Lý thuyết và bài tập Số phức môn Giải tích 12

SỐ PHỨC
I. Tóm tắt lý thuyết.
Định nghĩa số phức.
Số phức z là một biểu thức có dạng , trong đó a và b là các số thực, i là một số thỏa mãn .
a là phần thực, b là phần ảo.
i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là .
Đặt biệt: 
Số phức có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết z=a.
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo hay số thuần ảo và viết z=bi.
Số phức z=0+0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Số phức bằng nhau.
Hai số phức và bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.
O
M(a;b)
y
x
a
b
.
Biểu diễn hình học của số phức.
Số phức được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy.
Mô đun số phức.
Môđun số phức là số thực không âm kí hiệu .
Số phức liên hợp.
Số phức liên hợp của số phức là số phức .
Cộng, trừ, nhân và chia số phức.
Cho hai số phức và .
Cộng hai số phức: .
Trừ hai số phức: .
Nhân hai số phức: .
Chia hai số phức: .
Căn bậc hai của số thực âm.
Căn bậc hai của số thực a âm là .
Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Cho phương trình bậc hai với .
Khi <0 phương trình có hai nghiệm phức: .
 II. Các dạng bài tập.
Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo số phức 
	1. z=	2. 
Bài 2: Cho hai số phức . Xác định phần thực và phần ảo số phức 
Bài 3: Cho hai số phức . Xác định môđun số phức 
Bài 4: Xác định phần ảo và tính môđun số phức z, biết: 
	1. 	2. 
	3. 	4. 
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
Bài 6: Xác định phần thực và phần ảo và tính môđun số phức liên hợp của các số phức z: 
Bài 9: Xác định môđun số phức z, biết: 
Bài 10: Xác định phần thực, phần ảo các số phức z và biểu diễn các số phức đó trên mp Oxy, biết: 
Bài 11: Cho hai số phức . Xác định phần thực và phần ảo số phức 2z+3z’-2i+3.Xác định mô đun số phức 3z-5z’-3. Biểu diển số phức z+z’ trên mặt phẳng Oxy. 
Bài 12. Cho số phức .Xác định số thực m để z là số thuần ảo.
Bài 13: Tìm phần thực và phần ảo số phức z, biết: 
Bài 14: Xác định phần ảo z và tính mô đun số phức, biết: 
Bài 15: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
Bài 16: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
Bài 17: Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức .
Bài 18: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
Bài 19: Giải các phương trình sau trên tập số phức.
Bài 20: Tính mô đun số phức , biết: 
Bài 21: Cho số phức . Tính mô đun số phức .
Bài 22: Cho số phức . Xác định phần ảo số .
Bài 23: Cho số phức . Tính mô đun số phức . 
Bài 24: Cho số phức . Tính phần ảo và tính mô đun số phức .
Bài 25: Với i là đơn vị ảo . Chứng minh rằng 
Bài 26: Với i là đơn vị ảo . Chứng minh rằng .
BÀI TẬP ÔN TẬP 
Bài 1: Cho hai số phức . Xác định phần thực vào phần ảo số phức .
Xác định môđun số phức . Xác định phần ảo của số phức 
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
Bài 3: Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị biểu thức . 
Bài 4: Tìm môđun số phức z, biết: .
Bài 5: Tìm môđun số phức , biết: .
Bài 6: Tìm phần ảo số phức z, biết: .
Bài 7: Tìm phần ảo số phức z, biết: .
Bài 8: Xác định môđun số phức z, biết: . 
Bài 9: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: . 
Bài 10: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: . 
Bài 11: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: . 
Bài 12: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: . 
Bài 13: Tìm số phức z, biết .
Bài 14: Tìm số phức z, biết .
Bài 15: Tìm số phức liên hợp của số phức . 
Bài 16: Cho số phức z thỏa mãn . Hãy tính .
Bài 17: Tìm số phức z, biết: . 
Bài 18: Tìm số phức z, biết và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó. 
Bài 19: Tìm số phức z, biết: . 
Bài 20: Xác định phần thực và phần ảo các số phức, biết:	
Bài 21: Xác tính môđun các số phức, biết:
Bài 22: Xác định số phức liên hợp các số phức, biết: 
Bài 23: Gọi là hai nghiệm phức của phương trình .
1. Tìm . 	2. Tính giá trị biểu thức:A= .
Bài 24: Tìm điểm biểu diễn số phức z, biết: 
Bài 25: Xác tính môđun các số phức, biết:
Bài 26: Xác định số phức liên hợp các số phức, biết: 
Bài 30: Cho hai số phức .Xác định phần thực và phần ảo của số phức. 
Bài 31: Cho hai số phức .Xác tính môđun các số phức:
Căn bậc hai của số phức
Đn: là căn bậc hai của số phức nếu 
Tìm căn bậc hai của số phức :
là: 
là: 
Hiểu 
là: , trong đó
	TQ: là căn bậc n của số phức . Từ đó tìm phần thực, phần ảo của .
Phương trình ẩn số phức
a) Phương trình bậc nhất:. Cách giải: 
b) Phương trình bậc hai: 
Tính biệt thức 
* , pt có hai nghiệm phân biệt : 
 Trong đó là căn bậc hai của .
* , pt có nghiệm kép : 
Bạn có thể dùng biệt thức và công thức nghiệm như trong phương trình bậc hai thực.
	S=z1+z2=; P=z1.z2 = Khi đó z1,z2 cũng là nghiệm của pt : z2-S.z+P=0
 VD: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức :
1. 	2. 	3. 	4. 
 VD. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức :
a. ;	b. ;	c. ;	d. 	
	DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
1. Số phức dưới dạng lượng giác:
a. Acgumen của số phức z0.Cho số phức z 0.
Gọi M là điểm trong mp phức biểu diễn số phức z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác với tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
 Chú ý : 
 - Mỗi số phức z có nhiều acgumen. 
 - Nếu là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng .
b. Dạng lượng giác của số phức:
Dạng , trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z 0.
Còn dạng z = a + bi (a,bR ) được gọi là dạng đại số của số phức z.
Tóm tắt các bước tìm dạng lượng giác của số phức z = a + bi. 
Bước 1: Tìm r: .
Bước 2: Tìm : acgumen của z , sao cho và .
Bước 3: Khi đó dạng lượng giác của z là 
Cách khác: 	Ta viết 
Rồi nhẫm góc sao cho và .
2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác. 
	Cho hai số phức 
 với .
 Muôn nhân hai số phức dưới dạng lượng giác, ta nhân 2 môđun và cộng các acgumen. 
 với .
 Muôn chia hai số phức dưới dạng lượng giác, ta chia 2 môđun và trừ các acgumen.
3. Công thức Moa – vre và căn bậc hai của số phức.
 Cho hai số phức 
Khi đó: 
Số phức vói r>0 có hai căn bậc hai là: 
Hay viết dưới dạng lượng giác là:và .
4. Ví dụ. Viết dạng lượng giác các số phức sau đây: 
	1. 	2. 	3. 	4. 
	5. 	6. 	7. 	8. 
	9. 	10. 	11. 	12.