Một số bài tập Hình học trong đề thi vào lớp 10 THPT

MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI
VÀO 10 THPT VÀ THPT CHUYÊN TỈNH LẠNG SƠN TỪ 2010-2017
Câu 1 ( 3,0 điểm ). ( THPT 2010-2011)
 Cho tam giác đều ABC có đường cao AH (H thuộc BC). Trên cạnh BC lấy điểm M (M không trùng với B, C, H). Gọi P và Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên hai cạnh AB và AC.
Chứng minh rằng 5 điểm A, P, H, M, Q cùng nằm trên một đường tròn tâm O.
Chứng minh rằng tam giác OHQ đều. Từ đó hãy suy ra OH vuông góc với PQ.
Chứng minh rằng .
Câu 2 ( 2,0 điểm ).( THPT 2011-2012)
 Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là những tiếp điểm).
Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. Nêu cách vẽ các tiếp tuyến AB, AC.
BD là đường kính của đường tròn (O; R). Chứng minh: CD//AO.
Cho AO = 2R, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Câu 3 ( 3,5 điểm ).( THPT 2012-2013)
 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. C là một điểm cố định trên đường tròn khác A và B. Lấy D là điểm giữa cung nhỏ BC. Các tia AC và AD lần lượt cắt tiếp tuyến Bt của đường tròn ở E và F.
Chứng minh rằng hai tam giác ABD và BFD đồng dạng.
Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp.
Gọi D1 đối xứng với D qua O và M là giao điểm của AD và CD1. Chứng minh rằng số đo góc AMC không đổi khi D chạy trên cung nhỏ BC.
Câu 4 ( 3,0 điểm ).( THPT 2013-2014)
 Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC (B nằm giữa M và C). Gọi E là trung điểm của dây BC.
Chứng minh: MAOE là tứ giác nội tiếp.
MO cắt đường tròn tại I (I nằm giữa M và C). Tính số đo ? 
Tia phân giác góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh: .
Câu 5 ( 3,0 điểm ).( THPT 2014-2015)
 Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại M và N. Gọi H là giao điểm của BN và CM, K là trung điểm của AH. 
Chứng minh rằng tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn.
Chứng minh .
Chứng minh KN là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Câu 6 ( 3,5 điểm ). ( THPT 2015-2016)
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và có 3 góc nhọn. Kẻ các đường cao BE và CF cắt nhau tại H.
Chứng minh rằng: các tứ giác AEHF và BFEC nội tiếp đường tròn.
Cho S là trung điểm của AH. Chứng minh rằng góc ESF bằng góc BOC và hai tam giác ESF; BOC đồng dạng.
Kẻ OM vuông góc với BC tại M. chứng minh: SM vuông góc với EF.
Câu 7 ( 3,5 điểm ). ( THPT 2016-2017)
 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M. Đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại điểm thứ hai E. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D.
Chứng minh rằng tứ giác ABEM nội tiếp.
Chứng minh rằng .
Gọi I là giao điểm của AB và DC, J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC. Chứng minh rằng AD vuông góc với IJ. 
Câu 8 ( 3,5 điểm ).( THPT CHUYÊN 2010-2011)
 Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và . Gọi D và E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng BCDE là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh rằng tam giác IDE đều.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng tam giác AHO cân.
Câu 9 ( 3,0 điểm ).( THPT CHUYÊN 2011-2012)
 Cho đường tròn (O) và một điểm P cố định ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến PA, PB (A, B là các tiếp điểm) và một cát tuyến PNM (PM>PN). Gọi C, E theo thứ tự là các trung điểm của MN, PO.
Chứng minh năm điểm A, B, C, O, P nằm trên một đường tròn tâm E.
Tia BC cắt O tại D. Chứng tỏ AD//PM. Xác định vị trí của cát tuyến PNM để diện tích tam giác PDM đạt giá trị lớn nhất.
Khi cát tuyến PNM di động thì trọng tâm G của tam giác BNM chạy trên đường nào? Chứng minh nhận định đó.
Câu 10 ( 3,0 điểm ).( THPT CHUYÊN 2012-2013)
 Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD với đường tròn (B là tiếp điểm, AC<AD). Gọi E là trung điểm của CD.
Chứng minh: A, B, O, E cùng nằm trên một đường tròn tâm I.
Chứng minh: .
Giả sử AO > 2R. Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn tâm O và tâm I.
Câu 11 ( 3,0 điểm ).( THPT CHUYÊN 2013-2014)
 Cho đường tròn đường kính AB, C là một điểm trên đường tròn (C khác A và B). Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC, Các tia AI, CI lần lượt cắt đường tròn tại D, E.
Chứng minh tam giác EAI cân.
Chứng minh: .
Giả sử biết Tính AB theo a, b.
Câu 12 ( 3,0 điểm ).( THPT CHUYÊN 2014-2015)
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn. Gọi K là điểm chính giữa cung AB, E là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AO (E khác A và O), đường thẳng vuông góc với EK tại K cắt các tia Ax, By lần lượt tại D và C. 
Chứng minh .
Chứng minh .
Giả sử DE cắt AK tại M, EC cắt KB tại N. Chứng minh MN vuông góc với AD.
Câu 13 ( 3,5 điểm ). ( THPT CHUYÊN 2015-2016)
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, biết rằng và . Kẻ các đường cao BE, CF cắt nhau ở H (các điểm E, F thuộc AC, AB tương ứng). Các tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) cắt nhau tại K.
Tính góc. Chứng minh 5 điểm B, H, O, C, K cùng nằm trên một đường tròn.
Lấy các điểm I, J sao cho E là trung điểm của BI và F là trung điểm của CJ. Chứng minh rằng I, A, J thẳng hàng.’
Chứng minh rằng KH vuông góc với IJ và . 
Câu 14 ( 3,0 điểm ). ( THPT CHUYÊN 2016-2017)
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thằng AO với (O). Gọi là đường thẳng thay đổi đi qua A, cắt các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C lần lượt tại M và N. MN cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E. MC cắt BN tại F.
Chứng minh rằng tứ giác BOCD là hình thoi.
Chứng minh rằng tam giác MAB đồng dạng với tam giác ANC và 
Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi