trong phương trình.Khi đó ta sẽ thêm 
một đại lượng giả định vào hai vế của pt,bpt,tìm đại lượng giả định đó bằng phương pháp 
cân bằng hệ số của các tử số 
Ví du 15: Giải phương trình: ( )2 26 1 2 1 2 3x x x x x+ + = + + + ( HSG Long An K12 2013) 
Phân tích:Sử dụng máy tính bỏ túi ta thấy phương trình có nghiệm không đẹp.Do x=-1/2 
không là nghiệm nên ta biến đổi phương trình về dạng 
2
2 6 12 3
2 1
x x
x x
x
+ +
+ + =
+
.Ta sẽ đi tìm một số 
a nào đó đặt vào hai vế để khi nhân liên hợp và quy đồng thì sẽ tạo được nhân tử chung. 
( )22 2 22
2
6 2 16 1 2 32 3
2 1 2 12 3
x a x ax x x x a
x x a a
x xx x a
+ − + −+ + + + −
+ + − = − ⇔ =
+ ++ + +
Lúc đó ta cần xác định a để ( )2 2 22 3 6 2 1x x a x a x a+ + − = + − + − .Ta tìm được a=2 
Lời giải: D=R. x=-1/2 không thỏa .Pt 
2 2 2 2
2 2
2
6 1 6 1 2 1 2 12 3 2 3 2 2
2 1 2 1 2 12 3 2
x x x x x x x x
x x x x
x x xx x
+ + + + + − + −
⇔ + + = ⇔ + + − = − ⇔ =
+ + ++ + +
( )
2
2
2 2
2 1 01 12 1 0
2 12 3 2 2 3 2 2 1
x x
x x
xx x x x x
 + − = 
⇔ + − − = ⇔  
++ + + + + + = +  
1 2
3 15
3
x
x
 = − ±
⇔ +
=
Bình luận:Tổng quát hơn ta có thể thêm vào hai vế của phương trình với đại lượng ax+b rồi 
tìm a,b bằng phương pháp cân bằng hệ số như trên. Xét ví dụ sau 
Ví du 16 Giải phương trình: ( ) ( )2 22x (x 1) x x 1 2x x x 2 6− + = − − + + 
Lời giải: Đk x 0≥ .Nhận thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình 
Pt 
( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2
3 2 3 2
3 2
2 2 6 2 2 62 2 4 2 2 2 4 2
1 1
2 3 4 2 3 4 1 1(2 3 4) 0
1 12 2 4 2 2 2 4 2
2 3 4 2
x x x x x x
x x x x x x x x
x x
x x x x
x x
x xx x x x x x x x
x x x
− + − − + −
⇔ = − + ⇔ − + = − + − +
− −
 
− − − −
 ⇔ = ⇔ − − − =
− − 
− + + + − + + + 
⇔ − − ⇔ =
Ví du 17: Giải phương trình ( ) ( )2 3x x 6 5x 1 x 3 2x 3+ = − + + − 
Lời giải: Đk 3x 3≥ − .biến đổi phương trình tương đương ( x=1/5 không là nghiệm cua pt) 
3 2 3 2 3 2
3 3 3x 6x 2x 3 x 6x 2x 3 x 4x 3x 3 2x x 3 2x x 3 2x
5x 1 5x 1 5x 1
+ − + + − + − +
= + ⇔ − = + − ⇔ = + −
− − −
(*) 
www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam 
GV: Nguyễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com 7 
.Nếu 3
3 2
x 0 3 21x 3 2x 0 x
2x 4x 3 0
 ≤
−
+ + = ⇔ ⇔ =
− + =
Nếu 3x 3 2x 0+ + ≠ (*) tương đương 
3 23 2 3 2
33
x 4x 3 0x 4x 3 x 4x 3
5x 1 x 3 2x 5x 1x 3 2x

− + =
− + − +
⇔ = ⇔ 
− + + = −+ + 
Giải hai phương trình ta được nghiệm x=1, 3 21x ,x 4 3 2
2
+
= = + 
Ví du 18: Giải phương trình ( )2 2 3 23 1 3 4 1x x x x x x+ − + = + − + 
 Lời giải: D= R. Viết lại phương trình như sau 
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
2 23 2
2 2
2 2
2 2
2 2 22
2 2 22
3 3( 3) 7 83 4 11 1
3 3
7 87 8 7 8 7 81 3 1 3
3 3 31 3
8 / 78 / 71 17 8 0 1 3 2 53 1 ( 1) 11 3
2
x x x xx x x
x x x x
x x
xx x x
x x x x x x
x x xx x x
x
x
x
x x x x xx x x x
+ + + − −+ − +
− + = ⇔ − + = ⇔
+ +
− ++ + +
− + = + − ⇔ − + − + = − ⇔ = −
+ + +
− + + +
= −  = −  + − = ⇔ ⇔ ± + +
− + = − + −− + + +  =  
( phương trình ( )2 1 3x x x− + + + =0 vô nghiệm) 
Ví du 19: Giải phương trình ( )2 23 4 1 4 2x x x x x− − = − − − 
Lời giải:Đk 1x ≥ ,Pt
2
2
3 4 1
4 2
x x
x
x x
− −
⇔ = −
− −
 ( do 2 4 2x x− − =0 không là nghiệm pt) 
 ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 21 1 ( 1 1)
4 2 4 2 4 21 1
2 21 12 0
4 21 1 1 4 3 1 2 4 5
2 2, 5
11 1 0( )5 1 0
1 21 2
x x x x
x x
x x x x x xx
x x
x
x xx x x x x x x
x x x
x Vnx x
xx
− − − −
− = + ⇔ − − = ⇔ = ⇔
− − − − − −
− +
= =  
− = = ⇔ ⇔  
− −
− + − = − − − − = − −   
= = =
 ⇔ ⇔   = + =− − − =  
− +− +  
Bài tập Vận dụng: 
1.Gpt : 22 1 3 1 0x x x− + − + = 2.Gpt : ( )3 2 2 2 6x x x+ − = + + 
3.Gpt : 2 212 5 3 5x x x+ + = + + 4. Gpt 22 4 2 5 1x x x x− + − = − − 
5 Gpt ( ) ( )2 3x x 6 5x 1 x 3 2x 3+ = − + + − 6.Gpt 22 3 7 4 5 0x x x− − − + = 

Tài liệu đính kèm:

  • pdfSU_DUNG_LIEN_HOP_DE_GIAI_PT_VO_TI.pdf