Một số đề ôn thi vào chuyên Toán

Một số đề ôn thi vào chuyên toán 
Đề số 1
Bài 1: (8 điểm) Cho parabol (P) : 
Viết phương trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm A(2; 1)
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m. Với giá trị nào của m thì đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi.
Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.
Bài 2: (4điểm) Giải hệ phương trình: 
Bài 3: (8 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCĐề Sẩ và ACFG. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn.
Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho thì đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đường thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác.
Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho.
Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho.
Đề số 2
Bài 1: (7 điểm)
Giải phương trình: 	
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số không âm và b là số trung bình cộng của a và c thì ta có: 
Bài 2: (6 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 3: (7 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm bất kì trên cung AD. Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N. 
Chứng minh rằng tích là một hằng số. Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng , khi đó cho biết vị trí của điểm E ?
Gọi GH là dây cung cố định của đường tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đường kính. K là điểm chuyển động trên cung lớn GH. Xác định vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất.
Đề số 3
Bài 1: (8 điểm) Cho phương trình .
Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
Tìm các giá trị của để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và thoả mãn hệ thức .
Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm. Tìm giá trị của để nghiệm dương của phương trình đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2: (4điểm) Giải phương trình: (2)
Bài 3: (8 điểm)
Cho tam giác ABC có góc ABC = 600, BC= a, AB = c ( là hai độ dài cho trước), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.
Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. Tính diện tích của hình vuông đó. 
Đề số 4
Bài 1: (7 điểm)
Giải hệ phương trình: 
Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thoả mãn các bất đẳng thức:
 thì 
Bài 2: (6 điểm)
Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau.
A, B, C là một nhóm ba người thân thuộc. Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và người song sinh của C cũng ở trong nhóm đó. Biết rằng C và người song sinh của C là hai người khác giới tính và C không phải là con của B. Hỏi trong ba người A, B, C ai là người khác giới tính với hai người kia ?
Bài 3: (7 điểm)
Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Đường tròn (O1) nội tiếp trong tam giác ACD. Đường tròn (O2) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam giác OBD và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Đường tròn (O3) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OC của tam giác OBC và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Đường tròn (O4) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và tiếp xúc ngoài với đường tròn (O1). Tính bán kính của các đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R.
Đề số 5
Cõu 1: (1,5 điểm) So sỏnh cỏc số thực sau ( Khụng dựng mỏy tớnh gần đỳng).
 và 
Cõu 2: (3 điểm) Giải phương trỡnh sau: 
Cõu 3: (1,5điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của 
Cõu 4: (2 điểm) Giải hệ phương trỡnh: 
Cõu 5: (4 điểm) Lớp 9A cú 56 bạn, trong đú cú 32 bạn nam. Cụ giỏo chủ nhiệm dự kiến chia lớp thành cỏc tổ học tập:
Mỗi tổ gồm cú cỏc bạn nam, cỏc bạn nữ.
Số cỏc bạn bạn nam, cỏc bạn nữ được chia đều vào cỏc tổ.
Số người trong mỗi tổ khụng quỏ 15 người nhưng cũng khụng ớt hơn chớn người.
Em hóy tớnh xem cụ giỏo cú thể sắp xếp như thế nào và cú tất cả mấy tổ ?
Cõu 6: (5điểm) Cho đường trũn tõm (O; R) đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau. Trong đoạn AB lấy điểm M khỏc 0. Đường thẳng CM cắt đường trũn (O) tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuụng gúc với AB tại M cắt tiếp tuyến với đường trũn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:
Cỏc điểm O, M, N, P cựng nằm trờn một đường trũn.
Tứ giỏc CMPO là hỡnh bỡnh hành.
CM.CN = 2R2 
Khi M di chuyển trờn đoạn AB thỡ P di chuyển ở đõu ? 
Cõu 7: ( 3điểm) Cho đường trũn (O, R), đường kớnh AB. C là điểm trờn đường trũn (O, R). Trờn tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = CB. Khi C chuyển động trờn đường trũn (O, R) thỡ D chuyển động trờn đường nào?
