Một số bài Toán hay trong đề thi khảo sát năng lực giáo viên tỉnh Quảng Trị năm 2016

MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY 
TRONG ĐỀ THI KHẢO SÁT NĂNG LỰC GIÁO VIÊN 
TỈNH QUẢNG TRỊ NĂM 2016
Bài 1: Cho hai số a, b dương thỏa mãn:	a3 + b3 = a5 + b5 (1)
Tim GTLN của A = a2 + b2 – ab
Một số cách giải
Cách 1: 
Vì a > 0, b > 0, a2 + b2 – ab = (a – b)2 + ab > 0 nên 
(1) (a + b)(a2 + b2 - ab) = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4)
 1 = 
 1 = = 
Mặt khác: (dấu bằng xảy ra khi a = b) 
=> ≥ 
Vậy: 1 và = 1 
Amax = 1 khi a = b = 1
Cách 2: 
Nhận xét: Ta có thể chuyển a5 + b5 về a3 + b3 bằng cách nâng a5 + b5 lên bậc 6 để xuất hiện lũy thừa 2 của bậc 3.
Giải:
+ (a + b)(a5 + b5) = a6 + b6 + ab(a4 + b4) = (a3 + b3)2 + ab(a4 + b4) – 2a3b3 ≥ (a3 + b3)2 
Vì: => ab(a4 + b4) ≥ 2a3b3
=> a + b ≥ a3 + b3 => 1 ≥ (dấu bằng xảy ra tương tự trên)
Khi trình bày lời giải có thể ghi:
+ a4 + b4 ≥ 2a2b2 => ab(a4 + b4) ≥ 2a3b3 a6 + b6 + ab(a4 + b4) ≥ a6 + b6 + 2a3b3
 (a + b)(a5 + b5) ≥ (a3 + b3)2 a + b ≥ a3 + b3 1 ≥ a2 + b2 - ab
Cách 3:
Nhận xét: Ta có thể chuyển a3 + b3 về a5 + b5 bằng cách nhân thêm bậc 2 khi đó ta tính được phần bậc 2 đó.
Giải:
+ (a3 + b3)(a2 + b2) = a5 + b5 + a2b2(a + b) 
=> a2 + b2 = 1 + (vì a3 + b3 = a5 + b5 )
=> a2 + b2 – ab = 1 + - ab = 1 - = 1 - ≤ 1
Bài 2: Cho tứ giác ABCD có đường chéo AC và BD vuông góc nhau. M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. ME ^CD tại E, NF ^BC tại F. Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp.
Giải: 
Gọi H, G lần lượt là trung điểm của CD và CB.
=> Tứ giác MNHG là hình chữ nhât. Suy ra
+ NHG = NFG = 900 => Tứ giác NHFG nội tiếp
+ MGH = MEH = 900 => Tứ giác MHEG nội tiếp
=> Tứ giác MNEF nội tiếp.
Cách 2:
Ta có: AC ^ BD => AC ^ MN 	(1)
Gọi O là giao điểm của ME và NF, K là trung điểm AC. Khi đó :
+ NK là đường trung bình ∆ADC => NK^ME
+ MK là đường trung bình ∆ABC => MK^NE
=> O là trực tâm ∆MNK (2)
Từ (1) và (2) => C, O, K, A thẳng hàng => NMO + EOC = 900 (3)
Mặt khác:
+ Tứ giác OECF nội tiếp (OEC = CFO = 900) => EOC = CFE 
=> EOC + EFO = 900 (EFO + EFC = CFO = 900)	(4)
Từ (3) và (4) => NMO = EFO => Tứ giác MNEF nội tiếp.