Một số bài tập tổng hợp về căn thức bậc hai

 MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ CĂN THỨC BẬC HAI
1. Chứng minh là số vô tỉ.
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
 b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : .
 b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 
 c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : 
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
 b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
10. Chứng minh các bất đẳng thức :
	a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)	b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
11. Tìm các giá trị của x sao cho :
	a) | 2x – 3 | = | 1 – x |	b) x2 – 4x ≤ 5	c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
15. Rút gọn biểu thức : .
16. Chứng minh rằng, "n Î Z+ , ta luôn có : .
17. Trục căn thức ở mẫu : .
18. Tính : 
19. Cho . Chứng minh rằng a là số tự nhiên.
20. Cho . b có phải là số tự nhiên không ?
21. Giải các phương trình sau :
22. Tính giá trị của biểu thức : 
23. Rút gọn : .
24. Cho biểu thức : 
	a) Rút gọn P.	b) P có phải là số hữu tỉ không ?
25. Tính : .
26. Chứng minh : .
27. Chứng minh các đẳng thức sau :
28. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
29. Chứng minh rằng : . Từ đó suy ra:
30. Trục căn thức ở mẫu : .
31. Cho . Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
32. Chứng minh bất đẳng thức sau : .
33. Tính giá trị của biểu thức : với .
34. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức .
35. Tìm giá trị nhỏ nhất của với 0 < x < 1.
36. Tìm GTLN của : biết x + y = 4 ; b) 
37. Cho . So sánh a với b, số nào lớn hơn ?
38. Tìm GTNN, GTLN của : .
39. Tìm giá trị lớn nhất của .
40. Tìm giá trị lớn nhất của A = | x – y | biết x2 + 4y2 = 1.
41. Tìm GTNN, GTLN của A = x3 + y3 biết x, y ≥ 0 ; x2 + y2 = 1.
42. Tìm GTNN, GTLN của biết .
43. Giải phương trình : .
44. Giải phương trình : .
45. CMR, "n Î Z+ , ta có : .
46. Cho . Hãy so sánh A và 1,999.
47. Cho . CMR : a, b là các số hữu tỉ.
48. Chứng minh : . (a > 0 ; a ≠ 1) 
49. Chứng minh với nÎ N ; n ≥ 2.
50. Tìm phần nguyên của số (có 100 dấu căn).
51. CMR, "n ≥ 1 , n Î N : 
52. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 ,  a25 thỏa đk : . Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó tồn tại 2 số bằng nhau.
H­íng dÉn gi¶i
1. Giả sử là số hữu tỉ Þ (tối giản). Suy ra (1). Đẳng thức này chứng tỏ mà 7 là số nguyên tố nên m 7. Đặt m = 7k (k Î Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại có n2 7 và vì 7 là số nguyên tố nên n 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số không tối giản, trái giả thiết. Vậy không phải là số hữu tỉ; do đó là số vô tỉ.
2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) Þ b) vì (ad – bc)2 ≥ 0.
3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2.
Vậy min S = 2 Û x = y = 1.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta có :
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) Û 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S Û S ≥ 2. Þ mim S = 2 khi x = y = 1
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương , ta lần lượt có: ; cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : .
Û (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) Û 122 ≥ 60P Û P ≤ Þ max P = .
Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 Û a = 2 ; b = 6/5. 
5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=” xảy ra khi a = ½ .
Vậy min M = ¼ Û a = b = ½ .
6. Đặt a = 1 + x Þ b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.
Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).
8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | Û a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 
	Û 4ab > 0 Û ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu.
9. a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.
b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này có hai vế đều dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn, ta được : 
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).
11. a) 
b) x2 – 4x ≤ 5 Û (x – 2)2 ≤ 33 Û | x – 2 | ≤ 3 Û -3 ≤ x – 2 ≤ 3 Û -1 ≤ x ≤ 5.
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 Û (2x – 1)2 ≤ 0. Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên chỉ có thể : 2x – 1 = 0
Vậy : x = ½ . 
12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai vế của (1) với 4 rồi đưa về dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có :
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 Þ M ≥ 1998.
Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời : Vậy min M = 1998 Û a = b = 1.
14. Giải tương tự bài 13.
16. Ta có : .
Vậy : = 
	= (đpcm).
22. Đưa các biểu thức dưới dấu căn về dạng các bình phương đúng. M = -2
23. Trục căn thức ở mẫu từng hạng tử. Kết quả : A = - 1.
24. Ta có : .
P không phải là số hữu tỉ (chứng minh bằng phản chứng).