Đề số 6
Bài 1 ( 2 điểm ) Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A
Bài 2 ( 2 điểm ) Cho hàm số y = - 2x + 2 có đồ thị là (d) và hàm số có đồ thị là (H)
	a) Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (H)
	b) Tìm trên (H) điểm A(xA, yA) và trên (d) điểm B(xB , yB) thoả mãn các điều kiện : xA+ xB = 0 và 2yA - yB = 15
Bài 3 ( 2 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x , y) sao cho: 
Bài 4 (4 điểm) Cho (O , R) và điểm A với OA = 2R. Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AE và AF với (O). (E, F là 2 tiếp điểm ). Đường thẳng OA cắt (O) tại C và D (O nằm giữa A và C)
	a) Tính diện tích tứ giác AECF theo R.
	b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OE cắt AF tại M. Tính tỉ số diện tích hai tam giác OAM và D OFM.
	c) Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với OE cắt EC tại Q. Chứng minh các đường thẳng AC, EF và QM đồng quy .
đề số 7
Bài 1 (4đ). Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử : 
a) 4x2 – 49 – 12xy + 9y2	b) x2 + 7x + 10 
Bài 2 (4đ) Cho biểu thức 
a) Rỳt gọn A. 
b) Tỡm x nguyờn để A nguyờn.
Bài 3 (4đ). Giải phương trỡnh
b) x2 – 2 = (2x + 3)(x + 5) + 23
Bài 4 (7). DABC cú ba gúc nhọn, cỏc đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Đường thẳng vuụng gúc với AB tại B và đường thẳng vuụng gúc với AC tại C cắt nhau tại G.
Chứng minh rằng : GH đi qua trung điểm M của BC.
Chứng minh : ∆ABC ~ ∆AEF
Chứng minh : 
Chứng minh : H cỏch đều cỏc cạnh của tam giỏc D DEF
Bài 5 (1). Giải bất phương trỡnh 
Đề số 8
Bài 1: a) Giải phương trỡnh: .
 b) Tỡm x, y thoả món:.
Bài 2. Rỳt gọn .
Bài 3. Tỡm GTNN (nếu cú) của cỏc biểu thức sau:
.
.
Bài 4. Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB. Trờn đường kớnh AB lấy hai điểm I và J đối xứng nhau qua O. M là một điểm (khỏc A và B) trờn (O); cỏc đường thẳng MO, MI, MJ thứ tự cắt (O) tại E, F, G; FG cắt AB tại C. Đường thẳng đi qua F song song AB cắt MO, MJ lần lượt tại D và K. Gọi H là trung điểm của FG.
Chứng minh tứ giỏc DHEF nội tiếp được.
Chứng minh CE là tiếp tuyến của đường trũn (O).
.................................................
Đề số 9
Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức 
a) Phân tích A thành nhân tử.
b) Tìm cặp số x, y thoả mãn điều kiện y - x = đồng thời A = 0
Bài 2 (2 điểm): 
	Cho biểu thức M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 với x, y, z, t là các số nguyên không âm. Tìm các giá trị của x, y, z, từ biểu thức M có GTNN thoả mãn : 
Bài 3 (2 điểm): Cho hàm số f(x) = (x ẻ R)
a) Chứng minh rằng với 2 giá trị x1, x2 tuỳ ý của x sao cho 1≤ x1< x2 thì f(x1) < f(x2) 
b) Với giá trị nào của x thì 
Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M và E sao cho ME = BC (BM < BE). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại D. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với DEF cắt đường thẳng AH tại N.
a) Chứng minh: BM . BH = MD . HN	 b) Chứng tỏ N là một điểm cố định.
c) Biết AB = 5 cm, BC = 6 cm. Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
 Đề số 10
Bài 1: (2 điểm) Rỳt gọn biểu thức 
 với x > 0, y > 0
Bài 2: (4 điểm) 
a. Xỏc định m để phương trỡnh sau vụ nghiệm 
b. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x – 2y + 1)2 + (2x – 4y + 7)2.
