Một số bài Toán hình hay

1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R). Hạ các đường cao AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai M, N. 
Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm A, E, D, B nằm trên một đường tròn. Tìm tâm I của đường tròn đó.
b) MN // DE .
c) Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CED không đổi
2) Cho tam giác ABC biết góc ABC bằng 450, góc ACB bằng 600 và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng R . Tính diện tích tam giác ABC theo R
3)Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN. Vẽ tiếp tuyến d của đường tròn (O) tại B. Đường thẳng AM, AN lần lượt cắt đường thẳng d tại E và F.
a. Chứng minh rằng MNFE là tứ giác nội tiếp.
b. Gọi K là trung điểm của FE. Chứng minh rằng AK vuông góc với MN
4) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC.
1)Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc .
2)Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh . 
 3)Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành
1)Theo giả thiết 5 điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO
 (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
 cân tại A 
 đpcm
2) 
(Do )
 đồng dạng với 
 đồng dạng với 
Tam giác vuông tại M có đường cao MH 
. Do 
3) Ta có 
Do đó AMPN là hình bình hành 
Tam giác đồng dạng với 
TH 1. 
Đặt .
PTTT 
Do (Loại)
TH 2. 
Đặt .
PTTT 
Do 
Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hình bình hành
5) Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi là trung điểm của cạnh và là điểm đối xứng của qua . Đường thẳng qua vuông góc với cắt đường thẳng qua vuông góc với tại . Kẻ đường kính . Chứng minh rằng:
a)Chứng minh 
b) đi qua trung điểm của đường cao của tam giác 
Chứng minh BA . BC = 2BD . BE
Ta có: , 
 (1)
Ta có: (c-g-c) 
Ta lại có: , 
và 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (g-g) 
CD đi qua trung điểm của đường cao AH của D ABC
Gọi là giao của và .
Ta có (cmt)
 (c-g-c)
 . Mà (cùng chắn cung AB)
 Þ là trung điểm .
Gọi là giao điểm của và . 
 có (HQ định lí Te-let)	(3)
 có (HQ định lí Te-let)	(4)
Mà (là trung điểm )	(5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra là trung điểm .
6) Cho đường tròn (O; R) và dây cung cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối xứng với B qua AC và F là điểm đối xứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác và cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.
a) Chứng minh KA là phân giác trong góc và tứ giác BHCK nội tiếp.
b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó theo R.
c) Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định
a) 
Ta có (vì cùng chắn cung của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB)
Mà (tính chất đối xứng) suy ra (1)
 (vì cùng chắn cung của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFC)
 (tính chất đối xứng) suy ra (2) 
Mặt khác (cùng phụ với ) (3). Từ (1), (2) , (3) suy ra 
hay KA là phân giác trong của góc 
Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của BE với AC và CF với AB.
Ta có nên . Trong tam giác vuông ABP 
có hay .
Tứ giác APHQ có (đối đỉnh).
Ta có , (theo chứng minh phần a).
Mà suy ra 
nên tứ giác BHCK nội tiếp.
b) 
Gọi (O’) là đường tròn đi qua bốn điểm B, H,C, K. Ta có dây cung nên bán kính đường tròn (O’) bằng bán kính R của đường tròn (O).
Gọi M là giao điểm của AH và BC thì MH vuông góc với BC, kẻ KN vuông góc với BC (N thuộc BC), gọi I là giao điểm của HK và BC. 
Ta có 
 (do HM HI; KNKI ).
Ta có KH là dây cung của đường tròn (O’; R) suy ra (không đổi)
nên lớn nhất khi và 
Giá trị lớn nhất 
Khi HK là đường kính của đường tròn (O’) thì M, I, N trùng nhau suy ra I là trung điểm của BC nên cân tại A. Khi đó A là điểm chính giữa cung lớn 
c) 
Ta có suy ra 
 nên tứ giác BOCK nội tiếp đường tròn.
Ta có OB=OC=R suy ra hay KO là phân giác góc 
 theo phần (a) KA là phân giác góc nên K ,O, A thẳng hàng hay AK đi qua O cố định