Một số bài toán về cực trị hình học

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC
Bài 1 . Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 10 cm .Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển trên nửa đường tròn . Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên CD. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE.
Bài 2 . Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D.
a) Chứng minh : CD = AC + BD và AC.BD = R2
b) Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABDC có diện tích nhỏ nhất.
c) Cho R = 2, diện tích tứ giác ABDC bằng 32cm2. Tính diện tích tam giác ABM
Bài 3. Cho đường tròn (O;R) . Đường thẳng d không đi qua O cắt (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm C trên d ( C nằm ngoài đường tròn ), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn ( M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt CN tại K.
a) Chứng minh bốn điểm C, O, N, H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh : KN.KC = KH.KO
c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I cách đều CM, CN, MN.
d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất.
Bài 4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). Điểm M di động trên cung nhỏ BC. Từ M kẻ các đường MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC ( H ∈AB, K ∈AC ).
a) Chứng minh : Tam giác MBC đồng dạng với tam giác MHK
b) Tìm vị trí của M để HK lớn nhất
Bài 5. Cho DABC đều , đường cao AH . M là điểm bất kỳ trên đáy BC . Kẻ 
 MP ^ AB và MQ ^ AC . Gọi O là trung của AM . 
Chứng minh năm điểm A , P , M , H , Q cùng nằm trên một đường tròn .
Tứ giác OPHQ là hình gì ? chứng minh . 
Xác định vị trí của M trên BC để PQ có độ dài nhỏ nhất .
Bài 6. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A .Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau , chúng cắt các đường tròn (O) , (O’) lần lượt tại B và C. Xác định vị trí của các tia đó để D ABC có diện tích lớn nhất
Bài 7. Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm bất kỳ thuộc cung BC không chứa A và không trùng với B,C. Gọi H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng BC , AC, AB . Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z .
Chứng minh rằng : 
b) Tìm vị trí của điểm D để tổng nhỏ nhất
Bài 8. Cho đường tròn (O), đường kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (O) ( A không trùng với B, C ). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn tại K ( K khác A ). Kẻ AH vuông góc với BC ( H ∈ BC ).
a) Đặt AH = x. Tính diện tích tam giác AHK theo R và x. Tìm x sao cho S đạt GTLN.
b) Chứng minh rằng : Khi A thay đổi, tổng HK2+ AH2 không đổi
Tính góc B của tam giác ABC biết AHKH= 155