25. Ta hãy chứng minh : 
26. .
34. Ta phải có | A | ≤ . Dễ thấy A > 0. Ta xét biểu thức : . Ta có :
.
. Khi đó Û 
Û . Khi đó min A = 
35. Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : . Khi đó :
Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 Û | x | = | 1 – x |. Do 0 < x < 1 nên x = 1 – x Û 
x = .
Như vậy min B = 2 Û x = - 1.
Bây giờ ta xét hiệu : 
Do đó min A = 2 + 3 khi và chỉ khi x = - 1.
36. a) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng : 
. Ở đây ta muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức : 
Cách khác : Xét A2 rồi dùng bất đẳng thức Cauchy.
b) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội một tích : 
Ta xem các biểu thức là các tích : 
Theo bất đẳng thức Cauchy : 
37. . Ta thấy 
Nên a < b.
38. a) min A = 5 - 2 với x = 0. max A = với x = ± .
b) min B = 0 với x = 1 ± . max B = với x = 1
39. Xét – 1 ≤ x ≤ 0 thì A ≤ 0. Xét 0 ≤ x ≤ 1 thì .
40. A = | x – y | ≥ 0, do đó A lớn nhất khi và chi khi A2 lớn nhất. Theo bđt Bunhiacôpxki :
 hoặc 
41. a) Tìm giá trị lớn nhất : Từ giả thiết : 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = 2 Þ x + y ≤ . Do đó :
. Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki :
= (x2 + y2) = 1
42. Đặt , ta có a, b ≥ 0, a + b = 1.
A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = 1 – 3ab.
Do ab ≥ 0 nên A ≤ 1. max A = 1 Û a = 0 hoặc b = 0 Û x = 0 hoặc x = 1, y = 0.
Ta có 
43. Điều kiện : 1 – x ≥ 0 , 2 – x ≥ 0 nên x ≤ 1. Ta có :
Û .
44. Ta có : 6 + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + 4 = 2(x + 1)2 + 4 > 0 với mọi x. Vậy phương trình xác định với mọi giá trị của x. Đặt = y ≥ 0, phương trình có dạng : 
y2 - y - 12 = 0 Û (y - 3)(y + 2) = 0 Û 
Do đó = 3 Û x2 + 2x + 3 = 18 Û (x – 3)(x + 5) = 0 Û x = 3 ; x = -5 .
45. Ta có : 
= . Do đó : .
Vậy : 
= (đpcm).
46. Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > 0 ; a ≠ 0).
49. Đặt .
a) Chứng minh : Làm giảm mỗi số hạng của A :
 .
Do đó 
.
b) Chứng minh : Làm trội mỗi số hạng của A :
Do đó : .
50. Kí hiệu có n dấu căn. Ta có : 
Hiển nhiên a100 > > 2. Như vậy 2 < a100 < 3, do đó [ a100 ] = 2.
205. a) Cách 1 (tính trực tiếp) : a2 = (2 + )2 = 7 + 4.
Ta có nên 6 < 4 < 7 Þ 13 < a2 < 14. Vậy [ a2 ] = 13.
Cách 2 (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 thì x = 7 + 4 . 
Xét biểu thức y = (2 - )2 thì y = 7 - 4. Suy ra x + y = 14.
Dễ thấy 0 < 2 - < 1 nên 0 < (2- )2 < 1, tức là 0 < y < 1. Do đó 13 < x < 14. 
Vậy [ x ] = 13 tức là [ a2 ] = 13.
b) Đáp số : [ a3 ] = 51.
206. Đặt x – y = a ; (1) thì a và b là số hữu tỉ. Xét hai trường hợp :
a) Nếu b ≠ 0 thì là số hữu tỉ (2). Từ (1) và (2) ta có :
 là số hữu tỉ ; là số hữu tỉ.
b) Nếu b = 0 thì x = y = 0, hiển nhiên là số hữu tỉ.
51. Ta có 
. Từ đó ta giải được bài toán.
52. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử trong 25 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < . < a25. Suy ra : a1 ≥ 1 , a2 ≥ 2 , 
a25 ≥ 25. Thế thì : (1). Ta lại có :
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra : , trái với giả thiết. Vậy tồn tại hai số bằng nhau trong 25 số a1 , a2 ,  , a25.