Một số dạng bài tập cơ bản về giới hạn hàm số

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
Bài 1. Tính các giới hạn sau (dạng vô định mà tử số và mẫu số là các hàm đa thức)
Bài 2. Tính các giới hạn sau (dạng vô định ;; )
2.1. Nhân lượng liên hợp (có một căn bậc hai, căn bậc ba)
2.2. Nhân lượng liên hợp (có hai căn bậc hai, bậc ba)
2.3. Nhân lượng liên hợp (có cả căn bậc hai và căn bậc ba)
2.4. Nhân lượng liên hợp (giới hạn tại vô cực)
Bài 3. Một số dạng giới hạn khác và giới hạn một bên.
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Bài 5. Tính các giới hạn sau (sử dụng biểu thức liên hợp để tính các giới hạn)
Bài 6. Tính các giới hạn sau (biến đổi đơn giản un để tính các giới hạn)
Bài 7. Tính các giới hạn sau (biến đổi đơn giản un để tính các giới hạn)
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 (a;b) nếu: Điểm x0 mà tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số.
f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x0 (a;b) 
f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.
f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và 
Các hàm số f(x) và g(x) liên tục tại x0 thì: cũng liên tục tại x0.
Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng.
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a;b) sao cho f(c) = 0 . Tức là phương trình f(x) =0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
BÀI TẬP
Bài 8. Xét tính liên tục của các hàm số tại điểm đã chỉ ra: 
f(x) = tại xo = 2
f(x) = tại xo = 1
 tại x0 = 2
f(x) = tại xo = 0
 tại điểm 
Bài 9. Cho hàm số . Tìm a để hàm số liên tục tại 4.
Bài 10. Cho hàm số . Tìm a để hàm số liên tục tại 2.
Bài 11. Tìm a để hàm số 	 liên tục trên R.
Bài 12. Tìm a để hàm số 	 liên tục trên R.
Bài 13. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm:
 x3 – 2x – 7 = 0
x5 + x3 – 1 = 0
x3 + x2 + x + 2/3 = 0
x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0
x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0
cosx – x + 1 = 0
Bài 14. Chứng minh rằng phương trình 
x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1)
x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong [0;5]
 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1;1).
Bài 15. Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn 2a + 6b + 19c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;]
Bài 16. Chứng minh rằng các PT sau luôn có nghiệm: 
luôn có 3 nghiệm Pb.