Bài 3: (2 điểm) Bốn người 1; 2; 3; 4 tham dự một hội nghị. Biết rằng :
a. Mỗi người chỉ biết hai trong bốn thứ tiếng Anh, Nga, Phỏp, Việt.
b. Người 1 biết tiếng Nga, khụng biết tiếng Phỏp.
c. Người 2 biết tiếng Anh, khụng biết tiếng Phỏp và phải phiờn dịch cho người 1 và người 3.
d. Người 4 khụng biết tiếng Nga, khụng biết tiếng Việt nhưng núi chuyện trực tiếp được với người 1. Hỏi mỗi người biết cỏc thứ tiếng nào ?
Bài 4: (4 điểm) 	a. Cho a ³ b, x ³ y. Chứng minh (a + b) (x + y) Ê 2(ax + by) (1)
b. Cho a + b ³ 2. Chứng minh a2006 + b2006 Ê a2007 + b2007	(2)
Bài 5: (8 điểm) Cho đoạn thẳng AB = a .
a. Nờu cỏch dựng và dựng ABC sao cho góc BAC = 600 và trực tõm H của ABC là trung điểm của đường cao BD. 	(2 điểm)
b. Gọi O là tõm đường trũn ngoại tiếp ABC, vẽ đường kớnh AG, HG cắt BC tại K. Chứng minh OKBC.	(2 điểm)
c. Chứng minh cõn và tớnh bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp DABC theo a.
d. Tớnh diện tớch tam giỏc ABC theo a.	(2 điểm)
Đề số 11 
Cõu 1:(1đ) Cho x = .CMR : x là một số nguyờn 
Cõu 2/ (1,5đ) Cho x > 0 , y > 0 , t > 0 . 
Chứng minh rằng : .
Cõu 3/(1,5đ) Cho đa thức f(x)= ax2 + bx + c cú nghiệm dương x = m . Chứng minh rằng đa thức g(x) = cx2 + bx + a (c≠0) cũng cú nghiệm dương x = n và thỏa món m + .
Cõu 4/ (2đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d(m) cú phương trỡnh :
(m -1)x+ (m -2)y - 1 = 0 (m là tham số) . 
Tỡm m để khoảng cỏch từ điểm O đến đường thẳng d(m) cú giỏ trị lớn nhất . Xỏc định đường thẳng đú .
Cõu 5/(4đ) Cho hai đường trũn đồng tõm (O; R) và (O; r) với R > r. Lấy A và E là hai điểm thuộc đường trũn (O; r) , trong đú A di động , E cố định ( với A ≠ E) . Qua E vẽ một đường thẳng vuụng gúc với AE cắt đường trũn (O; R) ở B và C . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB .
a/ (1,5đ) Chứng minh EB2 +EC2 + EA2 khụng phụ thuộc vị trớ điểm A .
b/ (1,5đ) Chứng minh rằng khi điểm A di động trờn đường trũn (O; r) và A≠ E thỡ đường thẳng CM luụn đi qua một điểm cố định ( gọi tờn điểm cố định là K ) .
c/ (1đ) Trờn tia AK đặt một điểm H sao cho AH = AK . Khi A di động trờn đường trũn (O;r) thỡ điểm H di động trờn đường nào ? Chứng minh nhận xột đú ?
Đề số 12
Bài 1: (3 điểm)
a. Cho n là một số nguyờn dương. Hóy so sỏnh: và 
b. Tớnh: 
Bài 2: (3 điểm) CMR : ( với và n > 1 )
Bài 3: (4 điểm) Cho đường trũn tõm O cú 2 đường kớnh AB và CD vuụng gúc với nhau. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của OA và OB. Đường thẳng CN cắt (O) tại I. 
Chứng minh : góc CMI < 900.